11. Sınıf · Fonksiyonlarda İşlemler

Fonksiyonların Dönüşümleri

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bir fonksiyonun grafiğine yapılan küçük cebirsel değişiklikler, grafiği düzlemde kaydırır, çevirir veya gerer. Bu derste $y = f (x)$ temel grafiğinden yola çıkarak dikey ve yatay ötelemeleri ( $f (x) + k$ , $f (x - h)$ ), eksenlere göre yansımaları ( $- f (x)$ , $f (- x)$ ) ve dikey gerilme/sıkışmayı ( $a f (x)$ ) öğreneceğiz. Bu dönüşümleri bilmek, $y = x^{2}$ gibi tek bir "ana grafikten" yola çıkıp onun tüm akrabalarını tek bir denkleme bakarak çizebilmeni sağlar. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Dikey Öteleme: $f (x) + k$

Fonksiyona bir $k$ sabiti eklemek, grafiğin her noktasını dikeyde kaydırır:

$y = f (x) + k \Rightarrow grafik k > 0 ise k birim YUKARI, k < 0 ise A \overset{S}{¸} A \overset{˘}{G} I \overset{o}{¨} teler.$

Burada şekil değişmez; yalnızca yukarı–aşağı kayar. Tepe/önemli noktaların yalnızca ordinatları $k$ kadar değişir.

Şekil 1 —

y = x^{2}

grafiği (lacivert) ile

y = x^{2} + 2

grafiği (turuncu). Sabit eklemek grafiği

2

birim yukarı öteler; tepe

(0, 0)

'dan

(0, 2)

'ye taşınır, şekil aynı kalır.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ grafiği $3$ birim aşağı ötelenirse yeni fonksiyon nedir ve tepe noktası nereye gider?

Aşağı öteleme için sabit çıkarılır: $y = f (x) - 3 = x^{2} - 3$ .
Tepe $(0, 0)$ , ordinatı $3$ azalarak $(0, - 3)$ olur.

Sonuç:

y = x^{2} - 3

; tepe

(0, - 3)

2. Yatay Öteleme: $f (x - h)$

$x$ yerine $x - h$ yazmak grafiği yatayda kaydırır. Dikkat: işaret terstir.

$y = f (x - h) \Rightarrow grafik h > 0 ise h birim SA \overset{˘}{G} A, h < 0 ise SOLA \overset{o}{¨} teler.$

Yani $f (x - 2)$ grafiği $2$ birim sağa, $f (x + 2) = f (x - (- 2))$ grafiği $2$ birim sola gider.

Şekil 2 — Temel grafik

y = ∣ x ∣

; tepe noktası orijin

(0, 0)

Şekil 3 —

y = ∣ x - 2∣ - 1

grafiği.

x \to x - 2

grafiği

2

birim sağa,

- 1

ise

1

birim aşağı öteler; tepe

(2, - 1)

'e taşınır.

Örnek

Soru

$f (x) = ∣ x ∣$ olsun. $y = ∣ x + 3∣$ grafiği temel grafiğe göre nasıl ötelenmiştir?

$∣ x + 3∣ = ∣ x - (- 3) ∣$ olduğundan $h = - 3$ ; işaret terstir.

$∣ x + 3∣ = f (x - (- 3))$ , yani $h = - 3$ .
$h < 0$ olduğundan grafik $3$ birim sola ötelenir; tepe $(0, 0)$ 'dan $(- 3, 0)$ 'a gider.

Sonuç:

3

birim sola öteleme; tepe

(- 3, 0)

3. Birleşik Öteleme: $f (x - h) + k$

Yatay ve dikey ötelemeyi birlikte uygularız: $y = f (x - h) + k$ grafiği, temel grafiği $h$ birim yatayda (sağ/sol), $k$ birim dikeyde (yukarı/aşağı) öteler. Önemli bir noktanın yeni yeri $(x_{0} + h, y_{0} + k)$ olur.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ grafiği $2$ birim sağa ve $1$ birim yukarı ötelenirse yeni fonksiyonu yaz ve tepe noktasını söyle.

Sağa öteleme: $x \to x - 2$ . Yukarı öteleme: $+ 1$ . Yeni fonksiyon: $y = (x - 2)^{2} + 1$ .
Tepe $(0, 0) \to (0 + 2, 0 + 1) = (2, 1)$ .

Sonuç:

y = (x - 2)^{2} + 1

; tepe

(2, 1)

4. Yansımalar: $- f (x)$ ve $f (- x)$

İşaret değişiklikleri grafiği bir eksene göre simetriğine çevirir:

$y = - f (x) \Rightarrow x eksenine g \overset{o}{¨} re yans ı ma y = f (- x) \Rightarrow y eksenine g \overset{o}{¨} re yans ı ma$

$- f (x)$ 'te tüm ordinatların işareti değişir (yukarı–aşağı çevrilir). $f (- x)$ 'te tüm apsislerin işareti değişir (sağ–sol çevrilir).

Şekil 4 —

y = x^{2}

(lacivert, kollar yukarı) ve onun

x

eksenine göre yansıması

y = - x^{2}

(turuncu, kollar aşağı).

- f (x)

grafiği yukarı–aşağı çevirir.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} - 2 x$ olsun. $y = f (- x)$ fonksiyonunu açık biçimde yazınız.

$f (- x)$ için fonksiyondaki her $x$ 'in yerine $- x$ yaz.

$f (- x) = (- x)^{2} - 2 (- x) = x^{2} + 2 x$ .

Sonuç:

y = x^{2} + 2 x

(

y

eksenine göre yansıma).

5. Dikey Gerilme ve Sıkışma: $a f (x)$

Fonksiyonu bir $a$ sayısıyla çarpmak grafiği dikeyde gerer veya sıkıştırır:

$∣ a ∣ > 1 \Rightarrow dikeyde gerilme (incelir, dikle \overset{s}{¸} ir) 0 < ∣ a ∣ < 1 \Rightarrow s ı k ı \overset{s}{¸} ma (yayvanla \overset{s}{¸} ı r)$

$a < 0$ ise ayrıca $x$ eksenine göre yansıma da olur. $x$ eksenini kesen noktalar ( $f (x) = 0$ olanlar) yerinde kalır; diğer ordinatlar $a$ katına çıkar.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ grafiği dikeyde $3$ katına gerilirse yeni fonksiyon nedir? $x = 2$ için değeri ne olur?

Dikey gerilme için $a = 3$ ile çarp: $y = 3 x^{2}$ .
$x = 2$ : $y = 3 \cdot 2^{2} = 12$ (temel grafikte $4$ iken $3$ katı olur).

Sonuç:

y = 3 x^{2}

;

x = 2

için

12

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$y = (x + 1)^{2} - 4$ grafiği, $y = x^{2}$ temel grafiğinden hangi dönüşümlerle elde edilir?

$(x + 1)^{2} = (x - (- 1))^{2}$ : $h = - 1$ , yani $1$ birim sola öteleme.
$- 4$ : $4$ birim aşağı öteleme.
Tepe $(0, 0) \to (- 1, - 4)$ .

Sonuç:

1

birim sola,

4

birim aşağı öteleme; tepe

(- 1, - 4)

Örnek

Soru

$f (x) = x$ olsun. $g (x) = x - 3 + 2$ grafiği, $f$ grafiğinden hangi ötelemelerle elde edilir ve başlangıç noktası nereye gider?

$x$ grafiği $(0, 0)$ 'dan başlar. $x \to x - 3$ sağa, $+ 2$ yukarı öteler.

$x \to x - 3$ : $3$ birim sağa öteleme.
$+ 2$ : $2$ birim yukarı öteleme.
Başlangıç noktası $(0, 0) \to (3, 2)$ .

Sonuç:

3

birim sağa,

2

birim yukarı; başlangıç

(3, 2)

Örnek

Soru

$f (x) = 2 x - 1$ olsun. $y = - f (x)$ ve $y = f (- x)$ fonksiyonlarını ayrı ayrı yazınız.

$- f (x) = - (2 x - 1) = - 2 x + 1$ ( $x$ eksenine göre yansıma).
$f (- x) = 2 (- x) - 1 = - 2 x - 1$ ( $y$ eksenine göre yansıma).

Sonuç:

- f (x) = - 2 x + 1

f (- x) = - 2 x - 1

Örnek

Soru

$y = x^{2}$ grafiği önce $x$ eksenine göre yansıtılıp sonra $5$ birim yukarı ötelenirse oluşan fonksiyon nedir? Tepe noktası nedir?

Yansıma $- f (x)$ , sonra $+ 5$ . Sıraya dikkat: önce yansıt, sonra ötele.

$x$ eksenine yansıma: $y = - x^{2}$ .
$5$ birim yukarı: $y = - x^{2} + 5$ .
Tepe $(0, 0) \to (0, 5)$ ; kollar aşağı.

Sonuç:

y = - x^{2} + 5

; tepe

(0, 5)

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ grafiği $4$ birim yukarı ötelenirse yeni fonksiyon nedir?

Yukarı öteleme: $+ 4$ . Yeni fonksiyon $y = x^{2} + 4$ .

Sonuç:

y = x^{2} + 4

Örnek

Soru

$f (x) = ∣ x ∣$ grafiği $5$ birim sağa ötelenirse fonksiyon nasıl yazılır?

Sağa öteleme: $x \to x - 5$ . Yeni fonksiyon $y = ∣ x - 5∣$ .

Sonuç:

y = ∣ x - 5∣

Örnek

Soru

$y = (x - 3)^{2} + 2$ parabolünün tepe noktası nedir?

$h = 3$ (sağa), $k = 2$ (yukarı). Tepe $(3, 2)$ .

Sonuç:

(3, 2)

Örnek

Soru

$f (x) = x^{3}$ olsun. $y = f (- x)$ fonksiyonunu açık yaz.

$f (- x) = (- x)^{3} = - x^{3}$ .

Sonuç:

y = - x^{3}

Örnek

Soru

$f (x) = x$ grafiği $2$ birim sola ötelenirse fonksiyon nasıl yazılır?

Sola öteleme: $x \to x + 2$ . Yeni fonksiyon $y = x + 2$ .

Sonuç:

y = x + 2

Örnek

Soru

$y = ∣ x + 2∣ - 3$ grafiği, $y = ∣ x ∣$ temel grafiğinden hangi ötelemelerle elde edilir ve tepesi nereye gider?

$∣ x + 2∣ = ∣ x - (- 2) ∣$ : $h = - 2$ (sola), $k = - 3$ (aşağı).

$x \to x + 2$ : $2$ birim sola.
$- 3$ : $3$ birim aşağı.
Tepe $(0, 0) \to (- 2, - 3)$ .

Sonuç:

2

birim sola,

3

birim aşağı; tepe

(- 2, - 3)

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2}$ grafiği önce $y$ eksenine göre yansıtılıyor, sonra $3$ birim sağa öteleniyor. Oluşan fonksiyon nedir?

$y = x^{2}$ için $f (- x) = x^{2}$ (çift fonksiyon, değişmez); sonra $x \to x - 3$ .

$y$ eksenine yansıma: $f (- x) = (- x)^{2} = x^{2}$ (parabol $y$ eksenine göre zaten simetrik, değişmez).
$3$ birim sağa: $x \to x - 3 \Rightarrow y = (x - 3)^{2}$ .

Sonuç:

y = (x - 3)^{2}

Örnek

Soru

$f (x) = x^{2} + 4 x + 1$ olsun. $y = f (x) - 5$ fonksiyonunu tepe biçiminde yaz ve tepe noktasını bul.

Önce $f (x)$ 'i tam kareye tamamla: $x^{2} + 4 x + 1 = (x + 2)^{2} - 3$ . Sonra $- 5$ uygula.

Tam kareye tamamla: $x^{2} + 4 x + 1 = (x + 2)^{2} - 4 + 1 = (x + 2)^{2} - 3$ .
$- 5$ dikey öteleme: $y = (x + 2)^{2} - 3 - 5 = (x + 2)^{2} - 8$ .
Tepe $(- 2, - 8)$ .

Sonuç:

y = (x + 2)^{2} - 8

; tepe

(- 2, - 8)

Örnek

Soru

Bir $f$ fonksiyonunun grafiği $A (2, 5)$ noktasından geçiyor. $g (x) = f (x - 1) + 3$ grafiği hangi noktadan geçer?

$f (x - 1) + 3$ grafiği, $f$ 'i $1$ birim sağa ve $3$ birim yukarı öteler; $A$ noktası da aynı şekilde taşınır.

$g (x) = f (x - 1) + 3$ : $1$ birim sağa, $3$ birim yukarı öteleme.
$A (2, 5)$ noktası $(2 + 1, 5 + 3) = (3, 8)$ noktasına taşınır.

Sonuç:

(3, 8)

Sık Yapılan Hatalar

Yatay öteleme yönünü ters almak. $f (x - h)$ grafiği $h > 0$ için sağa gider; $f (x + 2)$ sağa değil, sola ötelemedir.
$- f (x)$ ile $f (- x)$ 'i karıştırmak. $- f (x)$ → $x$ eksenine yansıma (yukarı–aşağı); $f (- x)$ → $y$ eksenine yansıma (sağ–sol).
Dikey ötelemeyi yataya, yatayı dikeye yazmak. Fonksiyonun dışına eklenen sabit ( $+ k$ ) dikeyi; içine ( $x - h$ ) yatayı etkiler.
Birleşik dönüşümde sırayı gözardı etmek. "Önce yansıt sonra ötele" ile "önce ötele sonra yansıt" farklı sonuç verebilir; adımları sırayla uygula.

Not: Tek bir ana grafiği ( $y = x^{2}$ , $y = ∣ x ∣$ , $y = x$ , $y = \frac{1}{x}$ ) ezbere bil; gerisi dört kuralla çıkar: $+ k$ dikey öteleme, $x - h$ yatay öteleme, $- f (x)$ / $f (- x)$ yansıma, $a f (x)$ gerilme. Dönüşümleri önemli bir noktanın (tepe, başlangıç) nasıl taşındığına bakarak doğrula.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

f (x) = ∣ x ∣

grafiği

4

birim sola ve

2

birim aşağı ötelenirse elde edilen fonksiyon ve yeni tepe noktası aşağıdakilerden hangisidir?

Sola öteleme için işaret terstir: $4$ birim sola $\Rightarrow x \to x + 4$ , yani $∣ x + 4∣$ .
Aşağı öteleme için dışarıya sabit çıkarılır: $2$ birim aşağı $\Rightarrow - 2$ .
Yeni fonksiyon $y = ∣ x + 4∣ - 2$ olur.
Tepe $(0, 0)$ , $4$ birim sola ve $2$ birim aşağı taşınır: $(0 - 4, 0 - 2) = (- 4, - 2)$ .

Sonuç:

y = ∣ x + 4∣ - 2

; tepe

(- 4, - 2)

Soru 2Kolay

f (x) = x

olsun.

g (x) = x + 3 - 1

grafiği,

f

grafiğinden hangi ötelemelerle elde edilir ve başlangıç noktası nereye gider?

$x + 3 = x - (- 3)$ olduğundan $h = - 3$ ; $h < 0$ için grafik $3$ birim sola ötelenir.
Dışarıdaki $- 1$ sabiti dikey ötelemedir: $1$ birim aşağı.
$x$ grafiğinin başlangıç noktası $(0, 0)$ 'dır.
Bu nokta $3$ birim sola ve $1$ birim aşağı taşınır: $(0 - 3, 0 - 1) = (- 3, - 1)$ .

Sonuç:

3

birim sola,

1

birim aşağı; başlangıç

(- 3, - 1)

Soru 3Orta

f (x) = x^{2} - 4 x

olsun.

x

eksenine göre yansıması olan

y = - f (x)

fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

$x$ eksenine göre yansıma $y = - f (x)$ demektir; tüm fonksiyon $- 1$ ile çarpılır.
$- f (x) = - (x^{2} - 4 x)$ .
Parantez dağıtılır: $- x^{2} + 4 x$ .
Not: $f (- x)$ (y eksenine yansıma) olsaydı $(- x)^{2} - 4 (- x) = x^{2} + 4 x$ elde edilirdi; burada istenen $- f (x)$ 'tir.

Sonuç:

y = - x^{2} + 4 x

Soru 4Orta

f (x) = x^{2} + 6 x + 5

olsun.

y = f (x) + 2

fonksiyonunun tepe (kare) biçimi ve tepe noktası aşağıdakilerden hangisidir?

Önce $f (x)$ tam kareye tamamlanır: $x^{2} + 6 x + 5 = (x + 3)^{2} - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4$ .
$+ 2$ dikey öteleme uygulanır: $y = (x + 3)^{2} - 4 + 2 = (x + 3)^{2} - 2$ .
Tepe biçiminden $h = - 3$ , $k = - 2$ okunur.
Tepe noktası $(- 3, - 2)$ 'dir.

Sonuç:

y = (x + 3)^{2} - 2

; tepe

(- 3, - 2)

Soru 5Orta

Bir

f

fonksiyonunun grafiği

A (- 1, 4)

noktasından geçmektedir.

g (x) = f (x + 2) - 5

grafiği aşağıdaki noktalardan hangisinden geçer?

$f (x + 2) = f (x - (- 2))$ olduğundan grafik $2$ birim sola ötelenir.
Dışarıdaki $- 5$ sabiti grafiği $5$ birim aşağı öteler.
$A (- 1, 4)$ noktası aynı öteleme ile taşınır: apsis $- 1 - 2 = - 3$ , ordinat $4 - 5 = - 1$ .
Yeni nokta $(- 3, - 1)$ olur.

Sonuç:

(- 3, - 1)

Soru 6Zor

y = x^{2}

grafiği sırasıyla önce

x

eksenine göre yansıtılıyor, sonra dikeyde

2

katına geriliyor, en son

3

birim yukarı öteleniyor. Oluşan fonksiyonun

x = 1

için değeri kaçtır?

$x$ eksenine yansıma: $y = - x^{2}$ .
Dikeyde $2$ katına gerilme, tüm fonksiyonu $2$ ile çarpar: $y = - 2 x^{2}$ .
$3$ birim yukarı öteleme: $y = - 2 x^{2} + 3$ .
$x = 1$ için: $y = - 2 \cdot 1^{2} + 3 = - 2 + 3 = 1$ .

Sonuç:

1

0/6 soru cevaplandı

1. Dikey Öteleme: f(x)+k

2. Yatay Öteleme: f(x−h)

3. Birleşik Öteleme: f(x−h)+k

4. Yansımalar: −f(x) ve f(−x)

5. Dikey Gerilme ve Sıkışma: af(x)

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Fonksiyonlarda İşlemler — diğer konular

1. Dikey Öteleme: $f (x) + k$

2. Yatay Öteleme: $f (x - h)$

3. Birleşik Öteleme: $f (x - h) + k$

4. Yansımalar: $- f (x)$ ve $f (- x)$

5. Dikey Gerilme ve Sıkışma: $a f (x)$