çözümebak

AYT Matematik · Trigonometri

Açılar ve Birim Çember

~10 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

Trigonometrinin tüm dili açılar ve birim çember üzerine kurulur. Bu konuda yönlü açıyı, derece ile radyan arasındaki dönüşümü, bir açının birim çember üzerindeki yerini (kadranını) ve bir açıyı [0^{\circ},360^{\circ}) aralığına indirgeyen esas ölçü kavramını öğreneceksin. Bu temel, sinüs–kosinüs değerlerinden trigonometrik denklemlere kadar tüm AYT trigonometri konularının altyapısıdır.

1. Yönlü Açı

Bir açı, başlangıç kenarından bitim kenarına doğru bir dönme ile oluşur. Dönmenin yönü açıya işaret kazandırır:

Örneğin +90^{\circ} ile -270^{\circ} aynı bitim kenarına ulaşır; biri ters yönden, diğeri saat yönünden döner.

2. Derece ve Radyan

Açıyı ölçmenin iki temel birimi vardır. Bunları birbirine bağlayan eşitlik:

180^{\circ}=\pi \text{ radyan}

Buradan dönüşüm formülleri elde edilir:

\text{radyan}=\text{derece}\cdot\dfrac{\pi}{180^{\circ}}\qquad\qquad \text{derece}=\text{radyan}\cdot\dfrac{180^{\circ}}{\pi}

DereceRadyan
30^{\circ}\dfrac{\pi}{6}
45^{\circ}\dfrac{\pi}{4}
60^{\circ}\dfrac{\pi}{3}
90^{\circ}\dfrac{\pi}{2}
180^{\circ}\pi
360^{\circ}2\pi
Örnek
Soru

60^{\circ} açısını radyan cinsinden yazınız.

  1. Dönüşüm formülünü yaz: \text{radyan}=\text{derece}\cdot\dfrac{\pi}{180^{\circ}}.

  2. Değeri yerine koy: 60\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{60\pi}{180}.

  3. Sadeleştir: \dfrac{60\pi}{180}=\dfrac{\pi}{3}.

Sonuç: 60^{\circ}=\dfrac{\pi}{3} radyan
Örnek
Soru

\dfrac{3\pi}{4} radyanlık açının derece karşılığını bulunuz.

  1. Dönüşüm formülünü yaz: \text{derece}=\text{radyan}\cdot\dfrac{180^{\circ}}{\pi}.

  2. Değeri yerine koy: \dfrac{3\pi}{4}\cdot\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{3\cdot 180}{4}.

  3. Hesapla: \dfrac{540}{4}=135.

Sonuç: \dfrac{3\pi}{4}=135^{\circ}

3. Birim Çember ve Bölgeler

Birim çember, merkezi orijinde ve yarıçapı 1 olan çemberdir. Bir açının başlangıç kenarı pozitif x ekseninde alınır; bitim kenarı çemberi bir P noktasında keser. Bu P noktası açının trigonometrik değerlerini taşıdığı için birim çember tüm trigonometrinin merkezindedir.

Çember, eksenler tarafından dört bölgeye (kadran) ayrılır:

BölgeAçı aralığı
I. bölge0^{\circ} – 90^{\circ}
II. bölge90^{\circ} – 180^{\circ}
III. bölge180^{\circ} – 270^{\circ}
IV. bölge270^{\circ} – 360^{\circ}
xyIIIIIIIVαPO
Şekil 1 — Merkezi orijinde olan birim çember. Eksenler düzlemi I, II, III, IV bölgelerine ayırır. Pozitif yönde ölçülen \alpha açısının bitim kenarı (yarıçap) çemberi P noktasında keser.
Örnek
Soru

200^{\circ} açısı hangi bölgededir?

  1. Bölge aralıklarına bak: III. bölge 180^{\circ} ile 270^{\circ} arasıdır.

  2. 200^{\circ} değeri 180^{\circ} ile 270^{\circ} arasında yer alır.

Sonuç: III. bölge

4. Esas Ölçü

Bir açıya 360^{\circ} (veya 2\pi radyan) eklemek ya da çıkarmak, bitim kenarını değiştirmez; aynı noktaya geri dönülür. Bu nedenle her açının [0^{\circ},360^{\circ}) aralığında bir esas ölçüsü vardır.

Esas ölçü: Açıdan 360^{\circ}'nin (veya radyanda 2\pi'nin) tam katlarını atarak elde edilen, [0^{\circ},360^{\circ}) — radyanda [0,2\pi) — aralığındaki değerdir.

Negatif açılarda, sonuç pozitif aralığa düşene kadar 360^{\circ} (veya 2\pi) eklenir.

Örnek
Soru

400^{\circ} açısının esas ölçüsünü bulunuz.

  1. 360^{\circ}'nin katını at: 400^{\circ}-360^{\circ}=40^{\circ}.

  2. Sonuç [0^{\circ},360^{\circ}) aralığındadır.

Sonuç: 40^{\circ}
Örnek
Soru

-60^{\circ} açısının esas ölçüsünü bulunuz.

Açı negatif olduğundan, sonucu [0^{\circ},360^{\circ}) aralığına taşımak için 360^{\circ} eklemen gerekir.

  1. Negatif açıya 360^{\circ} ekle: -60^{\circ}+360^{\circ}=300^{\circ}.

  2. Sonuç [0^{\circ},360^{\circ}) aralığındadır.

Sonuç: 300^{\circ}

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

1110^{\circ} açısının esas ölçüsünü bulunuz.

  1. 1110'u 360'a böl: 1110=3\cdot 360+30 olur (çünkü 3\cdot 360=1080).

  2. 360^{\circ}'nin katlarını at: 1110^{\circ}-1080^{\circ}=30^{\circ}.

  3. Sonuç [0^{\circ},360^{\circ}) aralığındadır.

Sonuç: 30^{\circ}
Örnek
Soru

\dfrac{13\pi}{6} radyanlık açının esas ölçüsünü bulunuz.

2\pi=\dfrac{12\pi}{6} olduğunu kullan; bu değerin katlarını çıkar.

  1. 2\pi'yi aynı paydayla yaz: 2\pi=\dfrac{12\pi}{6}.

  2. Bir tam tur çıkar: \dfrac{13\pi}{6}-\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}.

  3. Sonuç [0,2\pi) aralığındadır.

Sonuç: \dfrac{\pi}{6}
Örnek
Soru

225^{\circ} açısı hangi bölgededir?

  1. Bölge aralığına bak: III. bölge 180^{\circ} ile 270^{\circ} arasıdır.

  2. 225^{\circ} değeri bu aralıkta yer alır: 180^{\circ}<225^{\circ}<270^{\circ}.

Sonuç: III. bölge
Örnek
Soru

-500^{\circ} açısının esas ölçüsünü bulunuz.

  1. Sonuç pozitif olana kadar 360^{\circ} ekle: -500^{\circ}+360^{\circ}=-140^{\circ}.

  2. Hâlâ negatif; bir kez daha ekle: -140^{\circ}+360^{\circ}=220^{\circ}.

  3. Sonuç [0^{\circ},360^{\circ}) aralığındadır.

Sonuç: 220^{\circ}
Örnek
Soru

\dfrac{5\pi}{4} radyanlık açının derece karşılığını bulunuz ve hangi bölgede olduğunu söyleyiniz.

  1. Dereceye çevir: \dfrac{5\pi}{4}\cdot\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{5\cdot 180}{4}=\dfrac{900}{4}=225^{\circ}.

  2. Bölgesini belirle: 225^{\circ} değeri 180^{\circ} ile 270^{\circ} arasındadır, yani III. bölge.

Sonuç: 225^{\circ}, III. bölge
Örnek
Soru

1280^{\circ} açısının esas ölçüsünü bulup hangi bölgede olduğunu belirleyiniz.

Önce 360^{\circ}'nin kaç tam katının çıkacağını bul: 1280'i 360'a böl.

  1. 360'a böl: 1280=3\cdot 360+200 olur (çünkü 3\cdot 360=1080 ve 1280-1080=200).

  2. Esas ölçü: 1280^{\circ}-1080^{\circ}=200^{\circ}.

  3. Bölgesini belirle: 200^{\circ} değeri 180^{\circ} ile 270^{\circ} arasındadır, yani III. bölge.

Sonuç: Esas ölçü 200^{\circ}; III. bölge

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

\alpha=-1755^{\circ} veriliyor.

Buna göre, \alpha açısının esas ölçüsünün radyan değeri ile bulunduğu bölgenin numarasının toplamı kaçtır?

A) \dfrac{\pi}{4} · B) \dfrac{2+\pi}{4} · C) \dfrac{4+\pi}{4} · D) \dfrac{8+\pi}{4} · E) \dfrac{4+3\pi}{4}

  1. Esas ölçü için 360^{\circ}'nin katlarını ekle: -1755^{\circ}+5\cdot 360^{\circ}=-1755^{\circ}+1800^{\circ}=45^{\circ}.

  2. Sonuç [0^{\circ},360^{\circ}) aralığında olduğundan esas ölçü 45^{\circ}'dir.

  3. Radyana çevir: 45^{\circ}=45\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{\pi}{4}.

  4. Bölgesini belirle: 45^{\circ}, 0^{\circ} ile 90^{\circ} arasında olduğundan I. bölgededir; bölge numarası 1'dir.

  5. Toplamı yaz: \dfrac{\pi}{4}+1=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{4}{4}=\dfrac{4+\pi}{4}.

Sonuç: C) \dfrac{4+\pi}{4}
Örnek
Soru

\theta=\dfrac{47\pi}{6} radyan veriliyor.

Buna göre, \theta açısının esas ölçüsünün derece değeri ile bulunduğu bölgenin numarasının çarpımı kaçtır?

A) 1320 · B) 990 · C) 660 · D) 330 · E) 230

  1. 2\pi'yi aynı paydayla yaz: 2\pi=\dfrac{12\pi}{6}.

  2. 47=3\cdot 12+11 olduğundan üç tam tur çıkar: \dfrac{47\pi}{6}-3\cdot\dfrac{12\pi}{6}=\dfrac{47\pi-36\pi}{6}=\dfrac{11\pi}{6}.

  3. Esas ölçüyü dereceye çevir: \dfrac{11\pi}{6}\cdot\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{11\cdot 180}{6}=330^{\circ}.

  4. Bölgesini belirle: 330^{\circ}, 270^{\circ} ile 360^{\circ} arasında olduğundan IV. bölgededir; bölge numarası 4'tür.

  5. Çarpımı yaz: 330\cdot 4=1320.

Sonuç: A) 1320
Örnek
Soru

\alpha=1190^{\circ} ve \beta=-430^{\circ} veriliyor.

Buna göre, \alpha ile \beta açılarının esas ölçülerinin toplamının esas ölçüsü kaç derecedir?

A) 400 · B) 220 · C) 110 · D) 70 · E) 40

  1. \alpha'nın esas ölçüsü: 1190=3\cdot 360+110 olduğundan 1190^{\circ}-1080^{\circ}=110^{\circ}.

  2. \beta'nın esas ölçüsü: -430^{\circ}+2\cdot 360^{\circ}=-430^{\circ}+720^{\circ}=290^{\circ}.

  3. Esas ölçüleri topla: 110^{\circ}+290^{\circ}=400^{\circ}.

  4. 400^{\circ} bir tam turu aştığından esas ölçüsünü al: 400^{\circ}-360^{\circ}=40^{\circ}.

Sonuç: E) 40
Örnek
Soru

Bir saatin akrep kolu 1{:}00 konumundan başlayıp ileri (saat) yönünde tam 5 saat ilerliyor.

Buna göre, akrebin taradığı açının matematiksel pozitif yöndeki esas ölçüsü kaç derecedir?

A) 30 · B) 120 · C) 210 · D) 240 · E) 300

Saatte akrep 12 saatte 360^{\circ} döner; ayrıca saat yönü matematikte negatif yöndür.

  1. Akrep 12 saatte 360^{\circ} döndüğüne göre saatte \dfrac{360^{\circ}}{12}=30^{\circ} döner.

  2. 5 saat ilerlediğinde taranan açının büyüklüğü 5\cdot 30^{\circ}=150^{\circ} olur.

  3. Hareket saat yönünde (matematiksel negatif yön) olduğundan yönlü açı -150^{\circ}'dir.

  4. Esas ölçüye geç: -150^{\circ}+360^{\circ}=210^{\circ}. Bu değer [0^{\circ},360^{\circ}) aralığındadır.

Sonuç: C) 210
Örnek
Soru

Birim çember üzerinde esas ölçüsü \dfrac{5\pi}{3} olan bir P noktası ile esas ölçüsü \dfrac{3\pi}{4} olan bir Q noktası alınıyor.

Buna göre P ile Q noktalarının bulunduğu bölgelerin numaraları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A) I ve II · B) IV ve II · C) IV ve III · D) III ve II · E) II ve IV

  1. P için dereceye çevir: \dfrac{5\pi}{3}\cdot\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{5\cdot 180}{3}=300^{\circ}.

  2. 300^{\circ} değeri 270^{\circ} ile 360^{\circ} arasındadır; P, IV. bölgededir.

  3. Q için dereceye çevir: \dfrac{3\pi}{4}\cdot\dfrac{180}{\pi}=\dfrac{3\cdot 180}{4}=135^{\circ}.

  4. 135^{\circ} değeri 90^{\circ} ile 180^{\circ} arasındadır; Q, II. bölgededir.

Sonuç: B) IV ve II
Örnek
Soru

\alpha açısının esas ölçüsü \dfrac{7\pi}{6} radyandır.

Buna göre, 3\alpha açısının esas ölçüsü kaç radyandır?

A) \dfrac{\pi}{2} · B) \dfrac{2\pi}{3} · C) \dfrac{5\pi}{6} · D) \pi · E) \dfrac{3\pi}{2}

Esas ölçüsü \dfrac{7\pi}{6} olan açının kendisi \dfrac{7\pi}{6} alınabilir; 3 ile çarpıp tekrar esas ölçüye indir.

  1. \alpha için en küçük pozitif değer olan esas ölçüyü kullan: \alpha=\dfrac{7\pi}{6}.

  2. Üçe katla: 3\alpha=3\cdot\dfrac{7\pi}{6}=\dfrac{21\pi}{6}=\dfrac{7\pi}{2}.

  3. 2\pi=\dfrac{4\pi}{2} olduğundan tam turları at: \dfrac{7\pi}{2}-\dfrac{4\pi}{2}=\dfrac{3\pi}{2} (bir tam tur çıktı, hâlâ [0,2\pi) dışına çıkmadı).

  4. \dfrac{3\pi}{2} değeri [0,2\pi) aralığındadır; esas ölçü budur.

Sonuç: E) \dfrac{3\pi}{2}

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Esas ölçüde sayısal işi hızlandırmak için açıyı 360'a böldüğünde kalanı doğrudan oku: 1110\div 360 işleminde bölüm 3, kalan 30 olduğundan esas ölçü 30^{\circ}'dir. Radyanda ise her zaman 2\pi'yi sorunun paydasıyla yazıp (\dfrac{13\pi}{6} için 2\pi=\dfrac{12\pi}{6}) çıkarma yapmak işlemi sadeleştirir. Negatif açılarda ise refleks olarak "sonuç negatifse 360^{\circ} ekle" kuralını uygula.

Trigonometri — diğer konular