çözümebak

11. Sınıf · Çember ve Daire

Çemberde Açılar

~8 dk okumaZorluk: Orta21 çözümlü soru

Çemberde açılar, köşesinin nerede olduğuna ve hangi yayı gördüğüne bağlı olarak farklı kurallarla ölçülür. Bu derste merkez açı, çevre açı, aynı yayı gören açılar arasındaki ilişki, teğet-kiriş açısı ve iç açı / dış açı kurallarını öğreneceğiz. Tüm bu kuralların ortak dili yaytır: bir açının ölçüsü, gördüğü yay(lar)ın ölçüsünden okunur. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmasıyla pekiştireceğiz.

1. Yay ve Merkez Açı

Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Bir merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir:

\widehat{AOB}=\overset{\frown}{AB}

Tüm çember 360°'lik bir yaydır; bu yüzden merkez açıların toplamı da 360°'tir. Bir yayın ölçüsü ile o yayı gören merkez açının ölçüsü aynı sayıdır — bu yüzden çoğu zaman ikisini ayırt etmeden kullanırız.

Örnek
Soru

Bir çemberde \overset{\frown}{AB}=110° ise bu yayı gören merkez açının ölçüsü ile \overset{\frown}{AB}'nin tümleyen yayı (geri kalan büyük yay) kaç derecedir?

  1. Merkez açı, gördüğü yaya eşittir: \widehat{AOB}=\overset{\frown}{AB}=110°.
  2. Çemberin tamamı 360° olduğundan büyük yay =360°-110°=250°.
Sonuç: Merkez açı 110°; büyük yay 250°.

2. Çevre Açı

Köşesi çember üzerinde olan ve kenarları çemberin iki kirişi olan açıya çevre açı denir. Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın yarısıdır:

\text{çevre açı}=\dfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{(\text{gördüğü yay})}

Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır. Şekildeki gibi A ve B'yi içeren küçük yayı hem merkezden (O) hem de çember üzerindeki C noktasından görelim: \widehat{AOB}=2\alpha iken \widehat{ACB}=\alpha olur.

OABC2ααAB yayı
Şekil 1 — Aynı \overset{\frown}{AB} yayını gören merkez açı (kırmızı, 2\alpha) ve çevre açı (lacivert, \alpha). Merkez açı, çevre açının iki katıdır.
Örnek
Soru

Bir çemberde C köşeli çevre açı \widehat{ACB}=35° ise aynı \overset{\frown}{AB} yayını gören merkez açı \widehat{AOB} kaç derecedir?

Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır.

  1. Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır: \overset{\frown}{AB}=2\cdot 35°=70°.
  2. Merkez açı yaya eşittir: \widehat{AOB}=70°.
Sonuç: 70°.

İki önemli sonuç:

Örnek
Soru

Bir çemberde [AB] çaptır ve C çember üzerinde bir noktadır. \widehat{ABC}=28° ise \widehat{BAC} kaç derecedir?

  1. [AB] çap olduğundan, C'deki çevre açı çapı görür: \widehat{ACB}=90°.
  2. Üçgenin iç açıları toplamı 180°: \widehat{BAC}=180°-90°-28°=62°.
Sonuç: 62°.

3. Teğet-Kiriş Açısı

Bir teğet ile değme noktasından çizilen bir kiriş arasında oluşan açıya teğet-kiriş açısı denir. Bu açının ölçüsü de, içinde kalan (kirişin kapattığı) yayın yarısıdır:

\text{teğet-kiriş açısı}=\dfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{(\text{kirişin kapattığı yay})}

Yani teğet-kiriş açısı, aynı yayı gören bir çevre açı gibi davranır. Ayrıca teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir — bu, teğetle ilgili soruların temel taşıdır.

OrTteğet
Şekil 2 — Çembere T noktasında teğet. Teğet, değme noktasındaki [OT] yarıçapına diktir (90°).
Örnek
Soru

Bir çemberde T değme noktasındaki teğet ile [TA] kirişi arasındaki teğet-kiriş açısı 40°'dir. [TA] kirişinin kapattığı (açının içinde kalan) yay kaç derecedir?

  1. Teğet-kiriş açısı, kapattığı yayın yarısıdır: 40°=\dfrac{1}{2}\,\overset{\frown}{TA}.
  2. Buradan \overset{\frown}{TA}=2\cdot 40°=80°.
Sonuç: 80°.

4. Çapı Gören Açı ve Dik Üçgen

Önceki sonucu ayrı bir başlık altında vurgulayalım: bir çemberde çapı gören çevre açı her zaman 90°'dir. Bu yüzden bir kirişin uç noktaları ve çember üzerindeki üçüncü bir nokta, çoğu zaman bir dik üçgen oluşturur ve Pisagor bağıntısı devreye girer.

Örnek
Soru

[AB] çaplı bir çemberde |AB|=10 ve çember üzerindeki C için |AC|=6 ise |BC| kaçtır?

[AB] çap olduğundan \widehat{ACB}=90°; ABC bir dik üçgendir, hipotenüs [AB]'dir.

  1. Çapı gören açı: \widehat{ACB}=90°, yani ABC dik üçgen.
  2. Pisagor: |AB|^2=|AC|^2+|BC|^2 \Rightarrow 10^2=6^2+|BC|^2.
  3. |BC|^2=100-36=64 \Rightarrow |BC|=8.
Sonuç: 8.

5. İç Açı ve Dış Açı (İki Kiriş)

Çemberin içinde iki kirişin kesişmesiyle oluşan açı, karşılıklı iki yayın ortalamasıdır:

\text{iç açı}=\dfrac{\overset{\frown}{x}+\overset{\frown}{y}}{2}

Çemberin dışında iki kesenin/teğetin oluşturduğu açı ise iki yayın farkının yarısıdır:

\text{dış açı}=\dfrac{\overset{\frown}{x}-\overset{\frown}{y}}{2}\quad (\overset{\frown}{x}>\overset{\frown}{y})

Örnek
Soru

Bir çemberin içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açının gördüğü karşılıklı yaylar 70° ve 50°'dir. Bu iç açı kaç derecedir?

  1. İç açı, karşılıklı yayların ortalamasıdır: \dfrac{70°+50°}{2}.
  2. =\dfrac{120°}{2}=60°.
Sonuç: 60°.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

Bir çemberde \overset{\frown}{AB}=140° ise \overset{\frown}{AB} yayını çember üzerindeki bir C noktasından gören çevre açı \widehat{ACB} kaç derecedir?

  1. Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır: \widehat{ACB}=\dfrac{140°}{2}.
  2. =70°.
Sonuç: 70°.
Örnek
Soru

Bir çemberde aynı \overset{\frown}{AB} yayını gören iki çevre açıdan biri \widehat{ACB}, diğeri \widehat{ADB}'dir. \widehat{ACB}=3x-10 ve \widehat{ADB}=x+30 ise x kaçtır?

Aynı yayı gören çevre açılar eşittir.

  1. Aynı yayı gören çevre açılar eşit: 3x-10=x+30.
  2. 2x=40 \Rightarrow x=20.
Sonuç: x=20.
Örnek
Soru

Bir çembere T noktasından çizilen teğet ile [TB] kirişi arasındaki teğet-kiriş açısı 65°'dir. Aynı \overset{\frown}{TB} yayını gören çevre açı kaç derecedir?

  1. Teğet-kiriş açısı kapattığı yayın yarısıdır: \overset{\frown}{TB}=2\cdot 65°=130°.
  2. Aynı yayı gören çevre açı da yayın yarısıdır: \dfrac{130°}{2}=65°.
Sonuç: 65° (teğet-kiriş açısı ile aynı yayı gören çevre açı eşittir).
Örnek
Soru

Bir çemberin dışındaki P noktasından çizilen iki kesen, çemberde 80° ve 20°'lik iki yay belirliyor. P'deki açı kaç derecedir?

Dış açı, gördüğü iki yayın farkının yarısıdır.

  1. Dış açı, yayların farkının yarısıdır: \dfrac{80°-20°}{2}.
  2. =\dfrac{60°}{2}=30°.
Sonuç: 30°.
Örnek
Soru

[AB] çaplı bir çemberde C çember üzerindedir ve \overset{\frown}{AC}=110°'dir. \widehat{ABC} kaç derecedir?

\widehat{ABC} bir çevre açıdır ve \overset{\frown}{AC} yayını görür.

  1. \widehat{ABC}, \overset{\frown}{AC} yayını gören çevre açıdır: \widehat{ABC}=\dfrac{110°}{2}=55°.
Sonuç: 55°.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

Bir çemberde \overset{\frown}{AB}=86° ise bu yayı gören merkez açı kaç derecedir?

  1. Merkez açı, gördüğü yaya eşittir: 86°.
Sonuç: 86°.
Örnek
Soru

Bir çemberde \overset{\frown}{MN}=124° ise bu yayı gören çevre açı kaç derecedir?

  1. Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır: \dfrac{124°}{2}=62°.
Sonuç: 62°.
Örnek
Soru

Bir çemberde C köşeli çevre açı \widehat{ACB}=48° ise aynı yayı gören merkez açı \widehat{AOB} kaç derecedir?

  1. Merkez açı, çevre açının iki katıdır: 2\cdot 48°=96°.
Sonuç: 96°.
Örnek
Soru

[AB] çaplı bir çemberde C çember üzerindedir. \widehat{CAB}=37° ise \widehat{ABC} kaç derecedir?

  1. Çapı gören açı: \widehat{ACB}=90°.
  2. Üçgende: \widehat{ABC}=180°-90°-37°=53°.
Sonuç: 53°.
Örnek
Soru

Bir çembere T noktasından çizilen teğet ile [TK] kirişi arasındaki teğet-kiriş açısı 54°'dir. [TK] kirişinin kapattığı yay kaç derecedir?

  1. Teğet-kiriş açısı, kapattığı yayın yarısıdır: \overset{\frown}{TK}=2\cdot 54°=108°.
Sonuç: 108°.
Örnek
Soru

Bir çemberin içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açının gördüğü karşılıklı yaylar 94° ve 36°'dir. İç açı kaç derecedir?

  1. İç açı, karşılıklı yayların ortalamasıdır: \dfrac{94°+36°}{2}=\dfrac{130°}{2}=65°.
Sonuç: 65°.
Örnek
Soru

Bir çemberin dışındaki P noktasından çizilen iki kesen 130° ve 50°'lik iki yay belirliyor. \widehat{P} kaç derecedir?

  1. Dış açı, yayların farkının yarısıdır: \dfrac{130°-50°}{2}=\dfrac{80°}{2}=40°.
Sonuç: 40°.
Örnek
Soru

Bir çemberde aynı \overset{\frown}{AB} yayını gören bir çevre açı ile aynı yayı gören teğet-kiriş açısının toplamı 96°'dir. Bu yayı gören merkez açı kaç derecedir?

Aynı yayı gören çevre açı ile teğet-kiriş açısı eşittir (her ikisi de yayın yarısı). Merkez açı ise yaya eşittir.

  1. İkisi eşit olduğundan her biri \dfrac{96°}{2}=48°.
  2. Her biri yayın yarısı: \overset{\frown}{AB}=2\cdot 48°=96°.
  3. Merkez açı yaya eşittir: 96°.
Sonuç: 96°.
Örnek
Soru

[AB] çaplı bir çemberde C çember üzerindedir. |AC|=5, |BC|=12 ise çemberin yarıçapı kaçtır?

Çapı gören açı 90°'dir; önce hipotenüs [AB]'yi (çapı) Pisagor ile bul, sonra yarıçap çapın yarısıdır.

  1. \widehat{ACB}=90° (çapı gören açı), ABC dik üçgendir.
  2. Pisagor: |AB|^2=5^2+12^2=25+144=169 \Rightarrow |AB|=13.
  3. [AB] çap olduğundan yarıçap r=\dfrac{13}{2}=6{,}5.
Sonuç: r=6{,}5.
Örnek
Soru

Bir çemberde \overset{\frown}{AB}=2x+10 ve \overset{\frown}{AB} yayını gören çevre açı \widehat{ACB}=x-5 ise x kaçtır?

Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır: \widehat{ACB}=\dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2}.

  1. Çevre açı yayın yarısıdır: x-5=\dfrac{2x+10}{2}.
  2. Sağ tarafı sadeleştir: x-5=x+5.
  3. Bu eşitlik hiçbir x için sağlanmaz (-5=5 çelişkisi). Demek ki verilen ifadeler tutarsızdır.
Sonuç: Çözüm yoktur — verilen ölçüler \widehat{ACB}=\dfrac{\overset{\frown}{AB}}{2} koşulunu sağlayamaz.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Çemberde açıların ortak anahtarı yaytır. Bir açı görünce önce "köşesi nerede?" diye sor: merkezde → yaya eşit, çember üzerinde → yayın yarısı, içeride → yayların ortalaması, dışarıda → yayların farkının yarısı. Çapı gören açı ise her zaman 90°.

Çember ve Daire — diğer konular