çözümebak

AYT Matematik · Trigonometri · Soru Tipleri

Üçgende Trigonometri (Sinüs-Kosinüs Teoremi) — Soru Tipleri ve Tuzaklar

7 soru tipiAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlıkKonu anlatımı →

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

  1. Sinüs teoremi (kenar/açı bulma, çevrel çember yarıçapı)

    KolaySık çıkar

    Bir kenar ile KARŞI açısı verilir; başka bir kenar, bir açı ya da çevrel çemberin yarıçapı istenir. a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R oranı kurulur. Konunun ısınma sorusu; oranın R değil 2R olduğu bu tipin can damarı.

    Nasıl çözülür

    1. Kenarları karşı açılarıyla eşleştir: a↔A, b↔B, c↔C.
    2. Bilinen kenar–açı çiftiyle oranı yaz: a/sinA = b/sinB = 2R.
    3. İçler-dışlar çarpımıyla istenen kenarı veya sinüs değerini çek.
    4. R isteniyorsa önce 2R'yi bul, MUTLAKA ikiye böl; paydada kök kaldıysa rasyonelleştir.
    5. sinB'den açıya geçerken 180°−B ihtimalini üçgen eşitsizliği/açı toplamıyla ele.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Oranı ters kurmak (b = a·sinA/sinB)doğru cevabın sinüsler oranınca tersi — 4√2 yerine 2√2 gibi
    • a/sinA'yı doğrudan R sanmak (2'yi unutmak)doğru yarıçapın iki katı
    • Kenarı komşu açıyla eşleştirmek (a'yı B ile)yanlış açı çiftinden gelen ilgisiz kenar
    • sinB = √3/2'den yalnız 60°'yi görüp 120° ihtimalini atlamakgeniş açılı üçgende yanlış açı seçimi

    Örnek

    ABC üçgeninde A=30°, B=45° ve a=4 birim ise b kaç birimdir?

    b = a·sinB/sinA = 4·(√2/2)/(1/2) = 2√2/(1/2) = 4√2

    Sık birleştiği konular: Üçgende Kenar-Açı Bağıntıları, Çemberde Açılar

  2. Kosinüs teoremi ile kenar bulma (SAS)

    OrtaSık çıkar

    İki kenar ve ARALARINDAKİ açı verilir, karşı kenar istenir. a² = b² + c² − 2bc·cosA formülünün düz yönü; ÖSYM'nin en standart üçgen trigonometri kalıbı.

    Nasıl çözülür

    1. Verilen açının verilen iki kenarın ARASINDA olduğunu doğrula.
    2. Formülü yaz: a² = b² + c² − 2bc·cosA.
    3. Kosinüs değerini koy, işaret ve 2 çarpanına dikkat ederek hesapla.
    4. Kök alırken tam kare çıkmasını bekle — çıkmıyorsa aritmetiği kontrol et.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • −2bc·cosA terimini + almaka² = 73+24 = 97 gibi şişkin kenar karesi
    • 2bc'deki 2 çarpanını unutmaka² = 73−12 = 61 gibi ara değer
    • cos60° yerine sin60° kullanmaka² = 73−24√3 gibi köklü, temiz çıkmayan ifade

    Örnek

    ABC üçgeninde b=3, c=8 birim ve aralarındaki açı A=60° ise a kaç birimdir?

    a² = 9+64−2·3·8·(1/2) = 73−24 = 49 ⇒ a = 7

  3. Kosinüs teoremi ile açı bulma (üç kenar)

    OrtaSık çıkar

    Üç kenarı verilen üçgende bir açı istenir. Formül açı yalnız kalacak biçimde ters çevrilir: cosA = (b²+c²−a²)/(2bc). Negatif çıkan kosinüs geniş açı demektir.

    Nasıl çözülür

    1. İstenen açının KARŞISINDAKİ kenarı belirle; formülde eksili terim odur.
    2. cosA = (b²+c²−a²)/(2bc) yaz — payda, açının kollarındaki iki kenarın çarpımının 2 katı.
    3. Kosinüs değerinden açıyı oku; negatifse açı 90°'den büyüktür.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • cosC = −1/2 çıkınca dar açı 60° seçmek120° yerine 60° — işaretin anlamını atlamak
    • Payda karşı kenarı da kullanmak (2ab yerine 2ac)sadeleşmeyen, tabloda olmayan kosinüs değeri
    • Payı a²−b²−c² sırasıyla yazmakdoğru kosinüsün işaretçe tersi ⇒ 180°−açı

    Örnek

    Kenarları a=7, b=8, c=13 olan üçgende C açısı kaç derecedir?

    cosC = (49+64−169)/(2·7·8) = −56/112 = −1/2 ⇒ C = 120°

  4. Trigonometrik alan formülü (Alan = ½·b·c·sinA)

    OrtaSık çıkar

    İki kenar ve aralarındaki açıdan alan istenir. Açı geniş verilerek sin(180°−x) = sinx bilgisi de yoklanır; alan geniş açıda da pozitiftir.

    Nasıl çözülür

    1. Açının iki kenarın ARASINDA olduğundan emin ol; değilse önce açıyı taşı.
    2. Alan = ½·b·c·sinA yaz — kosinüs DEĞİL, sinüs.
    3. Geniş açıda sin(180°−x) = sinx ile hesapla; alan asla negatif çıkmaz.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • ½ çarpanını unutmakdoğru alanın iki katı — 10 yerine 20
    • sin yerine cos kullanmakgeniş açıda negatif 'alan' — 10 yerine −10√3
    • sin150°'yi −1/2 sanmaknegatif alan; işareti atıp yine 10 yazan öğrenci şans eseri kurtulur

    Örnek

    ABC üçgeninde b=8, c=5 birim ve aralarındaki açı A=150° ise alan kaç birimkaredir?

    Alan = ½·8·5·sin150° = 20·(1/2) = 10

    Sık birleştiği konular: Üçgende Alan, Trigonometrik Fonksiyonlar

  5. Sinüs + kosinüs teoremi birleşik (sınav ayarı)

    ZorSık çıkar

    İki kenar ve aralarındaki açı verilir ama çevrel çember yarıçapı ya da başka bir açı istenir: önce kosinüsle eksik kenar bulunur, sonra sinüs teoremine geçilir. Gerçek AYT zorluğu bu zincirdedir.

    Nasıl çözülür

    1. Elde kenar–karşı açı çifti yok: önce kosinüs teoremiyle verilen açının karşı kenarını bul.
    2. Artık çift tamam: a/sinA = 2R (veya = b/sinB) ile devam et.
    3. R isteniyorsa 2R'yi ikiye böl; paydadaki kökü rasyonelleştir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Kenarı bulmadan doğrudan b/sinA gibi eşleşmeyen oran kurmakkenar–açı çifti uyumsuz, ilgisiz bir r
    • 2R'yi R olarak bırakmakdoğru yarıçapın iki katı — 7√3/3 yerine 14√3/3
    • Kosinüs adımında −2bc·cosA işaret hatasıa yanlış ⇒ zincirin tamamı yanlış

    Örnek

    ABC üçgeninde b=5, c=8 birim ve aralarındaki açı A=60° ise çevrel çemberin yarıçapı R kaç birimdir?

    a² = 25+64−40 = 49 ⇒ a=7; 2R = 7/sin60° = 14/√3 = 14√3/3 ⇒ R = 7√3/3

    Sık birleştiği konular: Çemberde Açılar, Trigonometrik Fonksiyonlar

  6. Üçgen çeşidini belirleme (cos işaretinden)

    Orta

    Üç kenarı verilen üçgenin dar, dik ya da geniş açılı olduğu sorulur. Karar HER ZAMAN en büyük kenarın karşısındaki açıya bakılarak verilir: b²+c² ile a²'yi kıyasla.

    Nasıl çözülür

    1. En büyük kenarı belirle; en büyük açı onun karşısındadır.
    2. En büyük kenar a ise b²+c² ile a²'yi karşılaştır.
    3. b²+c² > a² ⇒ cosA > 0 ⇒ dar açılı; = ⇒ dik; < ⇒ geniş açılı.
    4. Sayısal açı istenirse cosA = (b²+c²−a²)/(2bc) ile devam et.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • Karşılaştırmayı küçük bir kenarın açısıyla yapmakdar çıkan yan açıdan üçgene yanlışlıkla 'dar açılı' demek
    • Eşitsizlik yönünü ters okumak (b²+c² < a² iken dar demek)geniş açılı üçgene dar açılı teşhisi
    • Önce üçgen eşitsizliğini kontrol etmemekvar olmayan üçgene çeşit atamak

    Örnek

    Kenarları 3, 5 ve 7 olan üçgen hangi çeşittir ve en büyük açısı kaç derecedir?

    cos = (9+25−49)/(2·3·5) = −15/30 = −1/2 ⇒ en büyük açı 120°, üçgen geniş açılıdır

  7. Dörtgende köşegenlerle trigonometrik alan

    Zor

    Köşegen uzunlukları ve aralarındaki açı verilen dışbükey dörtgenin alanı: Alan = ½·d₁·d₂·sinθ. Üçgen alan formülünün dörtgene taşınmış hali; şekil paralelkenar/deltoid olsa da formül aynıdır.

    Nasıl çözülür

    1. Köşegenleri ve aralarındaki açıyı belirle: d₁, d₂, θ.
    2. Alan = ½·d₁·d₂·sinθ uygula — kenarlarla değil, KÖŞEGENLERLE.
    3. θ yerine 180°−θ verilmişse fark etmez: sinüsleri eşittir.

    ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

    • ½ çarpanını unutmakdoğru alanın iki katı — 12 yerine 24
    • sin yerine cos kullanmak12 yerine 12√3 gibi köklü yanlış değer
    • Formülü kenar uzunluklarıyla uygulamakköşegen yerine kenar çarpımından gelen ilgisiz alan

    Örnek

    Köşegenleri 8 ve 6 birim olan dışbükey bir dörtgende köşegenler arasındaki açı 30° ise alan kaç birimkaredir?

    Alan = ½·8·6·sin30° = 24·(1/2) = 12

    Sık birleştiği konular: Üçgende Alan

7 soru tipini gördün. Şimdi Üçgende Trigonometri (Sinüs-Kosinüs Teoremi) sorularını çöz →