çözümebak

11. Sınıf · Fonksiyonlarda İşlemler

İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikler

~8 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

f(x)=ax^2+bx+c biçimindeki ikinci dereceden (kuadratik) fonksiyonların grafiği bir paraboldür. Bu derste parabolün kollarının yönünü, tepe noktasını, simetri eksenini, eksenleri kestiği noktaları ve tepe (köşe) biçimini öğreneceğiz; ayrıca parabolün y=x^2 grafiğinden dönüşümlerle nasıl elde edildiğini göreceğiz. Parabol; atış hareketinden köprü kemerlerine, maksimum kâr–minimum maliyet hesaplarından uydu antenlerine kadar her yerde karşımıza çıkar. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Parabolün Genel Biçimi ve Kolların Yönü

a\neq 0 olmak üzere f(x)=ax^2+bx+c fonksiyonunun grafiği bir paraboldür. Baş katsayı a, kolların yönünü belirler:

a>0 \Rightarrow \text{kollar yukarı (en küçük değer var)} \qquad a<0 \Rightarrow \text{kollar aşağı (en büyük değer var)}

c sayısı, x=0 için f(0)=c olduğundan parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.

Örnek
Soru

f(x)=-2x^2+3x-5 parabolünün kolları hangi yöndedir ve y eksenini hangi noktada keser?

  1. Baş katsayı a=-2<0 olduğundan kollar aşağı doğrudur (fonksiyonun en büyük değeri vardır).
  2. f(0)=-5 olduğundan y eksenini (0,-5) noktasında keser.
Sonuç: Kollar aşağı; y eksenini (0,-5) noktasında keser.

2. Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Parabolün en alt (veya en üst) noktası tepe noktasıdır T(r,k). Apsisi şu formülle bulunur:

r=-\dfrac{b}{2a} \qquad k=f(r)

Parabol, x=r dikey doğrusuna göre simetriktir; bu doğruya simetri ekseni denir. a>0 ise k fonksiyonun en küçük, a<0 ise en büyük değeridir.

xy13(0,3)T(2, −1)x = 2
Şekil 1 — f(x)=x^2-4x+3 parabolü. Baş katsayı a=1>0 olduğundan kollar yukarı; tepe noktası T(2,-1), simetri ekseni x=2, kökleri x=1 ve x=3, y eksenini (0,3)'te keser.
Örnek
Soru

f(x)=x^2-4x+3 parabolünün tepe noktasını ve simetri eksenini bulunuz.

  1. a=1, b=-4. Apsis: r=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=2.
  2. Ordinat: k=f(2)=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1.
  3. Simetri ekseni x=r, yani x=2.
Sonuç: Tepe noktası T(2,-1), simetri ekseni x=2.

3. Eksenleri Kesen Noktalar (Kökler)

Parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri, f(x)=0 denkleminin kökleridir. Diskriminant \Delta=b^2-4ac kesişim sayısını söyler:

\Delta>0 \Rightarrow \text{2 farklı kök} \qquad \Delta=0 \Rightarrow \text{1 kök (tepe } x \text{ eksenine değer)} \qquad \Delta<0 \Rightarrow \text{kesmez}

Kökler varsa çarpanlara ayırarak veya formülle bulunur.

Örnek
Soru

f(x)=x^2-4x+3 parabolü x eksenini hangi noktalarda keser?

x^2-4x+3=0 denklemini çarpanlara ayır: hangi iki sayının toplamı -4, çarpımı 3?

  1. x^2-4x+3=0 \Rightarrow (x-1)(x-3)=0.
  2. Kökler x=1 ve x=3.
Sonuç: (1,0) ve (3,0) noktalarında keser.

4. Tepe (Köşe) Biçimi

Bir parabol, tepe noktası T(r,k) cinsinden şöyle yazılabilir:

f(x)=a(x-r)^2+k

Bu tepe biçimi, hem tepe noktasını doğrudan okumaya hem de grafiği çizmeye çok elverişlidir. Genel biçimden tepe biçimine geçmek için tam kareye tamamlama yapılır.

Örnek
Soru

f(x)=x^2-6x+11 fonksiyonunu tepe biçiminde yazınız ve tepe noktasını söyleyiniz.

x^2-6x ifadesini tam kareye tamamla: x^2-6x=(x-3)^2-9.

  1. Tam kareye tamamla: x^2-6x+11=(x^2-6x+9)-9+11=(x-3)^2+2.
  2. Bu a(x-r)^2+k biçiminde; r=3, k=2.
Sonuç: f(x)=(x-3)^2+2, tepe noktası T(3,2).

5. Parabol Çizimi ve y=x^2'den Dönüşüm

f(x)=a(x-r)^2+k parabolü, temel parabol y=x^2'nin şu dönüşümleriyle elde edilir: yatayda r kadar, dikeyde k kadar öteleme; a ile dikey gerilme/sıkışma ve a<0 ise x eksenine göre yansıma. Parabol çizerken şu beş bilgi yeter: kolların yönü, tepe noktası, simetri ekseni, y kesişimi ve (varsa) kökler.

Örnek
Soru

f(x)=2(x-1)^2-8 parabolünün tepe noktasını, kollarının yönünü ve köklerini bulunuz.

  1. Tepe biçiminde a=2, r=1, k=-8: tepe noktası T(1,-8), kollar a>0 olduğundan yukarı.
  2. Kökler için f(x)=0: 2(x-1)^2-8=0 \Rightarrow (x-1)^2=4 \Rightarrow x-1=\pm 2.
  3. x=3 veya x=-1.
Sonuç: T(1,-8), kollar yukarı; kökler x=-1 ve x=3.

Çözümlü Örnekler

Örnek
Soru

f(x)=-x^2+4x-1 fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?

a<0 olduğundan en büyük değer tepe noktasının ordinatıdır; önce r=-\dfrac{b}{2a}.

  1. a=-1, b=4. Apsis: r=-\dfrac{4}{2\cdot(-1)}=2.
  2. En büyük değer: f(2)=-2^2+4\cdot 2-1=-4+8-1=3.
Sonuç: En büyük değer 3'tür.
Örnek
Soru

Tepe noktası T(2,-3) olan ve (0,5) noktasından geçen parabolün denklemini bulunuz.

Tepe biçiminden başla: f(x)=a(x-2)^2-3. a'yı (0,5) noktasını yerine koyarak bul.

  1. Tepe biçimi: f(x)=a(x-2)^2-3.
  2. (0,5) noktası: 5=a(0-2)^2-3=4a-3 \Rightarrow 4a=8 \Rightarrow a=2.
  3. Denklem: f(x)=2(x-2)^2-3.
Sonuç: f(x)=2(x-2)^2-3.
Örnek
Soru

f(x)=x^2+2x-3 parabolünün tepe noktasını, köklerini ve y kesişimini bularak grafiğini betimleyiniz.

  1. Tepe: r=-\dfrac{2}{2\cdot 1}=-1, k=f(-1)=1-2-3=-4 \Rightarrow T(-1,-4).
  2. Kökler: x^2+2x-3=(x+3)(x-1)=0 \Rightarrow x=-3,\ x=1.
  3. y kesişimi: f(0)=-3 \Rightarrow (0,-3).
  4. a=1>0: kollar yukarı, simetri ekseni x=-1.
Sonuç: T(-1,-4); kökler -3 ve 1; (0,-3); kollar yukarı, eksen x=-1.
Örnek
Soru

x eksenini -2 ve 4 noktalarında kesen ve a=1 olan parabolün denklemini genel biçimde yazınız.

Kökleri x_1,x_2 olan parabol a(x-x_1)(x-x_2) çarpan biçimindedir.

  1. Çarpan biçimi: f(x)=1\cdot(x-(-2))(x-4)=(x+2)(x-4).
  2. Aç: f(x)=x^2-4x+2x-8=x^2-2x-8.
Sonuç: f(x)=x^2-2x-8.

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek
Soru

f(x)=3x^2-12x+5 parabolünün simetri ekseninin denklemini yaz.

  1. r=-\dfrac{-12}{2\cdot 3}=\dfrac{12}{6}=2.
  2. Simetri ekseni x=2.
Sonuç: x=2.
Örnek
Soru

f(x)=-x^2+6x fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?

  1. r=-\dfrac{6}{2\cdot(-1)}=3.
  2. f(3)=-9+18=9.
Sonuç: 9.
Örnek
Soru

f(x)=x^2-9 parabolü x eksenini hangi noktalarda keser?

  1. x^2-9=0 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3.
  2. Kesişimler (-3,0) ve (3,0).
Sonuç: (-3,0) ve (3,0).
Örnek
Soru

f(x)=(x+1)^2-4 parabolünün tepe noktasını ve köklerini bul.

  1. Tepe biçimi: r=-1, k=-4 \Rightarrow T(-1,-4).
  2. Kökler: (x+1)^2=4 \Rightarrow x+1=\pm 2 \Rightarrow x=1 veya x=-3.
Sonuç: T(-1,-4); kökler -3 ve 1.
Örnek
Soru

f(x)=x^2-2x+5 parabolü x eksenini keser mi? Diskriminantla açıkla.

  1. \Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16.
  2. \Delta<0 olduğundan parabol x eksenini kesmez.
Sonuç: Kesmez (\Delta=-16<0).
Örnek
Soru

f(x)=x^2-8x+13 fonksiyonunu tepe biçiminde yaz ve en küçük değerini bul.

x^2-8x ifadesini tam kareye tamamla: (x-4)^2-16.

  1. x^2-8x+13=(x-4)^2-16+13=(x-4)^2-3.
  2. a=1>0: en küçük değer tepe ordinatı k=-3 (tepe T(4,-3)).
Sonuç: f(x)=(x-4)^2-3; en küçük değer -3.
Örnek
Soru

Tepe noktası T(-2,1) olan ve (0,5) noktasından geçen parabolün denklemini tepe biçiminde yaz.

f(x)=a(x+2)^2+1 ile başla; (0,5) ile a'yı çek.

  1. Tepe biçimi: f(x)=a(x+2)^2+1.
  2. (0,5): 5=a(2)^2+1=4a+1 \Rightarrow 4a=4 \Rightarrow a=1.
  3. Denklem: f(x)=(x+2)^2+1.
Sonuç: f(x)=(x+2)^2+1.
Örnek
Soru

Kökleri 1 ve 5 olan, tepe noktasının ordinatı -8 olan parabolün denklemini bul.

Kökler simetriktir; tepe apsisi r=\dfrac{1+5}{2}=3. f(x)=a(x-1)(x-5) yaz, f(3)=-8 ile a'yı bul.

  1. Tepe apsisi köklerin ortasıdır: r=\dfrac{1+5}{2}=3.
  2. Çarpan biçimi: f(x)=a(x-1)(x-5). Tepe ordinatı: f(3)=a(3-1)(3-5)=a\cdot 2\cdot(-2)=-4a.
  3. -4a=-8 \Rightarrow a=2. Denklem: f(x)=2(x-1)(x-5)=2x^2-12x+10.
Sonuç: f(x)=2x^2-12x+10 (yani 2(x-3)^2-8).
Örnek
Soru

Bir cismin t saniyedeki yüksekliği h(t)=-5t^2+20t metredir. Cisim en yüksek hangi anda ve kaç metrede olur?

h(t) aşağı açılan bir paraboldür; en yüksek nokta tepe noktasıdır. t=-\dfrac{b}{2a}.

  1. a=-5, b=20. En yüksek an: t=-\dfrac{20}{2\cdot(-5)}=2 saniye.
  2. Yükseklik: h(2)=-5\cdot 4+20\cdot 2=-20+40=20 metre.
Sonuç: t=2 saniyede, 20 metre yükseklikte.

Sık Yapılan Hatalar

Not: Bir parabolü hızlı çizmek için sırayla şunları bul: (1) a'nın işareti → kolların yönü, (2) r=-\dfrac{b}{2a} → simetri ekseni, (3) k=f(r) → tepe, (4) f(0)=c → y kesişimi, (5) \Delta'ya göre kökler. Tepe biçimi a(x-r)^2+k ise tepe zaten hazırdır.

Fonksiyonlarda İşlemler — diğer konular