AYT Matematik · İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol

Parabol

~10 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~1.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Parabol, ikinci dereceden bir fonksiyonun ( $y = a x^{2} + b x + c$ , $a \neq = 0$ ) grafiğidir. Bu konu, parabolün kollarının yönünü, tepe noktasını, simetri eksenini ve eksen kesişimlerini tek bir çatı altında toplar. Bu dört büyüklüğü doğru hesaplayabilen biri, parabolle ilgili hemen her soruyu kısa yoldan çözebilir.

1. Genel Denklem ve Kolların Yönü

İkinci dereceden fonksiyon $y = a x^{2} + b x + c$ biçimindedir ve $a \neq = 0$ olmak zorundadır (aksi hâlde doğru elde edilir). Grafiği bir paraboldür ve kolların yönünü baş katsayı $a$ belirler:

Durum	Kolların yönü	Tepe noktası
$a > 0$	yukarı	en küçük nokta (minimum)
$a < 0$	aşağı	en büyük nokta (maksimum)

Yani $a > 0$ iken parabol en küçük değerini, $a < 0$ iken en büyük değerini tepe noktasında alır.

2. Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

Parabolün dönüm yaptığı nokta tepe noktasıdır. Apsisi her zaman şu formülle bulunur:

$x_{T} = - \frac{b}{2 a}$

Tepe noktasının ordinatı, bu apsisi fonksiyonda yerine koyarak elde edilir. Böylece tepe noktası:

$T (- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))$

Parabol bu noktadan geçen dikey doğruya göre simetriktir. Bu doğruya simetri ekseni denir:

$x = - \frac{b}{2 a}$

Fonksiyonun en küçük / en büyük değeri, tepe noktasının $y$ değerine ( $f (- \frac{b}{2 a})$ ) eşittir.

3. Eksen Kesişimleri

$y$ ekseni kesişimi: $x = 0$ koyarız, $y = c$ çıkar. Yani parabol $y$ eksenini her zaman $(0, c)$ noktasında keser.
$x$ ekseni kesişimleri: $y = 0$ denkleminin, yani $a x^{2} + b x + c = 0$ denkleminin kökleridir. Diskriminant $Δ = b^{2} - 4 a c$ olmak üzere $Δ > 0$ ise iki, $Δ = 0$ ise bir (tepe $x$ ekseni üzerinde), $Δ < 0$ ise sıfır kesişim vardır.

Şekil 1 —

y = x^{2} - 4 x + 3

parabolü.

a > 0

olduğundan kollar yukarıdadır. Tepe noktası

T (2, - 1)

, simetri ekseni kesik çizgiyle gösterilen

x = 2

doğrusudur. Parabol

x

eksenini

x = 1

x = 3

köklerinde,

y

eksenini

(0, 3)

noktasında keser.

4. Örneklerle Pekiştirme

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 4 x + 3$ parabolünün tepe noktasını bulunuz.

Apsisi bul: $a = 1, b = - 4$ olduğundan $x_{T} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2 \cdot 1} = 2$ .
Ordinatı bul: $y_{T} = 2^{2} - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1$ .

Sonuç:

T (2, - 1)

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 4 x + 3$ parabolünün $x$ eksenini kestiği noktaları (köklerini) bulunuz.

$y = 0$ yaz: $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(x - 1) (x - 3) = 0$ .
Kökleri oku: $x = 1$ veya $x = 3$ .

Sonuç: Parabol

x

eksenini

x = 1

x = 3

noktalarında keser.

Örnek

Soru

$y = - x^{2} + 2 x + 3$ parabolünün tepe noktasını ve en büyük değerini bulunuz.

Burada $a = - 1 < 0$ olduğundan kollar aşağıdır; tepe noktası en büyük noktadır.
Apsis: $x_{T} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{2}{2 \cdot ( - 1 )} = 1$ .
Ordinat: $y_{T} = - (1)^{2} + 2 \cdot 1 + 3 = - 1 + 2 + 3 = 4$ .

Sonuç: Tepe noktası

T (1, 4)

; en büyük değer

4

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 6 x + 5$ parabolünün simetri ekseninin denklemini bulunuz.

Simetri ekseni $x = - \frac{b}{2 a}$ doğrusudur.
$a = 1, b = - 6$ koy: $x = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ .

Sonuç: Simetri ekseni

x = 3

doğrusudur.

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 4 x + 3$ parabolünün $y$ eksenini kestiği noktayı bulunuz.

$y$ ekseni üzerinde $x = 0$ 'dır.
$x = 0$ koy: $y = 0^{2} - 4 \cdot 0 + 3 = 3$ . Bu, $c$ sabitine eşittir.

Sonuç: Parabol

y

eksenini

(0, 3)

noktasında keser.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$y = x^{2} + 2 x - 8$ parabolünün tepe noktasını bulunuz.

Önce $x_{T} = - \frac{b}{2 a}$ ile apsisi bul; bulduğun değeri fonksiyonda yerine koyarak ordinatı hesapla.

Katsayılar: $a = 1, b = 2, c = - 8$ .
Apsis: $x_{T} = - \frac{2}{2 \cdot 1} = - 1$ .
Ordinat: $y_{T} = (- 1)^{2} + 2 \cdot (- 1) - 8 = 1 - 2 - 8 = - 9$ .

Sonuç:

T (- 1, - 9)

Örnek

Soru

$y = 2 x^{2} - 8 x + 6$ parabolünün $x$ eksenini kestiği noktaları bulunuz.

$y = 0$ koyup ikinci dereceden denklemi çöz. Önce tüm terimleri ortak bir çarpana bölmek kökleri kolaylaştırır.

$y = 0$ yaz: $2 x^{2} - 8 x + 6 = 0$ .
Her terimi $2$ 'ye böl: $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(x - 1) (x - 3) = 0$ , buradan $x = 1$ veya $x = 3$ .

Sonuç: Parabol

x

eksenini

x = 1

x = 3

noktalarında keser.

Örnek

Soru

$y = 2 x^{2} - 8 x + 6$ fonksiyonunun en küçük değerini bulunuz.

$a > 0$ olduğundan en küçük değer tepe noktasının $y$ değeridir. Önce $x_{T}$ 'yi bul.

$a = 2 > 0$ olduğundan tepe noktası minimumdur.
Apsis: $x_{T} = - \frac{- 8}{2 \cdot 2} = 2$ .
En küçük değer: $y_{T} = 2 \cdot 2^{2} - 8 \cdot 2 + 6 = 8 - 16 + 6 = - 2$ .

Sonuç: En küçük değer

- 2

(tepe noktası

(2, - 2)

Örnek

Soru

$y = - 2 x^{2} + 4 x + 1$ fonksiyonunun en büyük değerini bulunuz.

$a < 0$ olduğundan kollar aşağıdadır ve fonksiyonun bir en büyük değeri vardır; bu değer tepe noktasının ordinatıdır.

$a = - 2 < 0$ olduğundan tepe noktası maksimumdur.
Apsis: $x_{T} = - \frac{4}{2 \cdot ( - 2 )} = 1$ .
En büyük değer: $y_{T} = - 2 \cdot 1^{2} + 4 \cdot 1 + 1 = - 2 + 4 + 1 = 3$ .

Sonuç: En büyük değer

3

(tepe noktası

(1, 3)

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 8 x + 12$ parabolünün simetri ekseninin denklemini bulunuz.

Simetri ekseni $x = - \frac{b}{2 a}$ dikey doğrusudur. İşareti unutma: $b = - 8$ .

Katsayılar: $a = 1, b = - 8$ .
Simetri ekseni: $x = - \frac{- 8}{2 \cdot 1} = 4$ .

Sonuç: Simetri ekseni

x = 4

doğrusudur.

Örnek

Soru

Tepe noktası $T (1, - 4)$ olan ve $(3, 0)$ noktasından geçen parabolün denklemini $y = a x^{2} + b x + c$ biçiminde yazınız.

Tepe noktası verildiğinde tepe biçimini kullan: $y = a (x - r)^{2} + k$ , burada $T (r, k)$ tepe noktasıdır. Geçtiği noktayla $a$ 'yı bul.

Tepe biçimini yaz: $T (1, - 4)$ için $y = a (x - 1)^{2} - 4$ .
$(3, 0)$ noktasını yerine koy: $0 = a (3 - 1)^{2} - 4 = 4 a - 4$ , buradan $a = 1$ .
Aç ve düzenle: $y = (x - 1)^{2} - 4 = x^{2} - 2 x + 1 - 4 = x^{2} - 2 x - 3$ .

Sonuç:

y = x^{2} - 2 x - 3

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 2 x - 3$ parabolü ile $y = x + 1$ doğrusunun kesim noktalarının apsislerini bulunuz.

Kesim noktalarında $y$ değerleri eşittir. İki ifadeyi eşitleyip oluşan ikinci dereceden denklemi çöz.

$y$ 'leri eşitle: $x^{2} - 2 x - 3 = x + 1$ .
Bir tarafa topla: $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(x - 4) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 4$ veya $x = - 1$ .

Sonuç: Kesim noktalarının apsisleri

x = - 1

x = 4

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 6 x + k$ parabolü $x$ eksenine teğet ise $k$ kaçtır?

Parabolün $x$ eksenine teğet olması, $x$ eksenini tek noktada (çift kök) kesmesi demektir. Bu da $Δ = 0$ koşuludur.

Teğetlik için $Δ = 0$ olmalı.
$Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot k = 36 - 4 k$ .
$36 - 4 k = 0 \Rightarrow k = 9$ .

Sonuç:

k = 9

Örnek

Soru

$y = a x^{2} + b x + c$ parabolünün tepe noktası $T (3, 2)$ ve $a = 2$ 'dir. Bu parabolün $y$ eksenini kestiği noktanın ordinatını bulunuz.

Tepe biçimi $y = a (x - r)^{2} + k$ ile dene. $y$ eksenini kesim için $x = 0$ koy.

Tepe biçimi: $y = 2 (x - 3)^{2} + 2$ .
$y$ ekseni için $x = 0$ : $y = 2 (0 - 3)^{2} + 2 = 2 \cdot 9 + 2 = 20$ .

Sonuç:

y

eksenini

(0, 20)

noktasında keser; ordinat

20

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Tepe noktası hesabı (r=−b/2a, k=f(r)): r=−b/(2a) yerine r=b/(2a) almak apsisi işaretçe ters tepe noktası
Eksenleri kestiği noktalar: y eksenini kestiği noktayı kök sanmak (c'yi apsis almak) (−8, 0) gibi eksen karışıklığı
Grafikten a, b, c işaret analizi (Δ dahil): b'nin işaretini tepe apsisiyle aynı sanmak (a'yı hesaba katmamak) b'nin işaretçe tersi (ör. b<0)
Tepe koşulundan parametre bulma: Koşulu f(r) yerine f(0)'da kurmak c üzerinden gelen ilgisiz değer (ör. m=0)
Grafiği verilen parabolün denklemini yazma: a'yı bulmadan a=1 varsaymak a katı kadar ölçek hatalı değer (ör. tepe ordinatı −1)
Parabol–doğru kesişimi (teğetlik, Δ analizi): Δ'yı parabolün kendi denkleminde hesaplamak (doğruyu hiç katmamak) parametreden bağımsız, ilgisiz sonuç

Soru 1Orta

Tepe noktası

T (2, - 3)

olan ve

(0, 1)

noktasından geçen parabolün denklemi

y = a x^{2} + b x + c

biçiminde yazılıyor. Buna göre

a + b + c

toplamı kaçtır?

Tepe noktası verildiğinden tepe biçimini yaz: $y = a (x - 2)^{2} - 3$ .
$(0, 1)$ noktasını yerine koy: $1 = a (0 - 2)^{2} - 3 = 4 a - 3$ , buradan $a = 1$ .
Aç: $y = (x - 2)^{2} - 3 = x^{2} - 4 x + 4 - 3 = x^{2} - 4 x + 1$ . Böylece $a = 1, b = - 4, c = 1$ .
Topla: $a + b + c = 1 + (- 4) + 1 = - 2$ .

Sonuç:

- 2

Soru 2Orta

f (x) = x^{2} - 6 x + m

fonksiyonunun en küçük değeri

- 4

'tür. Bu fonksiyonun grafiği olan parabol,

x

eksenini

x_{1}

x_{2}

apsisli noktalarda kesmektedir. Buna göre

x_{1} \cdot x_{2}

çarpımı kaçtır?

$a = 1 > 0$ olduğundan en küçük değer tepe noktasının ordinatıdır.
Apsis: $x_{T} = - \frac{- 6}{2 \cdot 1} = 3$ .
En küçük değeri kur: $f (3) = 3^{2} - 6 \cdot 3 + m = 9 - 18 + m = m - 9$ . Bu değer $- 4$ olduğundan $m - 9 = - 4$ , yani $m = 5$ .
Kökleri için $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ denkleminde köklerin çarpımı $\frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5$ 'tir.

Sonuç:

5

Soru 3Zor

Bir parabol

x

eksenini

x = - 1

x = 4

noktalarında,

y

eksenini ise

(0, - 8)

noktasında kesmektedir. Buna göre bu parabolün tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Kökler verildiğinden çarpan biçimini yaz: $y = a (x + 1) (x - 4)$ .
$(0, - 8)$ noktasını yerine koy: $- 8 = a (0 + 1) (0 - 4) = - 4 a$ , buradan $a = 2$ .
Tepe apsisi, köklerin ortasıdır: $x_{T} = \frac{- 1 + 4}{2} = \frac{3}{2}$ .
Ordinat: $y_{T} = 2 (\frac{3}{2} + 1) (\frac{3}{2} - 4) = 2 \cdot \frac{5}{2} \cdot (- \frac{5}{2}) = - \frac{25}{2}$ .

Sonuç:

- \frac{25}{2}

Soru 4Orta

y = x^{2} - 2 x + 5

parabolü ile

y = 2 x + k

doğrusunun tek bir ortak noktası (teğetlik) vardır. Buna göre

k

kaçtır?

Eşitle: $x^{2} - 2 x + 5 = 2 x + k$ .
Bir tarafa topla: $x^{2} - 4 x + (5 - k) = 0$ .
Teğetlik için $Δ = 0$ : $(- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (5 - k) = 0 \Rightarrow 16 - 20 + 4 k = 0$ .
Çöz: $4 k = 4 \Rightarrow k = 1$ .

Sonuç:

1

Soru 5Zor

y = x^{2} + b x + c

parabolünün tepe noktası

x

ekseni üzerindedir ve simetri ekseni

x = 4

doğrusudur. Buna göre

b + c

toplamı kaçtır?

Simetri ekseni $x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{b}{2} = 4 \Rightarrow b = - 8$ .
Tepe $x$ ekseni üzerinde ise parabol eksene teğettir: $Δ = b^{2} - 4 c = 0 \Rightarrow (- 8)^{2} - 4 c = 0 \Rightarrow 64 = 4 c \Rightarrow c = 16$ .
Toplam: $b + c = - 8 + 16 = 8$ .

Sonuç:

8

Soru 6Orta

f (x) = a x^{2} + b x + c

parabolü için

f (1) = f (5) = 0

ve fonksiyonun en küçük değeri

- 8

'dir. Buna göre

a

kaçtır?

Kökler $1$ ve $5$ olduğundan $f (x) = a (x - 1) (x - 5)$ .
Tepe apsisi köklerin ortası: $x_{T} = \frac{1 + 5}{2} = 3$ .
En küçük değer tepede: $f (3) = a (3 - 1) (3 - 5) = a \cdot 2 \cdot (- 2) = - 4 a$ .
Bu değer $- 8$ : $- 4 a = - 8 \Rightarrow a = 2$ .

Sonuç:

2

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Tepe apsisini işaretsiz almak. Formül $x_{T} = - \frac{b}{2 a}$ şeklindedir; baştaki eksi işaretini atıp $\frac{b}{2 a}$ yazmak en sık hatadır. Özellikle $b < 0$ iken işaret iki kez etki eder.
$a < 0$ durumunda tepenin maksimum olduğunu unutmak. Kollar aşağı açıldığında ( $a < 0$ ) tepe noktası en büyük noktadır; bunu minimum sanıp "en küçük değer" demek yanlıştır.
$y$ eksenini kesim noktasını yanlış almak. $y$ ekseni kesişimi her zaman $(0, c)$ 'dir; $x$ eksenini kesim noktalarıyla ( $Δ$ köklerle) karıştırmamak gerekir.

Sınav İpucu

Bir parabol sorusuna başlamadan önce şu üç değeri otomatik olarak yaz: baş katsayının işareti ( $a$ — kolların yönü), $x_{T} = - \frac{b}{2 a}$ (tepe ve simetri ekseni) ve $c$ (y kesişimi). Tepe noktası verilip denklem isteniyorsa tepe biçimini ( $y = a (x - r)^{2} + k$ ) kullan; köklerle ilgili bir soruysa $Δ = b^{2} - 4 a c$ işaretine bak. Bu refleks, çoğu parabol sorusunu tek satırda bitirir.

1. Genel Denklem ve Kolların Yönü

2. Tepe Noktası ve Simetri Ekseni

3. Eksen Kesişimleri

4. Örneklerle Pekiştirme

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol — diğer konular