10. Sınıf · Geometrik Şekiller

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Özdeşlikler

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Geometrik Şekiller temasının kalbi trigonometridir: bir dik üçgende açılarla kenarlar arasındaki orana dayanır. Bu derste sinüs, kosinüs ve tanjant oranlarını, $30° - 45° - 60°$ özel açılarının değerlerini ve temel trigonometrik özdeşlikleri ( $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ ) öğreneceğiz. Trigonometri; yükseklik, uzaklık ve eğim hesaplarının dilidir. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Temel Trigonometrik Oranlar

Dar açısı $θ$ olan bir dik üçgende, $θ$ 'ya komşu ve karşı kenarlar ile hipotenüs arasındaki oranlar:

$sin θ = \frac{kar s ¸ ı dik kenar}{hipoten u ¨ s} cos θ = \frac{kom s ¸ u dik kenar}{hipoten u ¨ s} tan θ = \frac{kar s ¸ ı}{kom s ¸ u}$

Şekil 1 — Dik kenarları

a, b

, hipotenüsü

c

olan dik üçgen. Alttaki açıya göre

sin = \frac{kar s ¸ ı}{c}

cos = \frac{kom s ¸ u}{c}

tan = \frac{kar s ¸ ı}{kom s ¸ u}

Örnek

Soru

Dik kenarları $3$ ve $4$ , hipotenüsü $5$ olan dik üçgende, $3$ biriminin karşısındaki açı $θ$ için $sin θ$ ve $cos θ$ 'yı bulunuz.

$θ$ 'nın karşısı $3$ , komşusu $4$ , hipotenüs $5$ .
$sin θ = \frac{3}{5}$ , $cos θ = \frac{4}{5}$ .

Sonuç:

sin θ = \frac{3}{5}

cos θ = \frac{4}{5}

2. Özel Açılar: 30°, 45°, 60°

İki özel dik üçgen, bu açıların değerlerini verir.

Şekil 2 —

30 - 60 - 90

üçgeni; kenar oranları

x : x 3 : 2 x

Şekil 3 —

45 - 45 - 90

üçgeni; kenar oranları

x : x : x 2

$θ$	$sin θ$	$cos θ$	$tan θ$
$30°$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{3}$
$45°$	$\frac{2}{2}$	$\frac{2}{2}$	$1$
$60°$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$3$

Örnek

Soru

$sin 30° + cos 60°$ değerini bulunuz.

$sin 30° = \frac{1}{2}$ , $cos 60° = \frac{1}{2}$ .
Topla: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

Sonuç:

1

3. Temel Özdeşlikler

Her $θ$ açısı için şu bağıntılar geçerlidir:

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1 tan θ = \frac{sin θ}{cos θ}$

Bunlar, bir oran biliniyorken diğerini bulmaya yarar.

Örnek

Soru

Bir dar açı için $sin θ = \frac{3}{5}$ ise $cos θ$ kaçtır?

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ özdeşliğinde $cos^{2} θ$ 'yı yalnız bırak; dar açıda kosinüs pozitiftir.

$cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .
Dar açı olduğundan $cos θ = \frac{4}{5}$ .

Sonuç:

cos θ = \frac{4}{5}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$sin 30° \cdot cos 60° + cos 30° \cdot sin 60°$ ifadesinin değerini bulunuz.

Değerleri yerine koy: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2}$ .
$= \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ .

Sonuç:

1

Örnek

Soru

Bir dik üçgende bir dar açı $30°$ ve hipotenüs $10$ ise $30°$ 'nin karşısındaki kenar kaçtır?

$sin 30° = \frac{kar s ¸ ı}{10} = \frac{1}{2}$ .
Karşı kenar $= 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

$\frac{sin 60°}{cos 60°}$ ifadesini hesaplayınız.

Bu $tan 60°$ 'dir.
$tan 60° = 3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

$cos θ = \frac{12}{13}$ (dar açı) ise $sin θ$ kaçtır?

$sin^{2} θ = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$ .
$sin θ = \frac{5}{13}$ .

Sonuç:

\frac{5}{13}

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Dik kenarları $6$ ve $8$ , hipotenüsü $10$ olan üçgende $6$ 'nın karşısındaki açının sinüsü kaçtır?

$sin = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ .

Sonuç:

\frac{3}{5}

Örnek

Soru

$cos 30° \cdot tan 30°$ ifadesini hesapla.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

$sin 45° \cdot cos 45°$ kaçtır?

$\frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

Bir dar açıda $sin θ = \frac{8}{17}$ ise $cos θ$ kaçtır?

$cos^{2} θ = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} \Rightarrow cos θ = \frac{15}{17}$ .

Sonuç:

\frac{15}{17}

Örnek

Soru

$30°$ 'lik açıya sahip bir dik üçgende $30°$ 'nin karşısı $7$ ise hipotenüs kaçtır?

$sin 30° = \frac{7}{c} = \frac{1}{2} \Rightarrow c = 14$ .

Sonuç:

14

Örnek

Soru

$\frac{sin ^{2} 60° + cos ^{2} 60°}{tan 45°}$ ifadesinin değerini bul.

Payda her açı için $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ özdeşliğini kullan; $tan 45° = 1$ .

Pay: $sin^{2} 60° + cos^{2} 60° = 1$ (temel özdeşlik).
Payda: $tan 45° = 1$ .
Bölüm: $\frac{1}{1} = 1$ .

Sonuç:

1

Örnek

Soru

Bir dik üçgende dar açılardan biri $60°$ ve bu açının komşu dik kenarı $4$ ise hipotenüs ve karşı dik kenar kaçtır?

$cos 60° = \frac{kom s ¸ u}{hipoten u ¨ s}$ ile hipotenüsü, $tan 60° = \frac{kar s ¸ ı}{kom s ¸ u}$ ile karşı kenarı bul.

$cos 60° = \frac{4}{c} = \frac{1}{2} \Rightarrow c = 8$ (hipotenüs).
$tan 60° = \frac{kar s ¸ ı}{4} = 3 \Rightarrow kar \overset{s}{¸} ı = 43$ .

Sonuç: Hipotenüs

8

, karşı dik kenar

43

Örnek

Soru

Bir dar açı için $tan θ = \frac{3}{4}$ ise $sin θ + cos θ$ kaçtır?

$tan θ = \frac{kar s ¸ ı}{kom s ¸ u} = \frac{3}{4}$ olduğundan karşı $= 3 k$ , komşu $= 4 k$ al; Pisagor ile hipotenüsü bul.

Karşı $= 3 k$ , komşu $= 4 k$ alalım; hipotenüs $= (3 k)^{2} + (4 k)^{2} = 25 k^{2} = 5 k$ .
$sin θ = \frac{3 k}{5 k} = \frac{3}{5}$ , $cos θ = \frac{4 k}{5 k} = \frac{4}{5}$ .
Topla: $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$ .

Sonuç:

\frac{7}{5}

Sık Yapılan Hatalar

Karşı/komşu kenarı karıştırmak. $sin$ karşı/hipotenüs, $cos$ komşu/hipotenüstür; açıya göre belirle.
Özel açı değerlerini ters yazmak. $sin 30° = \frac{1}{2}$ , $cos 30° = \frac{3}{2}$ ; $30°$ ile $60°$ değerleri sin–cos olarak yer değiştirir.
$sin^{2} θ$ 'yı $sin θ^{2}$ sanmak. $sin^{2} θ = (sin θ)^{2}$ demektir.
Özdeşlikte işaret seçimini atlamak. $cos θ = \pm 1 - sin^{2} θ$ ; dar açıda kosinüs pozitif alınır.

Not: $3 - 4 - 5$ ve özel açı üçgenleri ( $30 - 60 - 90$ , $45 - 45 - 90$ ) trigonometrinin "hazır kartlarıdır" — değerleri ezbere bil. Bir oran verilince diğerini $sin^{2} + cos^{2} = 1$ ile çek.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Dik kenarları

5

12

, hipotenüsü

13

olan bir dik üçgende,

5

birimlik kenarın karşısındaki dar açı

θ

olduğuna göre

sin θ

kaçtır?

$θ$ 'nın karşısındaki kenar $5$ , hipotenüs $13$ 'tür.
$sin θ = \frac{kar s ¸ ı}{hipoten u ¨ s} = \frac{5}{13}$ .

Sonuç:

\frac{5}{13}

Soru 2Kolay

cos 30° \cdot tan 60°

ifadesinin değeri kaçtır?

$cos 30° = \frac{3}{2}$ ve $tan 60° = 3$ .
Çarp: $\frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

\frac{3}{2}

Soru 3Orta

sin 60° \cdot cos 30° - cos 60° \cdot sin 30°

ifadesinin değeri kaçtır?

Değerleri yaz: $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .
$= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

\frac{1}{2}

Soru 4Orta

Bir dar açı

θ

için

tan θ = \frac{12}{5}

olduğuna göre

sin θ - cos θ

kaçtır?

$tan θ = \frac{kar s ¸ ı}{kom s ¸ u} = \frac{12}{5}$ olduğundan karşı $= 12 k$ , komşu $= 5 k$ alalım.
Hipotenüs $= (12 k)^{2} + (5 k)^{2} = 169 k^{2} = 13 k$ .
$sin θ = \frac{12 k}{13 k} = \frac{12}{13}$ , $cos θ = \frac{5 k}{13 k} = \frac{5}{13}$ .
$sin θ - cos θ = \frac{12}{13} - \frac{5}{13} = \frac{7}{13}$ .

Sonuç:

\frac{7}{13}

Soru 5Orta

Yatayla

30°

açı yapan doğrusal bir rampanın uzunluğu (eğik yüzeyi)

18

metredir. Buna göre rampanın en yüksek noktasının yerden yüksekliği kaç metredir?

Rampa uzunluğu hipotenüs, yükseklik $30°$ 'nin karşısındaki dik kenardır.
$sin 30° = \frac{y u ¨ kseklik}{18} = \frac{1}{2}$ .
Yükseklik $= 18 \cdot \frac{1}{2} = 9$ metre.

Sonuç:

9

metre

Soru 6Zor

Bir dar açı

θ

için

sin θ = \frac{3}{2}

olduğuna göre

\frac{1 - cos ^{2} θ}{sin θ \cdot cos θ}

ifadesinin değeri kaçtır?

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ özdeşliğinden $1 - cos^{2} θ = sin^{2} θ$ ; pay $sin^{2} θ$ olur.
$\frac{sin ^{2} θ}{sin θ \cdot cos θ} = \frac{sin θ}{cos θ} = tan θ$ .
Dar açıda $cos θ = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{2}$ , yani $θ = 60°$ .
$tan 60° = \frac{3 /2}{1/2} = 3$ .

Sonuç:

3

0/6 soru cevaplandı

1. Temel Trigonometrik Oranlar

2. Özel Açılar: 30°, 45°, 60°

3. Temel Özdeşlikler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Geometrik Şekiller — diğer konular