Teğet ve Normal Doğrusu — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Noktası verilen teğet denklemi

   KolaySık çıkar

   Apsisi (veya noktası) verilen değme noktasında teğet denklemi ya da eğimi istenir. Konunun giriş sorusu; y−f(a)=f′(a)(x−a) kalıbı.

   Nasıl çözülür

   1. Değme noktasını tamamla: x=a verildiyse f(a)'yı hesapla.
   2. Eğimi türevden al: m_T = f′(a).
   3. Doğru denklemini yaz: y − f(a) = f′(a)·(x − a), sadeleştir.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Eğim diye f′(a) yerine f(a) kullanmak→fonksiyon değeriyle yazılmış yanlış eğimli doğru
   • f(a)'yı hesaplamadan noktayı (a, 0) almak→doğru eğimli ama yanlış kaydırılmış doğru

   Örnek

   f(x)=x²−3x+1 eğrisine x=2 apsisli noktada çizilen teğetin denklemi nedir?

   f(2)=−1, f′(x)=2x−3, f′(2)=1 ⇒ y−(−1)=1·(x−2) ⇒ y=x−3

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları, Doğrunun Analitik İncelenmesi

2. 02

   Eğimi verilen teğet — değme noktası bulma

   KolaySık çıkar

   Teğetin eğimi verilir, değme noktası (ya da apsisi) istenir. Yön ters çevrilir: f′(x)=m denklemi çözülür.

   Nasıl çözülür

   1. f′(x)'i hesapla ve verilen eğime eşitle: f′(x)=m.
   2. Denklemi çözüp değme apsis(ler)ini bul.
   3. Nokta isteniyorsa ordinatı fonksiyondan tamamla: (a, f(a)).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • m'yi f′ yerine f(x)'e eşitlemek→eğri üzerinde ilgisiz bir kesişim noktası
   • Apsisi bulup ordinatı f yerine f′ ile hesaplamak→(a, m) biçiminde sahte nokta

   Örnek

   f(x)=x²+2x eğrisinin eğimi 6 olan teğetinin değme noktası nedir?

   f′(x)=2x+2=6 ⇒ x=2, f(2)=8 ⇒ nokta (2, 8)

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları

3. 03

   Normal doğrusunun denklemi

   OrtaSık çıkar

   Değme noktasında teğete dik olan doğru istenir. Eğim ilişkisi m_N = −1/f′(a); ters işareti unutmak konunun bir numaralı hatası.

   Nasıl çözülür

   1. Önce teğet eğimini bul: m_T = f′(a).
   2. Normalin eğimini ters-negatif al: m_N = −1/m_T (m_T ≠ 0).
   3. y − f(a) = m_N·(x − a) yazıp düzenle.
   4. f′(a)=0 ise normal düşeydir: x=a.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Normal eğimini −1/m yerine 1/m almak (işareti unutmak)→işaretçe ters eğimli doğru
   • Normal yerine teğet eğimiyle devam etmek→teğet denkleminin kendisi

   Örnek

   f(x)=x² eğrisine (1, 1) noktasında çizilen normalin denklemi nedir?

   f′(1)=2 ⇒ m_N=−1/2 ⇒ y−1=−(1/2)(x−1) ⇒ x+2y=3

   Sık birleştiği konular: Doğrunun Analitik İncelenmesi

4. 04

   x eksenine paralel (yatay) teğet

   OrtaSık çıkar

   "Teğet x eksenine paraleldir" anahtar cümlesi f′(x)=0 koşuluna çevrilir. Ekstremum konusuyla köprü kuran kalıp.

   Nasıl çözülür

   1. Yatay teğet koşulunu yaz: f′(x)=0.
   2. Denklemi çözüp değme apsislerini bul.
   3. Nokta isteniyorsa (a, f(a)) olarak tamamla; bu noktadaki normal düşeydir (x=a).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Koşulu f(x)=0 sanmak (eğrinin kökünü aramak)→x eksenini kestiği nokta — değme noktası değil
   • Apsisi bulup ordinatı 0 varsaymak→(a, 0) biçiminde yanlış nokta

   Örnek

   f(x)=x²−4x+7 eğrisinin x eksenine paralel teğetinin değme noktası nedir?

   f′(x)=2x−4=0 ⇒ x=2, f(2)=4−8+7=3 ⇒ nokta (2, 3)

   Sık birleştiği konular: Artan-Azalan Fonksiyonlar ve Yerel Ekstremum

5. 05

   Verilen doğruya paralel / dik teğet

   OrtaSık çıkar

   Teğetin bir doğruya paralel (f′=m) veya dik (f′·m=−1) olması koşulundan değme noktası bulunur. Paralel–dik karışıklığı en verimli çeldirici.

   Nasıl çözülür

   1. Verilen doğruyu y=mx+n biçimine getirip eğimini oku.
   2. Paralellikte f′(x)=m, diklikte f′(x)=−1/m denklemini kur.
   3. Çözüp değme noktasını (a, f(a)) tamamla; istenirse teğet denklemini yaz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Dik istenirken paralel koşulu (f′=m) kullanmak→yanlış apsiste değme noktası
   • ax+by=c biçimindeki doğrunun eğimini katsayıdan yanlış okumak→baştan hatalı m ile kurulan denklem

   Örnek

   f(x)=x²−2x eğrisinin x+2y=4 doğrusuna dik olan teğetinin değme noktası nedir?

   Doğrunun eğimi −1/2 ⇒ dik teğetin eğimi 2 ⇒ 2x−2=2 ⇒ x=2, f(2)=0 ⇒ nokta (2, 0)

   Sık birleştiği konular: Doğrunun Analitik İncelenmesi, Türev Alma Kuralları

6. 06

   Eğri üzerinde olmayan noktadan çizilen teğet

   ZorSık çıkar

   Verilen nokta eğrinin ÜZERİNDE DEĞİLDİR; değme noktası (a, f(a)) bilinmeyenle alınır. "Türevden gelen eğim = iki nokta eğimi" denklemi kurulur.

   Nasıl çözülür

   1. Önce noktanın eğri üzerinde olmadığını doğrula (f'de yerine koy).
   2. Değme noktasını (a, f(a)) al; teğet eğimi f′(a).
   3. Aynı eğimi iki noktadan yaz: f′(a) = (f(a) − y₀)/(a − x₀), denklemi a için çöz.
   4. Her a kökü ayrı bir teğet verir; istenene göre denklem(ler)i yaz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Dış noktayı değme noktası sanıp doğrudan f′(x₀) hesaplamak→eğriye hiç değmeyen sahte teğet
   • İki nokta eğiminde farkların sırasını karıştırmak→işaretçe bozuk denklemden gelen yanlış a

   Örnek

   y=x² eğrisine, eğri üzerinde olmayan (1, −3) noktasından çizilen teğetlerin değme apsisleri nedir?

   2a=(a²+3)/(a−1) ⇒ 2a²−2a=a²+3 ⇒ a²−2a−3=0 ⇒ (a−3)(a+1)=0 ⇒ a=3 ve a=−1

   Sık birleştiği konular: Doğrunun Analitik İncelenmesi

7. 07

   İki eğrinin ortak teğeti (birbirine teğet eğriler)

   Zor

   İki eğri bir noktada birbirine teğetse o noktada HEM değerler HEM eğimler eşittir. Çift koşullu sistem; sınavın seçici sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Değme apsisi x=a'da iki koşulu birlikte yaz: f(a)=g(a) ve f′(a)=g′(a).
   2. Önce eğim eşitliğinden bilinmeyenlerden birini çöz (çoğunlukla daha basit denklem).
   3. Değer eşitliğinde yerine koyup kalan bilinmeyeni bul.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Yalnız f(a)=g(a) yazmak (eğim koşulunu atlamak)→kesişen ama teğet olmayan eğrilerden gelen eksik/yanlış parametre
   • Yalnız f′(a)=g′(a) yazmak (değer koşulunu atlamak)→paralel teğetli ama değmeyen eğriler — ikinci bilinmeyen bulunamaz

   Örnek

   f(x)=x²+1 ve g(x)=−x²+ax+b eğrileri x=1 apsisli noktada birbirine teğet ise a+b kaçtır?

   Eğim: 2=−2+a ⇒ a=4; değer: f(1)=2, g(1)=3+b=2 ⇒ b=−1; a+b=3

   Sık birleştiği konular: Türev Alma Kuralları, İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikler