10. Sınıf · Geometrik Şekiller

Sinüs ve Kosinüs Teoremleri

~8 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soru

Trigonometri yalnız dik üçgenle sınırlı değildir: herhangi bir üçgende kenarlarla açılar arasında sinüs ve kosinüs teoremleri kurar. Bu derste bir üçgende eksik kenarı ya da açıyı bulmak için sinüs teoremini ( $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ ) ve kosinüs teoremini ( $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ) ne zaman kullanacağını öğreneceğiz. Bu iki teorem, geometri ve gerçek hayat (üçgenleme, navigasyon) problemlerinin anahtarıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Kenar – Açı Adlandırması

Bir üçgende her kenar, karşısındaki açıyla aynı harfle adlandırılır: $a$ kenarı $A$ açısının karşısındadır.

Şekil 1 — Açıları

A, B, C

olan üçgen.

a = ∣ B C ∣

kenarı

A

'nın,

b = ∣ A C ∣

kenarı

B

'nin,

c = ∣ A B ∣

kenarı

C

'nin karşısındadır.

2. Sinüs Teoremi

Bir üçgende her kenarın, karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir:

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B} = \frac{c}{sin C}$

Ne zaman? Bir kenar–karşı açı çifti biliniyorsa ve başka bir açı ya da kenar aranıyorsa.

Örnek

Soru

Bir üçgende $A = 30°$ , $a = 5$ ve $B = 90°$ ise $b$ kenarını bulunuz.

$\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ orantısını kur; $sin 30° = \frac{1}{2}$ , $sin 90° = 1$ .

$\frac{5}{sin 30°} = \frac{b}{sin 90°} \Rightarrow \frac{5}{1/2} = \frac{b}{1}$ .
$10 = b$ .

Sonuç:

b = 10

3. Kosinüs Teoremi

İki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenar kosinüs teoremiyle bulunur:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

Ne zaman? İki kenar + aralarındaki açı verildiğinde (üçüncü kenarı bulmak için) ya da üç kenar verildiğinde (bir açıyı bulmak için). $A = 90°$ ise $cos 90° = 0$ olur ve teorem Pisagor'a indirgenir.

Şekil 2 —

A

köşesinde buluşan

b

c

kenarları ile

A

açısı bilindiğinde, karşı kenar

a

kosinüs teoremiyle bulunur:

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

Örnek

Soru

Bir üçgende $b = 4$ , $c = 3$ ve aralarındaki açı $A = 60°$ ise $a$ kenarını bulunuz.

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A = 16 + 9 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot cos 60°$ .
$cos 60° = \frac{1}{2}$ : $a^{2} = 25 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$ .
$a = 13$ .

Sonuç:

a = 13

4. Hangi Teorem?

Kenar–karşı açı çiftin varsa → sinüs teoremi.
İki kenar + aralarındaki açı ya da üç kenar varsa → kosinüs teoremi.

Örnek

Soru

Üç kenarı $a = 7$ , $b = 5$ , $c = 3$ olan üçgende $A$ açısının kosinüsünü bulunuz.

Kosinüs teoremini $cos A$ için düzenle: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
$49 = 25 + 9 - 2 \cdot 5 \cdot 3 cos A \Rightarrow 49 = 34 - 30 cos A$ .
$30 cos A = 34 - 49 = - 15 \Rightarrow cos A = - \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

cos A = - \frac{1}{2}

(yani

A = 120°

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir üçgende $A = 45°$ , $a = 2$ , $C = 90°$ ise $c$ kenarını bulunuz.

$\frac{a}{sin A} = \frac{c}{sin C} \Rightarrow \frac{2}{sin 45°} = \frac{c}{sin 90°}$ .
$sin 45° = \frac{2}{2}$ : $\frac{2}{2 /2} = 2 = \frac{c}{1}$ .

Sonuç:

c = 2

Örnek

Soru

İki kenarı $5$ ve $8$ , aralarındaki açısı $60°$ olan üçgenin üçüncü kenarını bulunuz.

$a^{2} = 5^{2} + 8^{2} - 2 \cdot 5 \cdot 8 cos 60° = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2}$ .
$= 89 - 40 = 49 \Rightarrow a = 7$ .

Sonuç:

7

Örnek

Soru

Üç kenarı $3$ , $4$ , $5$ olan üçgende $5$ kenarının karşısındaki açının kosinüsünü bulunuz.

$5^{2} = 3^{2} + 4^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 4 cos A \Rightarrow 25 = 25 - 24 cos A$ .
$24 cos A = 0 \Rightarrow cos A = 0$ → açı $90°$ .

Sonuç:

cos A = 0

(dik açı).

Örnek

Soru

Bir üçgende $B = 30°$ , $b = 6$ ve $A = 45°$ ise $a$ kenarını bulunuz.

$\frac{a}{sin 45°} = \frac{6}{sin 30°} \Rightarrow \frac{a}{2 /2} = \frac{6}{1/2} = 12$ .
$a = 12 \cdot \frac{2}{2} = 62$ .

Sonuç:

a = 62

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

İki kenarı $6$ ve $10$ , aralarındaki açısı $60°$ olan üçgenin üçüncü kenarını bul.

$a^{2} = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 136 - 60 = 76 \Rightarrow a = 219$ .

Sonuç:

219

Örnek

Soru

$A = 30°$ , $a = 4$ , $B = 90°$ ise $b$ kaçtır?

$\frac{4}{1/2} = \frac{b}{1} \Rightarrow b = 8$ .

Sonuç:

8

Örnek

Soru

Üç kenarı $2$ , $2$ , $2$ olan üçgende bir açının kosinüsü kaçtır?

$4 = 4 + 4 - 2 \cdot 2 \cdot 2 cos A \Rightarrow 4 = 8 - 8 cos A \Rightarrow cos A = \frac{1}{2}$ (eşkenar → $60°$ ).

Sonuç:

\frac{1}{2}

Örnek

Soru

$A = 90°$ , $b = 6$ , $c = 8$ ise kosinüs teoremiyle $a$ kaçtır?

$a^{2} = 36 + 64 - 2 \cdot 6 \cdot 8 cos 90° = 100 - 0 = 100 \Rightarrow a = 10$ .

Sonuç:

10

(Pisagor ile aynı).

Örnek

Soru

$\frac{a}{sin A} = 10$ ve $sin B = \frac{1}{2}$ ise $b$ kenarı kaçtır?

Sinüs teoremi: $\frac{b}{sin B} = 10 \Rightarrow b = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

İki kenarı $7$ ve $5$ , aralarındaki açısı $120°$ olan üçgenin üçüncü kenarını bul. ( $cos 120° = - \frac{1}{2}$ .)

Kosinüs teoreminde $cos 120° = - \frac{1}{2}$ negatiftir; $- 2 b c cos A$ terimi bu yüzden artı işaretine döner.

$a^{2} = 7^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot cos 120° = 49 + 25 - 70 \cdot (- \frac{1}{2})$ .
$= 74 + 35 = 109$ .
$a = 109$ .

Sonuç:

109

Örnek

Soru

Üç kenarı $a = 6$ , $b = 5$ , $c = 4$ olan üçgende en büyük açı hangi kenarın karşısındadır ve bu açının kosinüsü kaçtır?

En büyük açı, en uzun kenarın ( $a = 6$ ) karşısındadır. $A$ için kosinüs teoremini $cos A$ 'ya göre düzenle.

En uzun kenar $a = 6$ olduğundan en büyük açı $A$ 'dır.
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A \Rightarrow 36 = 25 + 16 - 2 \cdot 5 \cdot 4 cos A$ .
$36 = 41 - 40 cos A \Rightarrow 40 cos A = 5 \Rightarrow cos A = \frac{1}{8}$ .

Sonuç: En büyük açı

a = 6

'nın karşısında;

cos A = \frac{1}{8}

Örnek

Soru

Bir üçgende $A = 30°$ , $B = 45°$ ve $a = 6$ ise $b$ kenarını bul. ( $sin 45° = \frac{2}{2}$ .)

Kenar–karşı açı çifti ( $a$ , $A$ ) verilmiş; sinüs teoremiyle $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ kur.

$\frac{6}{sin 30°} = \frac{b}{sin 45°} \Rightarrow \frac{6}{1/2} = \frac{b}{2 /2}$ .
$12 = \frac{b}{2 /2} \Rightarrow b = 12 \cdot \frac{2}{2} = 62$ .

Sonuç:

b = 62

Sık Yapılan Hatalar

Yanlış teoremi seçmek. Kenar–karşı açı çifti → sinüs; iki kenar+aralarındaki açı veya üç kenar → kosinüs.
Kosinüs teoreminde işaret hatası. Formül $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ ; eksi işaretini ve $cos A$ negatifse işaret dönüşünü gözden kaçırma.
Kenarı yanlış açıyla eşlemek. $a$ daima $A$ 'nın karşısındaki kenardır.
$a^{2}$ 'den $a$ 'ya geçerken kökü atlamak. Sonuçta $a = \dots$ almayı unutma.
Kosinüsü negatif çıkınca şaşırmak. $cos A < 0$ ise açı geniştir ( $90° < A < 180°$ ); bu bir hata değil, geçerli bir sonuçtur. Örneğin $cos A = - \frac{1}{2} \Rightarrow A = 120°$ .

Not: Karar kuralı net: bir kenar ve karşı açısı varsa sinüs teoremi; iki kenar + aralarındaki açı ya da üç kenar varsa kosinüs teoremi. $A = 90°$ 'de kosinüs teoremi Pisagor olur.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir üçgende

A = 45°

a = 6

C = 90°

ise

c

kenarı kaçtır? (

sin 45° = \frac{2}{2}

sin 90° = 1

Kenar-karşı açı çifti ( $a$ , $A$ ) verildiğinden sinüs teoremini kur: $\frac{a}{sin A} = \frac{c}{sin C}$ .
$\frac{6}{sin 45°} = \frac{c}{sin 90°} \Rightarrow \frac{6}{2 /2} = \frac{c}{1}$ .
$\frac{6}{2 /2} = \frac{12}{2} = \frac{12}{2} \cdot \frac{2}{2} = 62$ .
Dolayısıyla $c = 62$ .

Sonuç:

c = 62

Soru 2Kolay

Bir üçgende

b = 9

c = 12

ve aralarındaki açı

A = 90°

ise kosinüs teoremiyle

a

kenarı kaçtır? (

cos 90° = 0

Kosinüs teoremi: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
$a^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} - 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot cos 90° = 81 + 144 - 0$ .
$a^{2} = 225 \Rightarrow a = 225 = 15$ .
$A = 90°$ olduğundan sonuç Pisagor ile aynıdır.

Sonuç:

a = 15

Soru 3Orta

İki kenarı

6

10

, aralarındaki açısı

120°

olan bir üçgenin üçüncü kenarı kaçtır? (

cos 120° = - \frac{1}{2}

Kosinüs teoremi: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ , $b = 6$ , $c = 10$ , $A = 120°$ .
$a^{2} = 6^{2} + 1 0^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (- \frac{1}{2}) = 36 + 100 + 60$ .
$cos 120°$ negatif olduğu için $- 2 b c cos A$ terimi artıya döner: $a^{2} = 196$ .
$a = 196 = 14$ .

Sonuç:

a = 14

Soru 4Orta

Kenarları

a = 6

b = 4

c = 5

olan bir üçgende

a

kenarının karşısındaki

A

açısının kosinüsü kaçtır?

Kosinüs teoremini $A$ için yaz: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
$6^{2} = 4^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 5 cos A \Rightarrow 36 = 16 + 25 - 40 cos A$ .
$36 = 41 - 40 cos A \Rightarrow 40 cos A = 41 - 36 = 5$ .
$cos A = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$ .

Sonuç:

cos A = \frac{1}{8}

Soru 5Orta

Bir üçgende

\frac{a}{sin A} = 12

sin B = \frac{1}{3}

ise

b

kenarı kaçtır?

Sinüs teoreminde tüm oranlar eşittir: $\frac{b}{sin B} = \frac{a}{sin A} = 12$ .
Buradan $b = 12 \cdot sin B$ .
$b = 12 \cdot \frac{1}{3} = 4$ .

Sonuç:

b = 4

Soru 6Zor

Bir kavşaktan çıkan iki düz yol aralarında

60°

açı yapmaktadır. Bir araç birinci yolda

8

km, ikinci yolda ise

5

km ilerlemiştir. Araçların vardığı iki nokta arasındaki kuş uçuşu uzaklık kaç km'dir? (

cos 60° = \frac{1}{2}

İki kenar ( $8$ ve $5$ ) ve aralarındaki açı ( $60°$ ) verildiğinden kosinüs teoremi kullanılır.
$a^{2} = 8^{2} + 5^{2} - 2 \cdot 8 \cdot 5 cos 60° = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2}$ .
$a^{2} = 89 - 40 = 49$ .
$a = 49 = 7$ km.

Sonuç: İki nokta arası

7

km.

0/6 soru cevaplandı

1. Kenar – Açı Adlandırması

2. Sinüs Teoremi

3. Kosinüs Teoremi

4. Hangi Teorem?

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Geometrik Şekiller — diğer konular