10. Sınıf · Geometrik Şekiller

Üçgende Alan

~8 dk okumaZorluk: Orta5 çözümlü soru

Bir üçgenin alanını bulmanın birden çok yolu vardır; hangisini kullanacağın elindeki bilgiye bağlıdır. Bu derste klasik taban–yükseklik formülünü, iki kenar ve aralarındaki açıyla alan ( $\frac{1}{2} ab sin C$ ) bulmayı ve özel üçgenlerde (eşkenar, dik) alan formüllerini öğreneceğiz. Alan; trigonometri ve analitik geometriyle de bağ kurar. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Taban – Yükseklik Formülü

En temel formül, bir taban ve o tabana ait yükseklikle:

$Alan = \frac{taban \cdot y u ¨ kseklik}{2}$

Şekil 1 — Tabana, tepeden inen yükseklik (kesik çizgi). Alan

= \frac{taban \cdot y u ¨ kseklik}{2}

'dir.

Örnek

Soru

Tabanı $10$ , yüksekliği $6$ olan üçgenin alanını bulunuz.

Alan $= \frac{10 \cdot 6}{2} = 30$ .

Sonuç:

30

birimkare.

2. İki Kenar ve Aralarındaki Açı

İki kenar ( $a, b$ ) ve aralarındaki açı ( $C$ ) biliniyorsa:

$Alan = \frac{1}{2} a b sin C$

Örnek

Soru

İki kenarı $8$ ve $6$ , aralarındaki açısı $30°$ olan üçgenin alanını bulunuz.

$\frac{1}{2} ab sin C$ formülünü kullan; $sin 30° = \frac{1}{2}$ .

Alan $= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot sin 30°$ .
$= \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot \frac{1}{2} = 12$ .

Sonuç:

12

birimkare.

3. Dik ve Eşkenar Üçgende Alan

Dik üçgen: dik kenarlar taban ve yüksekliktir → $Alan = \frac{dik kenar _{1} \cdot dik kenar _{2}}{2}$ .
Eşkenar üçgen (kenarı $a$ ): $Alan = \frac{a ^{2} 3}{4}$ .

Şekil 2 — Kenarı

a

olan eşkenar üçgende tabana inen yükseklik

h = \frac{a 3}{2}

'dir. Alanı

\frac{a \cdot h}{2} = \frac{a ^{2} 3}{4}

olarak verir.

Örnek

Soru

Bir kenarı $4$ olan eşkenar üçgenin alanını bulunuz.

$Alan = \frac{a ^{2} 3}{4} = \frac{4 ^{2} 3}{4} = \frac{16 3}{4} = 43$ .

Sonuç:

43

birimkare.

4. Alan ile Bilinmeyen Bulma

Alan formülü, bir kenar ya da yükseklik bilinmiyorsa denklem kurarak onu bulmaya da yarar.

Örnek

Soru

Alanı $24$ olan bir üçgenin tabanı $8$ ise bu tabana ait yükseklik kaçtır?

$\frac{8 \cdot h}{2} = 24 \Rightarrow 4 h = 24$ .
$h = 6$ .

Sonuç:

h = 6

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Dik kenarları $5$ ve $12$ olan dik üçgenin alanını bulunuz.

Alan $= \frac{5 \cdot 12}{2} = 30$ .

Sonuç:

30

Örnek

Soru

İki kenarı $10$ ve $10$ , aralarındaki açısı $90°$ olan üçgenin alanını bulunuz.

$Alan = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot sin 90° = \frac{1}{2} \cdot 100 \cdot 1 = 50$ .

Sonuç:

50

Örnek

Soru

Bir kenarı $6$ olan eşkenar üçgenin alanı kaçtır?

$\frac{6 ^{2} 3}{4} = \frac{36 3}{4} = 93$ .

Sonuç:

93

Örnek

Soru

Alanı $40$ olan üçgenin yüksekliği $10$ ise bu yüksekliğe ait taban kaçtır?

$\frac{t \cdot 10}{2} = 40 \Rightarrow 5 t = 40 \Rightarrow t = 8$ .

Sonuç:

8

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Tabanı $14$ , yüksekliği $9$ olan üçgenin alanı kaçtır?

$\frac{14 \cdot 9}{2} = 63$ .

Sonuç:

63

Örnek

Soru

İki kenarı $12$ ve $5$ , aralarındaki açısı $30°$ olan üçgenin alanı kaçtır?

$\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = 15$ .

Sonuç:

15

Örnek

Soru

Bir kenarı $10$ olan eşkenar üçgenin alanı kaçtır?

$\frac{1 0 ^{2} 3}{4} = 253$ .

Sonuç:

253

Örnek

Soru

Dik kenarları $9$ ve $6$ olan dik üçgenin alanı kaçtır?

$\frac{9 \cdot 6}{2} = 27$ .

Sonuç:

27

Örnek

Soru

Alanı $36$ olan üçgenin tabanı $12$ ise yüksekliği kaçtır?

$\frac{12 h}{2} = 36 \Rightarrow 6 h = 36 \Rightarrow h = 6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

İki kenarı $10$ ve $6$ , aralarındaki açısı $150°$ olan üçgenin alanı kaçtır? ( $sin 150° = \frac{1}{2}$ bilgisini kullan.)

$150°$ geniş bir açıdır ama $\frac{1}{2} ab sin C$ formülü geniş açılarda da geçerlidir; $sin 150° = sin 30° = \frac{1}{2}$ .

$Alan = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 6 \cdot sin 150° = \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot \frac{1}{2}$ .
$= 30 \cdot \frac{1}{2} = 15$ .

Sonuç:

15

birimkare.

Örnek

Soru

Bir eşkenar üçgenin alanı $163$ birimkaredir. Bu üçgenin bir kenarı kaçtır?

Eşkenar üçgende $\frac{a ^{2} 3}{4} = 163$ denklemini kurup $a^{2}$ 'yi çek.

$\frac{a ^{2} 3}{4} = 163$ ; iki tarafı $3$ 'e böl: $\frac{a ^{2}}{4} = 16$ .
$a^{2} = 64 \Rightarrow a = 8$ .

Sonuç:

8

Örnek

Soru

Bir üçgende $∣ A B ∣ = 8$ , $∣ A C ∣ = 10$ ve $A$ açısı $30°$ 'dir. $A$ köşesinden $B C$ kenarına ait yükseklik için önce alanı bul; sonra $∣ B C ∣ = 12$ ise bu kenara ait yükseklik kaçtır?

Önce $\frac{1}{2} \cdot ∣ A B ∣ \cdot ∣ A C ∣ \cdot sin A$ ile alanı bul; sonra aynı alanı $\frac{∣ B C ∣ \cdot h}{2}$ 'ye eşitleyerek $h$ 'yi çek.

Alan $= \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot \frac{1}{2} = 20$ .
Aynı alanı $B C$ tabanıyla yaz: $\frac{∣ B C ∣ \cdot h}{2} = 20 \Rightarrow \frac{12 h}{2} = 20$ .
$6 h = 20 \Rightarrow h = \frac{10}{3}$ .

Sonuç: Alan

20

birimkare;

B C

'ye ait yükseklik

h = \frac{10}{3}

Sık Yapılan Hatalar

İkiye bölmeyi unutmak. Üçgen alanı dikdörtgenin yarısıdır: $\frac{taban \cdot y u ¨ kseklik}{2}$ .
Yüksekliği yanlış tabana eşlemek. Yükseklik, seçtiğin tabana ait olmalı; tabanı değiştirirsen yüksekliği de değiştir.
$\frac{1}{2} ab sin C$ 'de yanlış açıyı kullanmak. $C$ , $a$ ve $b$ kenarlarının arasındaki açı olmalı.
Eşkenar formülünde kareyi unutmak. Formül $\frac{a ^{2} 3}{4}$ 'tür; $a$ değil $a^{2}$ .

Not: Elindeki bilgiye göre formül seç: taban+yükseklik → $\frac{t \cdot h}{2}$ ; iki kenar + aralarındaki açı → $\frac{1}{2} ab sin C$ ; eşkenar → $\frac{a ^{2} 3}{4}$ .

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Tabanı

16

birim, bu tabana ait yüksekliği

7

birim olan bir üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Taban–yükseklik formülü: $Alan = \frac{taban \cdot y u ¨ kseklik}{2}$ .
$Alan = \frac{16 \cdot 7}{2} = \frac{112}{2} = 56$ .

Sonuç:

56

birimkare (A).

Soru 2Kolay

Dik kenarları

8

birim ve

15

birim olan bir dik üçgenin alanı kaç birimkaredir?

Dik üçgende dik kenarlar birbirinin taban ve yüksekliğidir: $Alan = \frac{dik kenar _{1} \cdot dik kenar _{2}}{2}$ .
$Alan = \frac{8 \cdot 15}{2} = \frac{120}{2} = 60$ .

Sonuç:

60

birimkare (B).

Soru 3Orta

İki kenarının uzunlukları

16

5

birim, bu iki kenar arasındaki açısı

150°

olan bir üçgenin alanı kaç birimkaredir? (

sin 150° = \frac{1}{2}

)

İki kenar ve aralarındaki açı verildiğinde: $Alan = \frac{1}{2} a b sin C$ .
$sin 150° = \frac{1}{2}$ olduğundan $Alan = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}$ .
$= \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot \frac{1}{2} = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$ .

Sonuç:

20

birimkare (C).

Soru 4Orta

Bir eşkenar üçgenin alanı

363

birimkaredir. Bu üçgenin bir kenarının uzunluğu kaç birimdir?

Kenarı $a$ olan eşkenar üçgende $Alan = \frac{a ^{2} 3}{4}$ .
$\frac{a ^{2} 3}{4} = 363$ ; iki tarafı $3$ 'e bölelim: $\frac{a ^{2}}{4} = 36$ .
$a^{2} = 144 \Rightarrow a = 12$ .

Sonuç:

12

birim (D).

Soru 5Orta

Alanı

54

birimkare olan bir üçgenin bir tabanı

12

birimdir. Bu tabana ait yükseklik kaç birimdir?

Taban–yükseklik formülünden denklem kuralım: $\frac{taban \cdot h}{2} = Alan$ .
$\frac{12 \cdot h}{2} = 54 \Rightarrow 6 h = 54$ .
$h = \frac{54}{6} = 9$ .

Sonuç:

9

birim (E).

0/5 soru cevaplandı

1. Taban – Yükseklik Formülü

2. İki Kenar ve Aralarındaki Açı

3. Dik ve Eşkenar Üçgende Alan

4. Alan ile Bilinmeyen Bulma

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Geometrik Şekiller — diğer konular