AYT Matematik · Trigonometri

Trigonometrik Denklemler

~9 dk okumaZorluk: Zor16 çözümlü soru

Trigonometrik denklemler, içinde $\sin x$ , $\cos x$ ya da $\tan x$ gibi trigonometrik ifadeler bulunan denklemlerdir. Bu fonksiyonlar periyodik olduğundan, bir trigonometrik denklemin (genellikle) sonsuz çözümü vardır ve bu çözümler $k\in\mathbb{Z}$ içeren bir genel çözüm ailesiyle yazılır. Bu konu, denklemi temel biçime indirgemeyi, özel açıları tanımayı ve hem genel çözümü hem de $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bulmayı öğretir.

1. Genel Çözüm Formülleri

Önce denklemi her zaman $\sin x=a$ , $\cos x=a$ veya $\tan x=a$ biçimine indirgeriz; ardından $a$ değerini veren bir özel açı $\alpha$ buluruz. Genel çözümler $k\in\mathbb{Z}$ olmak üzere şöyledir:

Denklem	Genel çözüm
$\sin x=\sin\alpha$	$x=\alpha+2k\pi$ veya $x=\pi-\alpha+2k\pi$
$\cos x=\cos\alpha$	$x=\pm\alpha+2k\pi$
$\tan x=\tan\alpha$	$x=\alpha+k\pi$

Dikkat: $\sin$ ve $\cos$ için periyot $2\pi$ , fakat $\tan$ için periyot $\pi$ 'dir. Bu yüzden tanjant denkleminde tek bir aile yeterlidir.

Özel Açı Değerleri

$\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$
$0$	$0$	$1$	$0$
$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$
$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$1$
$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac12$	$\sqrt3$
$\dfrac{\pi}{2}$	$1$	$0$	tanımsız

2. Sinüslü Denklemler

$\sin x=a$ denkleminin çözümü için $-1\le a\le 1$ olmalıdır. Çözüm iki aile içerir, çünkü birim çemberde aynı sinüs değerini veren iki açı vardır (biri $\alpha$ , diğeri $\pi-\alpha$ ).

Örnek

Soru

$\sin x=\dfrac12$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$\dfrac12$ değerini veren özel açı: $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ (yani $30^{\circ}$ ).
Sinüs için iki aile yaz: $x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ veya $x=\pi-\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ .
İkinci aileyi sadeleştir: $\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ (yani $150^{\circ}$ ).

Sonuç:

x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi

veya

x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

3. Kosinüslü Denklemler

$\cos x=a$ denkleminde birim çemberde aynı kosinüs değerini $\alpha$ ve $-\alpha$ açıları verir. Bu yüzden çözüm $x=\pm\alpha+2k\pi$ tek satırla yazılır.

Örnek

Soru

$\cos x=-\dfrac12$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$-\dfrac12$ negatif olduğundan açı 2. bölgededir; $\cos\alpha=-\dfrac12$ veren açı $\alpha=\dfrac{2\pi}{3}$ (yani $120^{\circ}$ ).
Kosinüs için genel çözüm: $x=\pm\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ .
$-\dfrac{2\pi}{3}$ ailesini $[0,2\pi)$ karşılığıyla yazarsak $\dfrac{4\pi}{3}$ (yani $240^{\circ}$ ) elde edilir.

Sonuç:

x=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi

veya

x=\dfrac{4\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

4. Tanjantlı Denklemler

$\tan x=a$ her $a\in\mathbb{R}$ için çözülebilir (kısıt yoktur). Periyot $\pi$ olduğundan genel çözüm tek aileyle yazılır: $x=\alpha+k\pi$ .

Örnek

Soru

$\tan x=1$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$\tan\alpha=1$ veren özel açı: $\alpha=\dfrac{\pi}{4}$ (yani $45^{\circ}$ ).
Tanjant için periyot $\pi$ olduğundan genel çözüm tek ailedir: $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ .

Sonuç:

x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

5. Önce Sadeleştirme: Temel Biçime İndirgemek

Karşımıza çoğu zaman doğrudan $\sin x=a$ biçiminde değil, düzenlenmesi gereken bir denklem çıkar. Önce $\sin x$ , $\cos x$ ya da $\tan x$ 'i yalnız bırakırız.

Örnek

Soru

$2\sin x-1=0$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Önce $\sin x$ 'i yalnız bırak; denklemi $\sin x=a$ biçimine getir, sonra özel açıyı bul.

$\sin x$ 'i yalnız bırak: $2\sin x=1 \Rightarrow \sin x=\dfrac12$ .
Özel açı $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ olduğundan sinüsün iki ailesini yaz: $x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ veya $x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ .

Sonuç:

x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi

veya

x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

Çözüm aralığı uyarısı: Soru " $[0,2\pi)$ aralığında çözüm kümesi" istiyorsa, genel çözümde $k$ 'ye küçük tam sayı değerleri ( $k=0,1,\dots$ ) vererek bu aralığa düşen açıları seçeriz; aralık dışındakileri atarız.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\cos x=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

$\cos x=0$ olan özel açı $\alpha=\dfrac{\pi}{2}$ 'dir; genel çözüm $x=\pm\dfrac{\pi}{2}+2k\pi$ .
$[0,2\pi)$ aralığına düşen değerleri seç: $+\dfrac{\pi}{2}$ ailesinden $k=0$ ile $\dfrac{\pi}{2}$ .
$-\dfrac{\pi}{2}$ ailesinden $k=1$ ile $-\dfrac{\pi}{2}+2\pi=\dfrac{3\pi}{2}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2}\right\}

Örnek

Soru

$\sin x=\dfrac{\sqrt3}{2}$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

Önce genel çözümü yaz, sonra $k=0$ değerleriyle aralığa düşen açıları seç.

$\dfrac{\sqrt3}{2}$ değerini veren özel açı $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ 'tür.
Sinüs için iki aile: $x=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi$ veya $x=\pi-\dfrac{\pi}{3}+2k\pi=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi$ .
$k=0$ alındığında her iki değer de $[0,2\pi)$ içindedir: $\dfrac{\pi}{3}$ ve $\dfrac{2\pi}{3}$ .

Sonuç:

\left\{\dfrac{\pi}{3},\ \dfrac{2\pi}{3}\right\}

Örnek

Soru

$2\cos x+\sqrt3=0$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$\cos x$ 'i yalnız bırak: $2\cos x=-\sqrt3 \Rightarrow \cos x=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ .
$\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}$ veren açı $\dfrac{\pi}{6}$ ; değer negatif olduğundan ana açı $\alpha=\pi-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{6}$ (yani $150^{\circ}$ ).
Kosinüs için genel çözüm: $x=\pm\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ . Negatif aileyi $[0,2\pi)$ karşılığıyla yazarsak $\dfrac{7\pi}{6}$ (yani $210^{\circ}$ ).

Sonuç:

x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi

veya

x=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

Örnek

Soru

$\sin 2x=\dfrac12$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$2x$ 'i tek bir bilinmeyen gibi düşün; önce $2x$ için genel çözümü yaz, en son $2$ 'ye böl.

$2x$ 'i bir bütün kabul et; $\sin(2x)=\dfrac12$ için özel açı $\dfrac{\pi}{6}$ .
Sinüs için iki aile: $2x=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi$ veya $2x=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi$ .
Her iki tarafı $2$ 'ye böl: $x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi$ veya $x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi$ .

Sonuç:

x=\dfrac{\pi}{12}+k\pi

veya

x=\dfrac{5\pi}{12}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

Örnek

Soru

$2\sin^{2}x-\sin x=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

Ortak çarpanı ayır: $\sin x$ paranteze alınır. Çarpımı sıfır yapan iki durumu ayrı ayrı çöz.

Ortak çarpana ayır: $\sin x\,(2\sin x-1)=0$ .
Birinci durum $\sin x=0$ : $[0,2\pi)$ aralığında $x=0$ ve $x=\pi$ .
İkinci durum $2\sin x-1=0 \Rightarrow \sin x=\dfrac12$ : $[0,2\pi)$ aralığında $x=\dfrac{\pi}{6}$ ve $x=\dfrac{5\pi}{6}$ .
Tüm çözümleri birleştir.

Sonuç:

\left\{0,\ \dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5\pi}{6},\ \pi\right\}

Örnek

Soru

$\tan\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\sqrt3$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$\tan\alpha=\sqrt3$ veren özel açı $\alpha=\dfrac{\pi}{3}$ .
Tanjant için tek aile (periyot $\pi$ ): $x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}+k\pi$ .
$\dfrac{\pi}{6}$ 'yı karşı tarafa at: $x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}+k\pi=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ .

Sonuç:

x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

$2\cos^{2}x+\cos x-1=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki bütün köklerinin toplamı $S$ 'dir.

Buna göre $S$ kaçtır?

A) $2\pi$ · B) $\dfrac{8\pi}{3}$ · C) $3\pi$ · D) $\dfrac{10\pi}{3}$ · E) $4\pi$

$\cos x=t$ diyerek ikinci derece denklem yaz: $2t^{2}+t-1=0$ .
Çarpanlara ayır: $(2t-1)(t+1)=0 \Rightarrow t=\dfrac12$ veya $t=-1$ .
$\cos x=\dfrac12$ : $[0,2\pi)$ aralığında $x=\dfrac{\pi}{3}$ ve $x=\dfrac{5\pi}{3}$ .
$\cos x=-1$ : $[0,2\pi)$ aralığında $x=\pi$ .
Köklerin toplamı: $S=\dfrac{\pi}{3}+\pi+\dfrac{5\pi}{3}=\dfrac{\pi+3\pi+5\pi}{3}=\dfrac{9\pi}{3}=3\pi$ .

Sonuç: C)

3\pi

Örnek

Soru

$2\sin^{2}x=3\cos x$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesinin eleman sayısı $n$ 'dir.

Buna göre $n$ kaçtır?

A) $1$ · B) $2$ · C) $3$ · D) $4$ · E) $5$

$\sin^{2}x=1-\cos^{2}x$ özdeşliğini kullan: $2(1-\cos^{2}x)=3\cos x$ .
Düzenle: $2-2\cos^{2}x=3\cos x \Rightarrow 2\cos^{2}x+3\cos x-2=0$ .
Çarpanlara ayır: $(2\cos x-1)(\cos x+2)=0 \Rightarrow \cos x=\dfrac12$ veya $\cos x=-2$ .
$\cos x=-2$ değeri $[-1,1]$ dışında olduğundan elenir; çözüm vermez.
$\cos x=\dfrac12$ : $[0,2\pi)$ aralığında $x=\dfrac{\pi}{3}$ ve $x=\dfrac{5\pi}{3}$ olmak üzere $2$ kök vardır.

Sonuç: B)

2

Örnek

Soru

$\sin 2x=\sin x$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesinin eleman sayısı $n$ 'dir.

Buna göre $n$ kaçtır?

A) $1$ · B) $2$ · C) $3$ · D) $4$ · E) $5$

$\sin 2x=2\sin x\cos x$ açılımını yerine yaz: $2\sin x\cos x=\sin x$ .
Tüm terimleri bir tarafa topla ve ortak çarpana ayır: $\sin x\,(2\cos x-1)=0$ .
Birinci durum $\sin x=0$ : $[0,2\pi)$ aralığında $x=0$ ve $x=\pi$ .
İkinci durum $2\cos x-1=0 \Rightarrow \cos x=\dfrac12$ : $[0,2\pi)$ aralığında $x=\dfrac{\pi}{3}$ ve $x=\dfrac{5\pi}{3}$ .
Çözümler $\left\{0,\ \dfrac{\pi}{3},\ \pi,\ \dfrac{5\pi}{3}\right\}$ olup eleman sayısı $4$ 'tür.

Sonuç: D)

4

Örnek

Soru

$\cos 2x+3\sin x-2=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

A) $\dfrac{\pi}{2}$ · B) $\dfrac{5\pi}{6}$ · C) $\pi$ · D) $\dfrac{3\pi}{2}$ · E) $\dfrac{11\pi}{6}$

$\cos 2x=1-2\sin^{2}x$ yazımıyla denklemi yalnız $\sin x$ cinsine indir; ikinci derece denklem çıkar.

$\cos 2x=1-2\sin^{2}x$ yerine koy: $1-2\sin^{2}x+3\sin x-2=0$ .
Düzenle: $-2\sin^{2}x+3\sin x-1=0 \Rightarrow 2\sin^{2}x-3\sin x+1=0$ .
Çarpanlara ayır: $(2\sin x-1)(\sin x-1)=0 \Rightarrow \sin x=\dfrac12$ veya $\sin x=1$ .
$\sin x=\dfrac12$ : $[0,2\pi)$ aralığında $x=\dfrac{\pi}{6}$ ve $x=\dfrac{5\pi}{6}$ .
$\sin x=1$ : $[0,2\pi)$ aralığında $x=\dfrac{\pi}{2}$ .
Köklerin toplamı: $\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{5\pi}{6}+\dfrac{\pi}{2}=\pi+\dfrac{\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2}$ .

Sonuç: D)

\dfrac{3\pi}{2}

Örnek

Soru

$\sqrt{3}\,\tan x-1=0$ denkleminin $[0,2\pi)$ aralığındaki çözüm kümesinin eleman sayısı $n$ 'dir.

Buna göre $n$ kaçtır?

A) $1$ · B) $2$ · C) $3$ · D) $4$ · E) $6$

Tanjantın periyodu $\pi$ 'dir; $[0,2\pi)$ aralığı iki tam periyot içerir.

$\tan x$ 'i yalnız bırak: $\sqrt{3}\,\tan x=1 \Rightarrow \tan x=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ .
Özel açı: $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$ ; genel çözüm $x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi$ (tek aile, periyot $\pi$ ).
$[0,2\pi)$ aralığına düşen değerler: $k=0$ ile $\dfrac{\pi}{6}$ (I. bölge); $k=1$ ile $\dfrac{\pi}{6}+\pi=\dfrac{7\pi}{6}$ (III. bölge).
İki çözüm vardır; $n=2$ .

Sonuç: B)

2

Örnek

Soru

$\cos x=m-1$ denkleminin çözümünün bulunabilmesi için $m$ gerçek sayısının sağlaması gereken koşul aşağıdakilerden hangisidir?

A) $-1\le m\le 1$ · B) $0\le m\le 1$ · C) $0\le m\le 2$ · D) $1\le m\le 2$ · E) $m\ge 0$

$\cos x$ daima $[-1,1]$ aralığındadır; bu yüzden $m-1$ de bu aralıkta olmalıdır.

Kosinüsün değer aralığı: $-1\le\cos x\le 1$ .
Denklemin çözümü olması için sağ taraf da bu aralıkta olmalı: $-1\le m-1\le 1$ .
Her tarafa $1$ ekle: $0\le m\le 2$ .

Sonuç: C)

0\le m\le 2

Sık Yapılan Hatalar

$\sin x=a$ (veya $\cos x=a$ ) denkleminde tek bir çözüm yazmak. Sinüs ve kosinüs denklemlerinde birim çemberde aynı değeri veren iki açı ailesi vardır; yalnız $x=\alpha+2k\pi$ yazmak çözümlerin yarısını kaybettirir. (Tanjantta ise periyot $\pi$ olduğu için tek aile yeterlidir.)
$[0,2\pi)$ kısıtını gözardı etmek. Soru belirli bir aralıkta çözüm kümesi istiyorsa, genel çözümü yazıp $k$ 'ye değer vererek aralığa düşen açıları seçmek gerekir; sonsuz aileyi cevap olarak vermek yanlıştır. Ayrıca aralığın kapalı/açık uçlarına dikkat: $[0,2\pi)$ 'de $2\pi$ dahil değildir.
$\sin 2x$ tipinde önce $x$ 'i tek bırakmak. Önce $2x$ için genel çözümü (iki aile, $+2k\pi$ ile) yazıp en sonda $2$ 'ye bölmek gerekir. Bölme işlemini erken yapmak çözüm ailelerini eksik bırakır.
$\sin^2 x$ içeren denklemde $\sin x$ ile sadeleştirmek. $2\sin^2 x=\sin x$ ifadesini doğrudan $\sin x$ 'e bölmek $\sin x=0$ çözümünü yok eder; bunun yerine tüm terimleri bir tarafa toplayıp çarpanlara ayırmak gerekir.

Sınav İpucu

AYT'de trigonometrik denklemde yapılacak ilk iş, denklemi mutlaka $\sin x=a$ , $\cos x=a$ veya $\tan x=a$ temel biçimine indirgemektir. Sonra şu refleksi uygula: sinüs ve kosinüs için iki aile, tanjant için tek aile. Cevap şıkları çoğunlukla $[0,2\pi)$ veya $[0,360^{\circ})$ aralığındaki açıları istediğinden, genel çözümü bulduktan sonra $k=0,1$ verip aralığa düşen değerleri seçmeyi unutma. Negatif değerli denklemlerde ( $\cos x=-\tfrac12$ gibi) açının hangi bölgede olduğunu birim çemberden hızlıca belirlemek işaret hatalarını önler.

1. Genel Çözüm Formülleri

Özel Açı Değerleri

2. Sinüslü Denklemler

3. Kosinüslü Denklemler

4. Tanjantlı Denklemler

5. Önce Sadeleştirme: Temel Biçime İndirgemek

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Trigonometri — diğer konular