9. Sınıf · Geometrik Şekiller

Üçgende Açılar

~5 dk okumaZorluk: Kolay17 çözümlü soru

Geometrik Şekiller temasına en temel çokgen olan üçgenle başlıyoruz. Bu derste bir üçgenin iç açılarının toplamının neden hep $180°$ olduğunu, dış açı ile iç açılar arasındaki bağıntıyı, dış açılar toplamını ve ikizkenar/eşkenar üçgenlerin açı özelliklerini öğreneceğiz. Açı bağıntıları, geometri sorularının çoğunda ilk kullandığın araçtır. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. İç Açılar Toplamı

Bir üçgenin üç iç açısının ölçüleri toplamı her zaman $180°$ 'dir:

$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$

Şekil 1 — İç açıları

A,\ B,\ C

olan bir üçgen. Üçgen ne olursa olsun

A+B+C=180°

'dir.

Örnek

Soru

Bir üçgenin iç açılarından ikisi $50°$ ve $70°$ 'dir. Üçüncü açıyı bulunuz.

İç açılar toplamı $180°$ : $50°+70°+x=180°$ .
$120°+x=180°\Rightarrow x=60°$ .

Sonuç: Üçüncü açı

60°

'dir.

2. Dış Açı Bağıntısı

Bir kenarı uzatıldığında oluşan açıya dış açı denir. Bir köşedeki dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir:

$\widehat{d}=\widehat{A}+\widehat{C}$

Ayrıca bir köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir (toplamları $180°$ ).

Şekil 2 —

B

köşesindeki kenar uzatılmış. Dış açı

d

, komşu olmayan

A

C

iç açılarının toplamına eşittir:

d=A+C

Örnek

Soru

Bir üçgende $A=65°$ ve $C=45°$ ise $B$ köşesindeki dış açının ölçüsünü bulunuz.

Dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır. $B$ 'nin dış açısı $A$ ve $C$ 'ye komşu değildir.

Dış açı $=A+C$ (komşu olmayan iki iç açı).
$d=65°+45°=110°$ .

Sonuç: Dış açı

110°

'dir.

3. Dış Açılar Toplamı

Bir üçgenin her köşesinden birer dış açı alınırsa, bu üç dış açının toplamı her zaman $360°$ 'dir. (Bu, kenar sayısı kaç olursa olsun tüm dışbükey çokgenler için geçerli bir kuraldır.)

Şekil 3 — Her köşeden bir dış açı (

x,\ y,\ z

) alınmış. Üçgen ne olursa olsun

x+y+z=360°

'dir.

Örnek

Soru

Bir üçgenin iki dış açısı $120°$ ve $130°$ 'dir. Üçüncü dış açıyı bulunuz.

Dış açılar toplamı $360°$ : $120°+130°+x=360°$ .
$250°+x=360°\Rightarrow x=110°$ .

Sonuç: Üçüncü dış açı

110°

'dir.

4. İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

İkizkenar üçgen: iki kenarı eşit olan üçgendir. Eşit kenarların karşısındaki taban açıları eşittir.
Eşkenar üçgen: üç kenarı da eşit olan üçgendir. Her iç açısı $\dfrac{180°}{3}=60°$ 'dir.

Şekil 4 — İkizkenar üçgen. Eşit kenarlar tik işaretlidir; bu kenarların karşısındaki taban açıları

\widehat{B}=\widehat{C}

eşittir.

Örnek

Soru

Tepe açısı $40°$ olan ikizkenar üçgende taban açılarının ölçüsünü bulunuz.

Taban açıları eşit; her birine $x$ diyelim.
İç açılar toplamı: $40°+x+x=180°$ .
$2x=140°\Rightarrow x=70°$ .

Sonuç: Her taban açısı

70°

'dir.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir üçgenin iç açıları $2x,\ 3x,\ 4x$ ölçülerindedir. $x$ kaç derecedir?

Toplam $180°$ : $2x+3x+4x=180°$ .
$9x=180°\Rightarrow x=20°$ .

Sonuç:

x=20°

Örnek

Soru

Bir dik üçgenin dik açısı dışındaki iki açısından biri $35°$ 'dir. Diğeri kaç derecedir?

Dik üçgende bir açı $90°$ 'dir; kalan iki açının toplamı $90°$ olmalıdır.

Dik açı $90°$ ; kalan iki açı toplamı $180°-90°=90°$ .
$90°-35°=55°$ .

Sonuç: Diğer açı

55°

'dir.

Örnek

Soru

Bir üçgende dış açılardan biri $150°$ ise bu dış açıya komşu olan iç açı kaç derecedir?

İç açı ile dış açı bütündür (toplamları $180°$ ).
$180°-150°=30°$ .

Sonuç: Komşu iç açı

30°

'dir.

Örnek

Soru

Eşkenar üçgenin bir dış açısı kaç derecedir?

Eşkenar üçgende her iç açı $60°$ 'dir.
Dış açı, iç açının bütünleyenidir: $180°-60°=120°$ .

Sonuç:

120°

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Bir üçgenin iki iç açısı $90°$ ve $35°$ 'dir. Üçüncü açıyı bul.

$90°+35°+x=180°\Rightarrow x=55°$ .

Sonuç:

55°

Örnek

Soru

İç açıları $x,\ x+10°,\ x+20°$ olan üçgende en büyük açıyı bul.

$x+(x+10)+(x+20)=180\Rightarrow 3x+30=180\Rightarrow x=50°$ .
En büyük açı $x+20°=70°$ .

Sonuç:

70°

Örnek

Soru

Bir üçgende $A=80°$ , $B=40°$ ise $C$ köşesindeki dış açı kaç derecedir?

Dış açı, komşu olmayan iki iç açının toplamı: $A+B=80°+40°=120°$ .

Sonuç:

120°

Örnek

Soru

Taban açısı $50°$ olan ikizkenar üçgenin tepe açısı kaç derecedir?

İki taban açısı eşit ( $50°$ ve $50°$ ).
Tepe açısı: $180°-50°-50°=80°$ .

Sonuç:

80°

Örnek

Soru

Bir üçgenin dış açıları $2x,\ 3x,\ 5x$ ise $x$ kaç derecedir?

Dış açılar toplamı $360°$ : $2x+3x+5x=360°$ .
$10x=360°\Rightarrow x=36°$ .

Sonuç:

x=36°

Örnek

Soru

Bir üçgenin iç açıları $3x,\ 2x+10°,\ x+50°$ ölçülerindedir. En büyük açı kaç derecedir?

Toplam $180°$ : $3x+(2x+10)+(x+50)=180$ .
$6x+60=180\Rightarrow 6x=120\Rightarrow x=20°$ .
Açılar: $3x=60°$ , $\ 2x+10=50°$ , $\ x+50=70°$ .
En büyük $70°$ 'dir.

Sonuç: En büyük açı

70°

'dir.

Örnek

Soru

Bir ikizkenar üçgende tepe açısı, bir taban açısının $3$ katıdır. Taban açısı kaç derecedir?

Taban açısına $x$ de; iki taban açısı eşittir, tepe açısı $3x$ . İç açılar toplamı $180°$ .

Taban açıları $x$ ve $x$ ; tepe açısı $3x$ .
Toplam $180°$ : $x+x+3x=180°\Rightarrow 5x=180°$ .
$x=36°$ .

Sonuç: Her taban açısı

36°

'dir (tepe açısı

108°

Örnek

Soru

Bir üçgende $\widehat{A}$ açısının dış açısı $130°$ , $\widehat{B}$ açısının dış açısı $120°$ 'dir. $\widehat{C}$ kaç derecedir?

Her dış açı kendi iç açısıyla bütündür; önce $\widehat{A}$ ve $\widehat{B}$ 'yi bul, sonra iç açılar toplamını kullan.

İç açı $=180°-$ dış açı: $\widehat{A}=180°-130°=50°$ , $\widehat{B}=180°-120°=60°$ .
İç açılar toplamı: $50°+60°+\widehat{C}=180°$ .
$\widehat{C}=180°-110°=70°$ .

Sonuç:

\widehat{C}=70°

'dir.

Örnek

Soru

$ABC$ üçgeninde $\widehat{A}=80°$ 'dir. $\widehat{B}$ ve $\widehat{C}$ açılarının açıortayları $I$ noktasında kesişiyor. $\widehat{BIC}$ açısı kaç derecedir?

İç açıortayların oluşturduğu açı için $\widehat{BIC}=90°+\dfrac{\widehat{A}}{2}$ kuralı vardır. İstersen $\widehat{B}+\widehat{C}=100°$ olduğunu kullanıp $BIC$ üçgeninde iç açıları topla.

İç açılar toplamından $\widehat{B}+\widehat{C}=180°-80°=100°$ .
Açıortaylar açıları yarıya böler: $\dfrac{\widehat{B}}{2}+\dfrac{\widehat{C}}{2}=\dfrac{100°}{2}=50°$ .
$BIC$ üçgeninde iç açılar toplamı: $\widehat{BIC}+\dfrac{\widehat{B}}{2}+\dfrac{\widehat{C}}{2}=180°$ .
$\widehat{BIC}=180°-50°=130°$ . (Kontrol: $90°+\dfrac{80°}{2}=90°+40°=130°$ .)

Sonuç:

\widehat{BIC}=130°

'dir.

Sık Yapılan Hatalar

İç açılar toplamını $360°$ sanmak. Üçgende iç açılar toplamı $180°$ 'dir; $360°$ dört kenarlıların (dörtgen) iç açı toplamıdır.
Dış açıyı yanlış iç açılarla toplamak. Dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamıdır; komşu iç açı ile bütündür.
İkizkenarda yanlış açıları eşitlemek. Eşit olan, eşit kenarların karşısındaki taban açılarıdır; tepe açısı genelde farklıdır.
Eşkenarı ikizkenarla karıştırmak. Eşkenarda her açı $60°$ ; ikizkenarda yalnız iki taban açısı eşittir.
İç açıortay açısını yanlış kurmak. İki iç açıortayın kesiştiği açı $\widehat{BIC}=90°+\dfrac{\widehat{A}}{2}$ 'dir; doğrudan $\widehat{A}$ 'yı toplamaya çalışma, önce yarım açılarla $BIC$ üçgenini düşün.

Not: Açı sorularında üç araç çoğu zaman yeter: iç açılar toplamı $180°$ , dış açı $=$ komşu olmayan iki iç açı, iç açı $+$ dış açı $=180°$ . Önce hangi açıların verildiğini işaretle, sonra uygun bağıntıyı seç.

1. İç Açılar Toplamı

2. Dış Açı Bağıntısı

3. Dış Açılar Toplamı

4. İkizkenar ve Eşkenar Üçgen

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Geometrik Şekiller — diğer konular