Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Tek bilinmeyenli denklem çözme (paydalı dahil)

   KolaySık çıkar

   ax + b = cx + d veya paydalı biçim. Payda eşitleme + bilinmeyenleri tek tarafa toplama. Konunun giriş sorusu; TYT'de genelde hikâye içine gömülür.

   Nasıl çözülür

   1. Paydalı terim varsa tüm denklemi paydaların OKEK'i ile çarp — HER terimi çarpmayı unutma.
   2. Bilinmeyenleri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa topla (taraf değiştiren işaret değiştirir).
   3. Katsayıya bölerek x'i yalnız bırak; sonucu denklemde doğrula.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • OKEK ile çarparken paydasız terimi çarpmamak→x/2 + x/3 = 10 için 5x = 10 ⇒ x = 2 gibi küçük yanlış kök
   • Taraf değiştirirken işaret değiştirmemek→sabitler yanlış tarafta toplanmış, işaretçe kaymış kök

   Örnek

   x/2 + x/3 = 10 denkleminin çözümü kaçtır?

   6 ile çarp: 3x + 2x = 60 ⇒ 5x = 60 ⇒ x = 12

2. 02

   Birinci dereceden eşitsizlik (negatifle çarpınca yön değişir)

   OrtaSık çıkar

   ax + b < c biçimi; a negatifken bölme/çarpma sırasında eşitsizliğin yönü değişir. TYT'nin bir numaralı eşitsizlik tuzağı.

   Nasıl çözülür

   1. Denklem gibi düzenle: bilinmeyenli terimleri topla, sabitleri karşıya at.
   2. Negatif katsayıyla bölerken veya çarparken eşitsizliğin YÖNÜNÜ ÇEVİR.
   3. İstenen 'en küçük/en büyük tam sayı' ise ucun dahil olup olmadığını (<, ≤) kontrol et.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Negatife bölerken yönü çevirmemek→x > −3 yerine x < −3; cevap kümesinin tam tersi
   • Açık uçlu eşitsizlikte (<) sınır değerini dahil saymak→en küçük tam sayı sorusunda bir eksik değer (−3 gibi)

   Örnek

   5 − 2x < 11 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır?

   −2x < 6 ⇒ x > −3 (yön değişti); en küçük tam sayı −2

3. 03

   İki bilinmeyenli denklem sistemi (yok etme / yerine koyma)

   OrtaSık çıkar

   İki denklem, iki bilinmeyen; taraf tarafa toplayarak bir bilinmeyeni yok etme veya birinden çekip diğerine koyma. Genelde x⋅y, x+y gibi bir birleşim istenir.

   Nasıl çözülür

   1. Katsayılar uygunsa denklemleri taraf tarafa topla/çıkar (yok etme).
   2. Değilse bir denklemden bir bilinmeyeni çek, diğerinde yerine koy.
   3. Bulunan değeri geri koyup ikinci bilinmeyeni bul; İSTENENİ (x⋅y, x−y...) hesapla — x'i bulup bırakma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Sadece x'i bulup soruda isteneni (x⋅y) hesaplamadan işaretlemek→x değeri şıklarda çeldirici olarak durur (örnekte 3)
   • Taraf tarafa çıkarırken ikinci denklemin tüm işaretlerini değiştirmemek→yanlış tek bilinmeyenli denklem, kaymış kökler

   Örnek

   2x + y = 7 ve x − y = 2 olduğuna göre x⋅y kaçtır?

   Taraf tarafa topla: 3x = 9 ⇒ x = 3, y = 1 ⇒ x⋅y = 3

4. 04

   Aralık dönüştürme (x ∈ [a,b] iken mx+n hangi aralıkta)

   OrtaSık çıkar

   x'in aralığı verilir, doğrusal bir ifadenin aralığı istenir. Eşitsizliğin üç tarafına aynı işlemler uygulanır; negatif katsayıda uçlar yer değiştirir.

   Nasıl çözülür

   1. Aralığı çift eşitsizlik olarak yaz: a ≤ x ≤ b.
   2. Üç tarafı da katsayıyla çarp (negatifse yönler değişir, uçlar yer değiştirir).
   3. Üç tarafa da sabiti ekle/çıkar; uç değerlerin dahilliğini koru.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Sabiti yalnız bir uca uygulamak→[−5, 6] gibi tek ucu doğru aralık
   • Negatif katsayıyla çarpınca uçları yer değiştirmemek→ters yazılmış (büyük uç solda) imkânsız aralık

   Örnek

   x ∈ [−1, 3] olduğuna göre 2x − 3 ifadesi hangi aralıktadır?

   −1 ≤ x ≤ 3 ⇒ −2 ≤ 2x ≤ 6 ⇒ −5 ≤ 2x−3 ≤ 3; aralık [−5, 3]

   Sık birleştiği konular: Mutlak Değer

5. 05

   Sıralama eşitsizliği (işlemlerin sıralamaya etkisi)

   ZorSık çıkar

   Verilen bir aralıktaki x için x, x², 1/x gibi ifadelerin sıralanması. Negatif sayılarda kare alma ve ters alma sıralamayı bozar — kavramsal tuzak sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Aralıktan somut bir test değeri seç (ör. −2 < x < −1 için x = −3/2).
   2. İstenen ifadeleri bu değerle hesapla ve sırala.
   3. Kural bilgisiyle doğrula: negatifte kare pozitife taşır; −1 ile 0 arasına girmeyen negatifin tersi −1 ile 0 arasındadır.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Pozitif sayı alışkanlığıyla x < x² ise 1/x'i de en büyük sanmak→1/x negatifken onu pozitif ifadelerin üstüne yazan yanlış sıralama
   • x² ile x'in sırasını |x| < 1 durumundaki gibi kurmak→x² < x gibi negatif x için imkânsız sıralama

   Örnek

   −2 < x < −1 olduğuna göre x, x², 1/x ifadelerinin doğru sıralaması nedir?

   x = −3/2 için: x = −1,5; 1/x = −2/3; x² = 2,25 ⇒ x < 1/x < x²

   Sık birleştiği konular: Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

6. 06

   Çözümün olmaması / sonsuz olması (katsayı analizi)

   Zor

   ax + b = cx + d biçiminde parametreli denklem: x'li katsayılar eşit, sabitler farklıysa çözüm yok; ikisi de eşitse her x çözüm (sonsuz). Kavram bilgisi ölçen ayırt edici tip.

   Nasıl çözülür

   1. Denklemi (a−c)x = d − b biçimine getir.
   2. Tek çözüm: a ≠ c. Çözüm yok: a = c ve d ≠ b. Sonsuz çözüm: a = c ve d = b.
   3. İstenen duruma göre parametre değerlerini yaz; birden çok koşul varsa hepsini birlikte sağlat.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 'Çözüm yok' ile 'sonsuz çözüm' koşullarını karıştırmak→sabitleri de eşitleyen (veya eşitlemeyen) yanlış parametre
   • Sonsuz çözümde yalnız x katsayılarını eşitleyip sabitleri unutmak→a doğru, b yanlış; toplam sorularında kaymış değer

   Örnek

   ax + 3 = 2x + b denkleminin sonsuz çözümü olduğuna göre a + b kaçtır?

   a = 2 ve b = 3 olmalı ⇒ a + b = 5