AYT Matematik · Trigonometri

Üçgende Trigonometri (Sinüs-Kosinüs Teoremi)

~9 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Bir üçgenin kenarları ile açıları arasındaki bağıntılar, dik üçgenle sınırlı kalmaz: sinüs ve kosinüs teoremleri, herhangi bir üçgende eksik kenar veya açıyı bulmamızı sağlar. Bu konu, AYT'de geometri ve trigonometriyi birleştiren en verimli başlıklardan biridir.

1. Temel Gösterim ve Üç Teorem

Bir üçgende kenarlar $a$ , $b$ , $c$ ile, bu kenarların karşısındaki açılar $A$ , $B$ , $C$ ile gösterilir. Yani $a$ kenarı $A$ açısının karşısındadır.

Sinüs Teoremi

Bir üçgende her kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve bu oran çevrel çemberin yarıçapının iki katına eşittir:

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C} = 2 R$

Burada $R$ , üçgenin çevrel çemberinin yarıçapıdır. Bu teorem genellikle bir kenar ile karşı açısı bilindiğinde işe yarar.

Kosinüs Teoremi

Bir kenarın karesini, diğer iki kenar ve aralarındaki açı cinsinden verir:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

Döngüsel olarak diğer kenarlar için de yazılır:

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos B, c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$

Açıyı yalnız bırakacak şekilde de düzenlenebilir:

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$

Bu teorem, iki kenar ile aralarındaki açı ya da üç kenar bilindiğinde kullanılır.

Şekil 1 — Herhangi bir

A B C

üçgeninde

A

köşesinde buluşan

b

c

kenarları ile aralarındaki

A

açısı verildiğinde, karşı kenar

a

kosinüs teoremiyle bulunur:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

Üçgenin Alanı

İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa alan, kenar uzunlukları ile açının sinüsünden bulunur:

$Alan = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} a c sin B = \frac{1}{2} a b sin C$

Bilinenler	Kullanılacak araç
İki kenar + aralarındaki açı	Kosinüs teoremi (kenar), alan formülü
Üç kenar	Kosinüs teoremi (açı)
Bir kenar + karşı açı (+ bir veri)	Sinüs teoremi, $2 R$

Örnek

Soru

Bir üçgende $b = 5$ , $c = 8$ ve aralarındaki açı $A = 6 0^{\circ}$ ise $a$ kenarını bulunuz.

Kosinüs teoremini yaz: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
Değerleri yerine koy: $a^{2} = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ}$ .
$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ olduğundan: $a^{2} = 89 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$ .
Kök al: $a = 49 = 7$ .

Sonuç:

a = 7

Örnek

Soru

Bir üçgende $a = 10$ ve $A = 3 0^{\circ}$ ise çevrel çemberin yarıçapı $R$ kaçtır?

Sinüs teoreminin $\frac{a}{sin A} = 2 R$ kısmını kullan. $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .

Sinüs teoremi: $\frac{a}{sin A} = 2 R$ .
Yerine koy: $2 R = \frac{10}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{10}{1/2} = 20$ .
İkiye böl: $R = 10$ .

Sonuç:

R = 10

Örnek

Soru

İki kenarı $6$ ve $8$ birim, bu kenarlar arasındaki açı $3 0^{\circ}$ olan üçgenin alanını bulunuz.

Alan formülü: $Alan = \frac{1}{2} b c sin A$ .
Değerleri yaz: $Alan = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot sin 3 0^{\circ}$ .
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ olduğundan: $Alan = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 12$ .

Sonuç: Alan

= 12

birimkare

Örnek

Soru

Kenarları $a = 7$ , $b = 5$ , $c = 3$ olan üçgende $A$ açısını bulunuz.

En büyük kenar ( $a$ ) en büyük açının karşısındadır. Kosinüs teoremini açı için düzenlenmiş hâlde kullan.

Açı için kosinüs teoremi: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}$ .
Yerine koy: $cos A = \frac{25 + 9 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \frac{- 15}{30} = - \frac{1}{2}$ .
Kosinüsü $- \frac{1}{2}$ olan açı: $A = 12 0^{\circ}$ .

Sonuç:

A = 12 0^{\circ}

(üçgen geniş açılıdır)

Örnek

Soru

Bir üçgende $a = 6$ , $b = 4$ ve $A = 9 0^{\circ}$ ise $sin B$ değerini bulunuz.

Sinüs teoremi: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ .
Yerine koy: $\frac{6}{sin 9 0 ^{\circ}} = \frac{4}{sin B}$ , yani $\frac{6}{1} = \frac{4}{sin B}$ .
İçler-dışlar çarpımı: $6 sin B = 4 \Rightarrow sin B = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ .

Sonuç:

sin B = \frac{2}{3}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Bir üçgende $b = 7$ , $c = 3$ ve aralarındaki açı $A = 12 0^{\circ}$ ise $a$ kenarını bulunuz.

Kosinüs teoremi: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ olduğuna dikkat et: $a^{2} = 49 + 9 - 2 \cdot 7 \cdot 3 \cdot (- \frac{1}{2})$ .
İşareti doğru uygula: $a^{2} = 58 + 21 = 79$ .
Kök al: $a = 79$ .

Sonuç:

a = 79

Örnek

Soru

Kenarları $a = 8$ , $b = 7$ , $c = 5$ olan üçgenin alanını bulunuz.

Önce bir açının kosinüsünü kosinüs teoremiyle bul, sonra o açının sinüsünü hesaplayıp alan formülünü uygula.

$a$ karşısındaki $A$ açısı için: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{49 + 25 - 64}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$ .
Sinüsü bul: $sin A = 1 - cos^{2} A = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49} = \frac{4 3}{7}$ .
Alan formülü ( $A$ açısı $b$ ile $c$ arasındadır): $Alan = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 5 \cdot \frac{4 3}{7}$ .
Sadeleştir: $Alan = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 43 = 103$ .

Sonuç: Alan

= 103

birimkare

Örnek

Soru

Çevrel çemberinin yarıçapı $R = 6$ olan bir üçgende $A = 4 5^{\circ}$ ise $A$ açısının karşısındaki $a$ kenarını bulunuz.

Sinüs teoremi: $\frac{a}{sin A} = 2 R$ , yani $a = 2 R sin A$ .
Değerleri yerine koy: $a = 2 \cdot 6 \cdot sin 4 5^{\circ} = 12 \cdot \frac{2}{2}$ .
Sadeleştir: $a = 62$ .

Sonuç:

a = 62

Örnek

Soru

Bir kenarı $a = 6$ olan eşkenar üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı $R$ kaçtır?

Eşkenar üçgende her açı $6 0^{\circ}$ olduğundan sinüs teoremi doğrudan uygulanır.

Eşkenar üçgende her iç açı $6 0^{\circ}$ 'dir: $A = 6 0^{\circ}$ .
Sinüs teoremi: $2 R = \frac{a}{sin A} = \frac{6}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{6}{\frac{3}{2}} = \frac{12}{3}$ .
Paydayı rasyonelleştir: $2 R = \frac{12}{3} \cdot \frac{3}{3} = \frac{12 3}{3} = 43$ .
İkiye böl: $R = 23$ .

Sonuç:

R = 23

Örnek

Soru

İki kenarı $a = 5$ ve $b = 5$ olan ikizkenar üçgende, bu eşit kenarlar arasındaki tepe açısı $C = 12 0^{\circ}$ ise tabana ( $c$ kenarına) ait uzunluğu bulunuz.

Tepe açısı $C$ , $a$ ile $b$ kenarları arasındadır; karşısındaki kenar $c$ 'dir. Kosinüs teoremi: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .
$cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ ile: $c^{2} = 25 + 25 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot (- \frac{1}{2})$ .
İşareti uygula: $c^{2} = 50 + 25 = 75$ .
Kök al: $c = 75 = 53$ .

Sonuç:

c = 53

Örnek

Soru

Bir üçgende kenarlar $a = 4$ , $b = 6$ ve aralarındaki açı $C = 6 0^{\circ}$ ise $c$ kenarını ve üçgenin alanını bulunuz.

$C$ açısı $a$ ile $b$ arasındadır; bu yüzden hem kosinüs teoremi hem de alan formülü bu iki kenar üzerinden yazılır.

Kosinüs teoremi: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C = 16 + 36 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$ .
Hesapla: $c^{2} = 52 - 24 = 28 \Rightarrow c = 28 = 27$ .
Alan formülü: $Alan = \frac{1}{2} a b sin C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot sin 6 0^{\circ}$ .
$sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ile: $Alan = 12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ .

Sonuç:

c = 27

ve Alan

= 63

birimkare

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Sinüs teoremi (kenar/açı bulma, çevrel çember yarıçapı): Oranı ters kurmak (b = a·sinA/sinB) doğru cevabın sinüsler oranınca tersi — 4√2 yerine 2√2 gibi
Kosinüs teoremi ile kenar bulma (SAS): −2bc·cosA terimini + almak a² = 73+24 = 97 gibi şişkin kenar karesi
Kosinüs teoremi ile açı bulma (üç kenar): cosC = −1/2 çıkınca dar açı 60° seçmek 120° yerine 60° — işaretin anlamını atlamak
Trigonometrik alan formülü (Alan = ½·b·c·sinA): ½ çarpanını unutmak doğru alanın iki katı — 10 yerine 20
Sinüs + kosinüs teoremi birleşik (sınav ayarı): Kenarı bulmadan doğrudan b/sinA gibi eşleşmeyen oran kurmak kenar–açı çifti uyumsuz, ilgisiz bir r
Üçgen çeşidini belirleme (cos işaretinden): Karşılaştırmayı küçük bir kenarın açısıyla yapmak dar çıkan yan açıdan üçgene yanlışlıkla 'dar açılı' demek

Soru 1Orta

Kenar uzunlukları

a = 7

b = 8

c = 13

birim olan bir üçgen veriliyor. Buna göre, bu üçgenin alanı kaç birimkaredir?

$c = 13$ kenarının karşısındaki $C$ açısını bulmak için kosinüs teoremini açı biçiminde yaz: $cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$ .
Değerleri yerine koy: $cos C = \frac{49 + 64 - 169}{2 \cdot 7 \cdot 8} = \frac{- 56}{112} = - \frac{1}{2}$ .
Kosinüsü $- \frac{1}{2}$ olan açı $C = 12 0^{\circ}$ 'dir; buradan $sin C = \frac{3}{2}$ bulunur.
$C$ açısı $a$ ile $b$ kenarları arasında olduğundan alan formülü doğrudan uygulanır: $Alan = \frac{1}{2} a b sin C = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{3}{2}$ .
Sadeleştir: $Alan = \frac{56 3}{4} = 143$ .

Sonuç:

143

Soru 2Orta

Bir

A B C

üçgeninde

b = 5

c = 8

birim ve bu iki kenar arasındaki

A

açısı

6 0^{\circ}

'dir. Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı

R

kaç birimdir?

Karşı açısı bilinen bir kenar yok; önce kosinüs teoremiyle $a$ kenarını bul: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot cos 6 0^{\circ}$ .
$cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ile: $a^{2} = 89 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49 \Rightarrow a = 7$ .
Artık $a = 7$ kenarı ile karşı açısı $A = 6 0^{\circ}$ elimizde; sinüs teoremini $2 R$ ile yaz: $2 R = \frac{a}{sin A} = \frac{7}{sin 6 0 ^{\circ}} = \frac{7}{\frac{3}{2}} = \frac{14}{3}$ .
Paydayı rasyonelleştir: $2 R = \frac{14}{3} \cdot \frac{3}{3} = \frac{14 3}{3}$ .
İkiye böl: $R = \frac{7 3}{3}$ .

Sonuç:

\frac{7 3}{3}

Soru 3Orta

Kenar uzunlukları

a = 13

b = 14

c = 15

birim olan bir üçgen veriliyor. Buna göre, bu üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı

R

kaç birimdir?

Bir kenar ile karşı açısını elde etmek için $a = 13$ kenarının karşısındaki $A$ açısını kosinüs teoremiyle bul: $cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} = \frac{196 + 225 - 169}{2 \cdot 14 \cdot 15}$ .
Hesapla: $cos A = \frac{252}{420} = \frac{3}{5}$ .
Sinüsü bul: $sin A = 1 - cos^{2} A = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} = \frac{4}{5}$ .
Sinüs teoremini $2 R$ ile uygula: $2 R = \frac{a}{sin A} = \frac{13}{\frac{4}{5}} = \frac{65}{4}$ .
İkiye böl: $R = \frac{65}{8}$ .

Sonuç:

\frac{65}{8}

Soru 4Zor

Bir

A B C

üçgeninde

b = 23

birim,

c = 2

birim ve bu iki kenar arasındaki açı

A = 3 0^{\circ}

'dir. Buna göre,

a

kenarının karşısındaki

A

açısı dışında kalan,

b

kenarının karşısındaki

B

açısı kaç derecedir?

Kosinüs teoremi: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 12 + 4 - 2 \cdot 23 \cdot 2 \cdot cos 3 0^{\circ}$ .
$cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ ile: $a^{2} = 16 - 83 \cdot \frac{3}{2} = 16 - 12 = 4 \Rightarrow a = 2$ .
Sinüs teoremi: $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} \Rightarrow \frac{2}{sin 3 0 ^{\circ}} = \frac{2 3}{sin B}$ .
$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ile: $\frac{2}{1/2} = 4 = \frac{2 3}{sin B} \Rightarrow sin B = \frac{2 3}{4} = \frac{3}{2}$ .
$sin B = \frac{3}{2}$ veren açı $6 0^{\circ}$ ya da $12 0^{\circ}$ 'dir. $A = 3 0^{\circ}$ olduğundan $B = 12 0^{\circ}$ alınırsa açılar toplamı $30 + 120 = 150$ olur ve $C = 3 0^{\circ}$ kalır (geçerli). $B = 6 0^{\circ}$ ise $C = 9 0^{\circ}$ olur. İki kenarla aralarındaki açı (SAS) verildiğinde üçgen tek türlü belirlidir; $a = c = 2$ olduğundan üçgen ikizkenardır ve $A = C$ , yani $C = 3 0^{\circ}$ , dolayısıyla $B = 12 0^{\circ}$ 'dir.

Sonuç:

120

Soru 5Kolay

Bir

A B C

üçgeninde

\frac{a}{sin A} = 12

birimdir ve

a = 6

birimdir. Buna göre,

a

kenarını gören (karşı)

A

açısı kaç derecedir?

Sinüs teoremi: $\frac{a}{sin A} = 12 \Rightarrow sin A = \frac{a}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ .
$sin A = \frac{1}{2}$ veren dar açı $A = 3 0^{\circ}$ 'dir (geniş açı seçeneği $15 0^{\circ}$ şıklarda yok).

Sonuç:

30

Soru 6Zor

Bir

A B C

üçgeninde

b = 6

c = 10

birim ve bu iki kenar arasındaki

A

açısı için

cos A = \frac{4}{5}

veriliyor (

A

dar açı). Buna göre,

a

kenarının uzunluğunun karesi (

a^{2}

) ile üçgenin alanının (

S

) toplamı

a^{2} + S

kaçtır?

Kosinüs teoremi: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{4}{5}$ .
Hesapla: $a^{2} = 136 - 120 \cdot \frac{4}{5} = 136 - 96 = 40$ .
Sinüsü bul: $A$ dar açı olduğundan $sin A = 1 - \frac{16}{25} = \frac{3}{5}$ .
Alan: $S = \frac{1}{2} b c sin A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{3}{5} = 30 \cdot \frac{3}{5} = 18$ .
Toplamı yaz: $a^{2} + S = 40 + 18 = 58$ .

Sonuç:

58

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Kosinüs teoremindeki $- 2 b c cos A$ işaretini şaşırmak. Formül $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ şeklindedir; açı geniş ( $9 0^{\circ}$ ile $18 0^{\circ}$ arası) olduğunda $cos A$ negatif olur ve $- 2 b c cos A$ terimi pozitife dönerek kenarı büyütür. Önce $cos A$ 'nın işaretini doğru belirleyip sonra yerine koy.
Alan formülünde açının iki kenar arasındaki açı olması gerektiğini gözden kaçırmak. $\frac{1}{2} b c sin A$ formülünde $A$ açısı, $b$ ile $c$ kenarlarının arasında olmalıdır. Karşı açıyı kullanırsan sonuç yanlış çıkar; gerekirse önce o açıyı bulmalısın.
Sinüs teoreminde kenarı yanlış açıyla eşleştirmek. Daima kenarın karşısındaki açıyı kullan: $a$ ile $A$ , $b$ ile $B$ eşleşir.

Sınav İpucu

Hangi teoremi seçeceğine bilinenlere bakarak karar ver: iki kenar + aralarındaki açı ya da üç kenar varsa kosinüs teoremi; bir kenar ile karşı açısı varsa sinüs teoremi (ve $2 R$ ile çevrel çember). Alan için elinde iki kenar ve aralarındaki açı olup olmadığını kontrol et. $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 12 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ , $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ değerlerini ezbere bilmek, bu soruları saniyeler içinde çözmeni sağlar.

1. Temel Gösterim ve Üç Teorem

Sinüs Teoremi

Kosinüs Teoremi

Üçgenin Alanı

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Trigonometri — diğer konular