AYT Matematik · Trigonometri

Trigonometrik Fonksiyonlar ve Değerleri

~11 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Trigonometrik fonksiyonlar, bir açıyı bir orana bağlayarak çemberin, üçgenin ve periyodik olayların dilini kurar. Bu konu birim çemberdeki tanımdan başlar; özel açı değerlerini, bölge işaretlerini ve indirgeme (dönüşüm) formüllerini bir araya getirerek herhangi bir açının trigonometrik değerini hesaplamayı öğretir. AYT'de en sık çıkan bölümlerden biridir.

1. Birim Çemberde Tanım

Merkezi orijinde olan ve yarıçapı $1$ olan çembere birim çember denir. Pozitif $x$ ekseninden saat yönünün tersine $x$ açısı kadar döndüğümüzde çember üzerinde bir $P (cos x, sin x)$ noktası elde ederiz. Yani:

$sin x = P noktas ı n ı n y koordinat ı, cos x = P noktas ı n ı n x koordinat ı$

Tanjant ve kotanjant ise bu iki orandan türetilir:

$tan x = \frac{sin x}{cos x} (cos x \neq = 0), cot x = \frac{cos x}{sin x} (sin x \neq = 0)$

Birim çemberde yarıçap $1$ olduğundan, Pisagor teoreminden gelen temel özdeşlik her zaman geçerlidir:

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$

Ayrıca $sin x$ ve $cos x$ değerleri $[- 1, 1]$ aralığındadır; bu aralığın dışında bir değer (örneğin $sin x = 2$ ) imkânsızdır.

2. Özel Açıların Değerleri

Aşağıdaki tablo ezberlenmesi gereken temel değerleri verir. $sin$ satırı $0^{\circ}$ 'den $9 0^{\circ}$ 'ye artarken, $cos$ satırı aynı değerleri ters sırada alır.

Açı	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$
$sin$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tan$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	tanımsız

Hafıza yöntemi: $sin$ değerlerini $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ olarak yazarsan sıra kendiliğinden çıkar. $cos$ için aynı listeyi tersten oku.

Örnek

Soru

$sin 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ}$ değerini bulunuz.

Tablodan oku: $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ ve $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
Topla: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .

Sonuç:

sin 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ} = 1

Örnek

Soru

$tan 4 5^{\circ} + tan 6 0^{\circ} \cdot cot 6 0^{\circ}$ değerini bulunuz.

Tablodan oku: $tan 4 5^{\circ} = 1$ ve $tan 6 0^{\circ} = 3$ .
$cot 6 0^{\circ} = \frac{1}{tan 6 0 ^{\circ}} = \frac{1}{3}$ olduğundan $tan 6 0^{\circ} \cdot cot 6 0^{\circ} = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$ .
Topla: $1 + 1 = 2$ .

Sonuç: İfadenin değeri

2

3. Bölge İşaretleri

Birim çember dört bölgeye ayrılır. Her bölgede hangi fonksiyonların pozitif olduğu sabittir:

Bölge	Açı aralığı	Pozitif olanlar
I	$0^{\circ}$ – $9 0^{\circ}$	hepsi $(sin, cos, tan, cot)$
II	$9 0^{\circ}$ – $18 0^{\circ}$	yalnız $sin$
III	$18 0^{\circ}$ – $27 0^{\circ}$	yalnız $tan, cot$
IV	$27 0^{\circ}$ – $36 0^{\circ}$	yalnız $cos$

Bu kural İngilizce ASTC kısaltmasıyla hatırlanır: I'de All (hepsi), II'de Sin, III'te Tan, IV'te Cos pozitiftir.

Örnek

Soru

$sin 12 0^{\circ}$ pozitif mi negatif mi, neden?

$12 0^{\circ}$ açısı $9 0^{\circ}$ ile $18 0^{\circ}$ arasında olduğundan II. bölgededir.
II. bölgede yalnız $sin$ pozitiftir (ASTC: Sin).
Bu yüzden $sin 12 0^{\circ} > 0$ . (Değeri ise indirgemeyle $\frac{3}{2}$ bulunur.)

Sonuç: Pozitiftir; çünkü

12 0^{\circ}

II. bölgededir ve orada

sin

pozitiftir.

4. İndirgeme (Dönüşüm) Formülleri

Herhangi bir açının trigonometrik değerini, dar açı ( $0^{\circ}$ – $9 0^{\circ}$ ) cinsinden yazmaya indirgeme denir. Sık kullanılan formüller:

Formül	Açıklama
$sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$	II. bölge, $sin$ pozitif
$cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$	II. bölge, $cos$ negatif
$sin (18 0^{\circ} + x) = - sin x$	III. bölge, $sin$ negatif
$sin (- x) = - sin x$	$sin$ tek fonksiyondur
$cos (- x) = cos x$	$cos$ çift fonksiyondur
$sin (9 0^{\circ} - x) = cos x$	tümler açı kuralı

İndirgemenin iki adımı vardır: önce işaret (bölge ve ASTC'den), sonra değer (dar açıdan). İki teaching örnek:

Örnek

Soru

$cos 15 0^{\circ}$ değerini indirgeme ile bulunuz.

$15 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}$ yazıp $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ formülünü kullan.

Açıyı parçala: $15 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}$ .
Formülü uygula: $cos (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) = - cos 3 0^{\circ}$ .
Tablodan değer yaz: $cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , dolayısıyla sonuç $- \frac{3}{2}$ .
Kontrol: $15 0^{\circ}$ II. bölgededir, orada $cos$ negatiftir; işaret doğru.

Sonuç:

cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}

Örnek

Soru

$tan 21 0^{\circ}$ değerini bulunuz.

Açıyı parçala: $21 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + 3 0^{\circ}$ , yani III. bölge.
III. bölgede $tan$ pozitiftir (ASTC: Tan), dolayısıyla işaret artıdır.
$tan (18 0^{\circ} + x) = tan x$ olduğundan $tan 21 0^{\circ} = tan 3 0^{\circ}$ .
Tablodan değer yaz: $tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ .

Sonuç:

tan 21 0^{\circ} = \frac{3}{3}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$sin (- 3 0^{\circ}) + cos (- 6 0^{\circ})$ değerini bulunuz.

$sin$ tek fonksiyondur: $sin (- 3 0^{\circ}) = - sin 3 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
$cos$ çift fonksiyondur: $cos (- 6 0^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
Topla: $- \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$ .

Sonuç: İfadenin değeri

0

Örnek

Soru

$\frac{sin 12 0 ^{\circ}}{cos 24 0 ^{\circ}}$ değerini bulunuz.

Pay ve paydayı ayrı ayrı indirge: $12 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}$ ve $24 0^{\circ} = 18 0^{\circ} + 6 0^{\circ}$ .

Pay: $sin 12 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ .
Payda: $cos 24 0^{\circ} = cos (18 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = - cos 6 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ .
Böl: $\frac{\frac{3}{2}}{- \frac{1}{2}} = \frac{3}{2} \cdot (- \frac{2}{1}) = - 3$ .

Sonuç: İfadenin değeri

- 3

Örnek

Soru

II. bölgede bir $x$ açısı için $sin x = \frac{3}{5}$ ise $cos x$ değerini bulunuz.

$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ özdeşliğini kullan; sonra bölgeye göre işaret seç.

Temel özdeşlik: $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ .
Karekök al: $cos x = \pm \frac{4}{5}$ .
İşaret seç: $x$ II. bölgede olduğundan $cos x < 0$ (ASTC: II'de yalnız $sin$ pozitif).
Bu yüzden $cos x = - \frac{4}{5}$ .

Sonuç:

cos x = - \frac{4}{5}

Örnek

Soru

$sin^{2} 4 0^{\circ} + sin^{2} 5 0^{\circ}$ değerini bulunuz.

$4 0^{\circ}$ ile $5 0^{\circ}$ tümler açılardır: $5 0^{\circ} = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ}$ .

Tümler açı kuralı: $sin 5 0^{\circ} = sin (9 0^{\circ} - 4 0^{\circ}) = cos 4 0^{\circ}$ .
Yerine yaz: $sin^{2} 4 0^{\circ} + sin^{2} 5 0^{\circ} = sin^{2} 4 0^{\circ} + cos^{2} 4 0^{\circ}$ .
Temel özdeşlik: $sin^{2} 4 0^{\circ} + cos^{2} 4 0^{\circ} = 1$ .

Sonuç: İfadenin değeri

1

Örnek

Soru

$cos 13 5^{\circ} + sin 22 5^{\circ}$ değerini bulunuz.

İlk terim: $cos 13 5^{\circ} = cos (18 0^{\circ} - 4 5^{\circ}) = - cos 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ .
İkinci terim: $sin 22 5^{\circ} = sin (18 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = - sin 4 5^{\circ} = - \frac{2}{2}$ .
Topla: $- \frac{2}{2} + (- \frac{2}{2}) = - 2$ .

Sonuç: İfadenin değeri

- 2

Örnek

Soru

IV. bölgede bir $x$ açısı için $tan x = - \frac{3}{4}$ ise $sin x$ değerini bulunuz.

$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ ve $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ ilişkilerini birlikte kullan; bir dik üçgen düşünebilirsin.

$tan x = - \frac{3}{4}$ olduğundan karşı/komşu oranı $3$ ve $4$ 'tür; hipotenüs $3^{2} + 4^{2} = 5$ .
Bu durumda $∣ sin x ∣ = \frac{3}{5}$ ve $∣ cos x ∣ = \frac{4}{5}$ olur.
İşaretleri belirle: IV. bölgede yalnız $cos$ pozitiftir; dolayısıyla $sin x < 0$ .
Bu yüzden $sin x = - \frac{3}{5}$ . (Kontrol: $tan x = \frac{- 3/5}{4/5} = - \frac{3}{4}$ , doğru.)

Sonuç:

sin x = - \frac{3}{5}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Özel açı değerleriyle hesap (30°-45°-60°): sin30° ile sin60° değerlerini birbiriyle karıştırmak doğru cevabın işaretçe/değerce tersi (1/2 yerine −1/2)
a·sinx + b biçiminin en büyük/en küçük değeri: En küçük değer için sinx = 0 almak min'i b sanmak (2sinx+3'te toplamı 6 yerine 8 bulur)
sin²x + cos²x = 1 ile değer hesabı (bölge işaretli): Bölgeyi hiç kullanmayıp kökü pozitif almak tanx = +3/4 (işaretçe ters cevap)
tanx = k verilip sin–cos'lu oranın hesabı: Paydayı unutup yalnız payı tanx cinsine çevirmek 2tanx+1 = 7 gibi paydasız yanlış değer
Periyot bulma (sin(ax+b), cos(ax+b), tan(ax+b)): T = 2π⋅|a| almak (bölme yerine çarpma) π yerine 4π
Tanımsızlık noktaları (tan, cot, sec, csc): İçteki katsayıya bölmeyi unutmak (tan2x için x = π/2 + kπ demek) yalnız x = π/2 — eksik ve yanlış küme

Soru 1Orta

III. bölgede bulunan bir

x

açısı için

tan x = 2

veriliyor. Buna göre

\frac{sin x - cos x}{sin x + cos x}

ifadesinin değeri kaçtır?

Pay ve paydayı $cos x$ 'e bölersek (III. bölgede $cos x \neq = 0$ ): $\frac{sin x - cos x}{sin x + cos x} = \frac{tan x - 1}{tan x + 1}$ .
$tan x = 2$ değerini yerine koy: $\frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}$ .
İfade $tan x$ cinsinden yazıldığı için bölge işaretinden bağımsızdır; sonuç doğrudan bulunur.

Sonuç:

\frac{1}{3}

Soru 2Orta

\frac{sin 15 0 ^{\circ} \cdot cos 30 0 ^{\circ}}{tan 22 5 ^{\circ}}

işlemi yapılıyor. Buna göre bu ifadenin değeri kaçtır?

$sin 15 0^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 3 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
$cos 30 0^{\circ} = cos (36 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) = cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
$tan 22 5^{\circ} = tan (18 0^{\circ} + 4 5^{\circ}) = tan 4 5^{\circ} = 1$ .
Yerine yaz: $\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

\frac{1}{4}

Soru 3Orta

III. bölgede bulunan bir

x

açısı için

cos x = - \frac{5}{13}

veriliyor. Buna göre

sin x + tan x

ifadesinin değeri kaçtır?

Temel özdeşlik: $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ , yani $sin x = \pm \frac{12}{13}$ .
İşaret seç: $x$ III. bölgede olduğundan $sin x < 0$ , böylece $sin x = - \frac{12}{13}$ .
Tanjantı bul: $tan x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{- \frac{12}{13}}{- \frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$ (III. bölgede $tan$ pozitif; tutarlı).
Topla: $sin x + tan x = - \frac{12}{13} + \frac{12}{5} = \frac{- 60 + 156}{65} = \frac{96}{65}$ .

Sonuç:

\frac{96}{65}

Soru 4Zor

\frac{sin 1 ^{\circ} + sin 2 ^{\circ} + sin 3 ^{\circ} + \dots + sin 17 9 ^{\circ}}{cos 9 0 ^{\circ} + sin 9 0 ^{\circ}}

işleminin sonucu,

sin 9 0^{\circ}

dışındaki terimler **ikişerli** eşleştirilerek bulunmak isteniyor. Buna göre, paydaki

sin 1^{\circ} + sin 2^{\circ} + \dots + sin 17 9^{\circ}

toplamı için aşağıdaki eşleştirmelerden hangisi **doğrudur**?

İndirgeme formülü: $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ .
$17 9^{\circ} = 18 0^{\circ} - 1^{\circ}$ olduğundan $sin 17 9^{\circ} = sin (18 0^{\circ} - 1^{\circ}) = sin 1^{\circ}$ .
Demek ki $sin 1^{\circ} = sin 17 9^{\circ}$ eşitliği doğrudur (B). Aynı mantıkla $sin 2^{\circ} = sin 17 8^{\circ}$ , $sin 8 9^{\circ} = sin 9 1^{\circ}$ ; bu yüzden işaretli seçenekler (A, D, E) yanlıştır.
Kontrol: II. bölgede ( $9 0^{\circ}$ – $18 0^{\circ}$ ) $sin$ pozitif olduğundan $sin 17 9^{\circ} > 0$ ; işaretsiz B seçeneği tutarlıdır.

Sonuç:

sin 1^{\circ} = sin 17 9^{\circ}

Soru 5Orta

II. bölgede bulunan bir

x

açısı için

5 sin x - 3 = 0

eşitliği sağlanıyor. Buna göre

\frac{tan x}{cos x}

ifadesinin değeri kaçtır?

$sin x$ 'i bul: $5 sin x = 3 \Rightarrow sin x = \frac{3}{5}$ .
$cos x$ 'i bul: $cos^{2} x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ , yani $cos x = \pm \frac{4}{5}$ . II. bölgede $cos x < 0$ olduğundan $cos x = - \frac{4}{5}$ .
$tan x = \frac{sin x}{cos x} = \frac{3/5}{- 4/5} = - \frac{3}{4}$ .
İfadeyi yaz: $\frac{tan x}{cos x} = \frac{- \frac{3}{4}}{- \frac{4}{5}} = - \frac{3}{4} \cdot (- \frac{5}{4}) = \frac{15}{16}$ .

Sonuç:

\frac{15}{16}

Soru 6Orta

f (x) = sin x

fonksiyonu için

f (x) + f (18 0^{\circ} - x) + f (18 0^{\circ} + x) + f (36 0^{\circ} - x)

ifadesi sadeleştiriliyor. Buna göre bu ifade aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$f (x) = sin x$ .
$f (18 0^{\circ} - x) = sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ (II. bölge, $sin$ pozitif).
$f (18 0^{\circ} + x) = sin (18 0^{\circ} + x) = - sin x$ (III. bölge, $sin$ negatif).
$f (36 0^{\circ} - x) = sin (36 0^{\circ} - x) = sin (- x) = - sin x$ (IV. bölge, $sin$ negatif).
Topla: $sin x + sin x - sin x - sin x = 0$ .

Sonuç:

0

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Bölge işaretlerini karıştırmak: II. bölgede yalnız $sin$ , III'te yalnız $tan$ ile $cot$ , IV'te yalnız $cos$ pozitiftir. ASTC kuralını (I-All, II-Sin, III-Tan, IV-Cos) ezberle ve önce açının bölgesini belirle.
$cos (18 0^{\circ} - x)$ 'in işaretini şaşırmak: Doğrusu $cos (18 0^{\circ} - x) = - cos x$ 'tir; $sin (18 0^{\circ} - x) = sin x$ olmasına aldanıp $cos$ için de artı işaret bırakma.
Karekök alırken işareti unutmak: $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ 'den $cos x = \pm \dots$ çıkar; doğru işaret yalnızca açının bölgesinden belirlenir.
$sin x = 2$ gibi imkânsız değerleri kabul etmek: $sin$ ve $cos$ daima $[- 1, 1]$ aralığındadır.

Sınav İpucu

İndirgeme sorularını iki adımda çöz: önce işaret (açının bölgesi + ASTC), sonra değer (dar açıya indirgeyip özel açı tablosundan oku). Bu iki adımı ayrı ayrı yaparsan işaret hatası yapma olasılığın neredeyse sıfıra iner.

1. Birim Çemberde Tanım

2. Özel Açıların Değerleri

3. Bölge İşaretleri

4. İndirgeme (Dönüşüm) Formülleri

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Trigonometri — diğer konular