AYT Matematik · Analitik Geometri

Doğrunun Analitik İncelenmesi

~10 dk okumaZorluk: Zor7 çözümlü soruAYT'de ~10 soru/yıl · Sınavda çok yüksek ağırlık

Analitik geometri, doğruları sayılarla konuşturur: bir doğruyu eğimi ve bir noktasıyla tam olarak tanımlayabilir, iki doğrunun paralel mi dik mi olduğunu eğimlerine bakarak söyleyebilir, noktalar ve doğrular arasındaki uzaklıkları formülle hesaplayabiliriz. Bu konu, AYT'de hem tek başına hem de fonksiyon ve çember sorularının içinde sürekli karşımıza çıkan zemini kurar.

1. Eğim ve Doğru Denklemi

Bir doğru üzerindeki farklı $A (x_{1}, y_{1})$ ve $B (x_{2}, y_{2})$ noktaları için eğim, dikey değişimin yatay değişime oranıdır:

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x_{1} \neq = x_{2})$

Eğim doğrunun ne kadar "dik" gittiğini ölçer: $m > 0$ ise doğru yükselir, $m < 0$ ise alçalır, $m = 0$ ise yataydır. Düşey doğrularda ise eğim tanımsızdır (payda sıfır olur).

Bir doğrunun denklemini iki temel biçimde yazarız:

Biçim	Denklem	Ne zaman kullanılır
Eğim–kesişim	$y = m x + n$	Eğim $m$ ve $y$ eksenini kestiği $n$ biliniyorsa
Nokta–eğim	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$	Bir nokta $(x_{1}, y_{1})$ ve eğim $m$ biliniyorsa

Şekil 1 —

A (1, 2)

B (4, 8)

noktalarından geçen doğru. Kesik çizgili eğim üçgeni

Δ x = 3

Δ y = 6

olduğunu, dolayısıyla eğimin

m = \frac{6}{3} = 2

olduğunu gösterir.

2. Paralel ve Dik Doğrular

İki doğrunun birbirine göre konumu, eğimleri arasındaki ilişkiyle belirlenir:

$Paralel: m_{1} = m_{2} Dik: m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

Dik doğrularda eğimlerden biri diğerinin negatif tersidir: $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ .

3. Uzaklık Formülleri

İki nokta arası uzaklık, Pisagor teoreminin doğrudan sonucudur:

$∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

Nokta–doğru uzaklığı: $a x + b y + c = 0$ doğrusu ile $P (x_{0}, y_{0})$ noktası arasındaki en kısa (dik) uzaklık:

$d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$

Paydadaki $a^{2} + b^{2}$ , doğrunun normal vektörünün boyudur; paydaki mutlak değer ise uzaklığın daima pozitif çıkmasını sağlar.

4. Öğretici Örnekler

Örnek

Soru

$A (1, 2)$ ve $B (4, 8)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

Eğim formülünü yaz: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Değerleri yerleştir: $m = \frac{8 - 2}{4 - 1} = \frac{6}{3}$ .
Sadeleştir: $m = 2$ .

Sonuç:

m = 2

Örnek

Soru

$A (0, 1)$ noktasından geçen ve eğimi $2$ olan doğrunun denklemini yazınız.

Nokta–eğim biçimini kullan: $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ .
$m = 2$ , $(x_{1}, y_{1}) = (0, 1)$ yerleştir: $y - 1 = 2 (x - 0)$ .
Düzenle: $y = 2 x + 1$ .

Sonuç:

y = 2 x + 1

Örnek

Soru

$y = 2 x + 1$ doğrusuna paralel olan ve $(0, 3)$ noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Paralel doğruların eğimleri eşittir: $m = 2$ .
$(0, 3)$ noktası $y$ eksenini kestiği yer olduğundan $n = 3$ .
Eğim–kesişim biçimi: $y = 2 x + 3$ .

Sonuç:

y = 2 x + 3

Örnek

Soru

$y = 2 x + 1$ doğrusuna dik olan bir doğrunun eğimi kaçtır?

Dik doğrularda $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .
$m_{1} = 2$ olduğundan $2 \cdot m_{2} = - 1$ .
Çöz: $m_{2} = - \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

m_{2} = - \frac{1}{2}

Örnek

Soru

$A (1, 2)$ ve $B (4, 6)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Uzaklık formülünü yaz: $∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ .
Farkları hesapla: $x_{2} - x_{1} = 3$ , $y_{2} - y_{1} = 4$ .
Yerleştir: $∣ A B ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Sonuç:

∣ A B ∣ = 5

Örnek

Soru

$3 x + 4 y - 10 = 0$ doğrusunun $P (1, 2)$ noktasına uzaklığını bulunuz.

Nokta–doğru uzaklığı formülünü yaz: $d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
Katsayıları belirle: $a = 3$ , $b = 4$ , $c = - 10$ ; nokta $(x_{0}, y_{0}) = (1, 2)$ .
Payı hesapla: $∣ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 10 ∣ = ∣ 3 + 8 - 10 ∣ = ∣ 1 ∣ = 1$ .
Paydayı hesapla: $3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ .
Böl: $d = \frac{1}{5}$ .

Sonuç:

d = \frac{1}{5}

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$A (- 2, 5)$ ve $B (2, - 3)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

Eğim formülünde işaretlere dikkat et: negatif değerleri çıkarırken işaret değişir.

Eğim formülü: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
Yerleştir: $m = \frac{- 3 - 5}{2 - ( - 2 )} = \frac{- 8}{4}$ .
Sadeleştir: $m = - 2$ .

Sonuç:

m = - 2

Örnek

Soru

$A (2, 1)$ ve $B (5, 7)$ noktalarından geçen doğrunun denklemini $y = m x + n$ biçiminde yazınız.

Önce iki noktadan eğimi bul, sonra nokta–eğim biçimini kullanıp $y = m x + n$ hâline getir.

Eğimi bul: $m = \frac{7 - 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2$ .
Nokta–eğim biçimi ( $A (2, 1)$ ile): $y - 1 = 2 (x - 2)$ .
Düzenle: $y - 1 = 2 x - 4 \Rightarrow y = 2 x - 3$ .

Sonuç:

y = 2 x - 3

Örnek

Soru

$2 x - y + 3 = 0$ doğrusuna dik olan ve $(4, 1)$ noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Önce verilen doğruyu $y = m x + n$ biçimine getirip eğimini oku; dik doğrunun eğimi bunun negatif tersidir.

Verilen doğruyu çöz: $2 x - y + 3 = 0 \Rightarrow y = 2 x + 3$ , yani $m_{1} = 2$ .
Dik doğrunun eğimi negatif terstir: $m_{2} = - \frac{1}{2}$ .
Nokta–eğim biçimi ( $(4, 1)$ ile): $y - 1 = - \frac{1}{2} (x - 4)$ .
Düzenle: $y - 1 = - \frac{1}{2} x + 2 \Rightarrow y = - \frac{1}{2} x + 3$ .

Sonuç:

y = - \frac{1}{2} x + 3

Örnek

Soru

$A (- 1, 2)$ ve $B (2, 6)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Farkları kareye alırken işaretten bağımsız olarak sonuç pozitif çıkar; acele edip kareyi unutma.

Uzaklık formülü: $∣ A B ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$ .
Farklar: $x_{2} - x_{1} = 2 - (- 1) = 3$ , $y_{2} - y_{1} = 6 - 2 = 4$ .
Yerleştir: $∣ A B ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5$ .

Sonuç:

∣ A B ∣ = 5

Örnek

Soru

$5 x - 12 y + 26 = 0$ doğrusunun orijine ( $O (0, 0)$ ) uzaklığını bulunuz.

Orijinde $x_{0} = y_{0} = 0$ olduğundan formülün payında yalnızca $c$ sabiti kalır.

Formülü yaz: $d = \frac{∣ a x _{0} + b y _{0} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}$ .
$a = 5$ , $b = - 12$ , $c = 26$ ve $(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)$ yerleştir: pay $= ∣ 5 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 26 ∣ = 26$ .
Paydayı hesapla: $5^{2} + (- 12)^{2} = 25 + 144 = 169 = 13$ .
Böl: $d = \frac{26}{13} = 2$ .

Sonuç:

d = 2

Örnek

Soru

$3 x - 4 y + 12 = 0$ doğrusunun $x$ ekseni ve $y$ ekseni ile kesişim noktalarını bulunuz.

$x$ eksenini kestiği yerde $y = 0$ , $y$ eksenini kestiği yerde $x = 0$ olur.

$x$ kesişimi için $y = 0$ koy: $3 x + 12 = 0 \Rightarrow x = - 4$ . Nokta: $(- 4, 0)$ .
$y$ kesişimi için $x = 0$ koy: $- 4 y + 12 = 0 \Rightarrow y = 3$ . Nokta: $(0, 3)$ .
Doğru $x$ eksenini $(- 4, 0)$ , $y$ eksenini $(0, 3)$ noktasında keser.

Sonuç:

x

kesişimi

(- 4, 0)

y

kesişimi

(0, 3)

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

İki nokta arası uzaklık ve orta nokta: Karekök almayı unutup uzaklığın karesini bırakmak doğru cevabın karesi (10 yerine 100)
Eğim (iki noktadan veya eğim açısından): Oranı ters kurmak: Δx/Δy doğru eğimin çarpmaya göre tersi (2 yerine 1/2)
Doğru denklemi yazma (nokta-eğim / iki nokta / eksen kesim): Nokta-eğim kalıbında x₀'ın işaretini ters yazmak sabiti kaymış yanlış denklem (n=−1 yerine n=7)
Paralellik ve diklik koşulları: Diklik koşulunu m₁⋅m₂=1 sanmak işareti ters bilinmeyen (a=3 yerine a=−1)
Noktanın doğruya uzaklığı: Paydada karekök almayıp a²+b² ile bölmek doğru cevabın 1/√(a²+b²) katı (2 yerine 2/5)
İki doğrunun kesişimi ve üçgen alanı: Yükseklik olarak kesişim noktasının ordinatı yerine apsisini almak yanlış yükseklikle yarıya inen alan (12 yerine 6)

Soru 1Orta

4 x - 3 y + 5 = 0

doğrusuna dik olan ve

A (2, 1)

noktasından geçen

d

doğrusu çiziliyor. Buna göre

d

doğrusunun orijine uzaklığı kaçtır?

Verilen doğrunun eğimi: $4 x - 3 y + 5 = 0 \Rightarrow m_{1} = - \frac{a}{b} = - \frac{4}{- 3} = \frac{4}{3}$ .
$d$ buna dik olduğundan eğimi negatif terstir: $m_{2} = - \frac{3}{4}$ .
$A (2, 1)$ noktasından nokta–eğim biçimi: $y - 1 = - \frac{3}{4} (x - 2)$ .
Düzenle: $4 y - 4 = - 3 x + 6 \Rightarrow 3 x + 4 y - 10 = 0$ .
Orijinin bu doğruya uzaklığı: $d = \frac{∣ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 10 ∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}} = \frac{10}{5} = 2$ .

Sonuç:

2

Soru 2Orta

Köşeleri

A (1, 1)

B (5, 1)

C (3, 6)

olan bir üçgen koordinat düzleminde veriliyor. Buna göre

A B C

üçgeninin alanı kaç birim karedir?

Koordinatlarla üçgen alanı formülü: $S = \frac{1}{2} ∣ x_{A} (y_{B} - y_{C}) + x_{B} (y_{C} - y_{A}) + x_{C} (y_{A} - y_{B})∣$ .
Değerleri yerleştir: $S = \frac{1}{2} ∣ 1 (1 - 6) + 5 (6 - 1) + 3 (1 - 1)∣$ .
Hesapla: $S = \frac{1}{2} ∣ - 5 + 25 + 0 ∣ = \frac{1}{2} \cdot 20$ .
Sonuç: $S = 10$ .

Sonuç:

10

Soru 3Orta

(k - 1) x + 3 y - 7 = 0

doğrusu,

2 x + y + 4 = 0

doğrusuna paraleldir. Buna göre

k

kaçtır?

$a x + b y + c = 0$ biçiminde eğim $m = - \frac{a}{b}$ 'dir.
Birinci doğrunun eğimi: $m_{1} = - \frac{k - 1}{3}$ .
İkinci doğrunun eğimi: $m_{2} = - \frac{2}{1} = - 2$ .
Paralellik koşulu $m_{1} = m_{2}$ : $- \frac{k - 1}{3} = - 2 \Rightarrow k - 1 = 6$ .
Çöz: $k = 7$ .

Sonuç:

7

Soru 4Orta

Bir

d

doğrusu

A (0, 6)

B (8, 0)

noktalarından geçmektedir. Orijinden

d

doğrusuna inilen dikmenin ayağı

H

noktasıdır. Buna göre

∣ O H ∣

kaç birimdir?

$d$ doğrusunun denklemi (eksenleri kesim biçiminden): $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1$ .
Paydaları eşitle ( $24$ ile çarp): $3 x + 4 y = 24$ , yani $3 x + 4 y - 24 = 0$ .
$∣ O H ∣$ , orijinin bu doğruya uzaklığıdır: $∣ O H ∣ = \frac{∣ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 0 - 24 ∣}{3 ^{2} + 4 ^{2}}$ .
Hesapla: $∣ O H ∣ = \frac{24}{25} = \frac{24}{5}$ .

Sonuç:

\frac{24}{5}

Soru 5Orta

d_{1} : 3 x - 4 y + 12 = 0

d_{2} : 3 x - 4 y - 8 = 0

doğruları birbirine paraleldir. Buna göre

d_{1}

ile

d_{2}

arasındaki uzaklık kaç birimdir?

Paralel doğrular arası uzaklık için $d_{1}$ üzerinde bir nokta seç. $x = 0$ alırsak $- 4 y + 12 = 0 \Rightarrow y = 3$ , yani $P (0, 3) \in d_{1}$ .
Bu noktanın $d_{2} : 3 x - 4 y - 8 = 0$ doğrusuna uzaklığını al: $d = \frac{∣ 3 \cdot 0 - 4 \cdot 3 - 8 ∣}{3 ^{2} + ( - 4 ) ^{2}}$ .
Payı hesapla: $∣ 0 - 12 - 8 ∣ = ∣ - 20 ∣ = 20$ .
Böl: $d = \frac{20}{5} = 4$ .

Sonuç:

4

Soru 6Zor

A (- 1, 4)

B (5, - 2)

noktaları veriliyor.

[A B]

doğru parçasının orta dikmesi (orta noktasından geçip

[A B]

'ye dik olan doğru)

y

eksenini hangi noktada keser?

Orta nokta: $M = (\frac{- 1 + 5}{2}, \frac{4 + ( - 2 )}{2}) = (2, 1)$ .
$[A B]$ eğimi: $m_{A B} = \frac{- 2 - 4}{5 - ( - 1 )} = \frac{- 6}{6} = - 1$ .
Orta dikmenin eğimi negatif terstir: $m = - \frac{1}{- 1} = 1$ .
$M (2, 1)$ 'den geçen orta dikme: $y - 1 = 1 \cdot (x - 2) \Rightarrow y = x - 1$ .
$y$ eksenini kestiği yerde $x = 0$ : $y = - 1$ , yani nokta $(0, - 1)$ .

Sonuç:

(0, - 1)

Soru 7Zor

Eğimi

- 2

olan bir

d

doğrusu, koordinat eksenleriyle birlikte alanı

9

birim kare olan bir üçgen oluşturmaktadır.

d

doğrusunun

y

eksenini pozitif yarıda kestiği bilindiğine göre,

d

doğrusunun

y

eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?

Doğruyu $y = - 2 x + n$ biçiminde yaz ( $n > 0$ veriliyor).
$y$ kesişimi $(0, n)$ ; $x$ kesişimi için $0 = - 2 x + n \Rightarrow x = \frac{n}{2}$ , yani $(\frac{n}{2}, 0)$ .
Eksenlerle oluşan dik üçgenin alanı: $S = \frac{1}{2} \cdot \frac{n}{2} \cdot ∣ n ∣ = \frac{n ^{2}}{4}$ .
$\frac{n ^{2}}{4} = 9 \Rightarrow n^{2} = 36 \Rightarrow n = 6$ (pozitif kök seçilir).

Sonuç:

6

0/7 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Dik doğrunun eğimini $- m$ sanmak. Dik doğrunun eğimi $- m$ değil, negatif tersi $- \frac{1}{m}$ 'dir. Örneğin $m = 2$ ise dik doğrunun eğimi $- 2$ değil $- \frac{1}{2}$ 'dir.
Nokta–doğru uzaklığı formülünde mutlak değeri unutmak. Pay $a x_{0} + b y_{0} + c$ negatif çıkabilir; mutlak değer alınmazsa uzaklık yanlışlıkla negatif bulunur. Uzaklık daima $\geq 0$ olmalıdır.
Eğim formülünde pay ile paydayı ters yazmak. Eğim $\frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ 'dir; $\frac{x _{2} - x _{1}}{y _{2} - y _{1}}$ değil. Ayrıca pay ve paydada noktaları aynı sırayla kullanmaya dikkat et.

Sınav İpucu

Doğru denklemi $a x + b y + c = 0$ biçiminde verildiğinde eğim doğrudan $m = - \frac{a}{b}$ formülüyle okunabilir. Bu, denklemi her seferinde $y = m x + n$ hâline çevirmekten daha hızlıdır. Paralellik/diklik sorularında bu kısayol çok zaman kazandırır: örneğin $3 x + 4 y - 10 = 0$ doğrusunun eğimi anında $- \frac{3}{4}$ olarak bulunur.

1. Eğim ve Doğru Denklemi

2. Paralel ve Dik Doğrular

3. Uzaklık Formülleri

4. Öğretici Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Analitik Geometri — diğer konular