Trigonometrik Özdeşlikler — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Temel özdeşliklerle sadeleştirme

   KolaySık çıkar

   sin²x+cos²x=1 ve tanx=sinx/cosx ile karışık görünen ifadeyi tek sayıya ya da tek fonksiyona indirme. Konunun ısınma sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. tanx, cotx, secx, cscx'i sin ve cos cinsinden yaz.
   2. sin²x+cos²x=1 (ve türevleri 1−cos²x=sin²x, 1−sin²x=cos²x) ile topla/sadeleştir.
   3. Sonuç çoğu zaman sabit ya da tek bir trigonometrik fonksiyondur; öyle çıkmıyorsa dönüşümü kontrol et.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • tanx = cosx/sinx (ters) yazmak→sin²x yerine cos²x'li terim — örnekte 1 yerine 2cos²x
   • sin²x+cos²x=1'i sin x+cos x=1 sanmak→ifade sadeleşmez; rastgele uzun bir sonuç

   Örnek

   sinx⋅cosx⋅tanx + cos²x ifadesinin eşiti kaçtır?

   tanx=sinx/cosx ⇒ sinx⋅cosx⋅tanx=sin²x; sin²x+cos²x=1

2. 02

   Toplam-fark formülüyle özel açı hesabı (75°, 105°, 15°)

   KolaySık çıkar

   Tabloda olmayan açının (75°=45°+30°, 15°=45°−30° gibi) sin/cos/tan değerini toplam-fark formülüyle hesaplatma.

   Nasıl çözülür

   1. Açıyı iki özel açının toplamı/farkı olarak yaz: 75°=45°+30°, 105°=60°+45°, 15°=45°−30°.
   2. Formülü uygula: sin(a±b)=sina⋅cosb ± cosa⋅sinb, cos(a±b)=cosa⋅cosb ∓ sina⋅sinb.
   3. Özel açı değerlerini koy, (√6±√2)/4 biçimindeki sonucu düzenle.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • sin(a+b)=sina+sinb sanmak→sin75° için (√2+1)/2 ≈ 1,21 — 1'den büyük, imkânsız değer
   • cos formülündeki işareti ters almak (cos(a+b)'de + kullanmak)→(√6+√2)/4 ile (√6−√2)/4 birbirine karışır

   Örnek

   sin75° kaçtır?

   sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4

3. 03

   Verilen sin/cos'tan toplam-fark değeri (3-4-5, 5-12-13)

   OrtaSık çıkar

   Dar açılar için sina ve cosb verilir; önce Pisagor'la eksik değerler bulunur, sonra sin(a±b) ya da cos(a±b) istenir. AYT'nin klasik trigonometri sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Dar açı bilgisiyle eksikleri tamamla: sina=3/5 ⇒ cosa=4/5, cosb=5/13 ⇒ sinb=12/13 (hepsi pozitif).
   2. İstenen formülü yaz ve yerine koy: sin(a+b)=sina⋅cosb+cosa⋅sinb.
   3. Paydaları eşitle (65 gibi), payları topla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Fark formülünü uygulamak (işaret karıştırma)→63/65 yerine sin(a−b)=−33/65 (ya da 33/65)
   • Pisagor adımını atlayıp verilenleri doğrudan çarpmak→yalnız 15/65 gibi tek terimlik eksik sonuç

   Örnek

   a ve b dar açı, sina=3/5 ve cosb=5/13 ise sin(a+b) kaçtır?

   cosa=4/5, sinb=12/13; sin(a+b)=(3/5)(5/13)+(4/5)(12/13)=15/65+48/65=63/65

   Sık birleştiği konular: Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Özdeşlikler

4. 04

   İki kat açı formülleri (sin2x ve cos2x'in üç formu)

   OrtaSık çıkar

   sinx veya cosx verilir; sin2x=2sinxcosx ya da cos2x istenir. cos2x'in üç formu (cos²x−sin²x, 2cos²x−1, 1−2sin²x) arasından soruya uyanı seçmek işin özüdür.

   Nasıl çözülür

   1. Eksik değeri Pisagor'la bul (bölge/dar açı bilgisine göre işaret seç).
   2. sin2x=2sinx⋅cosx; cos2x için verilene uyan formu seç: yalnız sin verilmişse 1−2sin²x, yalnız cos verilmişse 2cos²x−1.
   3. Değerleri koy, sadeleştir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • sin2x=2sinx sanmak (cos çarpanını unutmak)→sinx=3/5 için 6/5 — 1'den büyük, imkânsız değer
   • cos2x=sin²x−cos²x (ters sıra) yazmak→doğru cevabın işaretçe tersi: 7/25 yerine −7/25

   Örnek

   x dar açı ve sinx=3/5 ise sin2x kaçtır?

   cosx=4/5; sin2x=2⋅(3/5)⋅(4/5)=24/25

5. 05

   sinx±cosx verilip sinx⋅cosx (veya sin2x) isteme — kare alma

   OrtaSık çıkar

   sinx+cosx ya da sinx−cosx'in değeri verilir; sinx⋅cosx veya sin2x istenir. Refleks: iki tarafın karesini al, sin²x+cos²x=1'i kullan.

   Nasıl çözülür

   1. Verilen eşitliğin iki tarafının karesini al.
   2. Açılımda sin²x+cos²x=1 yaz: (sinx±cosx)² = 1 ± 2sinx⋅cosx.
   3. 2sinx⋅cosx'i çöz; sin2x istenirse bu zaten sin2x'tir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • sinx−cosx'in karesinde çift çarpımın işaretini + almak→3/8 yerine −3/8
   • Açılımda sin²x+cos²x=1'i yazmayı unutmak→2sinxcosx=1/4 ⇒ 1/8 gibi ölçeği kaymış değer

   Örnek

   sinx − cosx = 1/2 ise sinx⋅cosx kaçtır?

   Kare al: 1 − 2sinxcosx = 1/4 ⇒ 2sinxcosx = 3/4 ⇒ sinxcosx = 3/8

6. 06

   İki kat açıyla kesirli ifade sadeleştirme (1±cos2x kalıbı)

   ZorSık çıkar

   (1−cos2x)/sin2x, sin2x/(1+cos2x) gibi kesirler; 1−cos2x=2sin²x ve 1+cos2x=2cos²x kalıplarıyla tanx/cotx'e iner. Kalıbı görmeyen öğrenci soruda boğulur.

   Nasıl çözülür

   1. 1−cos2x=2sin²x, 1+cos2x=2cos²x, sin2x=2sinxcosx dönüşümlerini uygula.
   2. 2'ler ve ortak çarpanlar sadeleşir; geriye tanx ya da cotx kalır.
   3. Sayısal değer istenirse verilen açıyı/oranı en son koy.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 1−cos2x=2cos²x sanmak (kalıpları takas etmek)→tanx yerine cotx
   • 1−cos2x'te cos2x=1−2sin²x yerine cos²x−sin²x koyup açılımı yarım bırakmak→sadeleşmeyen karmaşık kesir; şıklarda 'hiçbiri'ye kaçış

   Örnek

   (1 − cos2x)/sin2x ifadesinin en sade hali nedir?

   2sin²x/(2sinxcosx) = sinx/cosx = tanx

   Sık birleştiği konular: Trigonometrik Denklemler

7. 07

   Toplam↔çarpım dönüşümleri (sinA±sinB, cosA±cosB)

   Zor

   sin75°+sin15° gibi toplamı çarpıma çevirip özel açılardan değer hesaplatma. Formül ezberi değil, (A+B)/2 ve (A−B)/2 kurgusu ölçülür.

   Nasıl çözülür

   1. Dönüşümü yaz: sinA+sinB = 2sin((A+B)/2)⋅cos((A−B)/2); cosA+cosB = 2cos((A+B)/2)⋅cos((A−B)/2).
   2. Yarı toplam ve yarı farkı hesapla — çoğunlukla 45°, 30° gibi özel açı çıkar.
   3. Özel açı değerlerini koyup çarp.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • sinA+sinB = sin(A+B) sanmak→sin75°+sin15° için sin90°=1
   • cosA−cosB dönüşümündeki eksi işaretini (−2sin⋅sin) unutmak→doğru cevabın işaretçe tersi

   Örnek

   sin75° + sin15° kaçtır?

   2sin45°⋅cos30° = 2⋅(√2/2)⋅(√3/2) = √6/2