TYT Matematik · Çarpanlara Ayırma, Denklem ve Eşitsizlikler

Mutlak Değer

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~3 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır; bu yüzden işareti ne olursa olsun sonuç daima sıfır ya da pozitiftir. Bu konu, mutlak değerin tanımından temel özelliklerine, mutlak değerli denklem ve eşitsizliklerin çözümüne kadar TYT'de doğrudan karşına çıkan her şeyi kapsar.

1. Tanım

Bir $x$ gerçek sayısının mutlak değeri parçalı (cebirsel) olarak şöyle tanımlanır:

$∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0 x < 0$

Sözel olarak: $∣ x ∣$ , $x$ sayısının sayı doğrusunda sıfıra uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamayacağından her zaman $∣ x ∣ \geq 0$ olur. Örneğin $∣ 5 ∣ = 5$ ve $∣ - 5 ∣ = - (- 5) = 5$ .

Dikkat: $x < 0$ olduğunda $∣ x ∣ = - x$ ifadesi pozitif bir sayıdır; çünkü negatif bir sayının işaretini değiştirmek onu pozitif yapar. " $- x$ " görüp "negatif" sanmak en sık yapılan yanılgıdır.

2. Temel Özellikler

Özellik	Açıklama
$∣ x ∣ \geq 0$	Mutlak değer asla negatif olamaz
$∣ - x ∣ = ∣ x ∣$	Zıt işaretli sayıların mutlak değeri eşittir
$∣ a \cdot b ∣ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣$	Çarpımın mutlak değeri = mutlak değerlerin çarpımı
$∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣$	İki sayı arasındaki uzaklık simetriktir

Ayrıca $∣ x ∣ = 0$ olması için tek koşul $x = 0$ olmasıdır.

3. Mutlak Değerli Denklem

Temel kural: $a \geq 0$ olmak üzere

$∣ x ∣ = a \Rightarrow x = a veya x = - a$

Yani mutlak değeri $a$ olan iki sayı vardır: $+ a$ ve $- a$ . Genel olarak içerideki ifade $f (x)$ ise:

$∣ f (x)∣ = a \Rightarrow f (x) = a veya f (x) = - a$

Kısaca $f (x) = \pm a$ yazılır ve her iki denklem ayrı ayrı çözülür.

Önemli: Sağ taraf negatif ise ( $a < 0$ ) denklemin çözümü yoktur; çünkü mutlak değer negatif bir sonuca eşit olamaz.

4. Mutlak Değerli Eşitsizlik

İki temel yapı vardır ve birbirine karıştırılmamalıdır:

$∣ x ∣ < a \Rightarrow - a < x < a (tek aral ı k, "arada")$

$∣ x ∣ > a \Rightarrow x < - a veya x > a (iki ayr ı aral ı k, "d ı \overset{s}{¸} ı nda")$

Buradaki $a$ pozitif kabul edilir. $\leq$ ve $\geq$ durumlarında uç noktalar çözüme dâhil edilir (eşitlik korunur).

Örnek

Soru

$∣ - 5 ∣$ ve $∣ 3 - 7 ∣$ değerlerini hesaplayınız.

$∣ - 5 ∣$ : $- 5 < 0$ olduğundan $∣ - 5 ∣ = - (- 5) = 5$ .
$∣ 3 - 7 ∣ = ∣ - 4 ∣$ : $- 4 < 0$ olduğundan $∣ - 4 ∣ = 4$ .

Sonuç:

∣ - 5 ∣ = 5

∣ 3 - 7 ∣ = 4

Örnek

Soru

$∣ 2 x - 4 ∣ = 6$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

İçerideki ifadeyi $\pm 6$ 'ya eşitle: $2 x - 4 = 6$ veya $2 x - 4 = - 6$ . İki denklemi ayrı çöz.

Kuralı uygula: $2 x - 4 = 6$ veya $2 x - 4 = - 6$ .
Birinci denklem: $2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ .
İkinci denklem: $2 x = - 2 \Rightarrow x = - 1$ .

Sonuç:

x = 5

veya

x = - 1

; yani çözüm kümesi

{- 1, 5}

Örnek

Soru

$∣ x - 1 ∣ < 3$ eşitsizliğini sağlayan $x$ değerlerini bulunuz.

"Arada" kuralını uygula: $- 3 < x - 1 < 3$ .
Her tarafa $1$ ekle: $- 3 + 1 < x < 3 + 1$ .
Sonuç: $- 2 < x < 4$ .

Sonuç:

- 2 < x < 4

, yani

x \in (- 2, 4)

Örnek

Soru

$∣ x + 2 ∣ \geq 5$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

"Dışında" yapısı: $∣ f (x)∣ \geq a$ ise $f (x) \geq a$ veya $f (x) \leq - a$ . İki aralığı ayrı yaz.

"Dışında" kuralını uygula: $x + 2 \geq 5$ veya $x + 2 \leq - 5$ .
Birinci durum: $x \geq 3$ .
İkinci durum: $x \leq - 7$ .

Sonuç:

x \geq 3

veya

x \leq - 7

; yani

x \in (- \infty, - 7] \cup [3, \infty)

Örnek

Soru

$∣ 3 x ∣ = 12$ denklemini çözünüz.

$∣ 3 x ∣ = 12 \Rightarrow 3 x = 12$ veya $3 x = - 12$ .
Birinci denklem: $x = 4$ .
İkinci denklem: $x = - 4$ .

Sonuç:

x = \pm 4

, yani çözüm kümesi

{- 4, 4}

Örnek

Soru

$∣ x ∣ = - 3$ denkleminin çözümü var mıdır?

Mutlak değer her zaman $∣ x ∣ \geq 0$ 'dır; yani sonucu asla negatif olamaz.
Sağ taraf $- 3 < 0$ olduğundan eşitlik hiçbir $x$ için sağlanamaz.

Sonuç: Çözüm yoktur; çözüm kümesi boş kümedir (

\emptyset

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$∣ - 3 ∣ + ∣ 2 - 9 ∣ - ∣ - 4 ∣$ işleminin sonucu kaçtır?

Her terimi ayrı ayrı hesapla: $∣ - 3 ∣ = 3$ .
$∣ 2 - 9 ∣ = ∣ - 7 ∣ = 7$ .
$∣ - 4 ∣ = 4$ .
Yerine yaz: $3 + 7 - 4 = 6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

$∣ x - 3 ∣ = 2 x$ denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

Sağ taraf bir mutlak değere eşit olduğundan $2 x \geq 0$ , yani $x \geq 0$ olmalıdır.
$x - 3 = 2 x$ veya $x - 3 = - 2 x$ yaz.
Birinci denklem: $x - 3 = 2 x \Rightarrow - 3 = x$ . Bu kök $x \geq 0$ koşulunu sağlamaz, elenir.
İkinci denklem: $x - 3 = - 2 x \Rightarrow 3 x = 3 \Rightarrow x = 1$ . Bu kök koşulu sağlar.
Kontrol: $∣ 1 - 3 ∣ = 2$ ve $2 x = 2$ ; eşitlik sağlanır.

Sonuç:

x = 1

, yani çözüm kümesi

{1}

Örnek

Soru

$∣ 2 x - 1 ∣ \leq 5$ eşitsizliğini sağlayan tam sayı $x$ değerlerinin toplamı kaçtır?

"Arada" kuralını uygula: $- 5 \leq 2 x - 1 \leq 5$ .
Her tarafa $1$ ekle: $- 4 \leq 2 x \leq 6$ .
Her tarafı $2$ 'ye böl: $- 2 \leq x \leq 3$ .
Tam sayılar: $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3$ . Toplam: $- 2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

$2 < x < 5$ olmak üzere $∣ x - 2 ∣ + ∣ x - 5 ∣$ ifadesinin değeri nedir?

Verilen aralıkta $x - 2$ ile $x - 5$ ifadelerinin işaretlerini ayrı ayrı belirle.

$2 < x$ olduğundan $x - 2 > 0$ , dolayısıyla $∣ x - 2 ∣ = x - 2$ .
$x < 5$ olduğundan $x - 5 < 0$ , dolayısıyla $∣ x - 5 ∣ = - (x - 5) = 5 - x$ .
Topla: $(x - 2) + (5 - x) = 3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

$∣ x - 4 ∣ = x - 4$ eşitliğini sağlayan $x$ değerlerinin çözüm kümesini bulunuz.

$∣ a ∣ = a$ eşitliği yalnızca $a \geq 0$ olduğunda sağlanır.
Burada $a = x - 4$ olduğundan $x - 4 \geq 0$ olmalıdır.
Buradan $x \geq 4$ bulunur.

Sonuç:

x \geq 4

, yani

x \in [4, \infty)

Örnek

Soru

$∣ 3 x + 1 ∣ = ∣ x - 5 ∣$ denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

İki mutlak değer eşitse, içler ya eşittir ya da zıt işaretlidir: $3 x + 1 = x - 5$ veya $3 x + 1 = - (x - 5)$ .

Birinci durum: $3 x + 1 = x - 5 \Rightarrow 2 x = - 6 \Rightarrow x = - 3$ .
İkinci durum: $3 x + 1 = - (x - 5) \Rightarrow 3 x + 1 = - x + 5 \Rightarrow 4 x = 4 \Rightarrow x = 1$ .
Kontrol $x = - 3$ : $∣ - 8 ∣ = 8$ ve $∣ - 8 ∣ = 8$ ; sağlanır.
Kontrol $x = 1$ : $∣ 4 ∣ = 4$ ve $∣ - 4 ∣ = 4$ ; sağlanır.
Köklerin toplamı: $- 3 + 1 = - 2$ .

Sonuç: Kökler

- 3

1

; toplamları

- 2

Örnek

Soru

$2 < ∣ x - 1 ∣ < 5$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Eşitsizliği iki parçaya ayır: $∣ x - 1 ∣ < 5$ ve $∣ x - 1 ∣ > 2$ .
$∣ x - 1 ∣ < 5$ ("arada"): $- 5 < x - 1 < 5 \Rightarrow - 4 < x < 6$ .
$∣ x - 1 ∣ > 2$ ("dışında"): $x - 1 > 2$ veya $x - 1 < - 2$ , yani $x > 3$ veya $x < - 1$ .
İki sonucun kesişimini al: $- 4 < x < - 1$ veya $3 < x < 6$ .

Sonuç:

x \in (- 4, - 1) \cup (3, 6)

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

|x−a| = b denklemi (iki dal açma): Yalnız pozitif dalı çözmek tek kök; kökler toplamı sorusunda yalnız x = 8 gibi eksik cevap
|x−a| = b tipinde kökler toplamı 2a kalıbı: Kökler toplamını 2a yerine 2b sanmak |2x−8| = 6 için 12 gibi b'ye bağlı yanlış toplam
|x−a| < b eşitsizliğini aralığa çevirme: |x−a| > b'yi de 'arada' biçiminde açmak dış bölge yerine iç aralık; tam ters çözüm kümesi
|x−a| + |x−b| ifadesinin en küçük değeri: En küçük değeri 0 sanmak (iki terim aynı anda sıfırlanamaz) 0 cevabı — yalnız a = b iken mümkün
İki mutlak değerli denklem |f(x)| = |g(x)|: Yalnız f = g durumunu çözmek tek kök; toplam sorusunda 4 gibi eksik cevap
Verilen aralıkta mutlak değer açma (işaret analizi): İçi negatif olan mutlak değeri de aynen (pozitif) açmak x < 0 için |x| = x yazmaktan gelen 2x−3 tipi ters işaretli ifade

Soru 1Kolay

Bir su deposunun ideal sıcaklığı

20^{\circ} C

'dir. Sistem, ölçülen sıcaklık

T

için

∣ T - 20 ∣ > 4

olduğunda alarm veriyor. Buna göre aşağıdaki sıcaklıklardan hangisinde alarm **çalmaz**?

Alarm çalmaması koşulu: $∣ T - 20 ∣ \leq 4$ .
"Arada" yapısı: $- 4 \leq T - 20 \leq 4 \Rightarrow 16 \leq T \leq 24$ .
Şıkları kontrol et: $14, 15$ küçük; $25, 26$ büyük. Yalnız $23$ aralıkta.

Sonuç:

23

Soru 2Kolay

Bir fabrikada üretilen vidaların uzunluğu

L

mm olup, kalite kontrolü için

∣ L - 50 ∣ \leq 2

koşulu aranır. Bu koşulu sağlayan tam sayı uzunlukların **sayısı** kaçtır?

$∣ L - 50 ∣ \leq 2 \Rightarrow - 2 \leq L - 50 \leq 2$ .
Her tarafa $50$ ekle: $48 \leq L \leq 52$ .
Tam sayılar: $48, 49, 50, 51, 52$ → $5$ adet (uçlar dahil). Çeldirici A) $3$ , uçları hariç tutmaktan; C doğru.

Sonuç:

5

Soru 3Orta

∣ 3 x - 2 ∣ = ∣ x + 4 ∣

denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

Birinci durum: $3 x - 2 = x + 4 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$ .
İkinci durum: $3 x - 2 = - (x + 4) \Rightarrow 3 x - 2 = - x - 4 \Rightarrow 4 x = - 2 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$ .
Köklerin toplamı: $3 + (- \frac{1}{2}) = \frac{5}{2}$ .

Sonuç:

\frac{5}{2}

Soru 4Orta

∣ 2 x - 6 ∣ = ∣ x - 1 ∣

denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?

Birinci durum: $2 x - 6 = x - 1 \Rightarrow x = 5$ .
İkinci durum: $2 x - 6 = - (x - 1) \Rightarrow 2 x - 6 = - x + 1 \Rightarrow 3 x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{3}$ .
Çarpım: $5 \cdot \frac{7}{3} = \frac{35}{3}$ .

Sonuç:

\frac{35}{3}

Soru 5Orta

1 < x < 4

olmak üzere

∣ x - 1 ∣ + ∣ x - 4 ∣

ifadesinin değeri kaçtır?

$1 < x$ olduğundan $x - 1 > 0$ : $∣ x - 1 ∣ = x - 1$ .
$x < 4$ olduğundan $x - 4 < 0$ : $∣ x - 4 ∣ = - (x - 4) = 4 - x$ .
Topla: $(x - 1) + (4 - x) = 3$ . Çeldirici A) $2 x - 5$ , ikinci mutlak değeri de pozitif açmaktan; C doğru.

Sonuç:

3

Soru 6Orta

∣ x - 2 ∣ \leq 3

eşitsizliğini sağlayan tam sayıların **toplamı** kaçtır?

$∣ x - 2 ∣ \leq 3 \Rightarrow - 3 \leq x - 2 \leq 3$ .
Her tarafa $2$ ekle: $- 1 \leq x \leq 5$ .
Tam sayılar: $- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ .
Toplam: $(- 1 + 1) + (0) + 2 + 3 + 4 + 5 = 14$ . Çeldirici E) $18$ , sol uç $- 1$ 'i atlayıp $0$ 'dan başlamaktan; C doğru.

Sonuç:

14

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Tek kök almak: $∣ x ∣ = a$ denkleminde yalnızca $x = a$ yazıp $x = - a$ kökünü unutmak. Mutlak değerli denklemde (sağ taraf pozitifse) iki kök vardır: $\pm a$ .
Eşitsizlik yapılarını karıştırmak: $∣ x ∣ < a$ ("arada", tek aralık $- a < x < a$ ) ile $∣ x ∣ > a$ ("dışında", iki ayrı aralık) çözümlerini birbirinin yerine kullanmak.
Çözümsüzlüğü görmemek: $∣ x ∣ =$ (negatif sayı) biçimindeki denklemin çözümsüz olduğunu fark etmeyip cebirsel işlem yapmaya çalışmak.

Sınav İpucu

İki yapıyı tek cümleyle hatırla: $∣ f (x)∣ < a$ demek $f (x)$ değerinin $- a$ ile $a$ arasında kalması ( $- a < f (x) < a$ ); $∣ f (x)∣ > a$ demek ise $f (x)$ değerinin bu aralığın dışında olması (iki ayrı aralık) demektir. Eşitsizliğe çözmeden önce "arada mı, dışında mı?" diye sor; yön doğru seçilince işlemler kendiliğinden gelir.

1. Tanım

2. Temel Özellikler

3. Mutlak Değerli Denklem

4. Mutlak Değerli Eşitsizlik

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Çarpanlara Ayırma, Denklem ve Eşitsizlikler — diğer konular