TYT Matematik · Oran-Orantı ve Problemler

Yaş, İşçi ve Havuz Problemleri

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruTYT'de ~12 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlık

Yaş ve işçi-havuz problemleri TYT'de neredeyse her yıl çıkan, çözümü tek bir temel ilkeye dayanan klasik sözel sorulardır. Yaşta anahtar, iki kişinin yaş farkının hiç değişmemesidir; işçi-havuzda ise anahtar, herkesin birim zamanda yaptığı işi kesirle yazıp toplamaktır. Bu konu her iki kalıbı da sıfırdan, ezbersiz biçimde kurar.

1. Yaş Problemleri — Temel İlke

Zaman herkes için aynı akar: $t$ yıl geçtiğinde her kişinin yaşına $+ t$ eklenir, $t$ yıl önceye gidildiğinde her kişinin yaşından $- t$ çıkarılır. Buradan en kritik sonuç çıkar:

İki kişinin yaş farkı her zaman sabittir. Bugün aradaki fark $5$ ise, $20$ yıl sonra da $20$ yıl önce de fark yine $5$ 'tir. Çünkü ikisi de eşit miktarda yaşlanır.

Bir kişinin bugünkü yaşına $x$ dersek:

Zaman	İfade
$t$ yıl sonra	$x + t$
$t$ yıl önce	$x - t$
İki kişinin yaş farkı	her an sabit
$n$ kişinin yaşları toplamı $t$ yıl sonra	(bugünkü toplam) $+ n \cdot t$

Son satıra dikkat: $t$ yıl sonra toplam, kişi sayısı kadar $t$ artar. Üç kişinin yaşları toplamı $4$ yıl sonra $3 \cdot 4 = 12$ artar.

2. İşçi ve Havuz Problemleri — Birim Zamanda İş

Tüm işi $1$ (yani "bir bütün") kabul ederiz. Bir işi $a$ günde bitiren işçi, bir günde işin $\frac{1}{a}$ 'ını yapar. Bu, problemin tüm mantığıdır:

$g \overset{u}{¨} nl \overset{u}{¨} k (saatlik) i \overset{s}{¸} = \frac{1}{tek ba s ¸ ı na bitirme s u ¨ resi}$

Birlikte çalışıldığında birim işler toplanır. $a$ ve $b$ günde bitiren iki işçi birlikte bir günde:

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} kadar i \overset{s}{¸} yapar \Rightarrow birlikte s \overset{u}{¨} re = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$

Yani toplam işi $1$ alıp günlük kesirleri topla, sonra tersini al. Havuz problemlerinde işaret kuralı:

Dolduran musluk $+$ , boşaltan musluk $-$ alınır. İkisi birlikte açıkken net dolum hızı $\frac{1}{a} - \frac{1}{b}$ olur (dolduran $a$ , boşaltan $b$ saatte).

3. Yaş Problemleri Örnekleri

Örnek

Soru

Bir babanın yaşı $40$ , oğlunun yaşı $10$ 'dur. Kaç yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının $2$ katı olur?

Aranan süreye $t$ diyelim. $t$ yıl sonra baba $40 + t$ , oğul $10 + t$ yaşında olur (ikisine de $+ t$ ).
"Babanın yaşı oğlunun $2$ katı" koşulunu kur: $40 + t = 2 (10 + t)$ .
Sağ tarafı aç: $40 + t = 20 + 2 t$ .
Düzenle: $40 - 20 = 2 t - t \Rightarrow 20 = t$ .

Sonuç:

20

yıl sonra.

Örnek

Soru

İki kardeşin yaşları toplamı $30$ , yaş farkı $6$ 'dır. Kardeşlerin yaşları kaçtır?

Büyük yaşa $x$ , küçük yaşa $y$ de; "toplam" ve "fark" denklemlerini yan yana yazıp topla.

Büyük kardeş $x$ , küçük kardeş $y$ olsun: $x + y = 30$ ve $x - y = 6$ .
İki denklemi taraf tarafa topla: $2 x = 36 \Rightarrow x = 18$ .
$x = 18$ değerini ilk denkleme koy: $18 + y = 30 \Rightarrow y = 12$ .
Kontrol: toplam $18 + 12 = 30$ , fark $18 - 12 = 6$ . Sağlar.

Sonuç: Yaşları

18

12

'dir.

Örnek

Soru

Ahmet $5$ yıl önce $12$ yaşındaydı. $3$ yıl sonra Ahmet kaç yaşında olur?

$5$ yıl önce $12$ yaşında olduğuna göre bugünkü yaşı: $12 + 5 = 17$ .
$3$ yıl sonra yaşına $+ 3$ eklenir: $17 + 3 = 20$ .

Sonuç:

3

yıl sonra Ahmet

20

yaşında olur.

4. İşçi ve Havuz Problemleri Örnekleri

Örnek

Soru

Bir işi A işçisi $6$ günde, B işçisi $12$ günde bitirebiliyor. İkisi birlikte çalışırsa işi kaç günde bitirirler?

Süreleri toplama! Önce her birinin günlük işini ( $\frac{1}{6}$ ve $\frac{1}{12}$ ) bul, topla; sonra tersini al.

A'nın günlük işi $\frac{1}{6}$ , B'nin günlük işi $\frac{1}{12}$ .
Birlikte günlük iş: $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ .
Günde işin $\frac{1}{4}$ 'ü bittiğine göre tüm iş için süre, bu kesrin tersidir: $\frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$ gün.

Sonuç: Birlikte

4

günde bitirirler.

Örnek

Soru

Bir havuzu birinci musluk $4$ saatte, ikinci musluk $6$ saatte dolduruyor. İki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Birinci musluğun saatlik dolumu $\frac{1}{4}$ , ikincisinin $\frac{1}{6}$ .
Birlikte saatlik dolum: $\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}$ .
Dolum süresi bu kesrin tersidir: $\frac{1}{\frac{5}{12}} = \frac{12}{5}$ saat.
Ondalık olarak: $\frac{12}{5} = 2, 4$ saat ( $2$ saat $24$ dakika).

Sonuç: Havuz

\frac{12}{5} = 2, 4

saatte dolar.

Örnek

Soru

Bir havuzu dolduran musluk tek başına $3$ saatte dolduruyor; boşaltan musluk ise dolu havuzu $6$ saatte boşaltıyor. Havuz boşken iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Boşaltan musluk işi geri aldığı için eksi işaretle yazılır: net hız $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$ .

Dolduran musluğun saatlik işi $+ \frac{1}{3}$ , boşaltan musluğun saatlik işi $- \frac{1}{6}$ .
Net saatlik dolum: $\frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$ .
Net dolum pozitif olduğundan havuz dolar. Süre, bu kesrin tersidir: $\frac{1}{\frac{1}{6}} = 6$ saat.

Sonuç: Havuz

6

saatte dolar.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Bir annenin bugünkü yaşı $35$ , kızının yaşı $7$ 'dir. Bundan kaç yıl önce annenin yaşı kızının yaşının $5$ katıydı?

Geriye gidilen süreye $t$ diyelim. $t$ yıl önce anne $35 - t$ , kızı $7 - t$ yaşındaydı.
"Annenin yaşı kızının $5$ katı" koşulu: $35 - t = 5 (7 - t)$ .
Sağ tarafı aç: $35 - t = 35 - 5 t$ .
Düzenle: $- t + 5 t = 35 - 35 \Rightarrow 4 t = 0 \Rightarrow t = 0$ .
Demek ki bu durum tam bugün geçerli: $35 = 5 \cdot 7$ . Geçmişte değil, şu an sağlanır.

Sonuç:

0

yıl önce, yani şu anda annenin yaşı kızının

5

katıdır.

Örnek

Soru

Bir baba ile oğlunun yaşları toplamı $44$ 'tür. $4$ yıl sonra ikisinin yaşları toplamı kaç olur?

Kişi sayısı $2$ olduğundan, $4$ yıl sonra toplama $2 \cdot 4 = 8$ eklenir.
Yeni toplam: $44 + 8 = 52$ .

Sonuç:

4

yıl sonra yaşları toplamı

52

olur.

Örnek

Soru

Ali ile Veli'nin bugünkü yaşları oranı $2$ iken, $9$ yıl sonra yaşları oranı $\frac{5}{3}$ oluyor. Ali bugün kaç yaşındadır? (Ali büyük olandır.)

Yaşları $2 k$ ve $k$ olarak yaz; oranlar arasında ortak değişken kullan, sonra $9$ yıl sonrasını kur.

Bugünkü oran $2$ olduğundan Veli'ye $k$ , Ali'ye $2 k$ diyelim.
$9$ yıl sonra Ali $2 k + 9$ , Veli $k + 9$ olur ve oran $\frac{5}{3}$ 'tür: $\frac{2 k + 9}{k + 9} = \frac{5}{3}$ .
İçler-dışlar çarpımı: $3 (2 k + 9) = 5 (k + 9) \Rightarrow 6 k + 27 = 5 k + 45$ .
Düzenle: $6 k - 5 k = 45 - 27 \Rightarrow k = 18$ .
Ali'nin yaşı $2 k = 2 \cdot 18 = 36$ .

Sonuç: Ali bugün

36

yaşındadır.

Örnek

Soru

Bir sınıftaki $20$ öğrencinin yaşları ortalaması $14$ 'tür. Yaş ortalaması $30$ olan öğretmen de bu gruba katılırsa yeni yaş ortalaması kaç olur?

Ortalama ile çalışırken önce toplam yaşı bul; ortalama $= \frac{toplam}{ki s ¸ i say ı s ı}$ .

$20$ öğrencinin yaşları toplamı: $20 \cdot 14 = 280$ .
Öğretmen katılınca toplam: $280 + 30 = 310$ , kişi sayısı $21$ olur.
Yeni ortalama: $\frac{310}{21}$ . Bölelim: $21 \cdot 14 = 294$ , kalan $310 - 294 = 16$ , yani $\frac{310}{21} \approx 14, 76$ .

Sonuç: Yeni yaş ortalaması

\frac{310}{21} \approx 14, 76

olur.

Örnek

Soru

Bir işi A işçisi tek başına $10$ günde bitiriyor. A ve B birlikte çalışırsa aynı işi $6$ günde bitiriyorlar. B işçisi bu işi tek başına kaç günde bitirir?

Birlikte günlük iş, ikisinin günlük işlerinin toplamıdır: $\frac{1}{10} + \frac{1}{B} = \frac{1}{6}$ .

A'nın günlük işi $\frac{1}{10}$ , birlikte günlük iş $\frac{1}{6}$ . B'nin günlük işi $\frac{1}{B}$ olsun.
Birim işler toplanır: $\frac{1}{10} + \frac{1}{B} = \frac{1}{6}$ .
B'nin günlük işini yalnız bırak: $\frac{1}{B} = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ .
Günlük işi $\frac{1}{15}$ olan işçi tek başına $15$ günde bitirir (kesrin tersi).

Sonuç: B işçisi tek başına

15

günde bitirir.

Örnek

Soru

Bir işi $3$ işçi $8$ günde bitiriyor. Aynı işi $6$ günde bitirmek için kaç işçi gerekir? (İşçilerin günlük iş gücü eşittir.)

Toplam iş gücü = işçi sayısı $\times$ gün sayısı, ve bu çarpım sabit kalır (ters orantı).

Toplam iş, "işçi $\times$ gün" cinsinden sabittir: $3 \cdot 8 = 24$ işçi-gün.
Aranan işçi sayısı $n$ olsun; $6$ günde bitmesi için $n \cdot 6 = 24$ .
Çöz: $n = \frac{24}{6} = 4$ .

Sonuç:

4

işçi gerekir.

Örnek

Soru

Bir havuzu A musluğu $4$ saatte dolduruyor, B musluğu dolu havuzu $12$ saatte boşaltıyor. Havuz boşken iki musluk birlikte $3$ saat açık kalırsa, havuzun ne kadarı dolar?

Önce net saatlik dolum hızını bul (boşaltan eksi), sonra bu hızı $3$ saatle çarp.

A'nın saatlik dolumu $+ \frac{1}{4}$ , B'nin saatlik etkisi $- \frac{1}{12}$ .
Net saatlik dolum: $\frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{3}{12} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$ .
$3$ saatte dolan kısım: $3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

3

saat sonunda havuzun yarısı (

\frac{1}{2}

'si) dolar.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Zamanın herkese eşit işlemesi (fark sabit, toplam k⋅n artar): n yılı yalnızca bir kişiye eklemek (toplama +n demek) 45+4=49 — doğrusu 45+3⋅4=57
Yaşlar toplamı + kat ilişkisi (baba-oğul klasiği): Toplamı (k+1) yerine k'ye bölmek 48÷5 = 9,6 — kesirli, şıklara uymayan değer
Kaç yıl sonra k katı olur? (tek denklemli kat sorusu): t'yi yalnızca bir kişiye eklemek (38+t = 3⋅8 kurmak) t = −14 gibi anlamsız/negatif süre
Birim iş ve birlikte çalışma (1/a + 1/b): Süreleri doğrudan toplamak 8+24 = 32 gün
Havuz problemi (dolduran + / boşaltan −): Boşaltan musluğu da + almak 1/4 + 1/12 = 1/3 ⇒ 3 saat
n yıl önce k katı, m yıl sonra p katı (iki denklemli yaş): Kaydırmayı (−5/+5) yalnızca bir kişiye uygulamak oğul için 1,25 gibi kesirli, anlamsız yaş

Soru 1Orta

Bir anne ile kızının yaşları toplamı

48

'dir.

6

yıl sonra annenin yaşı, kızının yaşının

3

katı olacaktır. Kızın şu anki yaşı kaçtır?

Kızın yaşı $x$ olsun; annenin yaşı $48 - x$ .
$6$ yıl sonra: $48 - x + 6 = 3 (x + 6)$ .
$54 - x = 3 x + 18 \Rightarrow 36 = 4 x \Rightarrow x = 9$ .

Sonuç:

9

Soru 2Kolay

Bir işi A tek başına

12

günde, B tek başına

18

günde bitiriyor. İkisi birlikte çalışırsa iş kaç günde biter?

A'nın günlük işi $\frac{1}{12}$ , B'nin günlük işi $\frac{1}{18}$ .
Birlikte günlük iş: $\frac{1}{12} + \frac{1}{18} = \frac{3 + 2}{36} = \frac{5}{36}$ .
Toplam süre: $\frac{1}{\frac{5}{36}} = \frac{36}{5} = 7, 2$ gün.

Sonuç:

7, 2

gün

Soru 3Orta

Bir havuzu dolduran musluk tek başına

6

saatte dolduruyor. Aynı havuzu boşaltan musluk tek başına

9

saatte boşaltıyor. Havuz boşken her iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Dolduran saatlik: $+ \frac{1}{6}$ ; boşaltan saatlik: $- \frac{1}{9}$ .
Net dolum hızı: $\frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{3 - 2}{18} = \frac{1}{18}$ .
Tam dolması: $\frac{1}{\frac{1}{18}} = 18$ saat.

Sonuç:

18

saat

Soru 4Kolay

Bir babanın bugünkü yaşı oğlunun yaşının

3

katıdır.

12

yıl sonra babanın yaşı oğlunun yaşının

2

katı olacağına göre oğul bugün kaç yaşındadır?

Oğul $x$ , baba $3 x$ olsun. $12$ yıl sonra: baba $3 x + 12$ , oğul $x + 12$ .
Koşul: $3 x + 12 = 2 (x + 12)$ .
Aç ve düzenle: $3 x + 12 = 2 x + 24 \Rightarrow x = 12$ .
**Kontrol:** Bugün $12$ ve $36$ ; $12$ yıl sonra $24$ ve $48$ , $48 = 2 \cdot 24$ . ✓

Sonuç:

12

Soru 5Orta

Bir tarlanın çapalanması işini Ali tek başına

12

günde, Veli tek başına

6

günde bitirebiliyor. İkisi birlikte çalışmaya başlıyor; ancak işin başlamasından

2

gün sonra Ali ayrılıyor ve kalan işi Veli tek başına tamamlıyor. İş toplam kaç günde biter?

Ali'nin günlük işi $\frac{1}{12}$ , Veli'nin $\frac{1}{6}$ . Birlikte günlük iş: $\frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1 + 2}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$ .
İlk $2$ günde biten iş: $2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ . Kalan iş: $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .
Kalan işi Veli tek başına yapar; süresi: $\frac{1/2}{1/6} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ gün.
Toplam süre: $2 + 3 = 5$ gün.

Sonuç:

5

gün

Soru 6Orta

Boş bir havuzu A musluğu tek başına

8

saatte dolduruyor; havuzun dibindeki bir delik ise dolu havuzu

24

saatte boşaltıyor. Havuz boşken A musluğu açılıyor ama delik de açık unutuluyor. Havuz kaç saatte dolar?

A musluğunun saatlik dolumu $+ \frac{1}{8}$ , deliğin etkisi $- \frac{1}{24}$ .
Net saatlik dolum: $\frac{1}{8} - \frac{1}{24} = \frac{3 - 1}{24} = \frac{2}{24} = \frac{1}{12}$ .
Tam dolması: $\frac{1}{\frac{1}{12}} = 12$ saat.

Sonuç:

12

saat

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Yaş farkının zamanla değiştiğini sanmak. Yaş farkı sabittir; ikisi de aynı miktarda yaşlanır. Sorularda bu sabitlik en güçlü silahındır.
"Kaç yıl sonra" derken $+ t$ 'yi yalnız bir kişiye eklemek. Zaman herkes için aynı akar; $t$ yıl sonra tüm kişilerin yaşına $+ t$ eklenir.
İşçi problemlerinde süreleri doğrudan toplamak. $6$ ve $12$ günlük işçiler $6 + 12 = 18$ günde değil, birim işleri toplanarak ( $\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}$ , ters $4$ gün) bitirir.
Boşaltan musluğu $+$ almak. Boşaltan musluk işi geri götürür; daima $-$ işaretiyle yazılmalıdır.

Sınav İpucu

Yaşta önce farkın sabit olduğunu kullan; tek bilinmeyenle ( $t$ ) denklem kur, ikisine de $+ t$ / $- t$ uygula.
İşçi-havuzda toplam işi $1$ kabul et; her birinin günlük/saatlik kesrini yaz, topla (boşaltanı çıkar), sonra sonucun tersini al — bu sana ortak süreyi verir.

1. Yaş Problemleri — Temel İlke

2. İşçi ve Havuz Problemleri — Birim Zamanda İş

3. Yaş Problemleri Örnekleri

4. İşçi ve Havuz Problemleri Örnekleri

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Oran-Orantı ve Problemler — diğer konular