TYT Matematik · Oran-Orantı ve Problemler

Yüzde, Kâr-Zarar ve Faiz Problemleri

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~12 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlık

Yüzde, kâr-zarar ve faiz; TYT'nin her yıl tekrar eden, hesaplaması basit ama tuzakları çok olan konularıdır. İşin sırrı yüzdeleri çarpan olarak görmektir: $%20$ artış $\times 1, 2$ , $%20$ azalış $\times 0, 8$ demektir. Bu mantıkla zam, indirim, kâr ve basit faiz problemlerinin tamamını tek bir bakış açısıyla çözeceğiz.

1. Yüzde Hesabı

Bir $x$ sayısının $% a$ 'sı, o sayının $\frac{a}{100}$ katıdır:

$x say ı s ı n ı n % a ’s ı = \frac{a}{100} \cdot x$

Yüzdeleri kesirle eşleştirmek hesabı hızlandırır:

$%20 = \frac{20}{100} = \frac{1}{5}, %25 = \frac{1}{4}, %50 = \frac{1}{2}, %10 = \frac{1}{10}$

Örneğin $200$ sayısının $%15$ 'i:

$\frac{15}{100} \cdot 200 = \frac{3000}{100} = 30$

2. Zam (Artış) ve İndirim (Azalış)

Bir değere $% a$ zam yapılırsa yeni değer, eski değerin $(1 + \frac{a}{100})$ katı; $% a$ indirim yapılırsa $(1 - \frac{a}{100})$ katı olur:

$Zam: x \cdot (1 + \frac{a}{100}), \dot{I} ndirim: x \cdot (1 - \frac{a}{100})$

İşlem	Çarpan
$%20$ zam	$1, 20$
$%25$ zam	$1, 25$
$%20$ indirim	$0, 80$
$%25$ indirim	$0, 75$

Püf noktası: "Zamdan önceki fiyat" sorularında $%20$ 'yi çıkarmaya çalışma; yeni fiyatı çarpana böl. Çünkü zam, eski fiyat üzerinden hesaplanır.

3. Ardışık Zam ve İndirim

Birden çok yüzde değişimi üst üste gelirse yüzdeler toplanmaz; çarpanlar çarpılır. Önce $%20$ zam, sonra $%20$ indirim yapılan bir fiyat için:

$1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$

Sonuç ilk fiyatın $%96$ 'sıdır; yani toplamda $%4$ azalma olur. "Zam ve indirim eşit, fiyat değişmez" demek yanlıştır.

4. Kâr ve Zarar

Bir malın maliyeti (alış fiyatı) ile satış fiyatı arasındaki fark kâr ya da zarardır:

$K \overset{a}{ˆ} r = Sat ı \overset{s}{¸} - Maliyet, Zarar = Maliyet - Sat ı \overset{s}{¸}$

TYT'de kâr/zarar yüzdesi, aksi belirtilmedikçe maliyet üzerinden hesaplanır:

$K \overset{a}{ˆ} r % = \frac{K a ˆ r}{Maliyet} \cdot 100, Zarar % = \frac{Zarar}{Maliyet} \cdot 100$

Buna göre $%25$ kârla satış demek, satış fiyatının maliyetin $1, 25$ katı olması demektir.

5. Basit Faiz

Basit faizde faiz, her dönem yalnızca anapara üzerinden hesaplanır (kazanılan faiz tekrar faiz getirmez). Faiz oranı yıllık ve zaman yıl cinsinden ise:

$Faiz = \frac{Anapara \cdot faiz oran ı ( % ) \cdot zaman}{100}$

Vade sonunda toplam birikim, anapara ile faizin toplamıdır. Zaman ay olarak verilirse yıla çevrilir: $6$ ay $= \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ yıl.

Örnek

Soru

$200$ sayısının $%15$ 'i kaçtır?

Yüzde formülünü uygula: $\frac{15}{100} \cdot 200$ .
Sadeleştir: $\frac{15 \cdot 200}{100} = \frac{3000}{100} = 30$ .

Sonuç:

200

sayısının

%15

30

'dur.

Örnek

Soru

Bir ürüne $%20$ zam yapılınca fiyatı $240$ TL oluyor. Zamdan önceki fiyat kaç TL'dir?

Zam, eski fiyat üzerinden yapılır. Eski fiyat $x$ ise yeni fiyat $1, 2 \cdot x$ olur. $240$ TL'den $%20$ çıkarma; $1, 2$ 'ye böl.

Eski fiyat $x$ olsun; $%20$ zamlı fiyat $1, 2 \cdot x$ 'tir.
Denklemi kur: $1, 2 \cdot x = 240$ .
Çöz: $x = \frac{240}{1 , 2} = 200$ .

Sonuç: Zamdan önceki fiyat

200

TL'dir.

Örnek

Soru

Maliyeti $80$ TL olan bir ürün $%25$ kârla satılıyor. Satış fiyatı ve kâr kaç TL'dir?

$%25$ kâr, çarpan olarak $1, 25$ demektir: Satış $= 80 \cdot 1, 25$ .
Hesapla: $80 \cdot 1, 25 = 100$ TL.
Kârı bul: $K \overset{a}{ˆ} r = Sat ı \overset{s}{¸} - Maliyet = 100 - 80 = 20$ TL.

Sonuç: Satış fiyatı

100

TL, kâr

20

TL'dir.

Örnek

Soru

Bir mala önce $%20$ zam, sonra $%20$ indirim yapılıyor. Son fiyat, ilk fiyatın yüzde kaçıdır?

Ardışık değişimlerde yüzdeleri toplama; çarpanları çarp. $%20$ zam $= 1, 2$ , $%20$ indirim $= 0, 8$ .

İlk fiyat $x$ olsun. $%20$ zamdan sonra: $1, 2 \cdot x$ .
Bu fiyata $%20$ indirim: $1, 2 \cdot x \cdot 0, 8$ .
Çarpanları çarp: $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ , yani son fiyat $0, 96 \cdot x$ .
Demek ki son fiyat ilk fiyatın $%96$ 'sıdır; toplamda $%4$ azalma vardır.

Sonuç: Son fiyat, ilk fiyatın

%96

'sıdır (

%4

azalma).

Örnek

Soru

$1000$ TL, yıllık $%10$ basit faizle $2$ yıl yatırılıyor. Elde edilen faiz ve vade sonundaki toplam kaç TL'dir?

Basit faiz formülünü yaz: $Faiz = \frac{Anapara \cdot oran \cdot zaman}{100}$ .
Değerleri yerine koy: $Faiz = \frac{1000 \cdot 10 \cdot 2}{100}$ .
Hesapla: $\frac{20000}{100} = 200$ TL.
Toplamı bul: $1000 + 200 = 1200$ TL.

Sonuç: Faiz

200

TL, vade sonu toplam

1200

TL'dir.

Örnek

Soru

Bir ürün $150$ TL'ye alınıp $120$ TL'ye satılıyor. Zarar yüzdesi kaçtır?

Zarar yüzdesi maliyet üzerinden hesaplanır: $\frac{Zarar}{Maliyet} \cdot 100$ .

Zararı bul: $Zarar = Maliyet - Sat ı \overset{s}{¸} = 150 - 120 = 30$ TL.
Maliyete oranla: $\frac{30}{150} = \frac{1}{5}$ .
Yüzdeye çevir: $\frac{1}{5} = %20$ .

Sonuç: Zarar yüzdesi

%20

'dir.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$360$ sayısının $%35$ 'i kaçtır?

Yüzde formülünü uygula: $\frac{35}{100} \cdot 360$ .
Hesapla: $\frac{35 \cdot 360}{100} = \frac{12600}{100} = 126$ .

Sonuç:

360

sayısının

%35

126

'dır.

Örnek

Soru

Fiyatı $480$ TL olan bir ürüne $%15$ indirim yapılıyor. İndirimli fiyat kaç TL'dir?

$%15$ indirim, çarpan olarak $1 - 0, 15 = 0, 85$ demektir.
Yeni fiyat: $480 \cdot 0, 85$ .
Hesapla: $480 \cdot 0, 85 = 408$ TL.

Sonuç: İndirimli fiyat

408

TL'dir.

Örnek

Soru

Maliyeti $240$ TL olan bir ürün $%30$ zararla satılıyor. Satış fiyatı kaç TL'dir?

$%30$ zarar, çarpan olarak $1 - 0, 30 = 0, 70$ demektir: Satış $= 240 \cdot 0, 70$ .
Hesapla: $240 \cdot 0, 70 = 168$ TL.

Sonuç: Satış fiyatı

168

TL'dir.

Örnek

Soru

Bir mala önce $%50$ zam, sonra $%20$ indirim yapılıyor. Son fiyat ilk fiyatın yüzde kaçıdır?

Ardışık değişimlerde çarpanları çarp. $%50$ zam $= 1, 5$ , $%20$ indirim $= 0, 8$ .

İlk fiyat $x$ olsun. $%50$ zamdan sonra: $1, 5 \cdot x$ .
Bu fiyata $%20$ indirim: $1, 5 \cdot x \cdot 0, 8$ .
Çarpanları çarp: $1, 5 \cdot 0, 8 = 1, 2$ , yani son fiyat $1, 2 \cdot x$ .
Demek ki son fiyat ilk fiyatın $%120$ 'sidir; toplamda $%20$ artış vardır.

Sonuç: Son fiyat, ilk fiyatın

%120

'sidir (

%20

artış).

Örnek

Soru

$2500$ TL, yıllık $%12$ basit faizle $8$ ay süreyle yatırılıyor. Vade sonundaki toplam birikim kaç TL'dir?

Faiz oranı yıllık, süre ay olarak verilmiş. Önce ayı yıla çevir: $8$ ay $= \frac{8}{12}$ yıl.

Basit faiz formülünü yaz: $Faiz = \frac{Anapara \cdot oran \cdot zaman}{100}$ .
Zamanı yıla çevir: $8$ ay $= \frac{8}{12}$ yıl.
Değerleri yerine koy: $Faiz = \frac{2500 \cdot 12 \cdot \frac{8}{12}}{100} = \frac{2500 \cdot 8}{100} = 200$ TL.
Toplamı bul: $2500 + 200 = 2700$ TL.

Sonuç: Vade sonu toplam birikim

2700

TL'dir.

Örnek

Soru

Bir esnaf bir ürünü $%20$ kârla $480$ TL'ye satıyor. Bu ürünün maliyeti kaç TL'dir?

$%20$ kâr, satışın maliyetin $1, 2$ katı olması demektir. Maliyeti bulmak için satışı çarpana böl.

Maliyet $m$ olsun; $%20$ kârlı satış $1, 2 \cdot m$ 'dir.
Denklemi kur: $1, 2 \cdot m = 480$ .
Çöz: $m = \frac{480}{1 , 2} = 400$ TL.

Sonuç: Ürünün maliyeti

400

TL'dir.

Örnek

Soru

Bir miktar para yıllık $%15$ basit faizle $2$ yıl yatırıldığında $1800$ TL faiz getiriyor. Yatırılan anapara kaç TL'dir?

Basit faiz formülünde bilinmeyen anaparadır. Faizi, oranı ve zamanı yerine koyup denklemi anapara için çöz.

Basit faiz formülünü yaz: $Faiz = \frac{Anapara \cdot oran \cdot zaman}{100}$ .
Bilinenleri yerine koy: $1800 = \frac{A \cdot 15 \cdot 2}{100}$ .
Sadeleştir: $1800 = \frac{30 A}{100} = 0, 3 \cdot A$ .
Çöz: $A = \frac{1800}{0 , 3} = 6000$ TL.

Sonuç: Yatırılan anapara

6000

TL'dir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Yüzde hesabı ve artış/azalış çarpanı: Yeni fiyat istenirken yalnızca artış miktarını vermek 455 yerine 105
Kâr-zarar: yüzde daima maliyet üzerinden: Yüzdeyi TL sanıp maliyete doğrudan eklemek 160+35 = 195
Ardışık yüzde değişimi (zincirleme çarpan): Yüzdeleri toplayıp çıkarmak (%25 zam − %20 indirim) %5 artış — doğrusu 1,25⋅0,8 = 1, fiyat değişmez
Yüzdesi verilen değerden bütünü (orijinali) bulmak: İndirimli fiyata aynı yüzdeyi geri eklemek 340⋅1,15 = 391 — doğrusu 400
Etiket-indirim-kâr zinciri (esnaf sorusu): Yüzdeleri toplayıp çıkarmak (%60 − %25) %35 kâr — doğrusu 1,6⋅0,75 = 1,2 ⇒ %20
Basit faiz (yıllık oran, gerekirse ay→yıl çevrimi): Ayı yıla çevirmeden zamanı 18 almak 900 yerine 10800

Soru 1Kolay

Bir ürün

%25

kârla satıldığında

500

TL gelir elde ediliyor. Bu ürünün maliyeti kaç TL'dir?

Maliyet $M$ olsun. $%25$ kârla satış fiyatı $1, 25 M = 500$ .
$M = \frac{500}{1 , 25} = 400$ TL.

Sonuç:

400

Soru 2Kolay

Bir mağaza etiket fiyatına önce

%20

indirim, ardından indirimli fiyata

%10

zam uyguluyor. Etiket fiyatı

200

TL olan bir ürünün son satış fiyatı kaç TL'dir?

İndirim: $200 \cdot 0, 8 = 160$ TL.
Zam: $160 \cdot 1, 1 = 176$ TL.

Sonuç:

176

Soru 3Orta

Bir miktar para yıllık

%12

basit faizle

3

yıl yatırıldığında

1080

TL faiz getiriyor. Yatırılan anapara kaç TL'dir?

$1080 = \frac{A \cdot 12 \cdot 3}{100} = \frac{36 A}{100}$ .
$A = \frac{1080 \cdot 100}{36} = 3000$ TL.

Sonuç:

3000

Soru 4Orta

Bir markette bir ürünün fiyatına önce

%20

zam yapılıyor, bir hafta sonra yeni fiyat üzerinden

%25

indirim uygulanıyor. Bu iki işlem sonunda ürünün ilk fiyatına göre net değişimi nedir?

İlk fiyat $x$ olsun. $%20$ zam: $1, 2 x$ . Üzerine $%25$ indirim: $1, 2 x \cdot 0, 75$ .
Çarpanları çarp: $1, 2 \cdot 0, 75 = 0, 90$ , yani son fiyat $0, 90 x$ .
Son fiyat ilk fiyatın $%90$ 'ı; net $%10$ azalış vardır.

Sonuç:

%10

azalış

Soru 5Orta

Bir esnaf, maliyeti

M

olan bir ürünü maliyetinin

%50

fazlasına etiketliyor; ancak müşteriye etiket fiyatından

%20

indirim yapıyor. Esnafın bu satıştan elde ettiği kâr, maliyetin yüzde kaçıdır?

Etiket fiyatı: $1, 5 M$ . İndirimli satış: $1, 5 M \cdot 0, 8 = 1, 2 M$ .
Kâr: $1, 2 M - M = 0, 2 M$ .
Kâr yüzdesi: $\frac{0 , 2 M}{M} \cdot 100 = %20$ .

Sonuç:

%20

Soru 6Zor

4000

TL, yıllık

%18

basit faizle

5

ay süreyle yatırılıyor. Vade sonundaki toplam birikim kaç TL'dir?

Basit faiz: $Faiz = \frac{Anapara \cdot oran \cdot zaman}{100}$ , zaman $= \frac{5}{12}$ yıl.
Yerine koy: $Faiz = \frac{4000 \cdot 18 \cdot \frac{5}{12}}{100} = \frac{4000 \cdot 18 \cdot 5}{1200} = \frac{360000}{1200} = 300$ TL.
Toplam: $4000 + 300 = 4300$ TL.

Sonuç:

4300

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Ardışık zam-indirimi toplamak: $%20$ zam ile $%20$ indirim "birbirini götürür, değişim olmaz" sanmak yanlıştır. Çarpanları çarp: $1, 2 \cdot 0, 8 = 0, 96$ , yani $%4$ kayıp olur.
Kâr yüzdesini satış üzerinden almak: TYT'de kâr/zarar yüzdesi maliyet üzerinden hesaplanır. Pay'a kârı, payda'ya maliyeti yaz.
"Önceki fiyatı" yanlış bulmak: Zamlı fiyattan doğrudan $%20$ çıkarmak hatalıdır; çarpana ( $1, 2$ 'ye) bölmek gerekir.
Faizde zamanı çevirmemek: Faiz oranı yıllık verilip süre ay ise, ayı yıla çevir ( $8$ ay $= \frac{8}{12}$ yıl).

Sınav İpucu

Tüm yüzde değişimlerini çarpanla yürüt: $%20$ artış $\to 1, 2$ , $%20$ azalış $\to 0, 8$ , $%25$ kâr $\to 1, 25$ . Ardışık değişimlerde bu çarpanları çarpman yeterlidir.
"Önceki/orijinal fiyat" istenen sorularda çarpana böl; "yeni/son fiyat" istenenlerde çarpanla çarp.
Kâr-zarar ve basit faizde her zaman önce referansı (maliyet mi, anapara mı) belirle; oran daima onun üzerinden işler.

1. Yüzde Hesabı

2. Zam (Artış) ve İndirim (Azalış)

3. Ardışık Zam ve İndirim

4. Kâr ve Zarar

5. Basit Faiz

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Oran-Orantı ve Problemler — diğer konular