Mutlak Değer — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   |x−a| = b denklemi (iki dal açma)

   KolaySık çıkar

   Mutlak değerli ifade pozitif bir sayıya eşitlenir; içerik +b ve −b olmak üzere iki dala açılır. Konunun temel giriş sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. b > 0 ise iki dal yaz: x−a = b veya x−a = −b.
   2. Her dalı ayrı çöz; iki kök bulunur.
   3. b = 0 ise tek kök (x = a); b < 0 ise çözüm YOK — mutlak değer negatif olamaz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Yalnız pozitif dalı çözmek→tek kök; kökler toplamı sorusunda yalnız x = 8 gibi eksik cevap
   • |x−a| = −b (negatif) denklemine de iki dal açmak→çözümsüz denkleme iki 'kök' yazmak

   Örnek

   |x − 3| = 5 denkleminin kökleri nelerdir?

   x−3 = 5 ⇒ x = 8 veya x−3 = −5 ⇒ x = −2; kökler {−2, 8}

2. 02

   |x−a| = b tipinde kökler toplamı 2a kalıbı

   KolaySık çıkar

   Kökler a'ya eşit uzaklıkta (a−b ve a+b) olduğundan toplamları daima 2a'dır. Hızlı çözüm kalıbı; ÖSYM |mx−n| biçiminde verip kalıbı m'ye bölünmüş merkezle kullanmayı bekler.

   Nasıl çözülür

   1. |x−a| = b'nin kökleri a−b ve a+b; toplam = 2a (b'den bağımsız!).
   2. |mx−n| = b biçiminde: içi sıfır yapan değer n/m simetri merkezidir; kökler toplamı 2n/m.
   3. Emin olamıyorsan iki dalı açıp topla — kalıp sadece zaman kazandırır.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kökler toplamını 2a yerine 2b sanmak→|2x−8| = 6 için 12 gibi b'ye bağlı yanlış toplam
   • |mx−n| tipinde m'ye bölmeyi unutup toplamı 2n almak→doğru cevabın m katı (örnekte 16)

   Örnek

   |2x − 8| = 6 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

   2x−8 = ±6 ⇒ x = 7 veya x = 1; toplam 8 (= 2⋅8/2)

3. 03

   |x−a| < b eşitsizliğini aralığa çevirme

   OrtaSık çıkar

   |x−a| < b ⇒ a−b < x < a+b ('arada' yapısı); |x−a| > b ⇒ dışarıda iki kol. Genelde aralıktaki tam sayıların sayısı/toplamı istenir.

   Nasıl çözülür

   1. Küçüktür: −b < x−a < b yaz, her tarafa a ekle: a−b < x < a+b.
   2. Büyüktür: x−a > b veya x−a < −b — İKİ AYRI kol, arada değil.
   3. ≤ / ≥ ise uç değerler dahil; tam sayı sayarken uçları kontrol et.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • |x−a| > b'yi de 'arada' biçiminde açmak→dış bölge yerine iç aralık; tam ters çözüm kümesi
   • Açık aralıkta (<) uçları dahil saymak→tam sayı sayısında 2 fazla (örnekte 7)

   Örnek

   |x − 5| < 3 eşitsizliğini sağlayan kaç tam sayı vardır?

   2 < x < 8 ⇒ 3, 4, 5, 6, 7 ⇒ 5 tam sayı

   Sık birleştiği konular: Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler

4. 04

   |x−a| + |x−b| ifadesinin en küçük değeri

   OrtaSık çıkar

   Sayı doğrusunda iki noktaya uzaklıklar toplamı: x iki nokta ARASINDAYKEN toplam sabittir ve en küçüktür; en küçük değer |b−a|. Geometrik yorum ölçen klasik.

   Nasıl çözülür

   1. İfadeyi 'x'in a'ya ve b'ye uzaklıkları toplamı' olarak oku.
   2. a ≤ x ≤ b için toplam sabit: b − a (en küçük değer).
   3. x aralığın dışına çıktıkça toplam büyür; 'en küçük değeri aldıran x kaç tanedir?' sorusunda cevap aradaki tüm değerlerdir (sonsuz; tam sayı istenirse say).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • En küçük değeri 0 sanmak (iki terim aynı anda sıfırlanamaz)→0 cevabı — yalnız a = b iken mümkün
   • En küçük değeri b + a veya orta nokta değeri sanmak→uzaklık farkı yerine konum toplamından gelen ilgisiz sayı (örnekte 9)

   Örnek

   |x − 2| + |x − 7| ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?

   2 ≤ x ≤ 7 için toplam sabit: 7 − 2 = 5

5. 05

   İki mutlak değerli denklem |f(x)| = |g(x)|

   OrtaSık çıkar

   İki mutlak değer birbirine eşitse içerikler ya eşittir ya da birbirinin ters işaretlisidir: f = g veya f = −g. İki dalın kökleri ayrı ayrı bulunur; toplam/çarpım istenir.

   Nasıl çözülür

   1. Birinci durum: f(x) = g(x), ikinci durum: f(x) = −g(x).
   2. Her iki doğrusal denklemi ayrı çöz.
   3. İstenen birleşimi (kökler toplamı/çarpımı) hesapla; kökleri denklemde sağlatarak doğrula.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Yalnız f = g durumunu çözmek→tek kök; toplam sorusunda 4 gibi eksik cevap
   • İkinci durumda − işaretini g'nin yalnız ilk terimine dağıtmak→x−1 = −2x+5 yerine x−1 = −2x−5'ten gelen yanlış kök

   Örnek

   |x − 1| = |2x − 5| denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

   x−1 = 2x−5 ⇒ x = 4; x−1 = −2x+5 ⇒ 3x = 6 ⇒ x = 2; toplam 6

6. 06

   Verilen aralıkta mutlak değer açma (işaret analizi)

   OrtaSık çıkar

   x'in aralığı verilir (ör. x < 0); ifadedeki her mutlak değerin içinin işareti bu aralıkta belirlenir ve mutlak değerler kaldırılır. Sadeleştirilmiş cebirsel ifade istenir.

   Nasıl çözülür

   1. Verilen aralıkta her mutlak değerin İÇİNİN işaretini tek tek belirle.
   2. İçi pozitifse aynen çıkar: |A| = A; negatifse ters işaretle çıkar: |A| = −A.
   3. Kalan ifadeyi topla/sadeleştir; aralıktan bir test değeriyle doğrula.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • İçi negatif olan mutlak değeri de aynen (pozitif) açmak→x < 0 için |x| = x yazmaktan gelen 2x−3 tipi ters işaretli ifade
   • −(x−3) açılımında işareti yalnız x'e dağıtmak (−x−3 yazmak)→sabiti işaretçe yanlış ifade: −2x−3

   Örnek

   x < 0 olduğuna göre |x − 3| + |x| ifadesinin eşiti nedir?

   x−3 < 0 ⇒ |x−3| = 3−x; |x| = −x ⇒ (3−x) + (−x) = 3 − 2x

   Sık birleştiği konular: Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

7. 07

   Kritik nokta tablosuyla çok parçalı denklem

   ZorSık çıkar

   |x−a| + |x−b| = c tipinde denklem: kritik noktalar sayı doğrusunu üç bölgeye ayırır, her bölgede mutlak değerler ayrı açılıp çözülür. Bulunan kök kendi bölgesinde olmalı — sınav ayarındaki eleme burada.

   Nasıl çözülür

   1. Kritik noktaları bul (her mutlak değerin içini sıfır yapan değerler) ve doğruyu bölgelere ayır.
   2. Her bölgede mutlak değerleri o bölgenin işaretine göre aç, denklemi çöz.
   3. Bulunan kökün O BÖLGEDE olup olmadığını kontrol et; bölge dışı kökleri at.
   4. Geçerli kökleri topla/birleştir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Bölge kontrolü yapmayıp bölge dışı kökü de saymak→orta bölgeden gelen sahte kök; kökler toplamında fazlalık
   • Orta bölgede iki terimin sabite indiğini görmeyip x'li denklem kurmak→3 = 5 tipindeki çözümsüz bölgeden zorla kök üretme

   Örnek

   |x + 1| + |x − 2| = 5 denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?

   x < −1: −2x+1 = 5 ⇒ x = −2 ✓; −1 ≤ x ≤ 2: sabit 3 ≠ 5; x > 2: 2x−1 = 5 ⇒ x = 3 ✓; toplam 1

   Sık birleştiği konular: Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler