çözümebak

TYT Matematik · Oran-Orantı ve Problemler

Karışım Problemleri

~8 dk okumaZorluk: Zor18 çözümlü soru

Karışım problemleri, içinde belli bir oranda saf madde (tuz, alkol, şeker vb.) bulunan çözeltilerin birleştirilmesi, seyreltilmesi veya yoğunlaştırılması üzerine kurulur. Tek bir ilkeyi sağlam kavrarsan tüm soru tipleri aynılaşır: saf madde miktarı korunur. Bu konu, o ilkeyi tablo yöntemiyle kusursuz uygulamayı öğretir.

1. Temel İlke: Madde Miktarı Korunur

Bir karışımda iki büyüklük vardır: toplam miktar (çözeltinin tamamı) ve saf madde miktarı (içindeki tuz, alkol vb.). Yüzde oran, bu ikisini birbirine bağlar:

\text{Saf madde miktarı}=\text{yüzde oran}\cdot\text{toplam miktar}

İki karışım birleştiğinde hem saf madde miktarları hem de toplam miktarlar ayrı ayrı toplanır. Yeni karışımın oranı ise bu iki toplamın bölümüdür:

\text{Yeni oran}=\dfrac{\text{toplam saf madde}}{\text{toplam miktar}}

Buradaki en kritik nokta: yüzde oranlar doğrudan toplanmaz veya ortalanmaz. Önce her karışımın saf madde miktarını ayrı ayrı bulup toplarsın, sonra yeni oranı hesaplarsın.

Su Eklemek ve Buharlaşma

İşlemSaf maddeToplam miktarOran
Saf su eklemekDeğişmezArtarDüşer (seyrelir)
Su buharlaşırDeğişmezAzalırArtar (yoğunlaşır)
Saf madde eklemekArtarArtarArtar

Saf su eklerken veya su buharlaşırken saf madde miktarı asla değişmez; yalnızca toplam miktar değişir. Denklemi her zaman bu sabit madde miktarı üzerinden kurarsın.

2. Karışım Tablosu Yöntemi

Hatayı en aza indiren yol, her karışımı bir satıra yazıp üç sütun tutmaktır: oran, miktar ve madde. Sütunlar arasında ilişki sabittir:

\text{oran}\cdot\text{miktar}=\text{madde}

Karışımları alt alta yazar, miktar ve madde sütunlarını toplar, en alttaki satırda yeni oranı \dfrac{\text{madde toplamı}}{\text{miktar toplamı}} ile bulursun. Bilinmeyen x hangi sütunda gerekiyorsa oraya yerleştirip denklemi kurarsın.

Örnek
Soru

\%20 tuzlu 50 litrelik çözeltiye 50 litre saf su eklenirse yeni tuz oranı kaç olur?

  1. Saf su, tuz miktarını değiştirmez; önce mevcut tuzu bul: 0{,}20\cdot 50=10 litre tuz.

  2. Toplam miktar artar: 50+50=100 litre.

  3. Tuz sabit kaldı, toplam 100 litre oldu. Yeni oran: \dfrac{10}{100}=0{,}10=\%10.

Sonuç: Yeni tuz oranı \%10'dur.
Örnek
Soru

\%30 tuzlu 40 litrelik çözelti ile \%10 tuzlu 60 litrelik çözelti karıştırılırsa elde edilen karışımın tuz oranı kaç olur?

Yüzdeleri toplama. Her çözeltinin tuz miktarını ayrı ayrı bul, sonra topla.

  1. Birinci çözeltinin tuzu: 0{,}30\cdot 40=12 litre.

  2. İkinci çözeltinin tuzu: 0{,}10\cdot 60=6 litre.

  3. Toplam tuz: 12+6=18 litre. Toplam miktar: 40+60=100 litre.

  4. Yeni oran: \dfrac{18}{100}=\%18.

Sonuç: Karışımın tuz oranı \%18'dir.
Örnek
Soru

\%25 alkollü 80 litrelik çözeltiden kaç litre su buharlaşırsa alkol oranı \%40 olur?

Buharlaşan su, alkol miktarını değiştirmez. Alkol sabit; sadece toplam miktar azalır.

  1. Alkol miktarını bul (buharlaşmada sabit kalır): 0{,}25\cdot 80=20 litre.

  2. Buharlaşan su miktarına x de; yeni toplam miktar 80-x olur.

  3. Yeni oran \%40 olacağından denklemi kur: \dfrac{20}{80-x}=0{,}40.

  4. Çözümle: 80-x=\dfrac{20}{0{,}40}=50 \Rightarrow x=80-50=30.

Sonuç: 30 litre su buharlaşmalıdır.
Örnek
Soru

\%40 tuzlu çözeltiden 30 litre alınıp üzerine saf sudan kaç litre eklenirse karışımın tuz oranı \%24 olur?

  1. Tuz miktarını bul (su eklerken sabit kalır): 0{,}40\cdot 30=12 litre.

  2. Eklenen su x litre olsun; yeni toplam miktar 30+x olur.

  3. Yeni oran \%24 için denklem: \dfrac{12}{30+x}=0{,}24.

  4. Çözümle: 30+x=\dfrac{12}{0{,}24}=50 \Rightarrow x=50-30=20.

Sonuç: 20 litre su eklenmelidir.
Örnek
Soru

\%50 tuzlu 20 litrelik çözeltiye kaç litre saf tuz eklenirse karışımın tuz oranı \%60 olur?

Bu kez eklenen saf maddedir; hem madde sütunu hem miktar sütunu x kadar artar.

  1. Başlangıçtaki tuz: 0{,}50\cdot 20=10 litre.

  2. Eklenen saf tuz x litre olsun. Yeni tuz: 10+x, yeni toplam: 20+x.

  3. Denklemi kur: \dfrac{10+x}{20+x}=0{,}6.

  4. İçler dışlar çarpımı: 10+x=0{,}6\,(20+x)=12+0{,}6x.

  5. Düzenle: x-0{,}6x=12-10 \Rightarrow 0{,}4x=2 \Rightarrow x=5.

Sonuç: 5 litre saf tuz eklenmelidir.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

\%20 tuzlu kaç litrelik çözelti, \%50 tuzlu 40 litrelik çözelti ile karıştırılırsa karışımın tuz oranı \%35 olur?

  1. Aranan miktara x de. Birinci çözeltinin tuzu: 0{,}20\,x, ikincinin tuzu: 0{,}50\cdot 40=20 litre.

  2. Yeni oran denklemi: \dfrac{0{,}20x+20}{x+40}=0{,}35.

  3. İçler dışlar: 0{,}20x+20=0{,}35\,(x+40)=0{,}35x+14.

  4. Düzenle: 20-14=0{,}35x-0{,}20x \Rightarrow 6=0{,}15x \Rightarrow x=40.

Sonuç: 40 litre olmalıdır.
Örnek
Soru

\%15 tuzlu 60 litrelik çözeltiye kaç litre saf tuz eklenirse tuz oranı \%25 olur?

  1. Başlangıçtaki tuz: 0{,}15\cdot 60=9 litre.

  2. Eklenen saf tuz x litre olsun. Yeni tuz: 9+x, yeni toplam: 60+x.

  3. Denklem: \dfrac{9+x}{60+x}=0{,}25.

  4. İçler dışlar: 9+x=0{,}25\,(60+x)=15+0{,}25x.

  5. Düzenle: x-0{,}25x=15-9 \Rightarrow 0{,}75x=6 \Rightarrow x=8.

Sonuç: 8 litre saf tuz eklenmelidir.
Örnek
Soru

\%40 alkollü 90 litrelik çözeltiye kaç litre saf su eklenirse alkol oranı \%30 olur?

  1. Alkol miktarını bul (su eklerken sabit kalır): 0{,}40\cdot 90=36 litre.

  2. Eklenen su x litre olsun; yeni toplam 90+x olur.

  3. Denklem: \dfrac{36}{90+x}=0{,}30.

  4. Çözümle: 90+x=\dfrac{36}{0{,}30}=120 \Rightarrow x=120-90=30.

Sonuç: 30 litre su eklenmelidir.
Örnek
Soru

\%10 tuzlu bir çözelti ile \%30 tuzlu bir çözelti eşit miktarda karıştırılırsa karışımın tuz oranı kaç olur?

Miktarlar eşit olduğundan her birine a litre diyebilirsin.

  1. Her iki çözelti de a litre olsun. Birinci tuz: 0{,}10a, ikinci tuz: 0{,}30a.

  2. Toplam tuz: 0{,}10a+0{,}30a=0{,}40a. Toplam miktar: a+a=2a.

  3. Yeni oran: \dfrac{0{,}40a}{2a}=0{,}20=\%20.

Sonuç: Karışımın tuz oranı \%20'dir.
Örnek
Soru

\%12 tuzlu 50 litrelik çözeltiden kaç litre su buharlaşırsa tuz oranı \%20 olur?

  1. Tuz miktarını bul (buharlaşmada sabittir): 0{,}12\cdot 50=6 litre.

  2. Buharlaşan su x litre olsun; yeni toplam 50-x olur.

  3. Denklem: \dfrac{6}{50-x}=0{,}20.

  4. Çözümle: 50-x=\dfrac{6}{0{,}20}=30 \Rightarrow x=50-30=20.

Sonuç: 20 litre su buharlaşmalıdır.
Örnek
Soru

\%25 tuzlu 60 litrelik çözeltiden 12 litre alınıp atılıyor; ardından kabın hacmi tekrar 60 litre olacak şekilde saf su ekleniyor. Son karışımın tuz oranı kaç olur?

Çözeltiden bir miktar almak, o miktardaki tuzu da uzaklaştırır.

  1. Başlangıçtaki tuz: 0{,}25\cdot 60=15 litre.

  2. Alınan 12 litre çözeltideki tuz: 0{,}25\cdot 12=3 litre. Kalan tuz: 15-3=12 litre, kalan hacim 60-12=48 litre.

  3. Hacmi 60 litreye tamamlamak için 12 litre saf su eklenir; bu su tuzu değiştirmez. Yeni toplam 60 litre, tuz 12 litre.

  4. Yeni oran: \dfrac{12}{60}=0{,}20=\%20.

Sonuç: Son karışımın tuz oranı \%20'dir.
Örnek
Soru

Tuz oranı bilinmeyen 100 litrelik bir çözeltiye 25 litre saf su eklenince oran \%20 oluyor. Başlangıçtaki tuz oranı kaçtır?

  1. Su eklemek tuzu değiştirmez; son karışımdaki tuzu bul: 0{,}20\cdot(100+25)=0{,}20\cdot 125=25 litre.

  2. Bu 25 litre tuz başlangıçtaki 100 litrede de vardı.

  3. Başlangıç oranı: \dfrac{25}{100}=0{,}25=\%25.

Sonuç: Başlangıçtaki tuz oranı \%25'tir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Tuz oranı \%30 olan 40 litrelik bir çözelti ile tuz oranı \%10 olan 60 litrelik bir çözelti karıştırılıyor. Karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

A) 16 · B) 17 · C) 18 · D) 19 · E) 20

  1. Birinci çözeltideki tuz: 0{,}30\cdot 40=12 litre.

  2. İkinci çözeltideki tuz: 0{,}10\cdot 60=6 litre.

  3. Toplam tuz 18 litre, toplam hacim 100 litre. Oran: \dfrac{18}{100}=\%18.

Sonuç: C) 18
Örnek
Soru

Tuz oranı \%20 olan 80 litrelik bir çözeltiden 20 litre alınıp yerine aynı miktarda saf su ekleniyor. Son karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

A) 15 · B) 18 · C) 20 · D) 22 · E) 25

  1. Başlangıçtaki tuz: 0{,}20\cdot 80=16 litre.

  2. Alınan 20 litredeki tuz: 0{,}20\cdot 20=4 litre. Kalan tuz: 16-4=12 litre.

  3. Saf su eklenince tuz değişmez; hacim yine 80 litre. Oran: \dfrac{12}{80}=\dfrac{3}{20}=\%15.

Sonuç: A) 15
Örnek
Soru

Şeker oranı \%40 olan 30 litrelik bir içeceğe, şeker oranı \%10 olan 70 litrelik bir içecek ekleniyor. Karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

A) 15 · B) 16 · C) 17 · D) 18 · E) 19

  1. Birinci içecekteki şeker: 0{,}40\cdot 30=12 litre.

  2. İkinci içecekteki şeker: 0{,}10\cdot 70=7 litre.

  3. Toplam şeker 19 litre, toplam hacim 100 litre. Oran: \dfrac{19}{100}=\%19.

Sonuç: E) 19
Örnek
Soru

Tuz oranı \%25 olan 60 litrelik bir çözeltiye, tuz oranı bilinmeyen 40 litrelik bir çözelti ekleniyor. Oluşan karışımın tuz oranı \%19 olduğuna göre eklenen çözeltinin tuz oranı yüzde kaçtır?

A) 8 · B) 10 · C) 12 · D) 14 · E) 15

Karışımın toplam tuzu \%19\cdot 100=19 litredir. Birinci çözeltinin tuzunu çıkararak ikincisinin tuzunu bul.

  1. Toplam hacim 60+40=100 litre; karışımın tuzu 0{,}19\cdot 100=19 litre.

  2. Birinci çözeltinin tuzu: 0{,}25\cdot 60=15 litre. İkinci çözeltinin tuzu: 19-15=4 litre.

  3. İkinci çözelti 40 litre olduğundan oranı: \dfrac{4}{40}=0{,}10=\%10.

Sonuç: B) 10
Örnek
Soru

Tuz oranı \%20 olan 50 litrelik bir çözeltiden kaç litre su buharlaşırsa tuz oranı \%25 olur?

A) 8 · B) 10 · C) 12 · D) 15 · E) 20

Buharlaşan su tuzu değiştirmez; tuz sabit, yalnızca toplam hacim azalır.

  1. Tuz miktarı (sabit): 0{,}20\cdot 50=10 litre.

  2. Buharlaşan su x olsun; yeni hacim 50-x. Denklem: \dfrac{10}{50-x}=0{,}25.

  3. Çöz: 50-x=\dfrac{10}{0{,}25}=40\Rightarrow x=10.

Sonuç: B) 10
Örnek
Soru

Tuz oranı \%20 olan 80 litrelik bir çözeltiye kaç litre saf tuz eklenirse tuz oranı \%36 olur?

A) 16 · B) 18 · C) 20 · D) 24 · E) 28

Saf tuz eklenince hem tuz sütunu hem toplam hacim x kadar artar.

  1. Başlangıç tuzu: 0{,}20\cdot 80=16 litre. Eklenen saf tuz x litre olsun.

  2. Yeni tuz 16+x, yeni hacim 80+x. Denklem: \dfrac{16+x}{80+x}=0{,}36.

  3. İçler dışlar: 16+x=0{,}36(80+x)=28{,}8+0{,}36x.

  4. Düzenle: x-0{,}36x=28{,}8-16\Rightarrow 0{,}64x=12{,}8\Rightarrow x=20.

Sonuç: C) 20

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Her soruda saf madde miktarını ayrı bir sütunda izle ve "madde miktarı korunur" ilkesiyle denklem kur. Karışımları oran × miktar = madde biçiminde bir tabloya dök; bilinmeyeni doğru sütuna yerleştir, miktar ve madde toplamlarını al. Bu düzen, yüzdeleri yanlışlıkla toplama hatasını tamamen ortadan kaldırır ve TYT'de bu soruları saniyeler içinde çözmeni sağlar.

Oran-Orantı ve Problemler — diğer konular