TYT Matematik · Oran-Orantı ve Problemler

Oran ve Orantı

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~12 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlık

Oran ve orantı, TYT'nin en çok soru çıkan, en kazançlı konularından biridir; problemler, yüzde, karışım ve hız–zaman sorularının da temelini kurar. Mantığı tek cümleyle özetlenir: iki çokluğu bölerek karşılaştırır (oran), iki oranın eşitliğini kurar (orantı) ve çoklukların birlikte mi yoksa ters yönde mi değiştiğine bakarsın. Bu sayfa, içler-dışlar çarpımından doğru ve ters orantıya, oran paylaştırmadan zincirleme oranlara kadar tüm zemini kurar.

1. Oran

Oran, iki çokluğun bölme ile karşılaştırılmasıdır. $a$ ve $b$ çoklukları için oran $\frac{a}{b}$ ya da $a : b$ biçiminde yazılır ( $b \neq = 0$ ).

İki temel kural:

Oranı kurduğun çoklukların aynı birimde olması gerekir. $2$ saat ile $30$ dakikayı oranlarken ikisini de dakikaya çevir: $\frac{120}{30} = 4$ .
Oran birimsizdir; bir sayıdır. " $3 : 5$ " demek, birinci çokluğun $3$ birim, ikincisinin $5$ birim olduğu (yani $\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ ) anlamına gelir.

Bir oranı pay ve paydasını aynı sayı ile çarpıp bölersek değeri değişmez: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10} = \frac{3 k}{5 k}$ . Bu yüzden $a : b = 3 : 5$ ise $a = 3 k, b = 5 k$ yazmak en güçlü tekniktir.

2. Orantı ve İçler–Dışlar Çarpımı

Orantı, iki oranın eşitliğidir:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Burada $a$ ve $d$ dışlar, $b$ ve $c$ içler olarak adlandırılır. Bu eşitlikte içler çarpımı, dışlar çarpımına eşittir (içler–dışlar çarpımı):

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} ⟺ a \cdot d = b \cdot c$

Bir orantıda bilinmeyen tek terim varsa, içler–dışlar çarpımı onu doğrudan çözer.

3. Doğru Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa (ya da biri azalırken diğeri aynı oranda azalıyorsa) bu çokluklar doğru orantılıdır. Doğru orantıda oranları sabittir:

$\frac{y}{x} = k (k sabit, orant ı sabiti)$

Yani $x$ iki katına çıkarsa $y$ de iki katına çıkar. Birim fiyat, $1$ işçinin yaptığı iş, sabit hızda alınan yol gibi durumlar doğru orantılıdır.

4. Ters Orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu çokluklar ters orantılıdır. Ters orantıda çarpımları sabittir:

$x \cdot y = k (k sabit)$

Yani $x$ iki katına çıkarsa $y$ yarıya iner. İşçi sayısı–iş süresi, hız–zaman (sabit yolda) klasik ters orantı örnekleridir: daha çok işçi → daha kısa süre.

Durum	İlişki	Kurulan denklem
Biri artarken diğeri artıyor	Doğru orantı	$\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$
Biri artarken diğeri azalıyor	Ters orantı	$x_{1} \cdot y_{1} = x_{2} \cdot y_{2}$

Örnek

Soru

$\frac{x}{4} = \frac{9}{12}$ orantısında $x$ kaçtır?

İçler–dışlar çarpımını uygula: $12 \cdot x = 4 \cdot 9$ .
Sadeleştir: $12 x = 36$ .
Her iki tarafı $12$ 'ye böl: $x = \frac{36}{12} = 3$ .

Sonuç:

x = 3

Örnek

Soru

$\frac{a}{b} = \frac{3}{5}$ ve $a + b = 24$ ise $a$ ve $b$ kaçtır?

Oranı $a = 3 k, b = 5 k$ biçiminde ortak bir $k$ ile yaz; sonra toplam koşulunu kullan.

Oranı ortak çarpanla yaz: $a = 3 k, b = 5 k$ .
Toplam koşulunu yerine koy: $3 k + 5 k = 24 \Rightarrow 8 k = 24$ .
$k$ 'yi bul: $k = 3$ .
Değerleri hesapla: $a = 3 \cdot 3 = 9, b = 5 \cdot 3 = 15$ .

Sonuç:

a = 9, b = 15

Örnek

Soru

$5$ özdeş kalem $20$ TL ise, $8$ özdeş kalem kaç TL'dir?

Kalem sayısı artarken fiyat da artar: doğru orantı. Önce $1$ kalemin fiyatını bul.

İlişki doğru orantıdır: kalem sayısı artarsa fiyat aynı oranda artar.
Birim fiyatı bul: $\frac{20}{5} = 4$ TL (bir kalem).
$8$ kalemin fiyatı: $8 \cdot 4 = 32$ TL.

Sonuç:

32

TL.

Örnek

Soru

$6$ işçi bir işi $10$ günde bitiriyor. Aynı işi $4$ işçi kaç günde bitirir? (İşçilerin iş gücü eşittir.)

İşçi sayısı azalırsa süre uzar: ters orantı. Çarpımları sabittir: $i \overset{s}{¸} \overset{c}{¸} i \times g \overset{u}{¨} n = sabit$ .

İlişki ters orantıdır: işçi sayısı azalırken süre artar.
Çarpımın sabitliğini kullan: $6 \cdot 10 = 4 \cdot t$ .
Sabiti hesapla: $60 = 4 t$ .
$t$ 'yi bul: $t = \frac{60}{4} = 15$ gün.

Sonuç:

15

gün.

Örnek

Soru

$a : b : c = 2 : 3 : 5$ ve $a + b + c = 60$ ise $a, b, c$ kaçtır?

Oranları ortak çarpanla yaz: $a = 2 k, b = 3 k, c = 5 k$ .
Toplam koşulunu kur: $2 k + 3 k + 5 k = 60 \Rightarrow 10 k = 60$ .
$k$ 'yi bul: $k = 6$ .
Her birini hesapla: $a = 2 \cdot 6 = 12, b = 3 \cdot 6 = 18, c = 5 \cdot 6 = 30$ .

Sonuç:

a = 12, b = 18, c = 30

Örnek

Soru

$\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ ve $\frac{y}{z} = \frac{3}{4}$ ise $x : y : z$ oranı nedir?

İki orandaki ortak terim $y$ 'dir. Her iki oranda $y$ 'nin değeri aynı olacak biçimde oranları birleştir.

Birinci orandan $x : y = 2 : 3$ .
İkinci orandan $y : z = 3 : 4$ .
Ortak terim $y$ her iki oranda da $3$ olduğundan oranlar doğrudan zincirlenir.
Zincirleme oranı yaz: $x : y : z = 2 : 3 : 4$ .

Sonuç:

x : y : z = 2 : 3 : 4

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Bir sınıfta kız sayısının erkek sayısına oranı $\frac{4}{5}$ 'tir. Sınıfta $36$ öğrenci olduğuna göre kaç erkek öğrenci vardır?

Oranı ortak çarpanla yaz: kız $= 4 k$ , erkek $= 5 k$ .
Toplam koşulunu kur: $4 k + 5 k = 36 \Rightarrow 9 k = 36$ .
$k$ 'yi bul: $k = 4$ .
Erkek sayısı: $5 \cdot 4 = 20$ .

Sonuç:

20

erkek öğrenci.

Örnek

Soru

$\frac{2}{3}$ oranındaki bir kesirde pay $12$ ise payda kaçtır?

Orantıyı kur: $\frac{12}{x} = \frac{2}{3}$ .
İçler–dışlar çarpımını uygula: $2 x = 12 \cdot 3$ .
Sadeleştir: $2 x = 36$ .
$x$ 'i bul: $x = 18$ .

Sonuç:

x = 18

Örnek

Soru

Bir haritada $1$ cm gerçekte $5$ km'yi göstermektedir. Haritada $7$ cm olarak ölçülen iki şehir arası gerçekte kaç km'dir?

Harita uzunluğu ile gerçek uzunluk doğru orantılıdır: harita uzunluğu artarsa gerçek uzunluk aynı oranda artar.

İlişki doğru orantıdır: $1$ cm karşılığı $5$ km sabittir.
Orantıyı kur: $\frac{1}{5} = \frac{7}{x}$ .
İçler–dışlar çarpımı: $x = 7 \cdot 5$ .
Sonucu hesapla: $x = 35$ km.

Sonuç:

35

km.

Örnek

Soru

$12$ musluk bir havuzu $8$ saatte dolduruyor. Aynı havuzu $6$ saatte doldurmak için kaç özdeş musluk gerekir?

Süre kısalacaksa daha çok musluk gerekir: ters orantı. Çarpımları sabittir: $musluk \times saat = sabit$ .

İlişki ters orantıdır: süre azalırken musluk sayısı artar.
Çarpımın sabitliğini kullan: $12 \cdot 8 = n \cdot 6$ .
Sabiti hesapla: $96 = 6 n$ .
$n$ 'yi bul: $n = \frac{96}{6} = 16$ .

Sonuç:

16

musluk.

Örnek

Soru

$\frac{a}{b} = \frac{5}{3}$ ve $a - b = 8$ ise $a + b$ kaçtır?

Oranı $a = 5 k, b = 3 k$ biçiminde yaz; farktan $k$ 'yi çek, sonra toplamı hesapla.

Oranı ortak çarpanla yaz: $a = 5 k, b = 3 k$ .
Fark koşulunu kur: $5 k - 3 k = 8 \Rightarrow 2 k = 8$ .
$k$ 'yi bul: $k = 4$ .
Toplamı hesapla: $a + b = 5 k + 3 k = 8 k = 8 \cdot 4 = 32$ .

Sonuç:

a + b = 32

Örnek

Soru

$3$ işçi günde $5$ saat çalışarak bir işi $8$ günde bitiriyor. Aynı işi $4$ işçi günde $4$ saat çalışarak kaç günde bitirir?

İş miktarı sabittir: $i \overset{s}{¸} \overset{c}{¸} i \times g \overset{u}{¨} nl \overset{u}{¨} k saat \times g \overset{u}{¨} n$ çarpımı sabit kalır. İşçi sayısı ve çalışma saati ile gün sayısı ters orantılıdır.

Toplam iş gücünü hesapla: $3 \cdot 5 \cdot 8 = 120$ (işçi·saat).
İkinci durumda günlük iş gücü: $4$ işçi $\times$ $4$ saat $= 16$ (işçi·saat/gün).
Gerekli gün sayısı: $16 \cdot g = 120$ .
$g$ 'yi bul: $g = \frac{120}{16} = 7, 5$ gün.

Sonuç:

7, 5

gün.

Örnek

Soru

$a : b = 2 : 3$ ve $b : c = 4 : 5$ ise $a : b : c$ oranı nedir?

Ortak terim $b$ 'dir; bir oranda $3$ , diğerinde $4$ değerini almış. $b$ 'yi her iki oranda eşitlemek için $ekok (3, 4) = 12$ kullan.

Oranları yaz: $a : b = 2 : 3$ ve $b : c = 4 : 5$ .
$b$ 'yi eşitlemek için ilk oranı $4$ , ikinci oranı $3$ ile genişlet: $a : b = 8 : 12$ ve $b : c = 12 : 15$ .
Artık her iki oranda $b = 12$ olduğundan oranları birleştir.
Zincirleme oranı yaz: $a : b : c = 8 : 12 : 15$ .

Sonuç:

a : b : c = 8 : 12 : 15

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Orandan değer bulma (k'lı gösterim): Toplam verilmişken fark denklemi kurmak (8k yerine 2k=32) k=16'dan b−a=32 — verilen toplamın kendisi çıkar
Doğru orantı (birim fiyat / birim iş): Ters orantı kurup çarpımları eşitlemek 60⋅4/7 ≈ 34,3 gibi anlamsız kesirli değer
Ters orantı (işçi–gün, hız–zaman): Doğru orantı kurmak (6/10 = 4/t oranlamak) t ≈ 6,7 — işçi azaldığı hâlde sürenin kısalması
Zincirleme (bileşik) oran — ortak terimi eşitleme: b'yi eşitlemeden oranları yan yana yazmak 3:4:5 gibi bozuk üçlü
Oranla paylaştırma (miras / bilye dağıtımı): Bütünü toplam pay 9 yerine kişi sayısı 3'e bölmek 180/3=60'ı bir pay sanmak
Ekleme–çıkarma ile oranın değişmesi (sınav ayarı): Çıkarılanı da eklemek (5k−2 yerine 5k+2 yazmak) 3k+6=5k+2 ⇒ k=2'den toplam 16

Soru 1Kolay

Bir işi

6

işçi

10

günde bitiriyor. Aynı işi

4

işçi kaç günde bitirir?

İşçi sayısı arttıkça süre azalır; **ters orantı** kurulur.
Çarpımları eşitle: $6 \cdot 10 = 4 \cdot t$ .
$60 = 4 t \Rightarrow t = 15$ gün.

Sonuç:

15

Soru 2Orta

a : b = 3 : 4

b : c = 6 : 5

olduğuna göre

a : b : c

oranı kaçtır?

Ortak terim $b$ 'dir; bir oranda $4$ , diğerinde $6$ değerini almış.
$b$ 'yi eşitlemek için ilk oranı $3$ , ikinci oranı $2$ ile genişlet: $a : b = 9 : 12$ ve $b : c = 12 : 10$ .
Zincirleme oran: $a : b : c = 9 : 12 : 10$ .

Sonuç:

9 : 12 : 10

Soru 3Kolay

Bir sınıftaki kız-erkek oranı

2 : 3

'tür. Sınıfta

30

erkek öğrenci olduğuna göre sınıftaki toplam öğrenci sayısı kaçtır?

Oranı $2 k : 3 k$ yaz; erkek sayısı $3 k = 30$ .
$k = 10$ .
Toplam öğrenci: $2 k + 3 k = 5 k = 5 \cdot 10 = 50$ .

Sonuç:

50

Soru 4Orta

Bir kafede çay–kahve siparişlerinin oranı

5 : 3

'tür. Bir gün boyunca verilen çay siparişi, kahve siparişinden

48

adet fazla olduğuna göre o gün toplam kaç sipariş verilmiştir?

Çay $= 5 k$ , kahve $= 3 k$ olsun. Fark: $5 k - 3 k = 2 k = 48 \Rightarrow k = 24$ .
Toplam sipariş: $5 k + 3 k = 8 k = 8 \cdot 24 = 192$ .

Sonuç:

192

Soru 5Orta

Bir baharat dükkânında

1

ölçek karabiber

3

ölçek pul biberle,

1

ölçek pul biber de

4

ölçek kekikle aynı fiyattadır. Buna göre

2

ölçek karabiberin parasıyla kaç ölçek kekik alınır?

$1$ ölçek karabiber $= 3$ ölçek pul biber, $1$ ölçek pul biber $= 4$ ölçek kekik.
Demek ki $1$ ölçek karabiber $= 3 \cdot 4 = 12$ ölçek kekik değerindedir.
$2$ ölçek karabiber: $2 \cdot 12 = 24$ ölçek kekik.

Sonuç:

24

Soru 6Orta

Bir araç deposundaki yakıtın

\frac{3}{8}

'i harcandığında depoda

40

litre yakıt kalmaktadır. Buna göre depo tam doluyken kaç litre yakıt vardır?

Harcanan $\frac{3}{8}$ ise kalan $1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ 'dir.
Tam depo $x$ olsun: $\frac{5}{8} x = 40$ .
$x = 40 \cdot \frac{8}{5} = 64$ litre.

Sonuç:

64

litre

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Doğru orantı ile ters orantıyı karıştırmak. "İşçi sayısı artınca süre azalır" gibi açıkça ters orantılı durumda doğru orantı kurmak (ör. $\frac{6}{10} = \frac{4}{t}$ ) en sık yapılan hatadır. Önce yön kontrolü yap: çoklukların biri artarken diğeri artıyor mu, azalıyor mu?
Birimleri eşitlememek. $2$ saat ile $30$ dakikayı oranlarken birini çevirmeden $\frac{2}{30}$ yazmak yanlıştır; ikisini de aynı birime getir.
Oranı doğrudan değer sanmak. $a : b = 3 : 5$ ifadesi $a = 3, b = 5$ demek değildir; $a = 3 k, b = 5 k$ demektir. Ek koşul ( $a + b$ , $a - b$ vb.) olmadan $a$ ve $b$ tek tek bulunamaz.

Sınav İpucu

Yön testi: "Biri artarken diğeri de artıyorsa" doğru orantı kur (oranları eşitle: $\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$ ). "Biri artarken diğeri azalıyorsa" ters orantı kur (çarpımları eşitle: $x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$ ).
Klasik ters orantılar: işçi sayısı–süre, hız–zaman (sabit yolda), musluk sayısı–doldurma süresi. Soruda bunları görünce refleksle çarpımı sabit tut.
Oran paylaştırma sorularında her zaman ortak $k$ tekniğini kullan: $a : b : c = p : q : r$ ise $a = p k, b = q k, c = r k$ yaz, toplamdan $k$ 'yi çek. Bu yöntem işlemi hızlandırır ve hata payını düşürür.

1. Oran

2. Orantı ve İçler–Dışlar Çarpımı

3. Doğru Orantı

4. Ters Orantı

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Oran-Orantı ve Problemler — diğer konular