çözümebak

TYT Matematik · Oran-Orantı ve Problemler

Yaş, İşçi ve Havuz Problemleri

~9 dk okumaZorluk: Orta19 çözümlü soru

Yaş ve işçi-havuz problemleri TYT'de neredeyse her yıl çıkan, çözümü tek bir temel ilkeye dayanan klasik sözel sorulardır. Yaşta anahtar, iki kişinin yaş farkının hiç değişmemesidir; işçi-havuzda ise anahtar, herkesin birim zamanda yaptığı işi kesirle yazıp toplamaktır. Bu konu her iki kalıbı da sıfırdan, ezbersiz biçimde kurar.

1. Yaş Problemleri — Temel İlke

Zaman herkes için aynı akar: t yıl geçtiğinde her kişinin yaşına +t eklenir, t yıl önceye gidildiğinde her kişinin yaşından -t çıkarılır. Buradan en kritik sonuç çıkar:

İki kişinin yaş farkı her zaman sabittir. Bugün aradaki fark 5 ise, 20 yıl sonra da 20 yıl önce de fark yine 5'tir. Çünkü ikisi de eşit miktarda yaşlanır.

Bir kişinin bugünkü yaşına x dersek:

Zamanİfade
t yıl sonrax+t
t yıl öncex-t
İki kişinin yaş farkıher an sabit
n kişinin yaşları toplamı t yıl sonra(bugünkü toplam) +\,n\cdot t

Son satıra dikkat: t yıl sonra toplam, kişi sayısı kadar t artar. Üç kişinin yaşları toplamı 4 yıl sonra 3\cdot 4=12 artar.

2. İşçi ve Havuz Problemleri — Birim Zamanda İş

Tüm işi 1 (yani "bir bütün") kabul ederiz. Bir işi a günde bitiren işçi, bir günde işin \dfrac{1}{a}'ını yapar. Bu, problemin tüm mantığıdır:

\text{günlük (saatlik) iş}=\dfrac{1}{\text{tek başına bitirme süresi}}

Birlikte çalışıldığında birim işler toplanır. a ve b günde bitiren iki işçi birlikte bir günde:

\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ \text{kadar iş yapar}\quad\Rightarrow\quad \text{birlikte süre}=\dfrac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}

Yani toplam işi 1 alıp günlük kesirleri topla, sonra tersini al. Havuz problemlerinde işaret kuralı:

Dolduran musluk +, boşaltan musluk - alınır. İkisi birlikte açıkken net dolum hızı \dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b} olur (dolduran a, boşaltan b saatte).

3. Yaş Problemleri Örnekleri

Örnek
Soru

Bir babanın yaşı 40, oğlunun yaşı 10'dur. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olur?

  1. Aranan süreye t diyelim. t yıl sonra baba 40+t, oğul 10+t yaşında olur (ikisine de +t).

  2. "Babanın yaşı oğlunun 2 katı" koşulunu kur: 40+t=2(10+t).

  3. Sağ tarafı aç: 40+t=20+2t.

  4. Düzenle: 40-20=2t-t\Rightarrow 20=t.

Sonuç: 20 yıl sonra.
Örnek
Soru

İki kardeşin yaşları toplamı 30, yaş farkı 6'dır. Kardeşlerin yaşları kaçtır?

Büyük yaşa x, küçük yaşa y de; "toplam" ve "fark" denklemlerini yan yana yazıp topla.

  1. Büyük kardeş x, küçük kardeş y olsun: x+y=30 ve x-y=6.

  2. İki denklemi taraf tarafa topla: 2x=36\Rightarrow x=18.

  3. x=18 değerini ilk denkleme koy: 18+y=30\Rightarrow y=12.

  4. Kontrol: toplam 18+12=30, fark 18-12=6. Sağlar.

Sonuç: Yaşları 18 ve 12'dir.
Örnek
Soru

Ahmet 5 yıl önce 12 yaşındaydı. 3 yıl sonra Ahmet kaç yaşında olur?

  1. 5 yıl önce 12 yaşında olduğuna göre bugünkü yaşı: 12+5=17.

  2. 3 yıl sonra yaşına +3 eklenir: 17+3=20.

Sonuç: 3 yıl sonra Ahmet 20 yaşında olur.

4. İşçi ve Havuz Problemleri Örnekleri

Örnek
Soru

Bir işi A işçisi 6 günde, B işçisi 12 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte çalışırsa işi kaç günde bitirirler?

Süreleri toplama! Önce her birinin günlük işini (\frac{1}{6} ve \frac{1}{12}) bul, topla; sonra tersini al.

  1. A'nın günlük işi \dfrac{1}{6}, B'nin günlük işi \dfrac{1}{12}.

  2. Birlikte günlük iş: \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{2}{12}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}.

  3. Günde işin \dfrac{1}{4}'ü bittiğine göre tüm iş için süre, bu kesrin tersidir: \dfrac{1}{\frac{1}{4}}=4 gün.

Sonuç: Birlikte 4 günde bitirirler.
Örnek
Soru

Bir havuzu birinci musluk 4 saatte, ikinci musluk 6 saatte dolduruyor. İki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

  1. Birinci musluğun saatlik dolumu \dfrac{1}{4}, ikincisinin \dfrac{1}{6}.

  2. Birlikte saatlik dolum: \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{5}{12}.

  3. Dolum süresi bu kesrin tersidir: \dfrac{1}{\frac{5}{12}}=\dfrac{12}{5} saat.

  4. Ondalık olarak: \dfrac{12}{5}=2{,}4 saat (2 saat 24 dakika).

Sonuç: Havuz \dfrac{12}{5}=2{,}4 saatte dolar.
Örnek
Soru

Bir havuzu dolduran musluk tek başına 3 saatte dolduruyor; boşaltan musluk ise dolu havuzu 6 saatte boşaltıyor. Havuz boşken iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Boşaltan musluk işi geri aldığı için eksi işaretle yazılır: net hız \frac{1}{3}-\frac{1}{6}.

  1. Dolduran musluğun saatlik işi +\dfrac{1}{3}, boşaltan musluğun saatlik işi -\dfrac{1}{6}.

  2. Net saatlik dolum: \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{6}.

  3. Net dolum pozitif olduğundan havuz dolar. Süre, bu kesrin tersidir: \dfrac{1}{\frac{1}{6}}=6 saat.

Sonuç: Havuz 6 saatte dolar.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

Bir annenin bugünkü yaşı 35, kızının yaşı 7'dir. Bundan kaç yıl önce annenin yaşı kızının yaşının 5 katıydı?

  1. Geriye gidilen süreye t diyelim. t yıl önce anne 35-t, kızı 7-t yaşındaydı.

  2. "Annenin yaşı kızının 5 katı" koşulu: 35-t=5(7-t).

  3. Sağ tarafı aç: 35-t=35-5t.

  4. Düzenle: -t+5t=35-35\Rightarrow 4t=0\Rightarrow t=0.

  5. Demek ki bu durum tam bugün geçerli: 35=5\cdot 7. Geçmişte değil, şu an sağlanır.

Sonuç: 0 yıl önce, yani şu anda annenin yaşı kızının 5 katıdır.
Örnek
Soru

Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı 44'tür. 4 yıl sonra ikisinin yaşları toplamı kaç olur?

  1. Kişi sayısı 2 olduğundan, 4 yıl sonra toplama 2\cdot 4=8 eklenir.

  2. Yeni toplam: 44+8=52.

Sonuç: 4 yıl sonra yaşları toplamı 52 olur.
Örnek
Soru

Ali ile Veli'nin bugünkü yaşları oranı 2 iken, 9 yıl sonra yaşları oranı \dfrac{5}{3} oluyor. Ali bugün kaç yaşındadır? (Ali büyük olandır.)

Yaşları 2k ve k olarak yaz; oranlar arasında ortak değişken kullan, sonra 9 yıl sonrasını kur.

  1. Bugünkü oran 2 olduğundan Veli'ye k, Ali'ye 2k diyelim.

  2. 9 yıl sonra Ali 2k+9, Veli k+9 olur ve oran \dfrac{5}{3}'tür: \dfrac{2k+9}{k+9}=\dfrac{5}{3}.

  3. İçler-dışlar çarpımı: 3(2k+9)=5(k+9)\Rightarrow 6k+27=5k+45.

  4. Düzenle: 6k-5k=45-27\Rightarrow k=18.

  5. Ali'nin yaşı 2k=2\cdot 18=36.

Sonuç: Ali bugün 36 yaşındadır.
Örnek
Soru

Bir sınıftaki 20 öğrencinin yaşları ortalaması 14'tür. Yaş ortalaması 30 olan öğretmen de bu gruba katılırsa yeni yaş ortalaması kaç olur?

Ortalama ile çalışırken önce toplam yaşı bul; ortalama =\dfrac{\text{toplam}}{\text{kişi sayısı}}.

  1. 20 öğrencinin yaşları toplamı: 20\cdot 14=280.

  2. Öğretmen katılınca toplam: 280+30=310, kişi sayısı 21 olur.

  3. Yeni ortalama: \dfrac{310}{21}. Bölelim: 21\cdot 14=294, kalan 310-294=16, yani \dfrac{310}{21}\approx 14{,}76.

Sonuç: Yeni yaş ortalaması \dfrac{310}{21}\approx 14{,}76 olur.
Örnek
Soru

Bir işi A işçisi tek başına 10 günde bitiriyor. A ve B birlikte çalışırsa aynı işi 6 günde bitiriyorlar. B işçisi bu işi tek başına kaç günde bitirir?

Birlikte günlük iş, ikisinin günlük işlerinin toplamıdır: \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{B}=\dfrac{1}{6}.

  1. A'nın günlük işi \dfrac{1}{10}, birlikte günlük iş \dfrac{1}{6}. B'nin günlük işi \dfrac{1}{B} olsun.

  2. Birim işler toplanır: \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{B}=\dfrac{1}{6}.

  3. B'nin günlük işini yalnız bırak: \dfrac{1}{B}=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{5}{30}-\dfrac{3}{30}=\dfrac{2}{30}=\dfrac{1}{15}.

  4. Günlük işi \dfrac{1}{15} olan işçi tek başına 15 günde bitirir (kesrin tersi).

Sonuç: B işçisi tek başına 15 günde bitirir.
Örnek
Soru

Bir işi 3 işçi 8 günde bitiriyor. Aynı işi 6 günde bitirmek için kaç işçi gerekir? (İşçilerin günlük iş gücü eşittir.)

Toplam iş gücü = işçi sayısı \times gün sayısı, ve bu çarpım sabit kalır (ters orantı).

  1. Toplam iş, "işçi \times gün" cinsinden sabittir: 3\cdot 8=24 işçi-gün.

  2. Aranan işçi sayısı n olsun; 6 günde bitmesi için n\cdot 6=24.

  3. Çöz: n=\dfrac{24}{6}=4.

Sonuç: 4 işçi gerekir.
Örnek
Soru

Bir havuzu A musluğu 4 saatte dolduruyor, B musluğu dolu havuzu 12 saatte boşaltıyor. Havuz boşken iki musluk birlikte 3 saat açık kalırsa, havuzun ne kadarı dolar?

Önce net saatlik dolum hızını bul (boşaltan eksi), sonra bu hızı 3 saatle çarp.

  1. A'nın saatlik dolumu +\dfrac{1}{4}, B'nin saatlik etkisi -\dfrac{1}{12}.

  2. Net saatlik dolum: \dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{3}{12}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}.

  3. 3 saatte dolan kısım: 3\cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.

Sonuç: 3 saat sonunda havuzun yarısı (\dfrac{1}{2}'si) dolar.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir anne ile kızının yaşları toplamı 48'dir. 6 yıl sonra annenin yaşı, kızının yaşının 3 katı olacaktır. Kızın şu anki yaşı kaçtır?

A) 8 · B) 9 · C) 10 · D) 11 · E) 12

  1. Kızın yaşı x olsun; annenin yaşı 48-x.

  2. 6 yıl sonra: 48-x+6=3(x+6).

  3. 54-x=3x+18\Rightarrow 36=4x\Rightarrow x=9.

Sonuç: B) 9
Örnek
Soru

Bir işi A tek başına 12 günde, B tek başına 18 günde bitiriyor. İkisi birlikte çalışırsa iş kaç günde biter?

A) 6 · B) 7 · C) 7{,}2 · D) 8 · E) 9

  1. A'nın günlük işi \dfrac{1}{12}, B'nin günlük işi \dfrac{1}{18}.

  2. Birlikte günlük iş: \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{3+2}{36}=\dfrac{5}{36}.

  3. Toplam süre: \dfrac{1}{\frac{5}{36}}=\dfrac{36}{5}=7{,}2 gün.

Sonuç: C) 7{,}2
Örnek
Soru

Bir havuzu dolduran musluk tek başına 6 saatte dolduruyor. Aynı havuzu boşaltan musluk tek başına 9 saatte boşaltıyor. Havuz boşken her iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

A) 12 · B) 15 · C) 16 · D) 18 · E) 24

Dolduran musluğun saatlik katkısı +\dfrac{1}{6}, boşaltanın -\dfrac{1}{9}'dur. Net hızı bulup 1'e böl.

  1. Dolduran saatlik: +\dfrac{1}{6}; boşaltan saatlik: -\dfrac{1}{9}.

  2. Net dolum hızı: \dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{3-2}{18}=\dfrac{1}{18}.

  3. Tam dolması: \dfrac{1}{\frac{1}{18}}=18 saat.

Sonuç: D) 18
Örnek
Soru

Bir babanın bugünkü yaşı oğlunun yaşının 3 katıdır. 12 yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının 2 katı olacağına göre oğul bugün kaç yaşındadır?

A) 10 · B) 11 · C) 12 · D) 14 · E) 15

Oğul x ise baba 3x. 12 yıl sonra ikisine de +12 ekle; "2 katı" koşulunu kur.

  1. Oğul x, baba 3x olsun. 12 yıl sonra: baba 3x+12, oğul x+12.

  2. Koşul: 3x+12=2(x+12).

  3. Aç ve düzenle: 3x+12=2x+24\Rightarrow x=12.

  4. Kontrol: Bugün 12 ve 36; 12 yıl sonra 24 ve 48, 48=2\cdot 24. ✓

Sonuç: C) 12
Örnek
Soru

Bir tarlanın çapalanması işini Ali tek başına 12 günde, Veli tek başına 6 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte çalışmaya başlıyor; ancak işin başlamasından 2 gün sonra Ali ayrılıyor ve kalan işi Veli tek başına tamamlıyor. İş toplam kaç günde biter?

A) 4 · B) 5 · C) 6 · D) 7 · E) 8

Önce 2 günde birlikte yapılan işi hesapla; kalan işi Veli'nin günlük işine bölerek ek süreyi bul.

  1. Ali'nin günlük işi \dfrac{1}{12}, Veli'nin \dfrac{1}{6}. Birlikte günlük iş: \dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1+2}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}.

  2. İlk 2 günde biten iş: 2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}. Kalan iş: 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}.

  3. Kalan işi Veli tek başına yapar; süresi: \dfrac{1/2}{1/6}=\dfrac{1}{2}\cdot 6=3 gün.

  4. Toplam süre: 2+3=5 gün.

Sonuç: B) 5
Örnek
Soru

Boş bir havuzu A musluğu tek başına 8 saatte dolduruyor; havuzun dibindeki bir delik ise dolu havuzu 24 saatte boşaltıyor. Havuz boşken A musluğu açılıyor ama delik de açık unutuluyor. Havuz kaç saatte dolar?

A) 10 · B) 11 · C) 12 · D) 14 · E) 16

Delik boşalttığı için eksi işaretli yazılır: net hız \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{24}.

  1. A musluğunun saatlik dolumu +\dfrac{1}{8}, deliğin etkisi -\dfrac{1}{24}.

  2. Net saatlik dolum: \dfrac{1}{8}-\dfrac{1}{24}=\dfrac{3-1}{24}=\dfrac{2}{24}=\dfrac{1}{12}.

  3. Tam dolması: \dfrac{1}{\frac{1}{12}}=12 saat.

Sonuç: C) 12

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Oran-Orantı ve Problemler — diğer konular