10. Sınıf · Geometrik Şekiller
Üçgende Yardımcı Elemanlar
Bir üçgenin köşelerinden çizilen özel doğrular — kenarortay, açıortay, yükseklik ve kenar orta dikme — üçgenin gizli özelliklerini açığa çıkarır. Bu derste bu dört yardımcı elemanın tanımını, kesişim noktalarını (ağırlık merkezi, iç teğet merkezi vb.) ve açıortayın kenarları orantılı bölmesi gibi temel bağıntıları öğreneceğiz. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Kenarortay
Bir köşeyi, karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Bir üçgenin üç kenarortayı tek bir noktada — ağırlık merkezinde (G) — kesişir. Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren 2:1 oranında böler.
A köşesinden BC'nin orta noktası D'ye çizilen kenarortay. |BD|=|DC|'dir.Bir üçgende A köşesinden çizilen kenarortay BC kenarını D'de kesiyor. |BC|=14 ise |BD| kaçtır?
- Kenarortay karşı kenarın orta noktasına gider:
|BD|=|DC|. |BD|=\dfrac{|BC|}{2}=\dfrac{14}{2}=7.
|BD|=7.2. Açıortay
Bir köşenin açısını iki eş açıya bölen doğruya açıortay denir. Üç iç açıortay, iç teğet çemberin merkezinde kesişir. İç açıortay, karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı böler:
\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}
A açısını iki eş açıya (\alpha=\alpha) bölen açıortay, BC'yi E'de keser.ABC üçgeninde A'nın açıortayı BC'yi D'de kesiyor. |AB|=6, |AC|=9 ve |BD|=4 ise |DC| kaçtır?
Açıortay bağıntısı \dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}'yi kur; bilinmeyeni içler-dışlar ile çek.
\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}\Rightarrow \dfrac{4}{|DC|}=\dfrac{6}{9}.6\cdot|DC|=36\Rightarrow |DC|=6.
|DC|=6.3. Yükseklik
Bir köşeden karşı kenara (ya da uzantısına) indirilen dik doğru parçasına yükseklik denir. Üç yükseklik diklik merkezinde kesişir. Yükseklik, üçgenin alanını hesaplamada kullanılır (sonraki ders).
Tabanı 12, bu tabana ait yüksekliği 5 olan üçgenin alanı kaçtır?
- Alan
=\dfrac{\text{taban}\cdot\text{yükseklik}}{2}=\dfrac{12\cdot 5}{2}=30.
30 birimkare.4. Kenar Orta Dikme
Bir kenarın orta noktasından o kenara dik çizilen doğruya kenar orta dikme denir. Üç kenar orta dikme, çevrel çemberin merkezinde kesişir; bu nokta üçgenin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır.
Kenar orta dikmelerin kesim noktası, üçgenin köşelerine göre nasıl bir özellik taşır?
- Kesim noktası çevrel çemberin merkezidir.
- Bu merkez, üç köşeye de eşit uzaklıktadır (yarıçap kadar).
Çözümlü Örnekler
Bir üçgende kenarortayların kesim noktası G (ağırlık merkezi), A köşesinden çizilen kenarortayı 2:1 böler. Kenarortay uzunluğu 15 ise |AG| kaçtır?
G, kenarortayı köşeden2:1böler:|AG|büyük parça.|AG|=\dfrac{2}{3}\cdot 15=10.
|AG|=10.A'nın açıortayı BC'yi D'de kesiyor. |AB|=8, |AC|=12, |BC|=15 ise |BD| kaçtır?
\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}; parçalar2kve3k.2k+3k=15\Rightarrow 5k=15\Rightarrow k=3.|BD|=2k=6.
|BD|=6.İkizkenar bir üçgende tepe köşesinden tabana inen kenarortay, aynı zamanda yükseklik midir?
- İkizkenar üçgende tepeden tabana inen doğru hem kenarortay hem yükseklik hem açıortaydır (simetri ekseni).
Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
|BC|=20 olan üçgende A'dan çizilen kenarortayın ayağı D için |DC| kaçtır?
|DC|=\dfrac{20}{2}=10.
10.Açıortay bağıntısında \dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}. |AB|=10, |AC|=15, |DC|=9 ise |BD| kaçtır?
\dfrac{|BD|}{9}=\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow |BD|=6.
6.Üç yüksekliğin kesim noktasına ne ad verilir?
- Diklik merkezi.
Ağırlık merkezi bir kenarortayı 2:1 bölüyor. Kenarortay 18 ise köşeye yakın parça kaçtır?
- Büyük parça
\dfrac{2}{3}\cdot 18=12.
12.Çevrel çemberin merkezi hangi yardımcı elemanların kesişiminde bulunur?
- Kenar orta dikmelerin kesişiminde.
ABC üçgeninde A'nın açıortayı BC'yi D'de kesiyor. |AB|=8, |AC|=6 ve |BC|=21 ise |BD| ve |DC| kaçtır?
\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{|AB|}{|AC|}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}; parçaları 4k ve 3k alıp toplamını |BC|'ye eşitle.
\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}; parçalar4kve3k.4k+3k=21\Rightarrow 7k=21\Rightarrow k=3.|BD|=4k=12,|DC|=3k=9.
|BD|=12, |DC|=9.Ağırlık merkezi G, A köşesinden çizilen kenarortayı 2:1 böler. |GD|=4 (kenar tarafındaki küçük parça) ise tüm kenarortay |AD| kaçtır?
G köşeye yakın parçayı 2, kenara yakın parçayı 1 birim alır. |GD| küçük parçaya karşılık gelir.
- Oran
2:1; küçük parça|GD|=1birime, büyük parça|AG|=2birime karşılık gelir. |GD|=4ise bir birim4'tür;|AG|=2\cdot 4=8.|AD|=|AG|+|GD|=8+4=12.
|AD|=12.Bir dik üçgende dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğuna göre nedir? (Hipotenüs 10 ise bu kenarortay kaçtır?)
Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, çevrel çemberin yarıçapına eşittir; çünkü hipotenüs çevrel çemberin çapıdır.
- Dik üçgende hipotenüs, çevrel çemberin çapıdır; dik açının köşesi de çember üzerindedir.
- Hipotenüsün orta noktası çevrel çember merkezi olduğundan, bu noktadan üç köşeye olan uzaklık eşittir (yarıçap).
- Dolayısıyla hipotenüse ait kenarortay
=\dfrac{\text{hipotenüs}}{2}=\dfrac{10}{2}=5.
5.Sık Yapılan Hatalar
- Yardımcı elemanların merkezlerini karıştırmak. Kenarortay → ağırlık merkezi; açıortay → iç teğet merkezi; yükseklik → diklik merkezi; kenar orta dikme → çevrel çember merkezi.
- Açıortay oranını ters kurmak.
\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{|AB|}{|AC|};Btarafındaki parçayıB'ye komşu kenarla eşle. - Kenarortayı yükseklik sanmak. Genelde farklıdırlar; yalnız ikizkenarın tepe köşesinde (ve eşkenarda) çakışırlar.
- Ağırlık merkezi oranını
1:1almak. Oran2:1'dir (köşeye yakın parça büyüktür).
Not: Dört yardımcı elemanı tek cümleyle hatırla: kenarortay orta noktaya, açıortay açıyı ikiye, yükseklik dik olarak, kenar orta dikme orta noktadan dik olarak gider. Her birinin kesişim merkezi ayrıdır.