AYT Matematik · Trigonometri

Trigonometrik Özdeşlikler

~10 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bu konu yeni müfredattan (Türkiye Yüzyılı Maarif Modeli) kaldırıldı; ancak geçiş dönemi nedeniyle ~2027 YKS'ye kadar sınavda çıkmaya devam ediyor.

Trigonometrik özdeşlikler, açılar arasındaki ilişkileri kullanarak değer hesaplama ve ifade sadeleştirme yapmamızı sağlar. Pisagor özdeşliği, toplam–fark ve iki kat açı formülleri AYT'de sık çıkar; bu üç grup, çoğu sorunun çözüm anahtarıdır. Aşağıda her formülü önce kuruyor, sonra örneklerle pekiştiriyoruz.

1. Temel (Pisagor) Özdeşlikleri

Birim çember üzerinde bir noktanın koordinatları $(cos x, sin x)$ olduğundan, çemberin denkleminden doğrudan şu temel bağıntı çıkar:

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$

Bu özdeşliği $cos^{2} x$ ya da $sin^{2} x$ ile bölerek diğer iki temel bağıntıyı elde ederiz:

Özdeşlik	Formül
Pisagor	$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$
Tanjant tanımı	$tan x = \frac{sin x}{cos x}$
Sekant bağıntısı	$1 + tan^{2} x = \frac{1}{cos ^{2} x}$
Kosekant bağıntısı	$1 + cot^{2} x = \frac{1}{sin ^{2} x}$

Pisagor özdeşliği, $sin x$ ile $cos x$ arasında köprü kurar: birini biliyorsan, açının bölgesine bakarak diğerini işaretiyle birlikte bulabilirsin.

Örnek

Soru

$sin^{2} 1 5^{\circ} + cos^{2} 1 5^{\circ}$ ifadesinin değerini bulunuz.

Pisagor özdeşliğini hatırla: her $x$ açısı için $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ .
Burada $x = 1 5^{\circ}$ ; özdeşlik açıya bağlı değildir, doğrudan $1$ verir.

Sonuç:

sin^{2} 1 5^{\circ} + cos^{2} 1 5^{\circ} = 1

Örnek

Soru

$sin x = \frac{3}{5}$ ve $x$ açısı I. bölgede ise $cos x$ değerini bulunuz.

Pisagor özdeşliğinden $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ . I. bölgede kosinüs pozitiftir.

Pisagor özdeşliği: $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .
Karekök al: $cos x = \pm \frac{4}{5}$ .
$x$ I. bölgede olduğundan $cos x > 0$ ; pozitif kökü seç.

Sonuç:

cos x = \frac{4}{5}

2. Toplam ve Fark Formülleri

İki açının toplamının ya da farkının trigonometrik değerini, tek tek açıların değerleri cinsinden veren formüller:

$sin (a \pm b) = sin a cos b \pm cos a sin b$

$cos (a \pm b) = cos a cos b \mp sin a sin b$

$tan (a \pm b) = \frac{tan a \pm tan b}{1 \mp tan a tan b}$

Kosinüsün işaretine dikkat: $cos (a + b)$ açılımında ortada eksi, $cos (a - b)$ açılımında artı işareti gelir (formüldeki $\mp$ bunu söyler).

Örnek

Soru

$sin 7 5^{\circ}$ değerini toplam formülüyle bulunuz.

$7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ yazıp $sin (a + b)$ formülünü uygula.

Açıyı bilinen açılarla yaz: $7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ .
Formülü uygula: $sin 7 5^{\circ} = sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$ .
Değerleri yerleştir: $\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$ .
Birleştir: $\frac{6 + 2}{4}$ .

Sonuç:

sin 7 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

Örnek

Soru

$cos 7 5^{\circ}$ değerini fark/toplam formülüyle bulunuz.

$7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ ve $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ .
Yerleştir: $cos 7 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - sin 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$ .
Değerleri koy: $\frac{2}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{6}{4} - \frac{2}{4}$ .
Birleştir: $\frac{6 - 2}{4}$ .

Sonuç:

cos 7 5^{\circ} = \frac{6 - 2}{4}

3. İki Kat Açı Formülleri

Toplam formüllerinde $b = a$ alınırsa iki kat açı formülleri çıkar:

$sin 2 x = 2 sin x cos x$

$cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = 2 cos^{2} x - 1 = 1 - 2 sin^{2} x$

$tan 2 x = \frac{2 tan x}{1 - tan ^{2} x}$

Kosinüsün üç farklı yazımı çok işe yarar: elinde yalnız $sin x$ varsa $1 - 2 sin^{2} x$ , yalnız $cos x$ varsa $2 cos^{2} x - 1$ biçimini seç.

Örnek

Soru

$sin x = \frac{3}{5}$ , $cos x = \frac{4}{5}$ ( $x$ I. bölgede) ise $sin 2 x$ ve $cos 2 x$ değerlerini bulunuz.

$sin 2 x = 2 sin x cos x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$ .
$cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$ .

Sonuç:

sin 2 x = \frac{24}{25}, cos 2 x = \frac{7}{25}

Örnek

Soru

$\frac{sin 2 x}{1 + cos 2 x}$ ifadesini sadeleştiriniz.

Payda iki kat açı, paydada $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ yazımını kullan.

Payı aç: $sin 2 x = 2 sin x cos x$ .
Paydayı düzenle: $1 + cos 2 x = 1 + (2 cos^{2} x - 1) = 2 cos^{2} x$ .
Oranı yaz: $\frac{2 sin x cos x}{2 cos ^{2} x} = \frac{sin x}{cos x} = tan x$ .

Sonuç:

\frac{sin 2 x}{1 + cos 2 x} = tan x

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$tan 1 5^{\circ}$ değerini fark formülüyle bulunuz.

$1 5^{\circ} = 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ yaz ve $tan (a - b)$ formülünü kullan.

Formülü yaz: $tan (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{tan 4 5 ^{\circ} - tan 3 0 ^{\circ}}{1 + tan 4 5 ^{\circ} tan 3 0 ^{\circ}}$ .
Değerleri koy ( $tan 4 5^{\circ} = 1$ , $tan 3 0^{\circ} = \frac{1}{3}$ ): $\frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{3 - 1}{3 + 1}$ .
Paydayı eşleniğiyle çarp (rasyonelleştir): $\frac{( 3 - 1 ) ^{2}}{( 3 + 1 ) ( 3 - 1 )} = \frac{3 - 2 3 + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2 3}{2}$ .
Sadeleştir: $2 - 3$ .

Sonuç:

tan 1 5^{\circ} = 2 - 3

Örnek

Soru

$sin 10 5^{\circ}$ değerini bulunuz.

Açıyı parçala: $10 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ .
Toplam formülü: $sin 10 5^{\circ} = sin 6 0^{\circ} cos 4 5^{\circ} + cos 6 0^{\circ} sin 4 5^{\circ}$ .
Değerleri koy: $\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$ .
Birleştir: $\frac{6 + 2}{4}$ .

Sonuç:

sin 10 5^{\circ} = \frac{6 + 2}{4}

Örnek

Soru

$cos 4 0^{\circ} cos 2 0^{\circ} - sin 4 0^{\circ} sin 2 0^{\circ}$ ifadesinin değerini bulunuz.

İfade, $cos (a + b)$ formülünün açık hâline benziyor.

Kalıbı tanı: $cos a cos b - sin a sin b = cos (a + b)$ .
$a = 4 0^{\circ}$ , $b = 2 0^{\circ}$ için: $cos (4 0^{\circ} + 2 0^{\circ}) = cos 6 0^{\circ}$ .
Değeri yaz: $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

$cos x = \frac{5}{13}$ ve $x$ açısı I. bölgede ise $cos 2 x$ değerini bulunuz.

Yalnız $cos x$ verildiğinden uygun yazımı seç: $cos 2 x = 2 cos^{2} x - 1$ .
Yerine koy: $2 \cdot (\frac{5}{13})^{2} - 1 = 2 \cdot \frac{25}{169} - 1 = \frac{50}{169} - 1$ .
Ortak paydada birleştir: $\frac{50 - 169}{169} = - \frac{119}{169}$ .

Sonuç:

cos 2 x = - \frac{119}{169}

Örnek

Soru

$tan a = 2$ ve $tan b = 3$ ise $tan (a + b)$ değerini bulunuz.

Toplam formülü: $tan (a + b) = \frac{tan a + tan b}{1 - tan a tan b}$ .
Değerleri koy: $\frac{2 + 3}{1 - 2 \cdot 3} = \frac{5}{1 - 6} = \frac{5}{- 5}$ .
Sadeleştir: $- 1$ .

Sonuç:

tan (a + b) = - 1

Örnek

Soru

$(sin x + cos x)^{2}$ ifadesini $sin 2 x$ cinsinden yazınız.

Kareyi aç, sonra Pisagor ve iki kat açı özdeşliklerini kullan.

Kareyi aç: $sin^{2} x + 2 sin x cos x + cos^{2} x$ .
Pisagor özdeşliği: $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ , böylece ifade $1 + 2 sin x cos x$ olur.
İki kat açı: $2 sin x cos x = sin 2 x$ .

Sonuç:

(sin x + cos x)^{2} = 1 + sin 2 x

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Temel özdeşliklerle sadeleştirme: tanx = cosx/sinx (ters) yazmak sin²x yerine cos²x'li terim — örnekte 1 yerine 2cos²x
Toplam-fark formülüyle özel açı hesabı (75°, 105°, 15°): sin(a+b)=sina+sinb sanmak sin75° için (√2+1)/2 ≈ 1,21 — 1'den büyük, imkânsız değer
Verilen sin/cos'tan toplam-fark değeri (3-4-5, 5-12-13): Fark formülünü uygulamak (işaret karıştırma) 63/65 yerine sin(a−b)=−33/65 (ya da 33/65)
İki kat açı formülleri (sin2x ve cos2x'in üç formu): sin2x=2sinx sanmak (cos çarpanını unutmak) sinx=3/5 için 6/5 — 1'den büyük, imkânsız değer
sinx±cosx verilip sinx⋅cosx (veya sin2x) isteme — kare alma: sinx−cosx'in karesinde çift çarpımın işaretini + almak 3/8 yerine −3/8
İki kat açıyla kesirli ifade sadeleştirme (1±cos2x kalıbı): 1−cos2x=2cos²x sanmak (kalıpları takas etmek) tanx yerine cotx

Soru 1Orta

a

b

dar açılardır.

sin a = \frac{3}{5}

cos b = \frac{5}{13}

olarak veriliyor. Buna göre

cos (a - b)

değeri kaçtır?

$a$ dar açı ve $sin a = \frac{3}{5}$ ; Pisagor'dan $cos a = 1 - \frac{9}{25} = \frac{4}{5}$ .
$b$ dar açı ve $cos b = \frac{5}{13}$ ; benzer şekilde $sin b = 1 - \frac{25}{169} = \frac{12}{13}$ .
Fark formülü: $cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b$ .
Yerine koy: $\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{56}{65}$ .

Sonuç:

\frac{56}{65}

Soru 2Orta

Bir

x

açısı için

sin x + cos x = \frac{1}{2}

eşitliği sağlanıyor. Buna göre

sin 2 x

değeri kaçtır?

Verilen eşitliğin karesini al: $(sin x + cos x)^{2} = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ .
Sol tarafı aç: $sin^{2} x + 2 sin x cos x + cos^{2} x$ .
Pisagor ve iki kat açı: $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ve $2 sin x cos x = sin 2 x$ ; böylece $1 + sin 2 x = \frac{1}{4}$ .
Çöz: $sin 2 x = \frac{1}{4} - 1 = - \frac{3}{4}$ .

Sonuç:

- \frac{3}{4}

Soru 3Orta

cos x + sin x \neq = 0

olmak üzere

\frac{cos 2 x}{cos x + sin x}

ifadesi veriliyor. Buna göre bu ifade aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Payı iki kat açı yazımıyla aç: $cos 2 x = cos^{2} x - sin^{2} x$ .
İki kare farkı olarak çarpanlara ayır: $cos^{2} x - sin^{2} x = (cos x - sin x) (cos x + sin x)$ .
İfadeyi yaz: $\frac{( cos x - sin x ) ( cos x + sin x )}{cos x + sin x}$ .
Ortak çarpan $cos x + sin x$ sadeleşir: geriye $cos x - sin x$ kalır.

Sonuç:

cos x - sin x

Soru 4Orta

Dar açı olan bir

x

için

sin x = \frac{4}{5}

veriliyor. Buna göre

\frac{sin 2 x}{1 + cos 2 x}

ifadesinin değeri kaçtır?

Sadeleştir: $\frac{sin 2 x}{1 + cos 2 x} = \frac{2 sin x cos x}{2 cos ^{2} x} = \frac{sin x}{cos x} = tan x$ .
$cos x$ 'i bul: $x$ dar açı olduğundan $cos x = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}$ .
Tanjantı yaz: $tan x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}$ .

Sonuç:

\frac{4}{3}

Soru 5Zor

cos 2 x = \frac{7}{25}

x

açısı I. bölgededir. Buna göre

sin x + cos x

ifadesinin değeri kaçtır?

$cos 2 x = \frac{7}{25}$ ve $x$ I. bölgede ( $2 x$ de I. bölgede, çünkü $cos 2 x > 0$ ve $sin 2 x > 0$ seçilir): $sin 2 x = 1 - cos^{2} 2 x = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625} = \frac{24}{25}$ .
Kareli özdeşlik: $(sin x + cos x)^{2} = sin^{2} x + cos^{2} x + 2 sin x cos x = 1 + sin 2 x = 1 + \frac{24}{25} = \frac{49}{25}$ .
Karekök al: $sin x + cos x = \pm \frac{7}{5}$ . I. bölgede $sin x > 0$ ve $cos x > 0$ olduğundan toplam pozitiftir.

Sonuç:

\frac{7}{5}

Soru 6Zor

\frac{sin 3 x}{sin x} - \frac{cos 3 x}{cos x}

ifadesi sadeleştiriliyor. Buna göre bu ifade aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Ortak paydada birleştir: $\frac{sin 3 x cos x - cos 3 x sin x}{sin x cos x}$ .
Payda fark formülünü tanı: $sin 3 x cos x - cos 3 x sin x = sin (3 x - x) = sin 2 x$ .
Paydayı iki kat açıyla yaz: $sin x cos x = \frac{1}{2} sin 2 x$ .
Oranı sadeleştir: $\frac{sin 2 x}{\frac{1}{2} sin 2 x} = 2$ .

Sonuç:

2

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$cos (a + b)$ işaretini şaşırmak: Doğrusu $cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b$ (ortada eksi). Toplamda eksi, farkta artı gelir. Sinüste ise tam tersi: $sin (a + b)$ açılımında artı, $sin (a - b)$ açılımında eksi gelir.
$(sin x + cos x)^{2} = sin^{2} x + cos^{2} x$ sanmak: Orta terim olan $2 sin x cos x$ unutulmamalı. Doğru açılım $1 + sin 2 x$ verir.
$cos 2 x$ yazımını yanlış seçmek: Elinde yalnız $sin x$ varsa $1 - 2 sin^{2} x$ , yalnız $cos x$ varsa $2 cos^{2} x - 1$ biçimini kullan; karıştırmak işlem hatasına yol açar.

Sınav İpucu

Değer sorularında verilen açıyı $3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}$ gibi bilinen açıların toplamı/farkı olarak yazmaya çalış ( $7 5^{\circ} = 4 5^{\circ} + 3 0^{\circ}$ , $1 5^{\circ} = 4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}$ , $10 5^{\circ} = 6 0^{\circ} + 4 5^{\circ}$ ). Sadeleştirme sorularında ise $1 + cos 2 x = 2 cos^{2} x$ ve $1 - cos 2 x = 2 sin^{2} x$ dönüşümleri çoğu ifadeyi tek adımda kapatır.

1. Temel (Pisagor) Özdeşlikleri

2. Toplam ve Fark Formülleri

3. İki Kat Açı Formülleri

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Trigonometri — diğer konular