AYT Matematik · Trigonometri

Trigonometrik Denklemler

~9 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Trigonometrik denklemler, içinde $sin x$ , $cos x$ ya da $tan x$ gibi trigonometrik ifadeler bulunan denklemlerdir. Bu fonksiyonlar periyodik olduğundan, bir trigonometrik denklemin (genellikle) sonsuz çözümü vardır ve bu çözümler $k \in Z$ içeren bir genel çözüm ailesiyle yazılır. Bu konu, denklemi temel biçime indirgemeyi, özel açıları tanımayı ve hem genel çözümü hem de $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bulmayı öğretir.

1. Genel Çözüm Formülleri

Önce denklemi her zaman $sin x = a$ , $cos x = a$ veya $tan x = a$ biçimine indirgeriz; ardından $a$ değerini veren bir özel açı $α$ buluruz. Genel çözümler $k \in Z$ olmak üzere şöyledir:

Denklem	Genel çözüm
$sin x = sin α$	$x = α + 2 k π$ veya $x = π - α + 2 k π$
$cos x = cos α$	$x = \pm α + 2 k π$
$tan x = tan α$	$x = α + k π$

Dikkat: $sin$ ve $cos$ için periyot $2 π$ , fakat $tan$ için periyot $π$ 'dir. Bu yüzden tanjant denkleminde tek bir aile yeterlidir.

Özel Açı Değerleri

$α$	$sin α$	$cos α$	$tan α$
$0$	$0$	$1$	$0$
$\frac{π}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{3}$
$\frac{π}{4}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$\frac{π}{3}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$
$\frac{π}{2}$	$1$	$0$	tanımsız

2. Sinüslü Denklemler

$sin x = a$ denkleminin çözümü için $- 1 \leq a \leq 1$ olmalıdır. Çözüm iki aile içerir, çünkü birim çemberde aynı sinüs değerini veren iki açı vardır (biri $α$ , diğeri $π - α$ ).

Örnek

Soru

$sin x = \frac{1}{2}$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$\frac{1}{2}$ değerini veren özel açı: $α = \frac{π}{6}$ (yani $3 0^{\circ}$ ).
Sinüs için iki aile yaz: $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ veya $x = π - \frac{π}{6} + 2 k π$ .
İkinci aileyi sadeleştir: $π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ (yani $15 0^{\circ}$ ).

Sonuç:

x = \frac{π}{6} + 2 k π

veya

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z

3. Kosinüslü Denklemler

$cos x = a$ denkleminde birim çemberde aynı kosinüs değerini $α$ ve $- α$ açıları verir. Bu yüzden çözüm $x = \pm α + 2 k π$ tek satırla yazılır.

Örnek

Soru

$cos x = - \frac{1}{2}$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$- \frac{1}{2}$ negatif olduğundan açı 2. bölgededir; $cos α = - \frac{1}{2}$ veren açı $α = \frac{2 π}{3}$ (yani $12 0^{\circ}$ ).
Kosinüs için genel çözüm: $x = \pm \frac{2 π}{3} + 2 k π$ .
$- \frac{2 π}{3}$ ailesini $[0, 2 π)$ karşılığıyla yazarsak $\frac{4 π}{3}$ (yani $24 0^{\circ}$ ) elde edilir.

Sonuç:

x = \frac{2 π}{3} + 2 k π

veya

x = \frac{4 π}{3} + 2 k π, k \in Z

4. Tanjantlı Denklemler

$tan x = a$ her $a \in R$ için çözülebilir (kısıt yoktur). Periyot $π$ olduğundan genel çözüm tek aileyle yazılır: $x = α + k π$ .

Örnek

Soru

$tan x = 1$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$tan α = 1$ veren özel açı: $α = \frac{π}{4}$ (yani $4 5^{\circ}$ ).
Tanjant için periyot $π$ olduğundan genel çözüm tek ailedir: $x = \frac{π}{4} + k π$ .

Sonuç:

x = \frac{π}{4} + k π, k \in Z

5. Önce Sadeleştirme: Temel Biçime İndirgemek

Karşımıza çoğu zaman doğrudan $sin x = a$ biçiminde değil, düzenlenmesi gereken bir denklem çıkar. Önce $sin x$ , $cos x$ ya da $tan x$ 'i yalnız bırakırız.

Örnek

Soru

$2 sin x - 1 = 0$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

Önce $sin x$ 'i yalnız bırak; denklemi $sin x = a$ biçimine getir, sonra özel açıyı bul.

$sin x$ 'i yalnız bırak: $2 sin x = 1 \Rightarrow sin x = \frac{1}{2}$ .
Özel açı $α = \frac{π}{6}$ olduğundan sinüsün iki ailesini yaz: $x = \frac{π}{6} + 2 k π$ veya $x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ .

Sonuç:

x = \frac{π}{6} + 2 k π

veya

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π, k \in Z

Çözüm aralığı uyarısı: Soru " $[0, 2 π)$ aralığında çözüm kümesi" istiyorsa, genel çözümde $k$ 'ye küçük tam sayı değerleri ( $k = 0, 1, \dots$ ) vererek bu aralığa düşen açıları seçeriz; aralık dışındakileri atarız.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$cos x = 0$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

$cos x = 0$ olan özel açı $α = \frac{π}{2}$ 'dir; genel çözüm $x = \pm \frac{π}{2} + 2 k π$ .
$[0, 2 π)$ aralığına düşen değerleri seç: $+ \frac{π}{2}$ ailesinden $k = 0$ ile $\frac{π}{2}$ .
$- \frac{π}{2}$ ailesinden $k = 1$ ile $- \frac{π}{2} + 2 π = \frac{3 π}{2}$ .

Sonuç:

{\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}}

Örnek

Soru

$sin x = \frac{3}{2}$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

Önce genel çözümü yaz, sonra $k = 0$ değerleriyle aralığa düşen açıları seç.

$\frac{3}{2}$ değerini veren özel açı $α = \frac{π}{3}$ 'tür.
Sinüs için iki aile: $x = \frac{π}{3} + 2 k π$ veya $x = π - \frac{π}{3} + 2 k π = \frac{2 π}{3} + 2 k π$ .
$k = 0$ alındığında her iki değer de $[0, 2 π)$ içindedir: $\frac{π}{3}$ ve $\frac{2 π}{3}$ .

Sonuç:

{\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3}}

Örnek

Soru

$2 cos x + 3 = 0$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$cos x$ 'i yalnız bırak: $2 cos x = - 3 \Rightarrow cos x = - \frac{3}{2}$ .
$cos α = \frac{3}{2}$ veren açı $\frac{π}{6}$ ; değer negatif olduğundan ana açı $α = π - \frac{π}{6} = \frac{5 π}{6}$ (yani $15 0^{\circ}$ ).
Kosinüs için genel çözüm: $x = \pm \frac{5 π}{6} + 2 k π$ . Negatif aileyi $[0, 2 π)$ karşılığıyla yazarsak $\frac{7 π}{6}$ (yani $21 0^{\circ}$ ).

Sonuç:

x = \frac{5 π}{6} + 2 k π

veya

x = \frac{7 π}{6} + 2 k π, k \in Z

Örnek

Soru

$sin 2 x = \frac{1}{2}$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$2 x$ 'i tek bir bilinmeyen gibi düşün; önce $2 x$ için genel çözümü yaz, en son $2$ 'ye böl.

$2 x$ 'i bir bütün kabul et; $sin (2 x) = \frac{1}{2}$ için özel açı $\frac{π}{6}$ .
Sinüs için iki aile: $2 x = \frac{π}{6} + 2 k π$ veya $2 x = \frac{5 π}{6} + 2 k π$ .
Her iki tarafı $2$ 'ye böl: $x = \frac{π}{12} + k π$ veya $x = \frac{5 π}{12} + k π$ .

Sonuç:

x = \frac{π}{12} + k π

veya

x = \frac{5 π}{12} + k π, k \in Z

Örnek

Soru

$2 sin^{2} x - sin x = 0$ denkleminin $[0, 2 π)$ aralığındaki çözüm kümesini bulunuz.

Ortak çarpanı ayır: $sin x$ paranteze alınır. Çarpımı sıfır yapan iki durumu ayrı ayrı çöz.

Ortak çarpana ayır: $sin x (2 sin x - 1) = 0$ .
Birinci durum $sin x = 0$ : $[0, 2 π)$ aralığında $x = 0$ ve $x = π$ .
İkinci durum $2 sin x - 1 = 0 \Rightarrow sin x = \frac{1}{2}$ : $[0, 2 π)$ aralığında $x = \frac{π}{6}$ ve $x = \frac{5 π}{6}$ .
Tüm çözümleri birleştir.

Sonuç:

{0, \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, π}

Örnek

Soru

$tan (x - \frac{π}{6}) = 3$ denkleminin genel çözümünü bulunuz.

$tan α = 3$ veren özel açı $α = \frac{π}{3}$ .
Tanjant için tek aile (periyot $π$ ): $x - \frac{π}{6} = \frac{π}{3} + k π$ .
$\frac{π}{6}$ 'yı karşı tarafa at: $x = \frac{π}{3} + \frac{π}{6} + k π = \frac{π}{2} + k π$ .

Sonuç:

x = \frac{π}{2} + k π, k \in Z

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

sinx = k temel denklemi (iki kök ailesi): π−α ailesini (II. bölge kökünü) unutmak sinx=1/2, [0,2π) için tek kök π/6; kök toplamı π yerine π/6
cosx = k temel denklemi (± simetri): cos'a sin simetrisi (π−α) uygulamak cosx=√3/2 için 11π/6 yerine 5π/6 (orada cos negatiftir)
tanx = k denklemi (periyot π tuzağı): Periyodu 2π alıp α+π kökünü atlamak tanx=√3, [0,2π) için tek kök π/3 (4π/3 kaçar)
Katlı açıda verilen aralıkta kök sayısı: Aralığı genişletmeyip u'yu [0,2π)'de çözmek sin2x=1/2 için 4 yerine 2 kök
Çarpanlara ayrılan denklemler (her çarpan ayrı denklem): İki tarafı sinx'e bölmek (sinx=0 köklerini kaybetmek) 4 yerine 2 kök (0 ve π kaybolur)
İki kat açı içeren denklem (sin2x=cosx tipi): İki tarafı cosx'e bölüp cosx=0 köklerini kaybetmek 4 yerine 2 kök (π/2 ve 3π/2 kaybolur)

Soru 1Orta

2 cos^{2} x + cos x - 1 = 0

denkleminin

[0, 2 π)

aralığındaki bütün köklerinin toplamı

S

'dir. Buna göre

S

kaçtır?

$cos x = t$ diyerek ikinci derece denklem yaz: $2 t^{2} + t - 1 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(2 t - 1) (t + 1) = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ veya $t = - 1$ .
$cos x = \frac{1}{2}$ : $[0, 2 π)$ aralığında $x = \frac{π}{3}$ ve $x = \frac{5 π}{3}$ .
$cos x = - 1$ : $[0, 2 π)$ aralığında $x = π$ .
Köklerin toplamı: $S = \frac{π}{3} + π + \frac{5 π}{3} = \frac{π + 3 π + 5 π}{3} = \frac{9 π}{3} = 3 π$ .

Sonuç:

3 π

Soru 2Orta

2 sin^{2} x = 3 cos x

denkleminin

[0, 2 π)

aralığındaki çözüm kümesinin eleman sayısı

n

'dir. Buna göre

n

kaçtır?

$sin^{2} x = 1 - cos^{2} x$ özdeşliğini kullan: $2 (1 - cos^{2} x) = 3 cos x$ .
Düzenle: $2 - 2 cos^{2} x = 3 cos x \Rightarrow 2 cos^{2} x + 3 cos x - 2 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(2 cos x - 1) (cos x + 2) = 0 \Rightarrow cos x = \frac{1}{2}$ veya $cos x = - 2$ .
$cos x = - 2$ değeri $[- 1, 1]$ dışında olduğundan elenir; çözüm vermez.
$cos x = \frac{1}{2}$ : $[0, 2 π)$ aralığında $x = \frac{π}{3}$ ve $x = \frac{5 π}{3}$ olmak üzere $2$ kök vardır.

Sonuç:

2

Soru 3Orta

sin 2 x = sin x

denkleminin

[0, 2 π)

aralığındaki çözüm kümesinin eleman sayısı

n

'dir. Buna göre

n

kaçtır?

$sin 2 x = 2 sin x cos x$ açılımını yerine yaz: $2 sin x cos x = sin x$ .
Tüm terimleri bir tarafa topla ve ortak çarpana ayır: $sin x (2 cos x - 1) = 0$ .
**Birinci durum** $sin x = 0$ : $[0, 2 π)$ aralığında $x = 0$ ve $x = π$ .
**İkinci durum** $2 cos x - 1 = 0 \Rightarrow cos x = \frac{1}{2}$ : $[0, 2 π)$ aralığında $x = \frac{π}{3}$ ve $x = \frac{5 π}{3}$ .
Çözümler ${0, \frac{π}{3}, π, \frac{5 π}{3}}$ olup eleman sayısı $4$ 'tür.

Sonuç:

4

Soru 4Zor

cos 2 x + 3 sin x - 2 = 0

denkleminin

[0, 2 π)

aralığındaki köklerinin toplamı kaçtır?

$cos 2 x = 1 - 2 sin^{2} x$ yerine koy: $1 - 2 sin^{2} x + 3 sin x - 2 = 0$ .
Düzenle: $- 2 sin^{2} x + 3 sin x - 1 = 0 \Rightarrow 2 sin^{2} x - 3 sin x + 1 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(2 sin x - 1) (sin x - 1) = 0 \Rightarrow sin x = \frac{1}{2}$ veya $sin x = 1$ .
$sin x = \frac{1}{2}$ : $[0, 2 π)$ aralığında $x = \frac{π}{6}$ ve $x = \frac{5 π}{6}$ .
$sin x = 1$ : $[0, 2 π)$ aralığında $x = \frac{π}{2}$ .
Köklerin toplamı: $\frac{π}{6} + \frac{5 π}{6} + \frac{π}{2} = π + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3 π}{2}

Soru 5Kolay

3 tan x - 1 = 0

denkleminin

[0, 2 π)

aralığındaki çözüm kümesinin eleman sayısı

n

'dir. Buna göre

n

kaçtır?

$tan x$ 'i yalnız bırak: $3 tan x = 1 \Rightarrow tan x = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ .
Özel açı: $α = \frac{π}{6}$ ; genel çözüm $x = \frac{π}{6} + k π$ (tek aile, periyot $π$ ).
$[0, 2 π)$ aralığına düşen değerler: $k = 0$ ile $\frac{π}{6}$ (I. bölge); $k = 1$ ile $\frac{π}{6} + π = \frac{7 π}{6}$ (III. bölge).
İki çözüm vardır; $n = 2$ .

Sonuç:

2

Soru 6Kolay

cos x = m - 1

denkleminin çözümünün bulunabilmesi için

m

gerçek sayısının sağlaması gereken koşul aşağıdakilerden hangisidir?

Kosinüsün değer aralığı: $- 1 \leq cos x \leq 1$ .
Denklemin çözümü olması için sağ taraf da bu aralıkta olmalı: $- 1 \leq m - 1 \leq 1$ .
Her tarafa $1$ ekle: $0 \leq m \leq 2$ .

Sonuç:

0 \leq m \leq 2

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$sin x = a$ (veya $cos x = a$ ) denkleminde tek bir çözüm yazmak. Sinüs ve kosinüs denklemlerinde birim çemberde aynı değeri veren iki açı ailesi vardır; yalnız $x = α + 2 k π$ yazmak çözümlerin yarısını kaybettirir. (Tanjantta ise periyot $π$ olduğu için tek aile yeterlidir.)
$[0, 2 π)$ kısıtını gözardı etmek. Soru belirli bir aralıkta çözüm kümesi istiyorsa, genel çözümü yazıp $k$ 'ye değer vererek aralığa düşen açıları seçmek gerekir; sonsuz aileyi cevap olarak vermek yanlıştır. Ayrıca aralığın kapalı/açık uçlarına dikkat: $[0, 2 π)$ 'de $2 π$ dahil değildir.
$sin 2 x$ tipinde önce $x$ 'i tek bırakmak. Önce $2 x$ için genel çözümü (iki aile, $+ 2 k π$ ile) yazıp en sonda $2$ 'ye bölmek gerekir. Bölme işlemini erken yapmak çözüm ailelerini eksik bırakır.
$sin^{2} x$ içeren denklemde $sin x$ ile sadeleştirmek. $2 sin^{2} x = sin x$ ifadesini doğrudan $sin x$ 'e bölmek $sin x = 0$ çözümünü yok eder; bunun yerine tüm terimleri bir tarafa toplayıp çarpanlara ayırmak gerekir.

Sınav İpucu

AYT'de trigonometrik denklemde yapılacak ilk iş, denklemi mutlaka $sin x = a$ , $cos x = a$ veya $tan x = a$ temel biçimine indirgemektir. Sonra şu refleksi uygula: sinüs ve kosinüs için iki aile, tanjant için tek aile. Cevap şıkları çoğunlukla $[0, 2 π)$ veya $[0, 36 0^{\circ})$ aralığındaki açıları istediğinden, genel çözümü bulduktan sonra $k = 0, 1$ verip aralığa düşen değerleri seçmeyi unutma. Negatif değerli denklemlerde ( $cos x = - \frac{1}{2}$ gibi) açının hangi bölgede olduğunu birim çemberden hızlıca belirlemek işaret hatalarını önler.

1. Genel Çözüm Formülleri

Özel Açı Değerleri

2. Sinüslü Denklemler

3. Kosinüslü Denklemler

4. Tanjantlı Denklemler

5. Önce Sadeleştirme: Temel Biçime İndirgemek

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Trigonometri — diğer konular