10. Sınıf · Geometrik Şekiller

Üçgende Alan

~8 dk okumaZorluk: Orta16 çözümlü soru

Bir üçgenin alanını bulmanın birden çok yolu vardır; hangisini kullanacağın elindeki bilgiye bağlıdır. Bu derste klasik taban–yükseklik formülünü, iki kenar ve aralarındaki açıyla alan ( $\frac12 ab\sin C$ ) bulmayı ve özel üçgenlerde (eşkenar, dik) alan formüllerini öğreneceğiz. Alan; trigonometri ve analitik geometriyle de bağ kurar. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Taban – Yükseklik Formülü

En temel formül, bir taban ve o tabana ait yükseklikle:

$\text{Alan}=\dfrac{\text{taban}\cdot\text{yükseklik}}{2}$

Şekil 1 — Tabana, tepeden inen yükseklik (kesik çizgi). Alan

=\dfrac{\text{taban}\cdot\text{yükseklik}}{2}

'dir.

Örnek

Soru

Tabanı $10$ , yüksekliği $6$ olan üçgenin alanını bulunuz.

Alan $=\dfrac{10\cdot 6}{2}=30$ .

Sonuç:

30

birimkare.

2. İki Kenar ve Aralarındaki Açı

İki kenar ( $a,\ b$ ) ve aralarındaki açı ( $C$ ) biliniyorsa:

$\text{Alan}=\dfrac{1}{2}\,a\,b\,\sin C$

Örnek

Soru

İki kenarı $8$ ve $6$ , aralarındaki açısı $30°$ olan üçgenin alanını bulunuz.

$\dfrac12 ab\sin C$ formülünü kullan; $\sin 30°=\dfrac12$ .

Alan $=\dfrac{1}{2}\cdot 8\cdot 6\cdot\sin 30°$ .
$=\dfrac{1}{2}\cdot 48\cdot\dfrac{1}{2}=12$ .

Sonuç:

12

birimkare.

3. Dik ve Eşkenar Üçgende Alan

Dik üçgen: dik kenarlar taban ve yüksekliktir → $\text{Alan}=\dfrac{\text{dik kenar}_1\cdot\text{dik kenar}_2}{2}$ .
Eşkenar üçgen (kenarı $a$ ): $\text{Alan}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ .

Şekil 2 — Kenarı

a

olan eşkenar üçgende tabana inen yükseklik

h=\dfrac{a\sqrt3}{2}

'dir. Alanı

\dfrac{a\cdot h}{2}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}

olarak verir.

Örnek

Soru

Bir kenarı $4$ olan eşkenar üçgenin alanını bulunuz.

$\text{Alan}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=\dfrac{4^2\sqrt3}{4}=\dfrac{16\sqrt3}{4}=4\sqrt3$ .

Sonuç:

4\sqrt3

birimkare.

4. Alan ile Bilinmeyen Bulma

Alan formülü, bir kenar ya da yükseklik bilinmiyorsa denklem kurarak onu bulmaya da yarar.

Örnek

Soru

Alanı $24$ olan bir üçgenin tabanı $8$ ise bu tabana ait yükseklik kaçtır?

$\dfrac{8\cdot h}{2}=24\Rightarrow 4h=24$ .
$h=6$ .

Sonuç:

h=6

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Dik kenarları $5$ ve $12$ olan dik üçgenin alanını bulunuz.

Alan $=\dfrac{5\cdot 12}{2}=30$ .

Sonuç:

30

Örnek

Soru

İki kenarı $10$ ve $10$ , aralarındaki açısı $90°$ olan üçgenin alanını bulunuz.

$\text{Alan}=\dfrac12\cdot 10\cdot 10\cdot\sin 90°=\dfrac12\cdot 100\cdot 1=50$ .

Sonuç:

50

Örnek

Soru

Bir kenarı $6$ olan eşkenar üçgenin alanı kaçtır?

$\dfrac{6^2\sqrt3}{4}=\dfrac{36\sqrt3}{4}=9\sqrt3$ .

Sonuç:

9\sqrt3

Örnek

Soru

Alanı $40$ olan üçgenin yüksekliği $10$ ise bu yüksekliğe ait taban kaçtır?

$\dfrac{t\cdot 10}{2}=40\Rightarrow 5t=40\Rightarrow t=8$ .

Sonuç:

8

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Tabanı $14$ , yüksekliği $9$ olan üçgenin alanı kaçtır?

$\dfrac{14\cdot 9}{2}=63$ .

Sonuç:

63

Örnek

Soru

İki kenarı $12$ ve $5$ , aralarındaki açısı $30°$ olan üçgenin alanı kaçtır?

$\dfrac12\cdot 12\cdot 5\cdot\dfrac12=15$ .

Sonuç:

15

Örnek

Soru

Bir kenarı $10$ olan eşkenar üçgenin alanı kaçtır?

$\dfrac{10^2\sqrt3}{4}=25\sqrt3$ .

Sonuç:

25\sqrt3

Örnek

Soru

Dik kenarları $9$ ve $6$ olan dik üçgenin alanı kaçtır?

$\dfrac{9\cdot 6}{2}=27$ .

Sonuç:

27

Örnek

Soru

Alanı $36$ olan üçgenin tabanı $12$ ise yüksekliği kaçtır?

$\dfrac{12h}{2}=36\Rightarrow 6h=36\Rightarrow h=6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

İki kenarı $10$ ve $6$ , aralarındaki açısı $150°$ olan üçgenin alanı kaçtır? ( $\sin 150°=\dfrac12$ bilgisini kullan.)

$150°$ geniş bir açıdır ama $\dfrac12 ab\sin C$ formülü geniş açılarda da geçerlidir; $\sin 150°=\sin 30°=\dfrac12$ .

$\text{Alan}=\dfrac12\cdot 10\cdot 6\cdot\sin 150°=\dfrac12\cdot 60\cdot\dfrac12$ .
$=30\cdot\dfrac12=15$ .

Sonuç:

15

birimkare.

Örnek

Soru

Bir eşkenar üçgenin alanı $16\sqrt3$ birimkaredir. Bu üçgenin bir kenarı kaçtır?

Eşkenar üçgende $\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=16\sqrt3$ denklemini kurup $a^2$ 'yi çek.

$\dfrac{a^2\sqrt3}{4}=16\sqrt3$ ; iki tarafı $\sqrt3$ 'e böl: $\dfrac{a^2}{4}=16$ .
$a^2=64\Rightarrow a=8$ .

Sonuç:

8

Örnek

Soru

Bir üçgende $|AB|=8$ , $|AC|=10$ ve $A$ açısı $30°$ 'dir. $A$ köşesinden $BC$ kenarına ait yükseklik için önce alanı bul; sonra $|BC|=12$ ise bu kenara ait yükseklik kaçtır?

Önce $\dfrac12\cdot|AB|\cdot|AC|\cdot\sin A$ ile alanı bul; sonra aynı alanı $\dfrac{|BC|\cdot h}{2}$ 'ye eşitleyerek $h$ 'yi çek.

Alan $=\dfrac12\cdot 8\cdot 10\cdot\sin 30°=\dfrac12\cdot 80\cdot\dfrac12=20$ .
Aynı alanı $BC$ tabanıyla yaz: $\dfrac{|BC|\cdot h}{2}=20\Rightarrow \dfrac{12h}{2}=20$ .
$6h=20\Rightarrow h=\dfrac{10}{3}$ .

Sonuç: Alan

20

birimkare;

BC

'ye ait yükseklik

h=\dfrac{10}{3}

Sık Yapılan Hatalar

İkiye bölmeyi unutmak. Üçgen alanı dikdörtgenin yarısıdır: $\dfrac{\text{taban}\cdot\text{yükseklik}}{2}$ .
Yüksekliği yanlış tabana eşlemek. Yükseklik, seçtiğin tabana ait olmalı; tabanı değiştirirsen yüksekliği de değiştir.
$\frac12 ab\sin C$ 'de yanlış açıyı kullanmak. $C$ , $a$ ve $b$ kenarlarının arasındaki açı olmalı.
Eşkenar formülünde kareyi unutmak. Formül $\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ 'tür; $a$ değil $a^2$ .

Not: Elindeki bilgiye göre formül seç: taban+yükseklik → $\dfrac{t\cdot h}{2}$ ; iki kenar + aralarındaki açı → $\dfrac12 ab\sin C$ ; eşkenar → $\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$ .

1. Taban – Yükseklik Formülü

2. İki Kenar ve Aralarındaki Açı

3. Dik ve Eşkenar Üçgende Alan

4. Alan ile Bilinmeyen Bulma

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Geometrik Şekiller — diğer konular