11. Sınıf · Fonksiyonlarda İşlemler

İkinci Dereceden Fonksiyonlar ve Grafikler

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ biçimindeki ikinci dereceden (kuadratik) fonksiyonların grafiği bir paraboldür. Bu derste parabolün kollarının yönünü, tepe noktasını, simetri eksenini, eksenleri kestiği noktaları ve tepe (köşe) biçimini öğreneceğiz; ayrıca parabolün $y = x^{2}$ grafiğinden dönüşümlerle nasıl elde edildiğini göreceğiz. Parabol; atış hareketinden köprü kemerlerine, maksimum kâr–minimum maliyet hesaplarından uydu antenlerine kadar her yerde karşımıza çıkar. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Parabolün Genel Biçimi ve Kolların Yönü

$a \neq = 0$ olmak üzere $f (x) = a x^{2} + b x + c$ fonksiyonunun grafiği bir paraboldür. Baş katsayı $a$ , kolların yönünü belirler:

$a > 0 \Rightarrow kollar yukar ı (en k \overset{u}{¨} \overset{c}{¸} \overset{u}{¨} k de \overset{g}{˘} er var) a < 0 \Rightarrow kollar a \overset{s}{¸} a \overset{g}{˘} ı (en b \overset{u}{¨} y \overset{u}{¨} k de \overset{g}{˘} er var)$

$c$ sayısı, $x = 0$ için $f (0) = c$ olduğundan parabolün $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatıdır.

Örnek

Soru

$f (x) = - 2 x^{2} + 3 x - 5$ parabolünün kolları hangi yöndedir ve $y$ eksenini hangi noktada keser?

Baş katsayı $a = - 2 < 0$ olduğundan kollar aşağı doğrudur (fonksiyonun en büyük değeri vardır).
$f (0) = - 5$ olduğundan $y$ eksenini $(0, - 5)$ noktasında keser.

Sonuç: Kollar aşağı;

y

eksenini

(0, - 5)

noktasında keser.

2. Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Parabolün en alt (veya en üst) noktası tepe noktasıdır $T (r, k)$ . Apsisi şu formülle bulunur:

$r = - \frac{b}{2 a} k = f (r)$

Parabol, $x = r$ dikey doğrusuna göre simetriktir; bu doğruya simetri ekseni denir. $a > 0$ ise $k$ fonksiyonun en küçük, $a < 0$ ise en büyük değeridir.

Şekil 1 —

f (x) = x^{2} - 4 x + 3

parabolü. Baş katsayı

a = 1 > 0

olduğundan kollar yukarı; tepe noktası

T (2, - 1)

, simetri ekseni

x = 2

, kökleri

x = 1

x = 3

y

eksenini

(0, 3)

'te keser.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ parabolünün tepe noktasını ve simetri eksenini bulunuz.

$a = 1$ , $b = - 4$ . Apsis: $r = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ .
Ordinat: $k = f (2) = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1$ .
Simetri ekseni $x = r$ , yani $x = 2$ .

Sonuç: Tepe noktası

T (2, - 1)

, simetri ekseni

x = 2

3. Eksenleri Kesen Noktalar (Kökler)

Parabolün $x$ eksenini kestiği noktaların apsisleri, $f (x) = 0$ denkleminin kökleridir. Diskriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ kesişim sayısını söyler:

$Δ > 0 \Rightarrow 2 farkl ı k \overset{o}{¨} k Δ = 0 \Rightarrow 1 k \overset{o}{¨} k (tepe x eksenine de \overset{g}{˘} er) Δ < 0 \Rightarrow kesmez$

Kökler varsa çarpanlara ayırarak veya formülle bulunur.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 4 x + 3$ parabolü $x$ eksenini hangi noktalarda keser?

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$ denklemini çarpanlara ayır: hangi iki sayının toplamı $- 4$ , çarpımı $3$ ?

$x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 3) = 0$ .
Kökler $x = 1$ ve $x = 3$ .

Sonuç:

(1, 0)

(3, 0)

noktalarında keser.

4. Tepe (Köşe) Biçimi

Bir parabol, tepe noktası $T (r, k)$ cinsinden şöyle yazılabilir:

$f (x) = a (x - r)^{2} + k$

Bu tepe biçimi, hem tepe noktasını doğrudan okumaya hem de grafiği çizmeye çok elverişlidir. Genel biçimden tepe biçimine geçmek için tam kareye tamamlama yapılır.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 6 x + 11$ fonksiyonunu tepe biçiminde yazınız ve tepe noktasını söyleyiniz.

$x^{2} - 6 x$ ifadesini tam kareye tamamla: $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ .

Tam kareye tamamla: $x^{2} - 6 x + 11 = (x^{2} - 6 x + 9) - 9 + 11 = (x - 3)^{2} + 2$ .
Bu $a (x - r)^{2} + k$ biçiminde; $r = 3$ , $k = 2$ .

Sonuç:

f (x) = (x - 3)^{2} + 2

, tepe noktası

T (3, 2)

5. Parabol Çizimi ve $y = x^{2}$ 'den Dönüşüm

$f (x) = a (x - r)^{2} + k$ parabolü, temel parabol $y = x^{2}$ 'nin şu dönüşümleriyle elde edilir: yatayda $r$ kadar, dikeyde $k$ kadar öteleme; $a$ ile dikey gerilme/sıkışma ve $a < 0$ ise $x$ eksenine göre yansıma. Parabol çizerken şu beş bilgi yeter: kolların yönü, tepe noktası, simetri ekseni, $y$ kesişimi ve (varsa) kökler.

Örnek

Soru

$f (x) = 2 (x - 1)^{2} - 8$ parabolünün tepe noktasını, kollarının yönünü ve köklerini bulunuz.

Tepe biçiminde $a = 2$ , $r = 1$ , $k = - 8$ : tepe noktası $T (1, - 8)$ , kollar $a > 0$ olduğundan yukarı.
Kökler için $f (x) = 0$ : $2 (x - 1)^{2} - 8 = 0 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 4 \Rightarrow x - 1 = \pm 2$ .
$x = 3$ veya $x = - 1$ .

Sonuç:

T (1, - 8)

, kollar yukarı; kökler

x = - 1

x = 3

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$f (x) = - x^{2} + 4 x - 1$ fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?

$a < 0$ olduğundan en büyük değer tepe noktasının ordinatıdır; önce $r = - \frac{b}{2 a}$ .

$a = - 1$ , $b = 4$ . Apsis: $r = - \frac{4}{2 \cdot ( - 1 )} = 2$ .
En büyük değer: $f (2) = - 2^{2} + 4 \cdot 2 - 1 = - 4 + 8 - 1 = 3$ .

Sonuç: En büyük değer

3

'tür.

Örnek

Soru

Tepe noktası $T (2, - 3)$ olan ve $(0, 5)$ noktasından geçen parabolün denklemini bulunuz.

Tepe biçiminden başla: $f (x) = a (x - 2)^{2} - 3$ . $a$ 'yı $(0, 5)$ noktasını yerine koyarak bul.

Tepe biçimi: $f (x) = a (x - 2)^{2} - 3$ .
$(0, 5)$ noktası: $5 = a (0 - 2)^{2} - 3 = 4 a - 3 \Rightarrow 4 a = 8 \Rightarrow a = 2$ .
Denklem: $f (x) = 2 (x - 2)^{2} - 3$ .

Sonuç:

f (x) = 2 (x - 2)^{2} - 3

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ parabolünün tepe noktasını, köklerini ve $y$ kesişimini bularak grafiğini betimleyiniz.

Tepe: $r = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$ , $k = f (- 1) = 1 - 2 - 3 = - 4 \Rightarrow T (- 1, - 4)$ .
Kökler: $x^{2} + 2 x - 3 = (x + 3) (x - 1) = 0 \Rightarrow x = - 3, x = 1$ .
$y$ kesişimi: $f (0) = - 3 \Rightarrow (0, - 3)$ .
$a = 1 > 0$ : kollar yukarı, simetri ekseni $x = - 1$ .

Sonuç:

T (- 1, - 4)

; kökler

- 3

1

;

(0, - 3)

; kollar yukarı, eksen

x = - 1

Örnek

Soru

$x$ eksenini $- 2$ ve $4$ noktalarında kesen ve $a = 1$ olan parabolün denklemini genel biçimde yazınız.

Kökleri $x_{1}, x_{2}$ olan parabol $a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ çarpan biçimindedir.

Çarpan biçimi: $f (x) = 1 \cdot (x - (- 2)) (x - 4) = (x + 2) (x - 4)$ .
Aç: $f (x) = x^{2} - 4 x + 2 x - 8 = x^{2} - 2 x - 8$ .

Sonuç:

f (x) = x^{2} - 2 x - 8

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 5$ parabolünün simetri ekseninin denklemini yaz.

$r = - \frac{- 12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$ .
Simetri ekseni $x = 2$ .

Sonuç:

x = 2

Örnek

Soru

$f (x) = - x^{2} + 6 x$ fonksiyonunun en büyük değeri kaçtır?

$r = - \frac{6}{2 \cdot ( - 1 )} = 3$ .
$f (3) = - 9 + 18 = 9$ .

Sonuç:

9

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 9$ parabolü $x$ eksenini hangi noktalarda keser?

$x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ .
Kesişimler $(- 3, 0)$ ve $(3, 0)$ .

Sonuç:

(- 3, 0)

(3, 0)

Örnek

Soru

$f (x) = (x + 1)^{2} - 4$ parabolünün tepe noktasını ve köklerini bul.

Tepe biçimi: $r = - 1$ , $k = - 4 \Rightarrow T (- 1, - 4)$ .
Kökler: $(x + 1)^{2} = 4 \Rightarrow x + 1 = \pm 2 \Rightarrow x = 1$ veya $x = - 3$ .

Sonuç:

T (- 1, - 4)

; kökler

- 3

1

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 2 x + 5$ parabolü $x$ eksenini keser mi? Diskriminantla açıkla.

$Δ = b^{2} - 4 a c = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = - 16$ .
$Δ < 0$ olduğundan parabol $x$ eksenini kesmez.

Sonuç: Kesmez (

Δ = - 16 < 0

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 8 x + 13$ fonksiyonunu tepe biçiminde yaz ve en küçük değerini bul.

$x^{2} - 8 x$ ifadesini tam kareye tamamla: $(x - 4)^{2} - 16$ .

$x^{2} - 8 x + 13 = (x - 4)^{2} - 16 + 13 = (x - 4)^{2} - 3$ .
$a = 1 > 0$ : en küçük değer tepe ordinatı $k = - 3$ (tepe $T (4, - 3)$ ).

Sonuç:

f (x) = (x - 4)^{2} - 3

; en küçük değer

- 3

Örnek

Soru

Tepe noktası $T (- 2, 1)$ olan ve $(0, 5)$ noktasından geçen parabolün denklemini tepe biçiminde yaz.

$f (x) = a (x + 2)^{2} + 1$ ile başla; $(0, 5)$ ile $a$ 'yı çek.

Tepe biçimi: $f (x) = a (x + 2)^{2} + 1$ .
$(0, 5)$ : $5 = a (2)^{2} + 1 = 4 a + 1 \Rightarrow 4 a = 4 \Rightarrow a = 1$ .
Denklem: $f (x) = (x + 2)^{2} + 1$ .

Sonuç:

f (x) = (x + 2)^{2} + 1

Örnek

Soru

Kökleri $1$ ve $5$ olan, tepe noktasının ordinatı $- 8$ olan parabolün denklemini bul.

Kökler simetriktir; tepe apsisi $r = \frac{1 + 5}{2} = 3$ . $f (x) = a (x - 1) (x - 5)$ yaz, $f (3) = - 8$ ile $a$ 'yı bul.

Tepe apsisi köklerin ortasıdır: $r = \frac{1 + 5}{2} = 3$ .
Çarpan biçimi: $f (x) = a (x - 1) (x - 5)$ . Tepe ordinatı: $f (3) = a (3 - 1) (3 - 5) = a \cdot 2 \cdot (- 2) = - 4 a$ .
$- 4 a = - 8 \Rightarrow a = 2$ . Denklem: $f (x) = 2 (x - 1) (x - 5) = 2 x^{2} - 12 x + 10$ .

Sonuç:

f (x) = 2 x^{2} - 12 x + 10

(yani

2 (x - 3)^{2} - 8

Örnek

Soru

Bir cismin $t$ saniyedeki yüksekliği $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t$ metredir. Cisim en yüksek hangi anda ve kaç metrede olur?

$h (t)$ aşağı açılan bir paraboldür; en yüksek nokta tepe noktasıdır. $t = - \frac{b}{2 a}$ .

$a = - 5$ , $b = 20$ . En yüksek an: $t = - \frac{20}{2 \cdot ( - 5 )} = 2$ saniye.
Yükseklik: $h (2) = - 5 \cdot 4 + 20 \cdot 2 = - 20 + 40 = 20$ metre.

Sonuç:

t = 2

saniyede,

20

metre yükseklikte.

Sık Yapılan Hatalar

Simetri ekseninde işaret hatası. $r = - \frac{b}{2 a}$ 'dır; başındaki eksi unutulmamalı.
Tepe ordinatını yanlış bulmak. $k$ , $r$ 'yi fonksiyonda yerine koyarak ( $k = f (r)$ ) bulunur; sadece $- \frac{b}{2 a}$ değildir.
Tam kareye tamamlarken sabiti unutmak. $x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ ; eklenen $9$ , dengelemek için tekrar çıkarılmalıdır.
Kolların yönünü $c$ 'ye bakarak söylemek. Yönü belirleyen $a$ 'dır; $c$ yalnızca $y$ kesişimini verir.

Not: Bir parabolü hızlı çizmek için sırayla şunları bul: (1) $a$ 'nın işareti → kolların yönü, (2) $r = - \frac{b}{2 a}$ → simetri ekseni, (3) $k = f (r)$ → tepe, (4) $f (0) = c$ → $y$ kesişimi, (5) $Δ$ 'ya göre kökler. Tepe biçimi $a (x - r)^{2} + k$ ise tepe zaten hazırdır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

f (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 7

parabolü için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Baş katsayı $a = - 3 < 0$ olduğundan kollar aşağı doğrudur.
$y$ eksenini kestiği noktanın ordinatı $c$ sabitidir: $f (0) = - 7$ .
Buna göre $y$ eksenini $(0, - 7)$ noktasında keser.

Sonuç: Kollar aşağı;

y

eksenini

(0, - 7)

noktasında keser.

Soru 2Orta

f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 1

parabolünün tepe noktası aşağıdakilerden hangisidir?

Apsis: $r = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$ .
Ordinat: $k = f (2) = 2 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 1 = 8 - 16 + 1 = - 7$ .
Tepe noktası $T (2, - 7)$ 'dir.

Sonuç:

T (2, - 7)

Soru 3Orta

f (x) = x^{2} - 10 x + 21

fonksiyonu tepe biçiminde yazıldığında en küçük değeri kaç olur?

Tam kareye tamamla: $x^{2} - 10 x = (x - 5)^{2} - 25$ .
Buna göre $f (x) = (x - 5)^{2} - 25 + 21 = (x - 5)^{2} - 4$ .
$a = 1 > 0$ olduğundan en küçük değer tepe ordinatı $k = - 4$ 'tür.

Sonuç: En küçük değer

- 4

Soru 4Orta

Tepe noktası

T (- 1, 4)

olan ve

(1, 0)

noktasından geçen parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Tepe biçimi: $f (x) = a (x + 1)^{2} + 4$ .
$(1, 0)$ noktasını yerine koy: $0 = a (1 + 1)^{2} + 4 = 4 a + 4 \Rightarrow a = - 1$ .
Denklem: $f (x) = - (x + 1)^{2} + 4 = - x^{2} - 2 x + 3$ .

Sonuç:

f (x) = - x^{2} - 2 x + 3

Soru 5Orta

Yerden yukarı atılan bir cismin

t

saniyedeki yüksekliği

h (t) = - 5 t^{2} + 30 t

metredir. Cisim ulaşabileceği en büyük yüksekliğe hangi anda erişir ve bu yükseklik kaç metredir?

$h (t) = - 5 t^{2} + 30 t$ aşağı açılan bir paraboldür; en büyük yükseklik tepe noktasındadır.
En yüksek an: $t = - \frac{b}{2 a} = - \frac{30}{2 \cdot ( - 5 )} = \frac{30}{10} = 3$ saniye.
Yükseklik: $h (3) = - 5 \cdot 3^{2} + 30 \cdot 3 = - 45 + 90 = 45$ metre.

Sonuç:

t = 3

saniyede,

45

metre.

Soru 6Zor

x

eksenini

- 1

7

noktalarında kesen, tepe noktasının ordinatı

- 32

olan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Kökler simetriktir; tepe apsisi köklerin ortasıdır: $r = \frac{- 1 + 7}{2} = 3$ .
Çarpan biçimi: $f (x) = a (x + 1) (x - 7)$ . Tepe ordinatı: $f (3) = a (3 + 1) (3 - 7) = a \cdot 4 \cdot (- 4) = - 16 a$ .
$- 16 a = - 32 \Rightarrow a = 2$ .
Denklem: $f (x) = 2 (x + 1) (x - 7) = 2 (x^{2} - 6 x - 7) = 2 x^{2} - 12 x - 14$ .

Sonuç:

f (x) = 2 x^{2} - 12 x - 14

0/6 soru cevaplandı

1. Parabolün Genel Biçimi ve Kolların Yönü

2. Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

3. Eksenleri Kesen Noktalar (Kökler)

4. Tepe (Köşe) Biçimi

5. Parabol Çizimi ve y=x2'den Dönüşüm

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Fonksiyonlarda İşlemler — diğer konular

5. Parabol Çizimi ve $y = x^{2}$ 'den Dönüşüm