9. Sınıf · Geometrik Şekiller

Üçgende Kenar-Açı Bağıntıları

~6 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bir üçgende açılarla kenarlar birbirine bağlıdır: büyük açının karşısında uzun kenar bulunur. Bu derste kenar-açı sıralaması ilişkisini ve bir üçgenin var olabilmesi için kenarlarının sağlaması gereken üçgen eşitsizliğini ( $∣ b - c ∣ < a < b + c$ ) öğreneceğiz. Bu iki kural, "bu üçgen çizilebilir mi?", "üçüncü kenar kaç olabilir?" ve "açıları/kenarları sırala" tipindeki soruların anahtarıdır. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Kenar-Açı İlişkisi

Bir üçgende büyük açının karşısındaki kenar daha uzun, küçük açının karşısındaki kenar daha kısadır. Açıların sıralaması ile karşı kenarların sıralaması aynıdır:

$A > B > C ⟺ a > b > c$

Burada $a$ kenarı $A$ açısının (yani $A$ köşesinin) karşısındaki kenardır.

Şekil 1 — Açılar

A, B, C

. Her kenar, karşısındaki açıyla eşleşir: en büyük açının karşısındaki kenar en uzun, en küçük açının karşısındaki kenar en kısadır.

Örnek

Soru

Bir üçgende $A = 80°$ , $B = 60°$ , $C = 40°$ ise $a, b, c$ kenarlarını büyükten küçüğe sıralayınız.

Açı sıralaması: $A > B > C$ ( $80° > 60° > 40°$ ).
Kenarlar aynı sırayı izler: $a > b > c$ .

Sonuç:

a > b > c

2. Üçgen Eşitsizliği

Üç doğru parçasının üçgen oluşturabilmesi için, bir kenar her zaman diğer ikisinin toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyük olmalıdır:

$∣ b - c ∣ < a < b + c$

Pratikte: en uzun kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır. Değilse üçgen oluşmaz.

Şekil 2 — Tabanı

a

olan üçgen.

b

c

kenarlarının tabanın iki ucunu birleştirebilmesi için

b + c > a

olmalıdır; aksi halde iki kenar buluşamaz ve üçgen kapanmaz.

Örnek

Soru

$5, 8, 12$ uzunluklarındaki çubuklarla bir üçgen oluşturulabilir mi?

En uzun kenarı, diğer iki kenarın toplamıyla karşılaştır. Toplam, en uzun kenardan büyük olmalı.

En uzun kenar $12$ ; diğer ikisinin toplamı $5 + 8 = 13$ .
$12 < 13$ olduğundan üçgen eşitsizliği sağlanır.

Sonuç: Evet, üçgen oluşturulabilir.

3. Üçüncü Kenarın Alabileceği Değerler

İki kenarı $b$ ve $c$ verilen bir üçgende üçüncü kenar $a$ , şu aralıkta olmalıdır:

$∣ b - c ∣ < a < b + c$

Örnek

Soru

Bir üçgenin iki kenarı $7$ ve $4$ 'tür. Üçüncü kenar bir tam sayı ise alabileceği en küçük ve en büyük değeri bulunuz.

Aralık: $∣7 - 4∣ < a < 7 + 4$ , yani $3 < a < 11$ .
Tam sayı $a$ : $4, 5, \dots, 10$ (uçlar dâhil değil).
En küçük $4$ , en büyük $10$ .

Sonuç: En küçük

4

, en büyük

10

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir üçgende $a = 10$ , $b = 7$ , $c = 5$ ise açıları büyükten küçüğe sıralayınız.

Kenar sıralaması: $a > b > c$ ( $10 > 7 > 5$ ).
Açılar karşı kenarlarla aynı sırada: $A > B > C$ .

Sonuç:

A > B > C

Örnek

Soru

Kenarları $3, 4, 9$ olan bir üçgen çizilebilir mi?

En uzun kenar $9$ ; diğer ikisinin toplamı $3 + 4 = 7$ .
$9 > 7$ olduğundan üçgen eşitsizliği sağlanmaz.

Sonuç: Hayır, çizilemez.

Örnek

Soru

İki kenarı $6$ ve $6$ olan ikizkenar üçgende üçüncü kenar bir tam sayıdır. Kaç farklı değer alabilir?

Aralık: $∣6 - 6∣ < a < 6 + 6$ , yani $0 < a < 12$ .
Tam sayı değerler: $1, 2, \dots, 11$ .
Bunların sayısı $11$ 'dir.

Sonuç:

11

farklı değer.

Örnek

Soru

Bir üçgende $B$ en büyük açıysa, hangi kenar en uzundur?

En büyük açının karşısındaki kenar en uzundur.
$B$ 'nin karşısındaki kenar $b$ 'dir.

Sonuç:

b

kenarı en uzundur.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Kenarları $2, 5, 6$ olan bir üçgen çizilebilir mi?

En uzun kenar $6$ ; diğerlerinin toplamı $2 + 5 = 7 > 6$ .

Sonuç: Evet, çizilebilir.

Örnek

Soru

Bir üçgenin iki kenarı $9$ ve $5$ 'tir. Üçüncü kenar tam sayı ise kaç farklı değer alabilir?

Aralık: $∣9 - 5∣ < a < 9 + 5 \Rightarrow 4 < a < 14$ .
Tam sayılar: $5, 6, \dots, 13$ → $9$ değer.

Sonuç:

9

farklı değer.

Örnek

Soru

$A = 50°$ , $B = 70°$ , $C = 60°$ olan üçgende en uzun kenar hangisidir?

En büyük açı $B = 70°$ .
Karşısındaki kenar $b$ en uzundur.

Sonuç:

b

kenarı.

Örnek

Soru

Bir üçgende $a = 8$ , $b = 8$ , $c = 3$ ise en küçük açı hangi kenarın karşısındadır?

En kısa kenar $c = 3$ .
En kısa kenarın karşısındaki açı en küçüktür: $C$ .

Sonuç:

C

(kenar

c

'nin karşısı).

Örnek

Soru

İki kenarı $10$ ve $4$ olan üçgende üçüncü kenar $x$ tam sayıdır. $x$ 'in alabileceği en büyük değer nedir?

Aralık: $∣10 - 4∣ < x < 10 + 4 \Rightarrow 6 < x < 14$ .
En büyük tam sayı $13$ .

Sonuç:

13

Örnek

Soru

Bir üçgende $A = 40°$ , $B = 40°$ ise kenarlar arasında nasıl bir ilişki vardır?

Önce üçüncü açıyı bul. İki açı eşitse karşılarındaki kenarlar da eşittir (ikizkenar).

$C = 180° - 40° - 40° = 100°$ .
$A = B$ olduğundan karşı kenarlar eşit: $a = b$ .
En büyük açı $C$ olduğundan en uzun kenar $c$ 'dir: $c > a = b$ .

Sonuç:

a = b

c

en uzun kenardır (

c > a = b

Örnek

Soru

Bir üçgenin çevresi $20$ ve iki kenarı $5$ ile $9$ 'dur. Üçüncü kenar üçgen eşitsizliğini sağlıyor mu?

Üçüncü kenar: $20 - 5 - 9 = 6$ .
En uzun kenar $9$ ; diğerlerinin toplamı $5 + 6 = 11 > 9$ .
Eşitsizlik sağlanır.

Sonuç: Evet, üçüncü kenar

6

'dır ve üçgen eşitsizliği sağlanır.

Örnek

Soru

Kenar uzunlukları $x - 2$ , $x$ ve $x + 3$ olan bir üçgende $x$ bir tam sayıdır. $x$ en az kaç olabilir?

En uzun kenar $x + 3$ 'tür. Üçgen eşitsizliği için en uzun kenar, diğer ikisinin toplamından küçük olmalı: $x + 3 < (x - 2) + x$ . Ayrıca her kenar pozitif olmalı.

En uzun kenar $x + 3$ ; üçgen eşitsizliği: $x + 3 < (x - 2) + x$ .
$x + 3 < 2 x - 2 \Rightarrow 5 < x \Rightarrow x > 5$ .
Kenarların pozitifliği ( $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$ ) bu koşulu aşmaz.
Tam sayı $x > 5$ 'in en küçüğü $6$ 'dır.

Sonuç:

x

en az

6

olabilir.

Örnek

Soru

Bir üçgenin iki kenarı $11$ ve $7$ 'dir. Üçüncü kenar $a$ tam sayı ise $a$ 'nın alabileceği tüm değerlerin toplamı kaçtır?

Önce aralığı bul, sonra aralıktaki tam sayıları topla. Ardışık tam sayıların toplamı için $\frac{( ilk + son ) \cdot adet}{2}$ kullanabilirsin.

Aralık: $∣11 - 7∣ < a < 11 + 7 \Rightarrow 4 < a < 18$ .
Tam sayılar: $5, 6, \dots, 17$ ; adet $17 - 5 + 1 = 13$ .
Toplam: $\frac{( 5 + 17 ) \cdot 13}{2} = \frac{22 \cdot 13}{2} = 11 \cdot 13 = 143$ .

Sonuç:

143

Sık Yapılan Hatalar

Açı-kenar eşleşmesini ters kurmak. Büyük açının karşısında uzun kenar bulunur; küçük açıyla uzun kenarı eşleştirme.
Üçgen eşitsizliğinde uç değerleri dâhil etmek. $∣ b - c ∣ < a < b + c$ eşitsizlikleri kesindir; $a$ , $∣ b - c ∣$ ya da $b + c$ 'ye eşit olamaz (eşitlikte üçgen düzleşir).
Yalnız bir koşulu kontrol etmek. Üçgen eşitsizliği için en güvenlisi: en uzun kenar < diğer ikisinin toplamı olduğunu doğrulamak yeterlidir.
Kenar aralığını yanlış saymak. $3 < a < 11$ aralığında tam sayılar $4$ 'ten $10$ 'a kadardır (uçlar hariç); say verirken dikkat et.

Not: İki temel kural: (1) açı sıralaması $=$ karşı kenar sıralaması; (2) üçüncü kenar daima $∣ b - c ∣$ ile $b + c$ arasındadır. Sıralama sorusunda önce büyük açıyı/uzun kenarı bul.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Orta

Bir

A B C

üçgeninde

A = 45°

B = 95°

C = 40°

olduğuna göre, kenarların büyükten küçüğe doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?

Kenar-açı ilişkisinde büyük açının karşısında uzun kenar bulunur.
Açı sıralaması: $B > A > C$ ( $95° > 45° > 40°$ ).
Karşı kenarlar aynı sırayı izler: $b > a > c$ .

Sonuç:

b > a > c

(B seçeneği).

Soru 2Kolay

Uzunlukları

4

7

10

birim olan üç çubukla bir üçgen oluşturulmak isteniyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Üçgen eşitsizliği için en uzun kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük olmalıdır.
En uzun kenar $10$ ; diğerlerinin toplamı $4 + 7 = 11$ .
$10 < 11$ olduğundan eşitsizlik sağlanır, üçgen oluşur.

Sonuç: Oluşur, çünkü

4 + 7 = 11 > 10

'dur (C seçeneği).

Soru 3Orta

Bir üçgenin iki kenarı

12

5

birimdir. Üçüncü kenarın uzunluğu bir tam sayı ise alabileceği tüm değerlerin toplamı kaçtır?

Üçüncü kenar $x$ için aralık: $∣12 - 5∣ < x < 12 + 5$ , yani $7 < x < 17$ .
Uçlar dâhil değildir; tam sayılar $8, 9, \dots, 16$ .
Adet: $16 - 8 + 1 = 9$ değer.
Toplam: $\frac{( 8 + 16 ) \cdot 9}{2} = \frac{24 \cdot 9}{2} = 108$ .

Sonuç:

108

(B seçeneği).

Soru 4Orta

Çevresi

24

birim olan bir üçgenin iki kenarı

6

11

birimdir. Bu üçgenin üçüncü kenarı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Üçüncü kenar: $24 - 6 - 11 = 7$ .
En uzun kenar $11$ ; diğerlerinin toplamı $6 + 7 = 13$ .
$11 < 13$ olduğundan üçgen eşitsizliği sağlanır.

Sonuç: Üçüncü kenar

7

'dir ve üçgen eşitsizliği sağlanır (A seçeneği).

Soru 5Zor

Kenar uzunlukları

x - 1

x + 2

x + 5

birim olan bir üçgende

x

bir tam sayıdır. Buna göre

x

en az kaç olabilir?

En uzun kenar $x + 5$ 'tir; üçgen eşitsizliği için diğer ikisinin toplamından küçük olmalı: $x + 5 < (x - 1) + (x + 2)$ .
$x + 5 < 2 x + 1 \Rightarrow 4 < x \Rightarrow x > 4$ .
Kenarların pozitifliği ( $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ ) bu koşulu aşmaz.
Tam sayı $x > 4$ 'ün en küçüğü $5$ 'tir.

Sonuç:

5

(D seçeneği).

Soru 6Orta

Bir marangozun elinde

3

birim ve

8

birim uzunluğunda iki çubuk vardır. Bu iki çubuğu üçgen bir çerçevenin iki kenarı yapacak, üçüncü kenar için de tam sayı uzunlukta bir çubuk kesecektir. Marangozun kesebileceği en uzun üçüncü çubuk kaç birimdir?

Üçüncü kenar $x$ için aralık: $∣8 - 3∣ < x < 8 + 3$ , yani $5 < x < 11$ .
Uçlar dâhil değildir; en büyük tam sayı $10$ 'dur ( $5 + 10 = 15 > 8$ ve $8 + 3 = 11 > 10$ sağlanır).
Bu nedenle en uzun üçüncü çubuk $10$ birimdir.

Sonuç:

10

birim (B seçeneği).

0/6 soru cevaplandı

1. Kenar-Açı İlişkisi

2. Üçgen Eşitsizliği

3. Üçüncü Kenarın Alabileceği Değerler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Geometrik Şekiller — diğer konular