çözümebak

AYT Matematik · İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol

Parabol

~10 dk okumaZorluk: Zor20 çözümlü soru

Parabol, ikinci dereceden bir fonksiyonun (y=ax^{2}+bx+c, a\ne 0) grafiğidir. Bu konu, parabolün kollarının yönünü, tepe noktasını, simetri eksenini ve eksen kesişimlerini tek bir çatı altında toplar. Bu dört büyüklüğü doğru hesaplayabilen biri, parabolle ilgili hemen her soruyu kısa yoldan çözebilir.

1. Genel Denklem ve Kolların Yönü

İkinci dereceden fonksiyon y=ax^{2}+bx+c biçimindedir ve a\ne 0 olmak zorundadır (aksi hâlde doğru elde edilir). Grafiği bir paraboldür ve kolların yönünü baş katsayı a belirler:

DurumKolların yönüTepe noktası
a > 0yukarıen küçük nokta (minimum)
a < 0aşağıen büyük nokta (maksimum)

Yani a>0 iken parabol en küçük değerini, a<0 iken en büyük değerini tepe noktasında alır.

2. Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Parabolün dönüm yaptığı nokta tepe noktasıdır. Apsisi her zaman şu formülle bulunur:

x_{T}=-\dfrac{b}{2a}

Tepe noktasının ordinatı, bu apsisi fonksiyonda yerine koyarak elde edilir. Böylece tepe noktası:

T\left(-\dfrac{b}{2a},\ f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)

Parabol bu noktadan geçen dikey doğruya göre simetriktir. Bu doğruya simetri ekseni denir:

x=-\dfrac{b}{2a}

Fonksiyonun en küçük / en büyük değeri, tepe noktasının y değerine (f\!\left(-\dfrac{b}{2a}\right)) eşittir.

3. Eksen Kesişimleri

xy13(0,3)T(2, −1)x = 2
Şekil 1 — y=x^{2}-4x+3 parabolü. a>0 olduğundan kollar yukarıdadır. Tepe noktası T(2,-1), simetri ekseni kesik çizgiyle gösterilen x=2 doğrusudur. Parabol x eksenini x=1 ve x=3 köklerinde, y eksenini (0,3) noktasında keser.

4. Örneklerle Pekiştirme

Örnek
Soru

y=x^{2}-4x+3 parabolünün tepe noktasını bulunuz.

  1. Apsisi bul: a=1,\ b=-4 olduğundan x_{T}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}=2.
  2. Ordinatı bul: y_{T}=2^{2}-4\cdot 2+3=4-8+3=-1.
Sonuç: T(2,-1)
Örnek
Soru

y=x^{2}-4x+3 parabolünün x eksenini kestiği noktaları (köklerini) bulunuz.

  1. y=0 yaz: x^{2}-4x+3=0.
  2. Çarpanlara ayır: (x-1)(x-3)=0.
  3. Kökleri oku: x=1 veya x=3.
Sonuç: Parabol x eksenini x=1 ve x=3 noktalarında keser.
Örnek
Soru

y=-x^{2}+2x+3 parabolünün tepe noktasını ve en büyük değerini bulunuz.

  1. Burada a=-1<0 olduğundan kollar aşağıdır; tepe noktası en büyük noktadır.
  2. Apsis: x_{T}=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{2}{2\cdot(-1)}=1.
  3. Ordinat: y_{T}=-(1)^{2}+2\cdot 1+3=-1+2+3=4.
Sonuç: Tepe noktası T(1,4); en büyük değer 4.
Örnek
Soru

y=x^{2}-6x+5 parabolünün simetri ekseninin denklemini bulunuz.

  1. Simetri ekseni x=-\dfrac{b}{2a} doğrusudur.
  2. a=1,\ b=-6 koy: x=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=3.
Sonuç: Simetri ekseni x=3 doğrusudur.
Örnek
Soru

y=x^{2}-4x+3 parabolünün y eksenini kestiği noktayı bulunuz.

  1. y ekseni üzerinde x=0'dır.
  2. x=0 koy: y=0^{2}-4\cdot 0+3=3. Bu, c sabitine eşittir.
Sonuç: Parabol y eksenini (0,3) noktasında keser.

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

y=x^{2}+2x-8 parabolünün tepe noktasını bulunuz.

Önce x_{T}=-\dfrac{b}{2a} ile apsisi bul; bulduğun değeri fonksiyonda yerine koyarak ordinatı hesapla.

  1. Katsayılar: a=1,\ b=2,\ c=-8.
  2. Apsis: x_{T}=-\dfrac{2}{2\cdot 1}=-1.
  3. Ordinat: y_{T}=(-1)^{2}+2\cdot(-1)-8=1-2-8=-9.
Sonuç: T(-1,-9)
Örnek
Soru

y=2x^{2}-8x+6 parabolünün x eksenini kestiği noktaları bulunuz.

y=0 koyup ikinci dereceden denklemi çöz. Önce tüm terimleri ortak bir çarpana bölmek kökleri kolaylaştırır.

  1. y=0 yaz: 2x^{2}-8x+6=0.
  2. Her terimi 2'ye böl: x^{2}-4x+3=0.
  3. Çarpanlara ayır: (x-1)(x-3)=0, buradan x=1 veya x=3.
Sonuç: Parabol x eksenini x=1 ve x=3 noktalarında keser.
Örnek
Soru

y=2x^{2}-8x+6 fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.

a>0 olduğundan en küçük değer tepe noktasının y değeridir. Önce x_{T}'yi bul.

  1. a=2>0 olduğundan tepe noktası minimumdur.
  2. Apsis: x_{T}=-\dfrac{-8}{2\cdot 2}=2.
  3. En küçük değer: y_{T}=2\cdot 2^{2}-8\cdot 2+6=8-16+6=-2.
Sonuç: En küçük değer -2 (tepe noktası (2,-2)).
Örnek
Soru

y=-2x^{2}+4x+1 fonksiyonunun en büyük değerini bulunuz.

a<0 olduğundan kollar aşağıdadır ve fonksiyonun bir en büyük değeri vardır; bu değer tepe noktasının ordinatıdır.

  1. a=-2<0 olduğundan tepe noktası maksimumdur.
  2. Apsis: x_{T}=-\dfrac{4}{2\cdot(-2)}=1.
  3. En büyük değer: y_{T}=-2\cdot 1^{2}+4\cdot 1+1=-2+4+1=3.
Sonuç: En büyük değer 3 (tepe noktası (1,3)).
Örnek
Soru

y=x^{2}-8x+12 parabolünün simetri ekseninin denklemini bulunuz.

Simetri ekseni x=-\dfrac{b}{2a} dikey doğrusudur. İşareti unutma: b=-8.

  1. Katsayılar: a=1,\ b=-8.
  2. Simetri ekseni: x=-\dfrac{-8}{2\cdot 1}=4.
Sonuç: Simetri ekseni x=4 doğrusudur.
Örnek
Soru

Tepe noktası T(1,-4) olan ve (3,0) noktasından geçen parabolün denklemini y=ax^{2}+bx+c biçiminde yazınız.

Tepe noktası verildiğinde tepe biçimini kullan: y=a(x-r)^{2}+k, burada T(r,k) tepe noktasıdır. Geçtiği noktayla a'yı bul.

  1. Tepe biçimini yaz: T(1,-4) için y=a(x-1)^{2}-4.
  2. (3,0) noktasını yerine koy: 0=a(3-1)^{2}-4=4a-4, buradan a=1.
  3. Aç ve düzenle: y=(x-1)^{2}-4=x^{2}-2x+1-4=x^{2}-2x-3.
Sonuç: y=x^{2}-2x-3
Örnek
Soru

y=x^{2}-2x-3 parabolü ile y=x+1 doğrusunun kesim noktalarının apsislerini bulunuz.

Kesim noktalarında y değerleri eşittir. İki ifadeyi eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.

  1. y'leri eşitle: x^{2}-2x-3=x+1.

  2. Bir tarafa topla: x^{2}-3x-4=0.

  3. Çarpanlara ayır: (x-4)(x+1)=0 \Rightarrow x=4 veya x=-1.

Sonuç: Kesim noktalarının apsisleri x=-1 ve x=4.
Örnek
Soru

y=x^{2}-6x+k parabolü x eksenine teğet ise k kaçtır?

Parabolün x eksenine teğet olması, x eksenini tek noktada (çift kök) kesmesi demektir. Bu da \Delta=0 koşuludur.

  1. Teğetlik için \Delta=0 olmalı.

  2. \Delta=(-6)^{2}-4\cdot 1\cdot k=36-4k.

  3. 36-4k=0 \Rightarrow k=9.

Sonuç: k=9.
Örnek
Soru

y=ax^{2}+bx+c parabolünün tepe noktası T(3,2) ve a=2'dir. Bu parabolün y eksenini kestiği noktanın ordinatını bulunuz.

Tepe biçimi y=a(x-r)^{2}+k ile dene. y eksenini kesim için x=0 koy.

  1. Tepe biçimi: y=2(x-3)^{2}+2.

  2. y ekseni için x=0: y=2(0-3)^{2}+2=2\cdot 9+2=20.

Sonuç: y eksenini (0,20) noktasında keser; ordinat 20.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Tepe noktası T(2,-3) olan ve (0,1) noktasından geçen parabolün denklemi y=ax^{2}+bx+c biçiminde yazılıyor.

Buna göre a+b+c toplamı kaçtır?

A) -4 · B) -3 · C) -2 · D) 0 · E) 2

  1. Tepe noktası verildiğinden tepe biçimini yaz: y=a(x-2)^{2}-3.
  2. (0,1) noktasını yerine koy: 1=a(0-2)^{2}-3=4a-3, buradan a=1.
  3. Aç: y=(x-2)^{2}-3=x^{2}-4x+4-3=x^{2}-4x+1. Böylece a=1,\ b=-4,\ c=1.
  4. Topla: a+b+c=1+(-4)+1=-2.
Sonuç: C) -2
Örnek
Soru

f(x)=x^{2}-6x+m fonksiyonunun en küçük değeri -4'tür. Bu fonksiyonun grafiği olan parabol, x eksenini x_{1} ve x_{2} apsisli noktalarda kesmektedir.

Buna göre x_{1}\cdot x_{2} çarpımı kaçtır?

A) 3 · B) 5 · C) 6 · D) 8 · E) 9

  1. a=1>0 olduğundan en küçük değer tepe noktasının ordinatıdır.
  2. Apsis: x_{T}=-\dfrac{-6}{2\cdot 1}=3.
  3. En küçük değeri kur: f(3)=3^{2}-6\cdot 3+m=9-18+m=m-9. Bu değer -4 olduğundan m-9=-4, yani m=5.
  4. Kökleri için x^{2}-6x+5=0 denkleminde köklerin çarpımı \dfrac{c}{a}=\dfrac{5}{1}=5'tir.
Sonuç: B) 5
Örnek
Soru

Bir parabol x eksenini x=-1 ve x=4 noktalarında, y eksenini ise (0,-8) noktasında kesmektedir.

Buna göre bu parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

A) -9 · B) -10 · C) -11 · D) -12 · E) -\dfrac{25}{2}

  1. Kökler verildiğinden çarpan biçimini yaz: y=a(x+1)(x-4).
  2. (0,-8) noktasını yerine koy: -8=a(0+1)(0-4)=-4a, buradan a=2.
  3. Tepe apsisi, köklerin ortasıdır: x_{T}=\dfrac{-1+4}{2}=\dfrac{3}{2}.
  4. Ordinat: y_{T}=2\left(\dfrac{3}{2}+1\right)\left(\dfrac{3}{2}-4\right)=2\cdot\dfrac{5}{2}\cdot\left(-\dfrac{5}{2}\right)=-\dfrac{25}{2}.
Sonuç: E) -\dfrac{25}{2}
Örnek
Soru

y=x^2-2x+5 parabolü ile y=2x+k doğrusunun tek bir ortak noktası (teğetlik) vardır.

Buna göre k kaçtır?

A) 0 · B) 1 · C) 2 · D) 3 · E) 4

Parabol ile doğruyu eşitle; oluşan ikinci dereceden denklemin tek kökü olması için \Delta=0 koşulunu kullan.

  1. Eşitle: x^2-2x+5=2x+k.

  2. Bir tarafa topla: x^2-4x+(5-k)=0.

  3. Teğetlik için \Delta=0: (-4)^2-4\cdot 1\cdot(5-k)=0 \Rightarrow 16-20+4k=0.

  4. Çöz: 4k=4 \Rightarrow k=1.

Sonuç: B) 1
Örnek
Soru

y=x^2+bx+c parabolünün tepe noktası x ekseni üzerindedir ve simetri ekseni x=4 doğrusudur.

Buna göre b+c toplamı kaçtır?

A) -8 · B) 0 · C) 8 · D) 12 · E) 16

Simetri ekseninden b'yi, tepenin x ekseninde olmasından (\Delta=0) c'yi bul.

  1. Simetri ekseni x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{b}{2}=4 \Rightarrow b=-8.

  2. Tepe x ekseni üzerinde ise parabol eksene teğettir: \Delta=b^2-4c=0 \Rightarrow (-8)^2-4c=0 \Rightarrow 64=4c \Rightarrow c=16.

  3. Toplam: b+c=-8+16=8.

Sonuç: C) 8
Örnek
Soru

f(x)=ax^2+bx+c parabolü için f(1)=f(5)=0 ve fonksiyonun en küçük değeri -8'dir.

Buna göre a kaçtır?

A) 1 · B) 2 · C) 3 · D) 4 · E) 5

Kökler 1 ve 5 verildiğinden çarpan biçimini yaz: f(x)=a(x-1)(x-5). Tepe apsisi köklerin ortasıdır; oradaki değeri -8'e eşitle.

  1. Kökler 1 ve 5 olduğundan f(x)=a(x-1)(x-5).

  2. Tepe apsisi köklerin ortası: x_T=\dfrac{1+5}{2}=3.

  3. En küçük değer tepede: f(3)=a(3-1)(3-5)=a\cdot 2\cdot(-2)=-4a.

  4. Bu değer -8: -4a=-8 \Rightarrow a=2.

Sonuç: B) 2

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Bir parabol sorusuna başlamadan önce şu üç değeri otomatik olarak yaz: baş katsayının işareti (a — kolların yönü), x_{T}=-\dfrac{b}{2a} (tepe ve simetri ekseni) ve c (y kesişimi). Tepe noktası verilip denklem isteniyorsa tepe biçimini (y=a(x-r)^{2}+k) kullan; köklerle ilgili bir soruysa \Delta=b^{2}-4ac işaretine bak. Bu refleks, çoğu parabol sorusunu tek satırda bitirir.

İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol — diğer konular