11. Sınıf · Çember ve Daire

Çemberde Açılar

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Çemberde açılar, köşesinin nerede olduğuna ve hangi yayı gördüğüne bağlı olarak farklı kurallarla ölçülür. Bu derste merkez açı, çevre açı, aynı yayı gören açılar arasındaki ilişki, teğet-kiriş açısı ve iç açı / dış açı kurallarını öğreneceğiz. Tüm bu kuralların ortak dili yaytır: bir açının ölçüsü, gördüğü yay(lar)ın ölçüsünden okunur. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmasıyla pekiştireceğiz.

1. Yay ve Merkez Açı

Köşesi çemberin merkezinde olan açıya merkez açı denir. Bir merkez açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir:

$A O B = A B ⌢$

Tüm çember $360°$ 'lik bir yaydır; bu yüzden merkez açıların toplamı da $360°$ 'tir. Bir yayın ölçüsü ile o yayı gören merkez açının ölçüsü aynı sayıdır — bu yüzden çoğu zaman ikisini ayırt etmeden kullanırız.

Örnek

Soru

Bir çemberde $A B ⌢ = 110°$ ise bu yayı gören merkez açının ölçüsü ile $A B ⌢$ 'nin tümleyen yayı (geri kalan büyük yay) kaç derecedir?

Merkez açı, gördüğü yaya eşittir: $A O B = A B ⌢ = 110°$ .
Çemberin tamamı $360°$ olduğundan büyük yay $= 360° - 110° = 250°$ .

Sonuç: Merkez açı

110°

; büyük yay

250°

2. Çevre Açı

Köşesi çember üzerinde olan ve kenarları çemberin iki kirişi olan açıya çevre açı denir. Bir çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın yarısıdır:

$\overset{c}{¸} evre a \overset{c}{¸} ı = \frac{1}{2} (g \overset{o}{¨} rd \overset{u}{¨} \overset{g}{˘} \overset{u}{¨} yay) ⌢$

Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır. Şekildeki gibi $A$ ve $B$ 'yi içeren küçük yayı hem merkezden ( $O$ ) hem de çember üzerindeki $C$ noktasından görelim: $A O B = 2 α$ iken $A C B = α$ olur.

Şekil 1 — Aynı

A B ⌢

yayını gören merkez açı (kırmızı,

2 α

) ve çevre açı (lacivert,

α

). Merkez açı, çevre açının iki katıdır.

Örnek

Soru

Bir çemberde $C$ köşeli çevre açı $A C B = 35°$ ise aynı $A B ⌢$ yayını gören merkez açı $A O B$ kaç derecedir?

Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır.

Çevre açı gördüğü yayın yarısıdır: $A B ⌢ = 2 \cdot 35° = 70°$ .
Merkez açı yaya eşittir: $A O B = 70°$ .

Sonuç:

70°

İki önemli sonuç:

Çapı gören çevre açı $90°$ 'dir. Çap, $180°$ 'lik bir yayı kapatır; çevre açı onun yarısı, yani $90°$ olur (Thales).
Aynı yayı gören çevre açılar eşittir. Hepsi aynı yayın yarısı olduğundan.

Örnek

Soru

Bir çemberde $[A B]$ çaptır ve $C$ çember üzerinde bir noktadır. $A B C = 28°$ ise $B A C$ kaç derecedir?

$[A B]$ çap olduğundan, $C$ 'deki çevre açı çapı görür: $A C B = 90°$ .
Üçgenin iç açıları toplamı $180°$ : $B A C = 180° - 90° - 28° = 62°$ .

Sonuç:

62°

3. Teğet-Kiriş Açısı

Bir teğet ile değme noktasından çizilen bir kiriş arasında oluşan açıya teğet-kiriş açısı denir. Bu açının ölçüsü de, içinde kalan (kirişin kapattığı) yayın yarısıdır:

$te \overset{g}{˘} et-kiri \overset{s}{¸} a \overset{c}{¸} ı s ı = \frac{1}{2} (kiri \overset{s}{¸} in kapatt ı \overset{g}{˘} ı yay) ⌢$

Yani teğet-kiriş açısı, aynı yayı gören bir çevre açı gibi davranır. Ayrıca teğet, değme noktasındaki yarıçapa diktir — bu, teğetle ilgili soruların temel taşıdır.

Şekil 2 — Çembere

T

noktasında teğet. Teğet, değme noktasındaki

[O T]

yarıçapına diktir (

90°

Örnek

Soru

Bir çemberde $T$ değme noktasındaki teğet ile $[T A]$ kirişi arasındaki teğet-kiriş açısı $40°$ 'dir. $[T A]$ kirişinin kapattığı (açının içinde kalan) yay kaç derecedir?

Teğet-kiriş açısı, kapattığı yayın yarısıdır: $40° = \frac{1}{2} T A ⌢$ .
Buradan $T A ⌢ = 2 \cdot 40° = 80°$ .

Sonuç:

80°

4. Çapı Gören Açı ve Dik Üçgen

Önceki sonucu ayrı bir başlık altında vurgulayalım: bir çemberde çapı gören çevre açı her zaman $90°$ 'dir. Bu yüzden bir kirişin uç noktaları ve çember üzerindeki üçüncü bir nokta, çoğu zaman bir dik üçgen oluşturur ve Pisagor bağıntısı devreye girer.

Örnek

Soru

$[A B]$ çaplı bir çemberde $∣ A B ∣ = 10$ ve çember üzerindeki $C$ için $∣ A C ∣ = 6$ ise $∣ B C ∣$ kaçtır?

$[A B]$ çap olduğundan $A C B = 90°$ ; $A B C$ bir dik üçgendir, hipotenüs $[A B]$ 'dir.

Çapı gören açı: $A C B = 90°$ , yani $A B C$ dik üçgen.
Pisagor: $∣ A B ∣^{2} = ∣ A C ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} \Rightarrow 1 0^{2} = 6^{2} + ∣ B C ∣^{2}$ .
$∣ B C ∣^{2} = 100 - 36 = 64 \Rightarrow ∣ B C ∣ = 8$ .

Sonuç:

8

5. İç Açı ve Dış Açı (İki Kiriş)

Çemberin içinde iki kirişin kesişmesiyle oluşan açı, karşılıklı iki yayın ortalamasıdır:

$i \overset{c}{¸} a \overset{c}{¸} ı = \frac{x ⌢ + y ⌢}{2}$

Çemberin dışında iki kesenin/teğetin oluşturduğu açı ise iki yayın farkının yarısıdır:

$d ı \overset{s}{¸} a \overset{c}{¸} ı = \frac{x ⌢ - y ⌢}{2} (x ⌢ > y ⌢)$

Örnek

Soru

Bir çemberin içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açının gördüğü karşılıklı yaylar $70°$ ve $50°$ 'dir. Bu iç açı kaç derecedir?

İç açı, karşılıklı yayların ortalamasıdır: $\frac{70° + 50°}{2}$ .
$= \frac{120°}{2} = 60°$ .

Sonuç:

60°

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Bir çemberde $A B ⌢ = 140°$ ise $A B ⌢$ yayını çember üzerindeki bir $C$ noktasından gören çevre açı $A C B$ kaç derecedir?

Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır: $A C B = \frac{140°}{2}$ .
$= 70°$ .

Sonuç:

70°

Örnek

Soru

Bir çemberde aynı $A B ⌢$ yayını gören iki çevre açıdan biri $A C B$ , diğeri $A D B$ 'dir. $A C B = 3 x - 10$ ve $A D B = x + 30$ ise $x$ kaçtır?

Aynı yayı gören çevre açılar eşittir.

Aynı yayı gören çevre açılar eşit: $3 x - 10 = x + 30$ .
$2 x = 40 \Rightarrow x = 20$ .

Sonuç:

x = 20

Örnek

Soru

Bir çembere $T$ noktasından çizilen teğet ile $[T B]$ kirişi arasındaki teğet-kiriş açısı $65°$ 'dir. Aynı $T B ⌢$ yayını gören çevre açı kaç derecedir?

Teğet-kiriş açısı kapattığı yayın yarısıdır: $T B ⌢ = 2 \cdot 65° = 130°$ .
Aynı yayı gören çevre açı da yayın yarısıdır: $\frac{130°}{2} = 65°$ .

Sonuç:

65°

(teğet-kiriş açısı ile aynı yayı gören çevre açı eşittir).

Örnek

Soru

Bir çemberin dışındaki $P$ noktasından çizilen iki kesen, çemberde $80°$ ve $20°$ 'lik iki yay belirliyor. $P$ 'deki açı kaç derecedir?

Dış açı, gördüğü iki yayın farkının yarısıdır.

Dış açı, yayların farkının yarısıdır: $\frac{80° - 20°}{2}$ .
$= \frac{60°}{2} = 30°$ .

Sonuç:

30°

Örnek

Soru

$[A B]$ çaplı bir çemberde $C$ çember üzerindedir ve $A C ⌢ = 110°$ 'dir. $A B C$ kaç derecedir?

$A B C$ bir çevre açıdır ve $A C ⌢$ yayını görür.

$A B C$ , $A C ⌢$ yayını gören çevre açıdır: $A B C = \frac{110°}{2} = 55°$ .

Sonuç:

55°

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Bir çemberde $A B ⌢ = 86°$ ise bu yayı gören merkez açı kaç derecedir?

Merkez açı, gördüğü yaya eşittir: $86°$ .

Sonuç:

86°

Örnek

Soru

Bir çemberde $M N ⌢ = 124°$ ise bu yayı gören çevre açı kaç derecedir?

Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır: $\frac{124°}{2} = 62°$ .

Sonuç:

62°

Örnek

Soru

Bir çemberde $C$ köşeli çevre açı $A C B = 48°$ ise aynı yayı gören merkez açı $A O B$ kaç derecedir?

Merkez açı, çevre açının iki katıdır: $2 \cdot 48° = 96°$ .

Sonuç:

96°

Örnek

Soru

$[A B]$ çaplı bir çemberde $C$ çember üzerindedir. $C A B = 37°$ ise $A B C$ kaç derecedir?

Çapı gören açı: $A C B = 90°$ .
Üçgende: $A B C = 180° - 90° - 37° = 53°$ .

Sonuç:

53°

Örnek

Soru

Bir çembere $T$ noktasından çizilen teğet ile $[T K]$ kirişi arasındaki teğet-kiriş açısı $54°$ 'dir. $[T K]$ kirişinin kapattığı yay kaç derecedir?

Teğet-kiriş açısı, kapattığı yayın yarısıdır: $T K ⌢ = 2 \cdot 54° = 108°$ .

Sonuç:

108°

Örnek

Soru

Bir çemberin içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açının gördüğü karşılıklı yaylar $94°$ ve $36°$ 'dir. İç açı kaç derecedir?

İç açı, karşılıklı yayların ortalamasıdır: $\frac{94° + 36°}{2} = \frac{130°}{2} = 65°$ .

Sonuç:

65°

Örnek

Soru

Bir çemberin dışındaki $P$ noktasından çizilen iki kesen $130°$ ve $50°$ 'lik iki yay belirliyor. $P$ kaç derecedir?

Dış açı, yayların farkının yarısıdır: $\frac{130° - 50°}{2} = \frac{80°}{2} = 40°$ .

Sonuç:

40°

Örnek

Soru

Bir çemberde aynı $A B ⌢$ yayını gören bir çevre açı ile aynı yayı gören teğet-kiriş açısının toplamı $96°$ 'dir. Bu yayı gören merkez açı kaç derecedir?

Aynı yayı gören çevre açı ile teğet-kiriş açısı eşittir (her ikisi de yayın yarısı). Merkez açı ise yaya eşittir.

İkisi eşit olduğundan her biri $\frac{96°}{2} = 48°$ .
Her biri yayın yarısı: $A B ⌢ = 2 \cdot 48° = 96°$ .
Merkez açı yaya eşittir: $96°$ .

Sonuç:

96°

Örnek

Soru

$[A B]$ çaplı bir çemberde $C$ çember üzerindedir. $∣ A C ∣ = 5$ , $∣ B C ∣ = 12$ ise çemberin yarıçapı kaçtır?

Çapı gören açı $90°$ 'dir; önce hipotenüs $[A B]$ 'yi (çapı) Pisagor ile bul, sonra yarıçap çapın yarısıdır.

$A C B = 90°$ (çapı gören açı), $A B C$ dik üçgendir.
Pisagor: $∣ A B ∣^{2} = 5^{2} + 1 2^{2} = 25 + 144 = 169 \Rightarrow ∣ A B ∣ = 13$ .
$[A B]$ çap olduğundan yarıçap $r = \frac{13}{2} = 6, 5$ .

Sonuç:

r = 6, 5

Örnek

Soru

Bir çemberde $A B ⌢ = 2 x + 10$ ve $A B ⌢$ yayını gören çevre açı $A C B = x - 5$ ise $x$ kaçtır?

Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır: $A C B = \frac{A B ⌢}{2}$ .

Çevre açı yayın yarısıdır: $x - 5 = \frac{2 x + 10}{2}$ .
Sağ tarafı sadeleştir: $x - 5 = x + 5$ .
Bu eşitlik hiçbir $x$ için sağlanmaz ( $- 5 = 5$ çelişkisi). Demek ki verilen ifadeler tutarsızdır.

Sonuç: Çözüm yoktur — verilen ölçüler

A C B = \frac{A B ⌢}{2}

koşulunu sağlayamaz.

Sık Yapılan Hatalar

Merkez açı ile çevre açıyı eşitlemek. Aynı yayı gören merkez açı, çevre açının iki katıdır; çevre açı yayın yarısı, merkez açı yayın tamamıdır.
Çevre açıyı yayın tamamı sanmak. Çevre açı her zaman gördüğü yayın yarısıdır ( $\frac{1}{2} A B ⌢$ ).
Teğetin yarıçapa dik olduğunu unutmak. Değme noktasında teğet ile yarıçap arasındaki açı her zaman $90°$ 'dir.
İç açı ile dış açı formülünü karıştırmak. İçte yayların toplamının yarısı, dışta yayların farkının yarısı alınır.

Not: Çemberde açıların ortak anahtarı yaytır. Bir açı görünce önce "köşesi nerede?" diye sor: merkezde → yaya eşit, çember üzerinde → yayın yarısı, içeride → yayların ortalaması, dışarıda → yayların farkının yarısı. Çapı gören açı ise her zaman $90°$ .

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Bir çemberde

A B ⌢ = 64°

'lik bir yaydır. Bu yayın geri kalan (büyük) yayının ölçüsü kaç derecedir?

Çemberin tamamı $360°$ 'lik bir yaydır.
Büyük yay $= 360° - A B ⌢ = 360° - 64°$ .
$= 296°$ .

Sonuç:

296°

Soru 2Kolay

Bir çemberde

M N ⌢ = 154°

ise bu yayı çember üzerindeki bir noktadan gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir?

Çevre açı, gördüğü yayın yarısıdır.
Çevre açı $= \frac{154°}{2}$ .
$= 77°$ .

Sonuç:

77°

Soru 3Orta

Yarıçapı

13

birim olan bir çemberde

[A B]

bir çaptır ve

C

noktası çember üzerindedir.

∣ B C ∣ = 10

birim ise

∣ A C ∣

kaç birimdir?

Yarıçap $13$ olduğundan çap $∣ A B ∣ = 2 \cdot 13 = 26$ birimdir.
$[A B]$ çap olduğundan $C$ 'deki çevre açı çapı görür: $A C B = 90°$ ; $A B C$ dik üçgen, hipotenüs $[A B]$ .
Pisagor: $∣ A B ∣^{2} = ∣ A C ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2} \Rightarrow 2 6^{2} = ∣ A C ∣^{2} + 1 0^{2}$ .
$∣ A C ∣^{2} = 676 - 100 = 576 \Rightarrow ∣ A C ∣ = 24$ .

Sonuç:

24

birim

Soru 4Orta

Bir çemberde aynı

A B ⌢

yayını gören iki çevre açıdan biri

A C B = 5 x + 8

, diğeri

A D B = 2 x + 29

'dur. Buna göre

x

kaçtır?

Aynı yayı gören çevre açılar eşittir: $5 x + 8 = 2 x + 29$ .
$5 x - 2 x = 29 - 8 \Rightarrow 3 x = 21$ .
$x = 7$ .

Sonuç:

x = 7

Soru 5Orta

Bir çemberin dışındaki

P

noktasından çizilen iki kesen, çemberde ölçüleri

150°

40°

olan iki yay belirliyor.

P

kaç derecedir?

Dış açı, gördüğü iki yayın farkının yarısıdır: $P = \frac{150° - 40°}{2}$ .
$= \frac{110°}{2}$ .
$= 55°$ .

Sonuç:

55°

Soru 6Zor

Bir çemberin içinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açının gördüğü karşılıklı yayların ölçüleri

3 x

x

'tir. Bu iç açı

70°

ise büyük yayın (

3 x

olanın) ölçüsü kaç derecedir?

İç açı, karşılıklı yayların ortalamasıdır: $\frac{3 x + x}{2} = 70°$ .
$\frac{4 x}{2} = 70° \Rightarrow 2 x = 70° \Rightarrow x = 35°$ .
Büyük yay $3 x = 3 \cdot 35° = 105°$ .

Sonuç:

105°

0/6 soru cevaplandı

1. Yay ve Merkez Açı

2. Çevre Açı

3. Teğet-Kiriş Açısı

4. Çapı Gören Açı ve Dik Üçgen

5. İç Açı ve Dış Açı (İki Kiriş)

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Çember ve Daire — diğer konular