11. Sınıf · Fonksiyonlarda İşlemler
Fonksiyonların Dönüşümleri
Bir fonksiyonun grafiğine yapılan küçük cebirsel değişiklikler, grafiği düzlemde kaydırır, çevirir veya gerer. Bu derste y=f(x) temel grafiğinden yola çıkarak dikey ve yatay ötelemeleri (f(x)+k, f(x-h)), eksenlere göre yansımaları (-f(x), f(-x)) ve dikey gerilme/sıkışmayı (af(x)) öğreneceğiz. Bu dönüşümleri bilmek, y=x^2 gibi tek bir "ana grafikten" yola çıkıp onun tüm akrabalarını tek bir denkleme bakarak çizebilmeni sağlar. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.
1. Dikey Öteleme: f(x)+k
Fonksiyona bir k sabiti eklemek, grafiğin her noktasını dikeyde kaydırır:
y=f(x)+k \;\Rightarrow\; \text{grafik } k>0 \text{ ise } k \text{ birim YUKARI, } k<0 \text{ ise AŞAĞI öteler.}
Burada şekil değişmez; yalnızca yukarı–aşağı kayar. Tepe/önemli noktaların yalnızca ordinatları k kadar değişir.
y=x^2 grafiği (lacivert) ile y=x^2+2 grafiği (turuncu). Sabit eklemek grafiği 2 birim yukarı öteler; tepe (0,0)'dan (0,2)'ye taşınır, şekil aynı kalır.f(x)=x^2 grafiği 3 birim aşağı ötelenirse yeni fonksiyon nedir ve tepe noktası nereye gider?
- Aşağı öteleme için sabit çıkarılır:
y=f(x)-3=x^2-3. - Tepe
(0,0), ordinatı3azalarak(0,-3)olur.
y=x^2-3; tepe (0,-3).2. Yatay Öteleme: f(x-h)
x yerine x-h yazmak grafiği yatayda kaydırır. Dikkat: işaret terstir.
y=f(x-h) \;\Rightarrow\; \text{grafik } h>0 \text{ ise } h \text{ birim SAĞA, } h<0 \text{ ise SOLA öteler.}
Yani f(x-2) grafiği 2 birim sağa, f(x+2)=f(x-(-2)) grafiği 2 birim sola gider.
y=|x|; tepe noktası orijin (0,0).y=|x-2|-1 grafiği. x\to x-2 grafiği 2 birim sağa, -1 ise 1 birim aşağı öteler; tepe (2,-1)'e taşınır.f(x)=|x| olsun. y=|x+3| grafiği temel grafiğe göre nasıl ötelenmiştir?
|x+3|=|x-(-3)| olduğundan h=-3; işaret terstir.
|x+3|=f(x-(-3)), yanih=-3.h<0olduğundan grafik3birim sola ötelenir; tepe(0,0)'dan(-3,0)'a gider.
3 birim sola öteleme; tepe (-3,0).3. Birleşik Öteleme: f(x-h)+k
Yatay ve dikey ötelemeyi birlikte uygularız: y=f(x-h)+k grafiği, temel grafiği h birim yatayda (sağ/sol), k birim dikeyde (yukarı/aşağı) öteler. Önemli bir noktanın yeni yeri (x_0+h,\;y_0+k) olur.
f(x)=x^2 grafiği 2 birim sağa ve 1 birim yukarı ötelenirse yeni fonksiyonu yaz ve tepe noktasını söyle.
- Sağa öteleme:
x\to x-2. Yukarı öteleme:+1. Yeni fonksiyon:y=(x-2)^2+1. - Tepe
(0,0)\to(0+2,\;0+1)=(2,1).
y=(x-2)^2+1; tepe (2,1).4. Yansımalar: -f(x) ve f(-x)
İşaret değişiklikleri grafiği bir eksene göre simetriğine çevirir:
y=-f(x) \;\Rightarrow\; x \text{ eksenine göre yansıma} \qquad\qquad y=f(-x) \;\Rightarrow\; y \text{ eksenine göre yansıma}
-f(x)'te tüm ordinatların işareti değişir (yukarı–aşağı çevrilir). f(-x)'te tüm apsislerin işareti değişir (sağ–sol çevrilir).
y=x^2 (lacivert, kollar yukarı) ve onun x eksenine göre yansıması y=-x^2 (turuncu, kollar aşağı). -f(x) grafiği yukarı–aşağı çevirir.f(x)=x^2-2x olsun. y=f(-x) fonksiyonunu açık biçimde yazınız.
f(-x) için fonksiyondaki her x'in yerine -x yaz.
f(-x)=(-x)^2-2(-x)=x^2+2x.
y=x^2+2x ( y eksenine göre yansıma).5. Dikey Gerilme ve Sıkışma: a\,f(x)
Fonksiyonu bir a sayısıyla çarpmak grafiği dikeyde gerer veya sıkıştırır:
|a|>1 \Rightarrow \text{dikeyde gerilme (incelir, dikleşir)} \qquad 0<|a|<1 \Rightarrow \text{sıkışma (yayvanlaşır)}
a<0 ise ayrıca x eksenine göre yansıma da olur. x eksenini kesen noktalar (f(x)=0 olanlar) yerinde kalır; diğer ordinatlar a katına çıkar.
f(x)=x^2 grafiği dikeyde 3 katına gerilirse yeni fonksiyon nedir? x=2 için değeri ne olur?
- Dikey gerilme için
a=3ile çarp:y=3x^2. x=2:y=3\cdot 2^2=12(temel grafikte4iken3katı olur).
y=3x^2; x=2 için 12.Çözümlü Örnekler
y=(x+1)^2-4 grafiği, y=x^2 temel grafiğinden hangi dönüşümlerle elde edilir?
(x+1)^2=(x-(-1))^2:h=-1, yani1birim sola öteleme.-4:4birim aşağı öteleme.- Tepe
(0,0)\to(-1,-4).
1 birim sola, 4 birim aşağı öteleme; tepe (-1,-4).f(x)=\sqrt{x} olsun. g(x)=\sqrt{x-3}+2 grafiği, f grafiğinden hangi ötelemelerle elde edilir ve başlangıç noktası nereye gider?
\sqrt{x} grafiği (0,0)'dan başlar. x\to x-3 sağa, +2 yukarı öteler.
x\to x-3:3birim sağa öteleme.+2:2birim yukarı öteleme.- Başlangıç noktası
(0,0)\to(3,2).
3 birim sağa, 2 birim yukarı; başlangıç (3,2).f(x)=2x-1 olsun. y=-f(x) ve y=f(-x) fonksiyonlarını ayrı ayrı yazınız.
-f(x)=-(2x-1)=-2x+1(xeksenine göre yansıma).f(-x)=2(-x)-1=-2x-1(yeksenine göre yansıma).
-f(x)=-2x+1, \;f(-x)=-2x-1.y=x^2 grafiği önce x eksenine göre yansıtılıp sonra 5 birim yukarı ötelenirse oluşan fonksiyon nedir? Tepe noktası nedir?
Yansıma -f(x), sonra +5. Sıraya dikkat: önce yansıt, sonra ötele.
xeksenine yansıma:y=-x^2.5birim yukarı:y=-x^2+5.- Tepe
(0,0)\to(0,5); kollar aşağı.
y=-x^2+5; tepe (0,5).Alıştırmalar — Sıra Sende
Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.
f(x)=x^2 grafiği 4 birim yukarı ötelenirse yeni fonksiyon nedir?
- Yukarı öteleme:
+4. Yeni fonksiyony=x^2+4.
y=x^2+4.f(x)=|x| grafiği 5 birim sağa ötelenirse fonksiyon nasıl yazılır?
- Sağa öteleme:
x\to x-5. Yeni fonksiyony=|x-5|.
y=|x-5|.y=(x-3)^2+2 parabolünün tepe noktası nedir?
h=3(sağa),k=2(yukarı). Tepe(3,2).
(3,2).f(x)=x^3 olsun. y=f(-x) fonksiyonunu açık yaz.
f(-x)=(-x)^3=-x^3.
y=-x^3.f(x)=\sqrt{x} grafiği 2 birim sola ötelenirse fonksiyon nasıl yazılır?
- Sola öteleme:
x\to x+2. Yeni fonksiyony=\sqrt{x+2}.
y=\sqrt{x+2}.y=|x+2|-3 grafiği, y=|x| temel grafiğinden hangi ötelemelerle elde edilir ve tepesi nereye gider?
|x+2|=|x-(-2)|: h=-2 (sola), k=-3 (aşağı).
x\to x+2:2birim sola.-3:3birim aşağı.- Tepe
(0,0)\to(-2,-3).
2 birim sola, 3 birim aşağı; tepe (-2,-3).f(x)=x^2 grafiği önce y eksenine göre yansıtılıyor, sonra 3 birim sağa öteleniyor. Oluşan fonksiyon nedir?
y=x^2 için f(-x)=x^2 (çift fonksiyon, değişmez); sonra x\to x-3.
yeksenine yansıma:f(-x)=(-x)^2=x^2(parabolyeksenine göre zaten simetrik, değişmez).3birim sağa:x\to x-3 \Rightarrow y=(x-3)^2.
y=(x-3)^2.f(x)=x^2+4x+1 olsun. y=f(x)-5 fonksiyonunu tepe biçiminde yaz ve tepe noktasını bul.
Önce f(x)'i tam kareye tamamla: x^2+4x+1=(x+2)^2-3. Sonra -5 uygula.
- Tam kareye tamamla:
x^2+4x+1=(x+2)^2-4+1=(x+2)^2-3. -5dikey öteleme:y=(x+2)^2-3-5=(x+2)^2-8.- Tepe
(-2,-8).
y=(x+2)^2-8; tepe (-2,-8).Bir f fonksiyonunun grafiği A(2,5) noktasından geçiyor. g(x)=f(x-1)+3 grafiği hangi noktadan geçer?
f(x-1)+3 grafiği, f'i 1 birim sağa ve 3 birim yukarı öteler; A noktası da aynı şekilde taşınır.
g(x)=f(x-1)+3:1birim sağa,3birim yukarı öteleme.A(2,5)noktası(2+1,\;5+3)=(3,8)noktasına taşınır.
(3,8).Sık Yapılan Hatalar
- Yatay öteleme yönünü ters almak.
f(x-h)grafiğih>0için sağa gider;f(x+2)sağa değil, sola ötelemedir. -f(x)ilef(-x)'i karıştırmak.-f(x)→xeksenine yansıma (yukarı–aşağı);f(-x)→yeksenine yansıma (sağ–sol).- Dikey ötelemeyi yataya, yatayı dikeye yazmak. Fonksiyonun dışına eklenen sabit (
+k) dikeyi; içine (x-h) yatayı etkiler. - Birleşik dönüşümde sırayı gözardı etmek. "Önce yansıt sonra ötele" ile "önce ötele sonra yansıt" farklı sonuç verebilir; adımları sırayla uygula.
Not: Tek bir ana grafiği (
y=x^2,y=|x|,y=\sqrt{x},y=\dfrac{1}{x}) ezbere bil; gerisi dört kuralla çıkar:+kdikey öteleme,x-hyatay öteleme,-f(x)/f(-x)yansıma,a\,f(x)gerilme. Dönüşümleri önemli bir noktanın (tepe, başlangıç) nasıl taşındığına bakarak doğrula.