10. Sınıf · Geometrik Şekiller

Üçgende Yardımcı Elemanlar

~8 dk okumaZorluk: Orta5 çözümlü soru

Bir üçgenin köşelerinden çizilen özel doğrular — kenarortay, açıortay, yükseklik ve kenar orta dikme — üçgenin gizli özelliklerini açığa çıkarır. Bu derste bu dört yardımcı elemanın tanımını, kesişim noktalarını (ağırlık merkezi, iç teğet merkezi vb.) ve açıortayın kenarları orantılı bölmesi gibi temel bağıntıları öğreneceğiz. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Kenarortay

Bir köşeyi, karşı kenarın orta noktasına birleştiren doğru parçasına kenarortay denir. Bir üçgenin üç kenarortayı tek bir noktada — ağırlık merkezinde ( $G$ ) — kesişir. Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren $2 : 1$ oranında böler.

Şekil 1 —

A

köşesinden

B C

'nin orta noktası

D

'ye çizilen kenarortay.

∣ B D ∣ = ∣ D C ∣

'dir.

Örnek

Soru

Bir üçgende $A$ köşesinden çizilen kenarortay $B C$ kenarını $D$ 'de kesiyor. $∣ B C ∣ = 14$ ise $∣ B D ∣$ kaçtır?

Kenarortay karşı kenarın orta noktasına gider: $∣ B D ∣ = ∣ D C ∣$ .
$∣ B D ∣ = \frac{∣ B C ∣}{2} = \frac{14}{2} = 7$ .

Sonuç:

∣ B D ∣ = 7

2. Açıortay

Bir köşenin açısını iki eş açıya bölen doğruya açıortay denir. Üç iç açıortay, iç teğet çemberin merkezinde kesişir. İç açıortay, karşı kenarı komşu kenarlarla orantılı böler:

$\frac{∣ B D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{∣ A B ∣}{∣ A C ∣}$

Şekil 2 —

A

açısını iki eş açıya (

α = α

) bölen açıortay,

B C

'yi

E

'de keser.

Örnek

Soru

$A B C$ üçgeninde $A$ 'nın açıortayı $B C$ 'yi $D$ 'de kesiyor. $∣ A B ∣ = 6$ , $∣ A C ∣ = 9$ ve $∣ B D ∣ = 4$ ise $∣ D C ∣$ kaçtır?

Açıortay bağıntısı $\frac{∣ B D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{∣ A B ∣}{∣ A C ∣}$ 'yi kur; bilinmeyeni içler-dışlar ile çek.

$\frac{∣ B D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{∣ A B ∣}{∣ A C ∣} \Rightarrow \frac{4}{∣ D C ∣} = \frac{6}{9}$ .
$6 \cdot ∣ D C ∣ = 36 \Rightarrow ∣ D C ∣ = 6$ .

Sonuç:

∣ D C ∣ = 6

3. Yükseklik

Bir köşeden karşı kenara (ya da uzantısına) indirilen dik doğru parçasına yükseklik denir. Üç yükseklik diklik merkezinde kesişir. Yükseklik, üçgenin alanını hesaplamada kullanılır (sonraki ders).

Örnek

Soru

Tabanı $12$ , bu tabana ait yüksekliği $5$ olan üçgenin alanı kaçtır?

Alan $= \frac{taban \cdot y u ¨ kseklik}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = 30$ .

Sonuç:

30

birimkare.

4. Kenar Orta Dikme

Bir kenarın orta noktasından o kenara dik çizilen doğruya kenar orta dikme denir. Üç kenar orta dikme, çevrel çemberin merkezinde kesişir; bu nokta üçgenin tüm köşelerine eşit uzaklıktadır.

Örnek

Soru

Kenar orta dikmelerin kesim noktası, üçgenin köşelerine göre nasıl bir özellik taşır?

Kesim noktası çevrel çemberin merkezidir.
Bu merkez, üç köşeye de eşit uzaklıktadır (yarıçap kadar).

Sonuç: Üç köşeye eşit uzaklıktadır (çevrel çember merkezi).

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir üçgende kenarortayların kesim noktası $G$ (ağırlık merkezi), $A$ köşesinden çizilen kenarortayı $2 : 1$ böler. Kenarortay uzunluğu $15$ ise $∣ A G ∣$ kaçtır?

$G$ , kenarortayı köşeden $2 : 1$ böler: $∣ A G ∣$ büyük parça.
$∣ A G ∣ = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ .

Sonuç:

∣ A G ∣ = 10

Örnek

Soru

$A$ 'nın açıortayı $B C$ 'yi $D$ 'de kesiyor. $∣ A B ∣ = 8$ , $∣ A C ∣ = 12$ , $∣ B C ∣ = 15$ ise $∣ B D ∣$ kaçtır?

$\frac{∣ B D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ ; parçalar $2 k$ ve $3 k$ .
$2 k + 3 k = 15 \Rightarrow 5 k = 15 \Rightarrow k = 3$ .
$∣ B D ∣ = 2 k = 6$ .

Sonuç:

∣ B D ∣ = 6

Örnek

Soru

İkizkenar bir üçgende tepe köşesinden tabana inen kenarortay, aynı zamanda yükseklik midir?

İkizkenar üçgende tepeden tabana inen doğru hem kenarortay hem yükseklik hem açıortaydır (simetri ekseni).

Sonuç: Evet; bu doğru aynı anda kenarortay, yükseklik ve açıortaydır.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$∣ B C ∣ = 20$ olan üçgende $A$ 'dan çizilen kenarortayın ayağı $D$ için $∣ D C ∣$ kaçtır?

$∣ D C ∣ = \frac{20}{2} = 10$ .

Sonuç:

10

Örnek

Soru

Açıortay bağıntısında $\frac{∣ B D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{∣ A B ∣}{∣ A C ∣}$ . $∣ A B ∣ = 10$ , $∣ A C ∣ = 15$ , $∣ D C ∣ = 9$ ise $∣ B D ∣$ kaçtır?

$\frac{∣ B D ∣}{9} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \Rightarrow ∣ B D ∣ = 6$ .

Sonuç:

6

Örnek

Soru

Üç yüksekliğin kesim noktasına ne ad verilir?

Diklik merkezi.

Sonuç: Diklik merkezi.

Örnek

Soru

Ağırlık merkezi bir kenarortayı $2 : 1$ bölüyor. Kenarortay $18$ ise köşeye yakın parça kaçtır?

Büyük parça $\frac{2}{3} \cdot 18 = 12$ .

Sonuç:

12

Örnek

Soru

Çevrel çemberin merkezi hangi yardımcı elemanların kesişiminde bulunur?

Kenar orta dikmelerin kesişiminde.

Sonuç: Kenar orta dikmeler.

Örnek

Soru

$A B C$ üçgeninde $A$ 'nın açıortayı $B C$ 'yi $D$ 'de kesiyor. $∣ A B ∣ = 8$ , $∣ A C ∣ = 6$ ve $∣ B C ∣ = 21$ ise $∣ B D ∣$ ve $∣ D C ∣$ kaçtır?

$\frac{∣ B D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{∣ A B ∣}{∣ A C ∣} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ ; parçaları $4 k$ ve $3 k$ alıp toplamını $∣ B C ∣$ 'ye eşitle.

$\frac{∣ B D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ ; parçalar $4 k$ ve $3 k$ .
$4 k + 3 k = 21 \Rightarrow 7 k = 21 \Rightarrow k = 3$ .
$∣ B D ∣ = 4 k = 12$ , $∣ D C ∣ = 3 k = 9$ .

Sonuç:

∣ B D ∣ = 12

∣ D C ∣ = 9

Örnek

Soru

Ağırlık merkezi $G$ , $A$ köşesinden çizilen kenarortayı $2 : 1$ böler. $∣ G D ∣ = 4$ (kenar tarafındaki küçük parça) ise tüm kenarortay $∣ A D ∣$ kaçtır?

$G$ köşeye yakın parçayı $2$ , kenara yakın parçayı $1$ birim alır. $∣ G D ∣$ küçük parçaya karşılık gelir.

Oran $2 : 1$ ; küçük parça $∣ G D ∣ = 1$ birime, büyük parça $∣ A G ∣ = 2$ birime karşılık gelir.
$∣ G D ∣ = 4$ ise bir birim $4$ 'tür; $∣ A G ∣ = 2 \cdot 4 = 8$ .
$∣ A D ∣ = ∣ A G ∣ + ∣ G D ∣ = 8 + 4 = 12$ .

Sonuç:

∣ A D ∣ = 12

Örnek

Soru

Bir dik üçgende dik açının bulunduğu köşeden hipotenüse çizilen kenarortayın uzunluğu, hipotenüsün uzunluğuna göre nedir? (Hipotenüs $10$ ise bu kenarortay kaçtır?)

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay, çevrel çemberin yarıçapına eşittir; çünkü hipotenüs çevrel çemberin çapıdır.

Dik üçgende hipotenüs, çevrel çemberin çapıdır; dik açının köşesi de çember üzerindedir.
Hipotenüsün orta noktası çevrel çember merkezi olduğundan, bu noktadan üç köşeye olan uzaklık eşittir (yarıçap).
Dolayısıyla hipotenüse ait kenarortay $= \frac{hipoten u ¨ s}{2} = \frac{10}{2} = 5$ .

Sonuç: Hipotenüsün yarısı; yani

5

Sık Yapılan Hatalar

Yardımcı elemanların merkezlerini karıştırmak. Kenarortay → ağırlık merkezi; açıortay → iç teğet merkezi; yükseklik → diklik merkezi; kenar orta dikme → çevrel çember merkezi.
Açıortay oranını ters kurmak. $\frac{∣ B D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{∣ A B ∣}{∣ A C ∣}$ ; $B$ tarafındaki parçayı $B$ 'ye komşu kenarla eşle.
Kenarortayı yükseklik sanmak. Genelde farklıdırlar; yalnız ikizkenarın tepe köşesinde (ve eşkenarda) çakışırlar.
Ağırlık merkezi oranını $1 : 1$ almak. Oran $2 : 1$ 'dir (köşeye yakın parça büyüktür).

Not: Dört yardımcı elemanı tek cümleyle hatırla: kenarortay orta noktaya, açıortay açıyı ikiye, yükseklik dik olarak, kenar orta dikme orta noktadan dik olarak gider. Her birinin kesişim merkezi ayrıdır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

A B C

üçgeninde

A

köşesinden çizilen kenarortay

B C

kenarını

D

noktasında kesmektedir.

∣ B C ∣ = 26

br ise

∣ B D ∣

kaç br'dir?

Kenarortay, karşı kenarın orta noktasına gider; dolayısıyla $D$ , $B C$ 'nin orta noktasıdır ve $∣ B D ∣ = ∣ D C ∣$ .
$∣ B D ∣ = \frac{∣ B C ∣}{2} = \frac{26}{2} = 13$ br.

Sonuç:

∣ B D ∣ = 13

br.

Soru 2Orta

Bir üçgende

A

köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu

∣ A D ∣ = 21

br'dir. Kenarortayların kesim noktası (ağırlık merkezi)

G

ise

∣ A G ∣

kaç br'dir?

Ağırlık merkezi her kenarortayı köşeden itibaren $2 : 1$ oranında böler; köşeye yakın parça $∣ A G ∣$ büyük parçadır.
$∣ A G ∣ = \frac{2}{3} \cdot ∣ A D ∣ = \frac{2}{3} \cdot 21 = 14$ br.

Sonuç:

∣ A G ∣ = 14

br.

Soru 3Zor

Bir marangoz, dik açısı

C

köşesinde olan dik üçgen biçiminde bir tahta parçası kesiyor. Dik kenarlar

∣ C A ∣ = 9

cm ve

∣ C B ∣ = 12

cm'dir. Marangoz, dik açının bulunduğu

C

köşesinden hipotenüs

A B

'nin orta noktasına bir çita çakacaktır. Bu çita (hipotenüse ait kenarortay) kaç cm olur?

Önce hipotenüs: $∣ A B ∣ = 9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 15$ cm.
Dik üçgende hipotenüs, çevrel çemberin çapıdır; hipotenüsün orta noktası çevrel çember merkezidir ve üç köşeye eşit uzaklıktadır.
Bu nedenle dik köşeden hipotenüsün orta noktasına çizilen kenarortay, hipotenüsün yarısına eşittir: $\frac{15}{2} = 7, 5$ cm.

Sonuç: Çita

7, 5

cm'dir.

Soru 4Kolay

Bir üçgende üç iç açıortay tek bir noktada kesişir. Bu kesim noktası aşağıdakilerden hangisidir?

Kenarortaylar ağırlık merkezinde, yükseklikler diklik merkezinde, kenar orta dikmeler çevrel çemberin merkezinde kesişir.
Üç iç açıortay ise iç teğet çemberin merkezinde kesişir.
Bu nokta üçgenin üç kenarına da eşit uzaklıktadır.

Sonuç: İç teğet çemberin merkezi.

Soru 5Orta

A B C

üçgeninde

A

açısının açıortayı

B C

'yi

D

'de kesiyor.

∣ A B ∣ = 15

∣ A C ∣ = 10

∣ D C ∣ = 8

br ise

∣ B C ∣

kaç br'dir?

İç açıortay bağıntısı: $\frac{∣ B D ∣}{∣ D C ∣} = \frac{∣ A B ∣}{∣ A C ∣} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$ .
$\frac{∣ B D ∣}{8} = \frac{3}{2} \Rightarrow ∣ B D ∣ = \frac{3 \cdot 8}{2} = 12$ br.
$∣ B C ∣ = ∣ B D ∣ + ∣ D C ∣ = 12 + 8 = 20$ br.

Sonuç:

∣ B C ∣ = 20

br.

0/5 soru cevaplandı

1. Kenarortay

2. Açıortay

3. Yükseklik

4. Kenar Orta Dikme

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Geometrik Şekiller — diğer konular