11. Sınıf · Çember ve Daire

Dairede Alan ve Çevre

~6 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bir dairenin çevresi ve alanı, yarıçap $r$ ile $π$ sayısından hesaplanır. Bu derste tam dairenin çevre ve alan formüllerini, bir daire diliminin (sektör) alanını ve yay uzunluğunu, ayrıca bir daire kesmesinin (segment) alanını öğreneceğiz. Hepsinin temelinde tek bir fikir var: dilime düşen pay, merkez açının $360°$ 'ye oranıdır. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmasıyla pekiştireceğiz.

1. Dairenin Çevresi ve Alanı

Yarıçapı $r$ olan bir dairede:

$\overset{C}{¸} evre = 2 π r Alan = π r^{2}$

Çap $d = 2 r$ olduğundan çevre $π d$ olarak da yazılır. Problemlerde aksi belirtilmedikçe $π$ sembolik bırakılır; bazı sorularda $π \approx 3$ alınması istenir.

Örnek

Soru

Yarıçapı $7$ cm olan bir dairenin çevresini ve alanını $π$ cinsinden bulunuz.

Çevre: $2 π r = 2 π \cdot 7 = 14 π$ cm.
Alan: $π r^{2} = π \cdot 7^{2} = 49 π$ cm².

Sonuç: Çevre

14 π

cm, alan

49 π

cm².

Örnek

Soru

Bir dairenin alanı $36 π$ cm² ise yarıçapı kaç cm'dir?

$π r^{2} = 36 π$ denkleminde her iki tarafı $π$ 'ye böl, sonra karekök al.

$π r^{2} = 36 π \Rightarrow r^{2} = 36$ .
$r = 6$ cm (yarıçap pozitiftir).

Sonuç:

6

cm.

2. Yay Uzunluğu

Bir yay, çemberin bir parçasıdır. Merkez açısı $α$ derece olan yayın uzunluğu, tüm çevrenin ( $2 π r$ ) o açının $360°$ 'ye oranı kadarıdır:

$ℓ = \frac{α}{360°} \cdot 2 π r$

Yani $α = 360°$ alırsak $ℓ = 2 π r$ (tüm çevre) çıkar; bu, formülün mantığını gösterir.

Örnek

Soru

Yarıçapı $6$ cm olan bir çemberde merkez açısı $60°$ olan yayın uzunluğunu bulunuz.

Formülü uygula: $ℓ = \frac{60°}{360°} \cdot 2 π \cdot 6$ .
Oranı sadeleştir: $\frac{60}{360} = \frac{1}{6}$ , yani $ℓ = \frac{1}{6} \cdot 12 π = 2 π$ cm.

Sonuç:

2 π

cm.

3. Daire Dilimi (Sektör) Alanı

Bir daire dilimi, iki yarıçap ve aralarındaki yay ile sınırlanan "pasta dilimi" bölgesidir. Merkez açısı $α$ olan dilimin alanı, tüm daire alanının ( $π r^{2}$ ) açıya düşen oranıdır:

$A_{dilim} = \frac{α}{360°} \cdot π r^{2}$

Şekil 1 — Merkez açısı

α

olan taranmış daire dilimi (sektör). Alanı, tüm dairenin

\frac{α}{360°}

katıdır.

Örnek

Soru

Yarıçapı $6$ cm olan bir dairede merkez açısı $90°$ olan dilimin alanını bulunuz.

$90°$ , tam dairenin dörtte biridir: $\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ .

Tüm daire alanı: $π \cdot 6^{2} = 36 π$ cm².
Dilim oranı: $\frac{90°}{360°} = \frac{1}{4}$ .
Dilim alanı: $\frac{1}{4} \cdot 36 π = 9 π$ cm².

Sonuç:

9 π

cm².

Yay uzunluğu biliniyorsa dilim alanını şöyle de yazabiliriz: $A_{dilim} = \frac{ℓ \cdot r}{2}$ . (İkisi de aynı $\frac{α}{360°}$ oranından gelir.)

4. Daire Kesmesi (Segment) Alanı

Bir daire kesmesi, bir kiriş ile o kirişin kapattığı yay arasında kalan bölgedir. Alanı, dilim alanından, yarıçapların oluşturduğu üçgenin alanını çıkararak bulunur:

$A_{kesme} = A_{dilim} - A_{\overset{u}{¨} \overset{c}{¸} gen}$

Burada üçgen, merkez ile kirişin uç noktalarının oluşturduğu ikizkenar üçgendir; tepe açısı $α$ , iki kenarı $r$ olduğundan alanı $\frac{1}{2} r^{2} sin α$ 'dır.

Örnek

Soru

Yarıçapı $4$ cm olan bir dairede merkez açısı $90°$ olan kirişin ayırdığı küçük daire kesmesinin alanını bulunuz.

Önce $90°$ 'lik dilimin alanını bul; sonra dik kenarları $r = 4$ olan dik üçgenin alanını çıkar.

Dilim alanı: $\frac{90°}{360°} \cdot π \cdot 4^{2} = \frac{1}{4} \cdot 16 π = 4 π$ cm².
Üçgen alanı ( $α = 90°$ olduğundan dik üçgen, dik kenarları $r = 4$ ): $\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4 = 8$ cm².
Kesme alanı: $4 π - 8$ cm².

Sonuç:

(4 π - 8)

cm².

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

Çevresi $20 π$ cm olan bir dairenin alanını bulunuz.

Önce çevreden yarıçapı çek: $2 π r = 20 π$ .

Çevreden yarıçap: $2 π r = 20 π \Rightarrow r = 10$ cm.
Alan: $π r^{2} = π \cdot 1 0^{2} = 100 π$ cm².

Sonuç:

100 π

cm².

Örnek

Soru

Yarıçapı $9$ cm olan bir dairede merkez açısı $120°$ olan dilimin alanını bulunuz.

Tüm alan: $π \cdot 9^{2} = 81 π$ cm².
Oran: $\frac{120°}{360°} = \frac{1}{3}$ .
Dilim: $\frac{1}{3} \cdot 81 π = 27 π$ cm².

Sonuç:

27 π

cm².

Örnek

Soru

Yarıçapı $10$ cm olan bir çemberde uzunluğu $4 π$ cm olan bir yayın merkez açısı kaç derecedir?

$ℓ = \frac{α}{360°} \cdot 2 π r$ formülünde $α$ 'yı yalnız bırak.

Formül: $4 π = \frac{α}{360°} \cdot 2 π \cdot 10 = \frac{α}{360°} \cdot 20 π$ .
$π$ 'leri sadeleştir: $4 = \frac{20 α}{360} = \frac{α}{18}$ .
$α = 4 \cdot 18 = 72°$ .

Sonuç:

72°

Örnek

Soru

Bir daire diliminin merkez açısı $45°$ ve alanı $2 π$ cm² ise dairenin yarıçapı kaç cm'dir?

$\frac{45}{360} = \frac{1}{8}$ ; $\frac{1}{8} π r^{2} = 2 π$ denkleminden $r$ 'yi çek.

Dilim alanı: $\frac{45°}{360°} \cdot π r^{2} = \frac{1}{8} π r^{2}$ .
Eşitle: $\frac{1}{8} π r^{2} = 2 π \Rightarrow r^{2} = 16$ .
$r = 4$ cm.

Sonuç:

4

cm.

Örnek

Soru

Yarıçapı $6$ cm olan bir dairede merkez açısı $60°$ olan kesmenin (segment) alanını bulunuz.

$60°$ 'lik dilimden, kenarları $r = 6$ ve aralarındaki açı $60°$ olan üçgeni çıkar; bu üçgen eşkenardır, alanı $\frac{3}{4} \cdot 6^{2}$ .

Dilim alanı: $\frac{60°}{360°} \cdot π \cdot 6^{2} = \frac{1}{6} \cdot 36 π = 6 π$ cm².
Üçgen: iki kenarı $6$ ve aralarındaki açı $60°$ olan üçgen eşkenardır; alanı $\frac{3}{4} \cdot 6^{2} = 93$ cm².
Kesme: $6 π - 93$ cm².

Sonuç:

(6 π - 93)

cm².

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

Yarıçapı $5$ cm olan bir dairenin çevresini ve alanını $π$ cinsinden bul.

Çevre: $2 π \cdot 5 = 10 π$ cm.
Alan: $π \cdot 5^{2} = 25 π$ cm².

Sonuç: Çevre

10 π

cm, alan

25 π

cm².

Örnek

Soru

Çevresi $16 π$ cm olan bir dairenin yarıçapı kaç cm'dir?

$2 π r = 16 π \Rightarrow r = 8$ cm.

Sonuç:

8

cm.

Örnek

Soru

Yarıçapı $12$ cm olan bir çemberde merkez açısı $30°$ olan yayın uzunluğu kaçtır?

$ℓ = \frac{30°}{360°} \cdot 2 π \cdot 12 = \frac{1}{12} \cdot 24 π = 2 π$ cm.

Sonuç:

2 π

cm.

Örnek

Soru

Yarıçapı $8$ cm olan bir dairede merkez açısı $45°$ olan dilimin alanı kaçtır?

Tüm alan: $π \cdot 8^{2} = 64 π$ cm².
Oran: $\frac{45°}{360°} = \frac{1}{8}$ .
Dilim: $\frac{1}{8} \cdot 64 π = 8 π$ cm².

Sonuç:

8 π

cm².

Örnek

Soru

Bir daire diliminin merkez açısı $72°$ ve yarıçapı $5$ cm ise alanı kaçtır?

Oran: $\frac{72°}{360°} = \frac{1}{5}$ .
Tüm alan: $π \cdot 5^{2} = 25 π$ cm².
Dilim: $\frac{1}{5} \cdot 25 π = 5 π$ cm².

Sonuç:

5 π

cm².

Örnek

Soru

Yarıçapı $9$ cm olan bir çemberde uzunluğu $3 π$ cm olan yayın merkez açısı kaç derecedir?

$3 π = \frac{α}{360°} \cdot 2 π \cdot 9 = \frac{α}{360°} \cdot 18 π$ .
$3 = \frac{18 α}{360} = \frac{α}{20} \Rightarrow α = 60°$ .

Sonuç:

60°

Örnek

Soru

Bir daire diliminin alanı $12 π$ cm² ve yarıçapı $6$ cm ise merkez açısı kaç derecedir?

$A = \frac{α}{360°} \cdot π r^{2}$ formülünde $α$ 'yı yalnız bırak.

Tüm alan: $π \cdot 6^{2} = 36 π$ cm².
$12 π = \frac{α}{360°} \cdot 36 π \Rightarrow \frac{12}{36} = \frac{α}{360} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{α}{360}$ .
$α = 120°$ .

Sonuç:

120°

Örnek

Soru

Yarıçapı $10$ cm olan bir dairede merkez açısı $90°$ olan kirişin ayırdığı küçük kesmenin alanı kaçtır?

$90°$ 'lik dilim alanından, dik kenarları $r = 10$ olan dik üçgenin alanını çıkar.

Dilim: $\frac{90°}{360°} \cdot π \cdot 1 0^{2} = \frac{1}{4} \cdot 100 π = 25 π$ cm².
Üçgen ( $90°$ açı, dik kenarlar $r = 10$ ): $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$ cm².
Kesme: $25 π - 50$ cm².

Sonuç:

(25 π - 50)

cm².

Örnek

Soru

Bir daire diliminin yay uzunluğu $6 π$ cm ve yarıçapı $9$ cm ise dilimin alanı kaçtır?

Dilim alanı yay uzunluğu ile $A = \frac{ℓ \cdot r}{2}$ biçiminde de yazılır.

Formülü kullan: $A = \frac{ℓ \cdot r}{2} = \frac{6 π \cdot 9}{2}$ .
$= \frac{54 π}{2} = 27 π$ cm².

Sonuç:

27 π

cm².

Örnek

Soru

Bir tarla, yarıçapı $20$ m olan çeyrek daire ( $90°$ ) biçimindedir. Tarlanın çevresini $π$ cinsinden bulunuz (iki yarıçap + yay).

Çeyrek dairenin çevresi, iki yarıçap ( $r + r$ ) ile $90°$ 'lik yay uzunluğunun toplamıdır.

İki yarıçap: $20 + 20 = 40$ m.
Yay uzunluğu: $\frac{90°}{360°} \cdot 2 π \cdot 20 = \frac{1}{4} \cdot 40 π = 10 π$ m.
Toplam çevre: $40 + 10 π$ m.

Sonuç:

(40 + 10 π)

Sık Yapılan Hatalar

Çevre ile alan formülünü karıştırmak. Çevre $2 π r$ (uzunluk, $r$ 'nin 1. kuvveti), alan $π r^{2}$ (yüzey, $r$ 'nin 2. kuvveti).
Oranı $360°$ yerine $180°$ 'ye bölmek. Hem yay uzunluğunda hem dilim alanında pay $\frac{α}{360°}$ 'dir; tam tur $360°$ 'dir.
Kesme alanında üçgeni çıkarmayı unutmak. Daire kesmesi = dilim $-$ üçgen; dilimin kendisiyle karıştırma.
Çeyrek/yarım daire çevresinde yarıçapları eklemeyi atlamak. Bir dilimin çevresi, yay uzunluğuna iki yarıçapı da eklemeyi gerektirir.

Not: Daire dilimi ve yayda her şey tek bir orana dayanır: $\frac{α}{360°}$ . Yay uzunluğu bu oranın $2 π r$ ile, dilim alanı ise $π r^{2}$ ile çarpımıdır. Kesme alanı için dilimden üçgeni çıkarmayı unutma.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

Alanı

121 π

cm² olan bir dairenin çevresi kaç cm'dir?

$π r^{2} = 121 π$ olduğundan her iki tarafı $π$ 'ye bölersek $r^{2} = 121$ olur.
Yarıçap pozitif olduğundan $r = 11$ cm.
Çevre $= 2 π r = 2 π \cdot 11 = 22 π$ cm.

Sonuç:

22 π

Soru 2Orta

Yarıçapı

15

cm olan bir çemberde merkez açısı

40°

olan yayın uzunluğu kaç cm'dir?

Yay uzunluğu formülü: $ℓ = \frac{α}{360°} \cdot 2 π r$ .
Değerleri yerine koy: $ℓ = \frac{40°}{360°} \cdot 2 π \cdot 15 = \frac{1}{9} \cdot 30 π$ .
Sadeleştir: $ℓ = \frac{30 π}{9} = \frac{10 π}{3}$ cm.

Sonuç:

\frac{10 π}{3}

Soru 3Orta

Yarıçapı

12

cm olan bir dairede merkez açısı

150°

olan daire diliminin (sektör) alanı kaç cm²'dir?

Tüm daire alanı: $π r^{2} = π \cdot 1 2^{2} = 144 π$ cm².
Dilim oranı: $\frac{150°}{360°} = \frac{5}{12}$ .
Dilim alanı: $\frac{5}{12} \cdot 144 π = 60 π$ cm².

Sonuç:

60 π

cm²

Soru 4Orta

Bir bahçe, yarıçapı

14

m olan bir yarım daire biçimindedir. Bahçenin etrafına tel çekilecektir. Gerekli tel uzunluğu (bahçenin çevresi) kaç metredir? (Çap kenarı da çevrilecektir.)

Yarım dairenin çevresi = çap + yarım çember yayı.
Çap: $d = 2 r = 2 \cdot 14 = 28$ m.
Yarım çember yayı: $\frac{1}{2} \cdot 2 π r = \frac{1}{2} \cdot 2 π \cdot 14 = 14 π$ m.
Toplam çevre: $28 + 14 π$ m.

Sonuç:

(28 + 14 π)

Soru 5Orta

Merkez açısı

60°

olan bir daire diliminin alanı

24 π

cm²'dir. Bu dairenin yarıçapı kaç cm'dir?

Dilim alanı formülü: $A = \frac{α}{360°} \cdot π r^{2}$ .
Oranı yaz: $\frac{60°}{360°} = \frac{1}{6}$ , yani $\frac{1}{6} π r^{2} = 24 π$ .
Her iki tarafı $π$ 'ye böl: $\frac{1}{6} r^{2} = 24 \Rightarrow r^{2} = 144$ .
$r = 12$ cm (yarıçap pozitiftir).

Sonuç:

12

Soru 6Zor

Yarıçapı

8

cm olan bir dairede merkez açısı

90°

olan bir kirişin ayırdığı küçük daire kesmesinin (segment) alanı kaç cm²'dir?

Kesme alanı = dilim alanı $-$ üçgen alanı.
Dilim alanı: $\frac{90°}{360°} \cdot π \cdot 8^{2} = \frac{1}{4} \cdot 64 π = 16 π$ cm².
Üçgen: merkez açısı $90°$ olduğundan dik kenarları $r = 8$ olan dik üçgen; alanı $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ cm².
Kesme alanı: $16 π - 32$ cm².

Sonuç:

(16 π - 32)

cm²

0/6 soru cevaplandı

1. Dairenin Çevresi ve Alanı

2. Yay Uzunluğu

3. Daire Dilimi (Sektör) Alanı

4. Daire Kesmesi (Segment) Alanı

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Çember ve Daire — diğer konular