AYT Matematik · Trigonometri

Açılar ve Birim Çember

~10 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~4 soru/yıl · Sınavda yüksek ağırlık

Trigonometrinin tüm dili açılar ve birim çember üzerine kurulur. Bu konuda yönlü açıyı, derece ile radyan arasındaki dönüşümü, bir açının birim çember üzerindeki yerini (kadranını) ve bir açıyı $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ aralığına indirgeyen esas ölçü kavramını öğreneceksin. Bu temel, sinüs–kosinüs değerlerinden trigonometrik denklemlere kadar tüm AYT trigonometri konularının altyapısıdır.

1. Yönlü Açı

Bir açı, başlangıç kenarından bitim kenarına doğru bir dönme ile oluşur. Dönmenin yönü açıya işaret kazandırır:

Pozitif yön: saat yönünün tersi (çoğu zaman matematiksel pozitif yön budur).
Negatif yön: saat yönü.

Örneğin $+ 9 0^{\circ}$ ile $- 27 0^{\circ}$ aynı bitim kenarına ulaşır; biri ters yönden, diğeri saat yönünden döner.

2. Derece ve Radyan

Açıyı ölçmenin iki temel birimi vardır. Bunları birbirine bağlayan eşitlik:

$18 0^{\circ} = π radyan$

Buradan dönüşüm formülleri elde edilir:

$radyan = derece \cdot \frac{π}{18 0 ^{\circ}} derece = radyan \cdot \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$

Derece	Radyan
$3 0^{\circ}$	$\frac{π}{6}$
$4 5^{\circ}$	$\frac{π}{4}$
$6 0^{\circ}$	$\frac{π}{3}$
$9 0^{\circ}$	$\frac{π}{2}$
$18 0^{\circ}$	$π$
$36 0^{\circ}$	$2 π$

Örnek

Soru

$6 0^{\circ}$ açısını radyan cinsinden yazınız.

Dönüşüm formülünü yaz: $radyan = derece \cdot \frac{π}{18 0 ^{\circ}}$ .
Değeri yerine koy: $60 \cdot \frac{π}{180} = \frac{60 π}{180}$ .
Sadeleştir: $\frac{60 π}{180} = \frac{π}{3}$ .

Sonuç:

6 0^{\circ} = \frac{π}{3}

radyan

Örnek

Soru

$\frac{3 π}{4}$ radyanlık açının derece karşılığını bulunuz.

Dönüşüm formülünü yaz: $derece = radyan \cdot \frac{18 0 ^{\circ}}{π}$ .
Değeri yerine koy: $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{180}{π} = \frac{3 \cdot 180}{4}$ .
Hesapla: $\frac{540}{4} = 135$ .

Sonuç:

\frac{3 π}{4} = 13 5^{\circ}

3. Birim Çember ve Bölgeler

Birim çember, merkezi orijinde ve yarıçapı $1$ olan çemberdir. Bir açının başlangıç kenarı pozitif $x$ ekseninde alınır; bitim kenarı çemberi bir $P$ noktasında keser. Bu $P$ noktası açının trigonometrik değerlerini taşıdığı için birim çember tüm trigonometrinin merkezindedir.

Çember, eksenler tarafından dört bölgeye (kadran) ayrılır:

Bölge	Açı aralığı
I. bölge	$0^{\circ}$ – $9 0^{\circ}$
II. bölge	$9 0^{\circ}$ – $18 0^{\circ}$
III. bölge	$18 0^{\circ}$ – $27 0^{\circ}$
IV. bölge	$27 0^{\circ}$ – $36 0^{\circ}$

Şekil 1 — Merkezi orijinde olan birim çember. Eksenler düzlemi I, II, III, IV bölgelerine ayırır. Pozitif yönde ölçülen

α

açısının bitim kenarı (yarıçap) çemberi

P

noktasında keser.

Örnek

Soru

$20 0^{\circ}$ açısı hangi bölgededir?

Bölge aralıklarına bak: III. bölge $18 0^{\circ}$ ile $27 0^{\circ}$ arasıdır.
$20 0^{\circ}$ değeri $18 0^{\circ}$ ile $27 0^{\circ}$ arasında yer alır.

Sonuç: III. bölge

4. Esas Ölçü

Bir açıya $36 0^{\circ}$ (veya $2 π$ radyan) eklemek ya da çıkarmak, bitim kenarını değiştirmez; aynı noktaya geri dönülür. Bu nedenle her açının $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ aralığında bir esas ölçüsü vardır.

Esas ölçü: Açıdan $36 0^{\circ}$ 'nin (veya radyanda $2 π$ 'nin) tam katlarını atarak elde edilen, $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ — radyanda $[0, 2 π)$ — aralığındaki değerdir.

Negatif açılarda, sonuç pozitif aralığa düşene kadar $36 0^{\circ}$ (veya $2 π$ ) eklenir.

Örnek

Soru

$40 0^{\circ}$ açısının esas ölçüsünü bulunuz.

$36 0^{\circ}$ 'nin katını at: $40 0^{\circ} - 36 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .
Sonuç $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ aralığındadır.

Sonuç:

4 0^{\circ}

Örnek

Soru

$- 6 0^{\circ}$ açısının esas ölçüsünü bulunuz.

Açı negatif olduğundan, sonucu $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ aralığına taşımak için $36 0^{\circ}$ eklemen gerekir.

Negatif açıya $36 0^{\circ}$ ekle: $- 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 30 0^{\circ}$ .
Sonuç $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ aralığındadır.

Sonuç:

30 0^{\circ}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$111 0^{\circ}$ açısının esas ölçüsünü bulunuz.

$1110$ 'u $360$ 'a böl: $1110 = 3 \cdot 360 + 30$ olur (çünkü $3 \cdot 360 = 1080$ ).
$36 0^{\circ}$ 'nin katlarını at: $111 0^{\circ} - 108 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ .
Sonuç $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ aralığındadır.

Sonuç:

3 0^{\circ}

Örnek

Soru

$\frac{13 π}{6}$ radyanlık açının esas ölçüsünü bulunuz.

$2 π = \frac{12 π}{6}$ olduğunu kullan; bu değerin katlarını çıkar.

$2 π$ 'yi aynı paydayla yaz: $2 π = \frac{12 π}{6}$ .
Bir tam tur çıkar: $\frac{13 π}{6} - \frac{12 π}{6} = \frac{π}{6}$ .
Sonuç $[0, 2 π)$ aralığındadır.

Sonuç:

\frac{π}{6}

Örnek

Soru

$22 5^{\circ}$ açısı hangi bölgededir?

Bölge aralığına bak: III. bölge $18 0^{\circ}$ ile $27 0^{\circ}$ arasıdır.
$22 5^{\circ}$ değeri bu aralıkta yer alır: $18 0^{\circ} < 22 5^{\circ} < 27 0^{\circ}$ .

Sonuç: III. bölge

Örnek

Soru

$- 50 0^{\circ}$ açısının esas ölçüsünü bulunuz.

Sonuç pozitif olana kadar $36 0^{\circ}$ ekle: $- 50 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = - 14 0^{\circ}$ .
Hâlâ negatif; bir kez daha ekle: $- 14 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 22 0^{\circ}$ .
Sonuç $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ aralığındadır.

Sonuç:

22 0^{\circ}

Örnek

Soru

$\frac{5 π}{4}$ radyanlık açının derece karşılığını bulunuz ve hangi bölgede olduğunu söyleyiniz.

Dereceye çevir: $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{180}{π} = \frac{5 \cdot 180}{4} = \frac{900}{4} = 22 5^{\circ}$ .
Bölgesini belirle: $22 5^{\circ}$ değeri $18 0^{\circ}$ ile $27 0^{\circ}$ arasındadır, yani III. bölge.

Sonuç:

22 5^{\circ}

, III. bölge

Örnek

Soru

$128 0^{\circ}$ açısının esas ölçüsünü bulup hangi bölgede olduğunu belirleyiniz.

Önce $36 0^{\circ}$ 'nin kaç tam katının çıkacağını bul: $1280$ 'i $360$ 'a böl.

$360$ 'a böl: $1280 = 3 \cdot 360 + 200$ olur (çünkü $3 \cdot 360 = 1080$ ve $1280 - 1080 = 200$ ).
Esas ölçü: $128 0^{\circ} - 108 0^{\circ} = 20 0^{\circ}$ .
Bölgesini belirle: $20 0^{\circ}$ değeri $18 0^{\circ}$ ile $27 0^{\circ}$ arasındadır, yani III. bölge.

Sonuç: Esas ölçü

20 0^{\circ}

; III. bölge

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Derece–radyan dönüşümü: Ters oranla çarpmak (dereceden radyana 180/π kullanmak) π'siz, anlamsız büyük bir sayı
Esas ölçü (derece, negatif ve büyük açılar): Negatif açıda yeterince 360° eklemeyip negatif bırakmak −280° gibi aralık dışı değer
Esas ölçü (radyan, kπ/n biçimi): Tam turu 2π yerine π almak (mod π hesaplamak) π/4 gibi yarı tur indirgenmiş yanlış değer
Bölge belirleme ve işaret üçlüsü: Esas ölçü almadan büyük açının bölgesine bakmak rastgele yanlış bölge numarası
Birim çember üzerinde nokta koordinatı: Koordinat sırasını (sinθ, cosθ) diye ters yazmak (√3/2, −1/2) — bileşenleri yer değiştirmiş nokta
Tanjant ve kotanjant eksenlerini okuma: II. bölgede referans açının işaretini korumak (tan135° = +1 demek) doğru cevabın işaretçe tersi

Soru 1Orta

α = - 175 5^{\circ}

veriliyor. Buna göre,

α

açısının esas ölçüsünün radyan değeri ile bulunduğu bölgenin numarasının toplamı kaçtır?

Esas ölçü için $36 0^{\circ}$ 'nin katlarını ekle: $- 175 5^{\circ} + 5 \cdot 36 0^{\circ} = - 175 5^{\circ} + 180 0^{\circ} = 4 5^{\circ}$ .
Sonuç $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ aralığında olduğundan esas ölçü $4 5^{\circ}$ 'dir.
Radyana çevir: $4 5^{\circ} = 45 \cdot \frac{π}{180} = \frac{π}{4}$ .
Bölgesini belirle: $4 5^{\circ}$ , $0^{\circ}$ ile $9 0^{\circ}$ arasında olduğundan I. bölgededir; bölge numarası $1$ 'dir.
Toplamı yaz: $\frac{π}{4} + 1 = \frac{π}{4} + \frac{4}{4} = \frac{4 + π}{4}$ .

Sonuç:

\frac{4 + π}{4}

Soru 2Orta

θ = \frac{47 π}{6}

radyan veriliyor. Buna göre,

θ

açısının esas ölçüsünün derece değeri ile bulunduğu bölgenin numarasının çarpımı kaçtır?

$2 π$ 'yi aynı paydayla yaz: $2 π = \frac{12 π}{6}$ .
$47 = 3 \cdot 12 + 11$ olduğundan üç tam tur çıkar: $\frac{47 π}{6} - 3 \cdot \frac{12 π}{6} = \frac{47 π - 36 π}{6} = \frac{11 π}{6}$ .
Esas ölçüyü dereceye çevir: $\frac{11 π}{6} \cdot \frac{180}{π} = \frac{11 \cdot 180}{6} = 33 0^{\circ}$ .
Bölgesini belirle: $33 0^{\circ}$ , $27 0^{\circ}$ ile $36 0^{\circ}$ arasında olduğundan IV. bölgededir; bölge numarası $4$ 'tür.
Çarpımı yaz: $330 \cdot 4 = 1320$ .

Sonuç:

1320

Soru 3Orta

α = 119 0^{\circ}

β = - 43 0^{\circ}

veriliyor. Buna göre,

α

ile

β

açılarının esas ölçülerinin toplamının esas ölçüsü kaç derecedir?

$α$ 'nın esas ölçüsü: $1190 = 3 \cdot 360 + 110$ olduğundan $119 0^{\circ} - 108 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ .
$β$ 'nın esas ölçüsü: $- 43 0^{\circ} + 2 \cdot 36 0^{\circ} = - 43 0^{\circ} + 72 0^{\circ} = 29 0^{\circ}$ .
Esas ölçüleri topla: $11 0^{\circ} + 29 0^{\circ} = 40 0^{\circ}$ .
$40 0^{\circ}$ bir tam turu aştığından esas ölçüsünü al: $40 0^{\circ} - 36 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ .

Sonuç:

40

Soru 4Zor

Bir saatin akrep kolu

1 : 00

konumundan başlayıp ileri (saat) yönünde tam

5

saat ilerliyor. Buna göre, akrebin taradığı açının matematiksel **pozitif yön**deki esas ölçüsü kaç derecedir?

Akrep $12$ saatte $36 0^{\circ}$ döndüğüne göre saatte $\frac{36 0 ^{\circ}}{12} = 3 0^{\circ}$ döner.
$5$ saat ilerlediğinde taranan açının büyüklüğü $5 \cdot 3 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$ olur.
Hareket saat yönünde (matematiksel **negatif** yön) olduğundan yönlü açı $- 15 0^{\circ}$ 'dir.
Esas ölçüye geç: $- 15 0^{\circ} + 36 0^{\circ} = 21 0^{\circ}$ . Bu değer $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ aralığındadır.

Sonuç:

210

Soru 5Orta

Birim çember üzerinde esas ölçüsü

\frac{5 π}{3}

olan bir

P

noktası ile esas ölçüsü

\frac{3 π}{4}

olan bir

Q

noktası alınıyor. Buna göre

P

ile

Q

noktalarının bulunduğu bölgelerin numaraları sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

$P$ için dereceye çevir: $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{180}{π} = \frac{5 \cdot 180}{3} = 30 0^{\circ}$ .
$30 0^{\circ}$ değeri $27 0^{\circ}$ ile $36 0^{\circ}$ arasındadır; $P$ , **IV. bölge**dedir.
$Q$ için dereceye çevir: $\frac{3 π}{4} \cdot \frac{180}{π} = \frac{3 \cdot 180}{4} = 13 5^{\circ}$ .
$13 5^{\circ}$ değeri $9 0^{\circ}$ ile $18 0^{\circ}$ arasındadır; $Q$ , **II. bölge**dedir.

Sonuç: IV ve II

Soru 6Zor

α

açısının esas ölçüsü

\frac{7 π}{6}

radyandır. Buna göre,

3 α

açısının esas ölçüsü kaç radyandır?

$α$ için en küçük pozitif değer olan esas ölçüyü kullan: $α = \frac{7 π}{6}$ .
Üçe katla: $3 α = 3 \cdot \frac{7 π}{6} = \frac{21 π}{6} = \frac{7 π}{2}$ .
$2 π = \frac{4 π}{2}$ olduğundan tam turları at: $\frac{7 π}{2} - \frac{4 π}{2} = \frac{3 π}{2}$ (bir tam tur çıktı, hâlâ $[0, 2 π)$ dışına çıkmadı).
$\frac{3 π}{2}$ değeri $[0, 2 π)$ aralığındadır; esas ölçü budur.

Sonuç:

\frac{3 π}{2}

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$18 0^{\circ} = π$ olduğunu unutup dönüşümü $36 0^{\circ} = π$ ile yapmak. Doğrusu $18 0^{\circ} = π$ radyan, $36 0^{\circ} = 2 π$ radyandır.
Negatif bir açının esas ölçüsünü bulurken $36 0^{\circ}$ (veya $2 π$ ) eklemeyi unutmak. Sonuç $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ aralığına gelene kadar tur ekleneceğini hatırla; $- 50 0^{\circ}$ örneğindeki gibi gerekirse iki kez ekle.
$36 0^{\circ}$ 'nin tam katını yanlış hesaplamak. Önce açıyı $360$ 'a bölüp kalanı al; kalan doğrudan esas ölçüdür.

Sınav İpucu

Esas ölçüde sayısal işi hızlandırmak için açıyı $360$ 'a böldüğünde kalanı doğrudan oku: $1110 \div 360$ işleminde bölüm $3$ , kalan $30$ olduğundan esas ölçü $3 0^{\circ}$ 'dir. Radyanda ise her zaman $2 π$ 'yi sorunun paydasıyla yazıp ( $\frac{13 π}{6}$ için $2 π = \frac{12 π}{6}$ ) çıkarma yapmak işlemi sadeleştirir. Negatif açılarda ise refleks olarak "sonuç negatifse $36 0^{\circ}$ ekle" kuralını uygula.

1. Yönlü Açı

2. Derece ve Radyan

3. Birim Çember ve Bölgeler

4. Esas Ölçü

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Trigonometri — diğer konular