TYT Matematik · Oran-Orantı ve Problemler

Hareket (Hız) Problemleri

~9 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruTYT'de ~12 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlık

Hareket problemleri, yol – hız – zaman arasındaki tek bir bağıntıya dayanır: $x = v \cdot t$ . TYT'de bu konu birim dönüşümü, karşılıklı/aynı yönde hareket ve ortalama hız soruları olarak çıkar. Püf noktası neredeyse her zaman birim uyumu ve doğru bağıntıyı kurmaktır. Bu derste temel formülden başlayıp sınavda en sık çıkan tüm tipleri çözeceğiz.

1. Temel Bağıntı: Yol = Hız · Zaman

Sabit hızla giden bir cismin aldığı yol, hızı ile geçen zamanın çarpımıdır:

$x = v \cdot t$

Burada $x$ yol, $v$ hız, $t$ zamandır. Bu tek bağıntıdan diğer iki büyüklük çekilir:

$v = \frac{x}{t} ve t = \frac{x}{v}$

Üç büyüklükten ikisi verildiğinde üçüncüsü daima bulunur. Aklında bir " $x = v \cdot t$ üçgeni" tut: üstte $x$ , altta $v$ ve $t$ yan yana; aradığını kapat, geriye kalan işlemi oku.

Birim Uyumu

Bağıntının doğru çalışması için birimlerin uyumlu olması şarttır:

Hız	Yol	Zaman
km/saat	km	saat
m/saniye	m	saniye

Dikkat: Hız km/saat ise zaman saat cinsinden olmalı. $30$ dakika $= \frac{1}{2}$ saat, $45$ dakika $= \frac{3}{4}$ saat. Soruda dakika verilip hız km/saat ise, önce dakikayı saate çevir.

Bir hız birimini diğerine çevirirken $1 km = 1000 m$ ve $1 saat = 3600 saniye$ kullanılır:

$1 \frac{km}{saat} = \frac{1000 m}{3600 s} = \frac{5}{18} \frac{m}{s}$

2. Karşılıklı (Zıt Yönde) Hareket

İki araç birbirine doğru hareket ediyorsa, aralarındaki mesafe her iki hızın toplamı kadar bir hızla kapanır. İlk mesafe $x$ , hızlar $v_{1}$ ve $v_{2}$ ise karşılaşma süresi:

$t = \frac{x}{v _{1} + v _{2}}$

Mantık: bir saniyede ilk araç $v_{1}$ , diğeri $v_{2}$ kadar yol alır; aradaki boşluk toplam $v_{1} + v_{2}$ kadar azalır.

3. Aynı Yönde Hareket

İki araç aynı yönde giderse, arkadaki öndekine hızların farkı kadar bir hızla yaklaşır. Arkadaki hızlı araç ( $v_{1}$ ), önündeki yavaş aracı ( $v_{2}$ ) yakalamak için aradaki $x$ mesafesini kapatır:

$t = \frac{x}{v _{1} - v _{2}} (v_{1} > v_{2})$

Özet kural: Karşılıklı harekette hızları topla, aynı yönde harekette çıkar. Karşılaşma/yakalama süresi her zaman aradaki mesafe bölü bu bağıl hızdır.

4. Ortalama Hız

Bir aracın ortalama hızı, hızların aritmetik ortalaması değildir. Daima toplam yolun toplam süreye bölümüdür:

$v_{ort} = \frac{toplam yol}{toplam s u ¨ re}$

Farklı hızlarda geçen sürelerin uzunlukları farklı olduğu için, yavaş giden hız ortalamayı kendine doğru daha çok çeker.

Örnek

Soru

$60$ km/saat hızla giden bir araç $3$ saatte kaç km yol alır?

Bağıntıyı yaz: $x = v \cdot t$ .
Değerleri yerine koy: $x = 60 \cdot 3 = 180$ km.

Sonuç:

180

km.

Örnek

Soru

$240$ km'lik yolu $4$ saatte alan bir aracın hızı kaç km/saattir?

Hız bağıntısını yaz: $v = \frac{x}{t}$ .
Değerleri yerine koy: $v = \frac{240}{4} = 60$ km/saat.

Sonuç:

60

km/saat.

Örnek

Soru

Aralarında $300$ km bulunan iki şehirden aynı anda birbirine doğru iki araç çıkıyor. Hızları $90$ km/saat ve $60$ km/saat olduğuna göre kaç saat sonra karşılaşırlar?

Araçlar birbirine doğru gittiği için aradaki mesafe, hızların toplamı ile kapanır.

Karşılaşma süresi bağıntısı: $t = \frac{x}{v _{1} + v _{2}}$ .
Hızları topla: $v_{1} + v_{2} = 90 + 60 = 150$ km/saat.
Süreyi bul: $t = \frac{300}{150} = 2$ saat.

Sonuç:

2

saat sonra karşılaşırlar.

Örnek

Soru

$80$ km/saat hızla giden bir aracın $50$ km önünde, aynı yönde $60$ km/saat hızla giden başka bir araç vardır. Arkadaki araç öndekini kaç saatte yakalar?

Aynı yönde hareket: arkadaki öndekine hızların farkı kadar bir hızla yaklaşır.

Yakalama süresi bağıntısı: $t = \frac{x}{v _{1} - v _{2}}$ .
Hızların farkını al: $v_{1} - v_{2} = 80 - 60 = 20$ km/saat.
Süreyi bul: $t = \frac{50}{20} = 2, 5$ saat.

Sonuç:

2, 5

saat.

Örnek

Soru

$72$ km/saat hız kaç m/saniyedir?

Çevrim katsayısını kullan: $1 \frac{km}{saat} = \frac{5}{18} \frac{m}{s}$ .
Çarp: $72 \cdot \frac{5}{18} = 4 \cdot 5 = 20$ m/s.

Sonuç:

20

m/saniye.

Örnek

Soru

Bir araç iki şehir arasındaki $120$ km'lik yolu gidişte $60$ km/saat, dönüşte $40$ km/saat hızla almıştır. Aracın bu gidiş-dönüş için ortalama hızı kaç km/saattir?

Ortalama hız, $\frac{60 + 40}{2} = 50$ değildir. Toplam yolu toplam süreye böl.

Gidiş süresi: $t_{1} = \frac{120}{60} = 2$ saat.
Dönüş süresi: $t_{2} = \frac{120}{40} = 3$ saat.
Toplam yol: $120 + 120 = 240$ km. Toplam süre: $2 + 3 = 5$ saat.
Ortalama hız: $v_{ort} = \frac{240}{5} = 48$ km/saat.

Sonuç:

48

km/saat. (Aritmetik ortalama olan

50

'den küçüktür, çünkü yavaş hızla daha uzun süre gidilmiştir.)

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$90$ km/saat hızla giden bir araç $360$ km yolu kaç saatte alır?

Zaman bağıntısını yaz: $t = \frac{x}{v}$ .
Değerleri yerine koy: $t = \frac{360}{90} = 4$ saat.

Sonuç:

4

saat.

Örnek

Soru

$90$ km/saat hızla giden bir araç $40$ dakikada kaç km yol alır?

Birim uyumu için dakikayı saate çevir: $40$ dk $= \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ saat.
Bağıntıyı uygula: $x = v \cdot t = 90 \cdot \frac{2}{3} = 60$ km.

Sonuç:

60

km.

Örnek

Soru

$25$ m/saniye hız kaç km/saattir?

m/s'den km/saat'e geçmek için $\frac{18}{5}$ ile çarp.
Çarp: $25 \cdot \frac{18}{5} = 5 \cdot 18 = 90$ km/saat.

Sonuç:

90

km/saat.

Örnek

Soru

İki şehirden aynı anda birbirine doğru çıkan iki araç $80$ km/saat ve $70$ km/saat hızla gidiyor ve $3$ saat sonra karşılaşıyorlar. İki şehir arasındaki uzaklık kaç km'dir?

Karşılıklı harekette aralarındaki mesafe, hızların toplamı kadar bir hızla kapanır.

Bağıl hızı bul: $v_{1} + v_{2} = 80 + 70 = 150$ km/saat.
Karşılaşana kadar kapanan mesafe, başlangıçtaki uzaklığa eşittir: $x = (v_{1} + v_{2}) \cdot t$ .
Hesapla: $x = 150 \cdot 3 = 450$ km.

Sonuç:

450

km.

Örnek

Soru

$75$ km/saat hızla giden bir aracın $60$ km önünde, aynı yönde sabit hızla giden başka bir araç vardır. Arkadaki araç öndekini tam $4$ saatte yakaladığına göre öndeki aracın hızı kaç km/saattir?

Aynı yönde harekette aradaki mesafe, hızların farkı kadar bir hızla kapanır.

Yakalama bağıntısı: $t = \frac{x}{v _{1} - v _{2}}$ .
Değerleri yerine koy: $4 = \frac{60}{75 - v _{2}}$ .
Eşitlikten: $75 - v_{2} = \frac{60}{4} = 15$ , buradan $v_{2} = 75 - 15 = 60$ km/saat.

Sonuç:

60

km/saat.

Örnek

Soru

Bir araç bir yolu giderken $30$ km/saat, aynı yolu dönerken $60$ km/saat hızla almıştır. Aracın gidiş-dönüş için ortalama hızı kaç km/saattir?

Yol uzunluğunu bilmesen de seçebilirsin; gidiş ve dönüş yolu eşit olduğundan sonuç yol uzunluğundan bağımsızdır.

Tek yön mesafesine pratik olarak $60$ km diyelim (iki hızın ortak katı).
Gidiş süresi: $\frac{60}{30} = 2$ saat. Dönüş süresi: $\frac{60}{60} = 1$ saat.
Toplam yol $= 60 + 60 = 120$ km, toplam süre $= 2 + 1 = 3$ saat.
Ortalama hız: $v_{ort} = \frac{120}{3} = 40$ km/saat.

Sonuç:

40

km/saat.

Örnek

Soru

$200$ metre uzunluğundaki bir tren, $20$ m/saniye sabit hızla giderek $300$ metre uzunluğundaki bir köprüyü baştan sona kaç saniyede geçer?

Tren köprüyü tam geçerken, ön ucunun aldığı yol köprü uzunluğu artı tren uzunluğu kadardır.

Alınması gereken yol: tren boyu $+$ köprü boyu $= 200 + 300 = 500$ m.
Zaman bağıntısı: $t = \frac{x}{v}$ .
Hesapla: $t = \frac{500}{20} = 25$ saniye.

Sonuç:

25

saniye.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Yol = hız × zaman (birim çevirmeli temel hesap): Dakikayı saate çevirmeden çarpmak 72⋅40 = 2880 gibi ölçeksiz dev sayı
Zıt yönde hareket (hızlar toplanır): Hızların farkını almak (aynı yön formülünü kullanmak) 360∕20 = 18 saat — doğrusu 3
Tünel/köprü geçen tren (kendi boyu + köprü boyu): Tren boyunu ihmal edip yalnız köprü boyunu almak 600∕25 = 24 saniye — doğrusu 32
Aynı yönde takip (hızlar farkı ile yetişme): Aynı yönde de hızları toplamak 150∕(90+60) = 1 saat — doğrusu 5
Gecikmeli çıkış (önce yola çıkanın açtığı ara): Süreyi yanlış araca göre vermek (ilk aracın toplam süresini yazmak) 5 yerine 3+5 = 8 saat
Gidiş-dönüş ortalama hız (harmonik ortalama): Aritmetik ortalama almak: (v₁+v₂)÷2 (60+40)∕2 = 50 — doğrusu 48

Soru 1Orta

Aynı noktadan zıt yönlere

60

km/saat ve

40

km/saat hızlarla hareket eden iki araç aralarındaki mesafe

200

km olduğunda kaç saat sonra birbirlerinden

500

km uzakta olurlar?

Zıt yönde giderlerken hızlar **toplanır**: $60 + 40 = 100$ km/saat.
Birbirlerinden uzaklaşmak için kat etmeleri gereken ek mesafe: $500 - 200 = 300$ km.
Süre: $t = \frac{300}{100} = 3$ saat.

Sonuç:

3

Soru 2Orta

Aralarında

480

km bulunan iki şehirden aynı anda birbirine doğru iki tren hareket ediyor. Hızları sırasıyla

100

km/saat ve

60

km/saat olduğuna göre, hareketten kaç saat sonra aralarındaki uzaklık

160

km olur?

Birbirine yaklaşma hızı: $100 + 60 = 160$ km/saat.
Aralarındaki uzaklığın $160$ km'ye düşmesi için kapanması gereken mesafe: $480 - 160 = 320$ km.
Süre: $t = \frac{320}{160} = 2$ saat.

Sonuç:

2

Soru 3Kolay

Uzunluğu

120

m olan bir tren,

20

m/s sabit hızla giderken

280

m uzunluğundaki bir köprüyü tamamen geçmesi kaç saniye sürer?

Alınması gereken yol: $120 + 280 = 400$ m.
$t = \frac{x}{v}$ bağıntısından $t = \frac{400}{20} = 20$ saniye.

Sonuç:

20

Soru 4Kolay

Sabit

90

km/saat hızla giden bir otobüs, bir mola yerinden diğerine

25

dakikada ulaşıyor. İki mola yeri arasındaki uzaklık kaç km'dir?

Zamanı saate çevir: $25$ dk $= \frac{25}{60} = \frac{5}{12}$ saat.
Yol: $x = v \cdot t = 90 \cdot \frac{5}{12} = \frac{450}{12} = 37, 5$ km.

Sonuç:

37, 5

Soru 5Orta

Bir kamyon bir noktadan

60

km/saat sabit hızla yola çıkıyor. Aynı noktadan

2

saat sonra, aynı yönde

80

km/saat hızla bir otomobil hareket ediyor. Otomobil, yola çıkışından kaç saat sonra kamyona yetişir?

Otomobil yola çıktığında kamyon $2$ saatte $60 \cdot 2 = 120$ km ilerlemiştir.
Aynı yönde gidildiği için bağıl hız hızların farkıdır: $80 - 60 = 20$ km/saat.
$120$ km'lik açığı kapatma süresi: $t = \frac{120}{20} = 6$ saat (otomobilin yola çıkışından itibaren).

Sonuç:

6

Soru 6Zor

Bir araç iki şehir arasını gidişte

90

km/saat, dönüşte

60

km/saat hızla almıştır. Gidiş ile dönüş yolu eşit olduğuna göre aracın tüm yolculuk için ortalama hızı kaç km/saattir?

Tek yön mesafesine $180$ km diyelim ( $90$ ve $60$ 'ın ortak katı).
Gidiş süresi: $\frac{180}{90} = 2$ saat. Dönüş süresi: $\frac{180}{60} = 3$ saat.
Toplam yol $360$ km, toplam süre $5$ saat. Ortalama hız: $\frac{360}{5} = 72$ km/saat.

Sonuç:

72

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Birim uyumsuzluğu: Hız km/saat iken zamanı dakika olarak yerine koymak. Önce dakikayı saate çevir ( $30$ dk $= 0, 5$ saat).
Karşılıklı harekette hızları çıkarmak: Araçlar birbirine doğru gidiyorsa hızlar toplanır; yalnızca aynı yönde harekette çıkarılır.
Ortalama hızı aritmetik ortalama sanmak: $v_{ort} = \frac{v _{1} + v _{2}}{2}$ yanlıştır. Doğrusu toplam yol bölü toplam süredir.
Çevrimi ters uygulamak: km/saat'ten m/s'ye geçerken $\frac{5}{18}$ ile çarp; m/s'den km/saat'e geçerken $\frac{18}{5}$ ile çarp.

Sınav İpucu

Her soruda önce $x = v \cdot t$ üçgenini kur; aradığın büyüklüğü kapatıp formülü oku.
Karşılıklı hareketse hızları topla, aynı yönde ise çıkar; karşılaşma/yakalama süresi $= \frac{mesafe}{ba g ˘ ı l h ı z}$ .
Birimleri en başta tek sisteme çevir; km/saat ↔ m/s için $\frac{5}{18}$ katsayısını ezberle.
Ortalama hız sorularında daima toplam yol bölü toplam süre yaz; şıklardaki aritmetik ortalama genellikle çeldiricidir.

1. Temel Bağıntı: Yol = Hız · Zaman

Birim Uyumu

2. Karşılıklı (Zıt Yönde) Hareket

3. Aynı Yönde Hareket

4. Ortalama Hız

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Oran-Orantı ve Problemler — diğer konular