10. Sınıf · Geometrik Şekiller
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Özdeşlikler
Geometrik Şekiller temasının kalbi trigonometridir: bir dik üçgende açılarla kenarlar arasındaki orana dayanır. Bu derste sinüs, kosinüs ve tanjant oranlarını, 30°\text{-}45°\text{-}60° özel açılarının değerlerini ve temel trigonometrik özdeşlikleri (\sin^2\theta+\cos^2\theta=1) öğreneceğiz. Trigonometri; yükseklik, uzaklık ve eğim hesaplarının dilidir. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Temel Trigonometrik Oranlar
Dar açısı \theta olan bir dik üçgende, \theta'ya komşu ve karşı kenarlar ile hipotenüs arasındaki oranlar:
\sin\theta=\dfrac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \quad \cos\theta=\dfrac{\text{komşu dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \quad \tan\theta=\dfrac{\text{karşı}}{\text{komşu}}
a,\ b, hipotenüsü c olan dik üçgen. Alttaki açıya göre \sin=\dfrac{\text{karşı}}{c}, \cos=\dfrac{\text{komşu}}{c}, \tan=\dfrac{\text{karşı}}{\text{komşu}}.Dik kenarları 3 ve 4, hipotenüsü 5 olan dik üçgende, 3 biriminin karşısındaki açı \theta için \sin\theta ve \cos\theta'yı bulunuz.
\theta'nın karşısı3, komşusu4, hipotenüs5.\sin\theta=\dfrac{3}{5},\cos\theta=\dfrac{4}{5}.
\sin\theta=\dfrac{3}{5}, \cos\theta=\dfrac{4}{5}.2. Özel Açılar: 30°, 45°, 60°
İki özel dik üçgen, bu açıların değerlerini verir.
30\text{-}60\text{-}90 üçgeni; kenar oranları x:x\sqrt3:2x.45\text{-}45\text{-}90 üçgeni; kenar oranları x:x:x\sqrt2.\theta | \sin\theta | \cos\theta | \tan\theta |
|---|---|---|---|
30° | \dfrac{1}{2} | \dfrac{\sqrt3}{2} | \dfrac{\sqrt3}{3} |
45° | \dfrac{\sqrt2}{2} | \dfrac{\sqrt2}{2} | 1 |
60° | \dfrac{\sqrt3}{2} | \dfrac{1}{2} | \sqrt3 |
\sin 30°+\cos 60° değerini bulunuz.
\sin 30°=\dfrac{1}{2},\cos 60°=\dfrac{1}{2}.- Topla:
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1.
1.3. Temel Özdeşlikler
Her \theta açısı için şu bağıntılar geçerlidir:
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 \qquad \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}
Bunlar, bir oran biliniyorken diğerini bulmaya yarar.
Bir dar açı için \sin\theta=\dfrac{3}{5} ise \cos\theta kaçtır?
\sin^2\theta+\cos^2\theta=1 özdeşliğinde \cos^2\theta'yı yalnız bırak; dar açıda kosinüs pozitiftir.
\cos^2\theta=1-\sin^2\theta=1-\dfrac{9}{25}=\dfrac{16}{25}.- Dar açı olduğundan
\cos\theta=\dfrac{4}{5}.
\cos\theta=\dfrac{4}{5}.Çözümlü Örnekler
\sin 30°\cdot\cos 60°+\cos 30°\cdot\sin 60° ifadesinin değerini bulunuz.
- Değerleri yerine koy:
\dfrac12\cdot\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}. =\dfrac14+\dfrac34=1.
1.Bir dik üçgende bir dar açı 30° ve hipotenüs 10 ise 30°'nin karşısındaki kenar kaçtır?
\sin 30°=\dfrac{\text{karşı}}{10}=\dfrac{1}{2}.- Karşı kenar
=10\cdot\dfrac{1}{2}=5.
5.\dfrac{\sin 60°}{\cos 60°} ifadesini hesaplayınız.
- Bu
\tan 60°'dir. \tan 60°=\sqrt3.
\sqrt3.\cos\theta=\dfrac{12}{13} (dar açı) ise \sin\theta kaçtır?
\sin^2\theta=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169}.\sin\theta=\dfrac{5}{13}.
\dfrac{5}{13}.Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
Dik kenarları 6 ve 8, hipotenüsü 10 olan üçgende 6'nın karşısındaki açının sinüsü kaçtır?
\sin=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}.
\dfrac{3}{5}.\cos 30°\cdot \tan 30° ifadesini hesapla.
\dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{3}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}.
\dfrac{1}{2}.\sin 45°\cdot\cos 45° kaçtır?
\dfrac{\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.
\dfrac{1}{2}.Bir dar açıda \sin\theta=\dfrac{8}{17} ise \cos\theta kaçtır?
\cos^2\theta=1-\dfrac{64}{289}=\dfrac{225}{289}\Rightarrow \cos\theta=\dfrac{15}{17}.
\dfrac{15}{17}.30°'lik açıya sahip bir dik üçgende 30°'nin karşısı 7 ise hipotenüs kaçtır?
\sin 30°=\dfrac{7}{c}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow c=14.
14.\dfrac{\sin^2 60°+\cos^2 60°}{\tan 45°} ifadesinin değerini bul.
Payda her açı için \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 özdeşliğini kullan; \tan 45°=1.
- Pay:
\sin^2 60°+\cos^2 60°=1(temel özdeşlik). - Payda:
\tan 45°=1. - Bölüm:
\dfrac{1}{1}=1.
1.Bir dik üçgende dar açılardan biri 60° ve bu açının komşu dik kenarı 4 ise hipotenüs ve karşı dik kenar kaçtır?
\cos 60°=\dfrac{\text{komşu}}{\text{hipotenüs}} ile hipotenüsü, \tan 60°=\dfrac{\text{karşı}}{\text{komşu}} ile karşı kenarı bul.
\cos 60°=\dfrac{4}{c}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow c=8(hipotenüs).\tan 60°=\dfrac{\text{karşı}}{4}=\sqrt3\Rightarrow \text{karşı}=4\sqrt3.
8, karşı dik kenar 4\sqrt3.Bir dar açı için \tan\theta=\dfrac{3}{4} ise \sin\theta+\cos\theta kaçtır?
\tan\theta=\dfrac{\text{karşı}}{\text{komşu}}=\dfrac34 olduğundan karşı =3k, komşu =4k al; Pisagor ile hipotenüsü bul.
- Karşı
=3k, komşu=4kalalım; hipotenüs=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=\sqrt{25k^2}=5k. \sin\theta=\dfrac{3k}{5k}=\dfrac{3}{5},\cos\theta=\dfrac{4k}{5k}=\dfrac{4}{5}.- Topla:
\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{7}{5}.
\dfrac{7}{5}.Sık Yapılan Hatalar
- Karşı/komşu kenarı karıştırmak.
\sinkarşı/hipotenüs,\coskomşu/hipotenüstür; açıya göre belirle. - Özel açı değerlerini ters yazmak.
\sin 30°=\dfrac12,\cos 30°=\dfrac{\sqrt3}{2};30°ile60°değerleri sin–cos olarak yer değiştirir. \sin^2\theta'yı\sin\theta^2sanmak.\sin^2\theta=(\sin\theta)^2demektir.- Özdeşlikte işaret seçimini atlamak.
\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}; dar açıda kosinüs pozitif alınır.
Not:
3\text{-}4\text{-}5ve özel açı üçgenleri (30\text{-}60\text{-}90,45\text{-}45\text{-}90) trigonometrinin "hazır kartlarıdır" — değerleri ezbere bil. Bir oran verilince diğerini\sin^2+\cos^2=1ile çek.