AYT Matematik · İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol

İkinci Dereceden Eşitsizlikler

~9 dk okumaZorluk: Zor18 çözümlü soru

İkinci dereceden eşitsizlikler, $ax^2+bx+c$ ifadesinin hangi $x$ değerlerinde pozitif, hangilerinde negatif olduğunu bulma sorusudur. İfade aslında bir parabol olduğundan, köklerini bulup bir işaret tablosu kurmak çözümü doğrudan verir. Bu konu, fonksiyon işaretleri, tanım kümesi ve eşitsizlik sistemleri gibi pek çok AYT konusunun temelini oluşturur.

1. Parabolün İşareti

$f(x)=ax^2+bx+c$ ifadesinin grafiği bir paraboldür. Eşitsizliği çözmek demek, bu parabolün $x$ eksenine göre yerini (üstünde mi, altında mı) belirlemek demektir.

Önce $ax^2+bx+c=0$ denkleminin köklerine, yani $\Delta=b^2-4ac$ değerine bakılır:

Durum	Kök sayısı	İşaret
$\Delta > 0$	İki farklı kök $x_1 < x_2$	Köklerin dışında $a$ ile aynı, arasında $a$ ile zıt
$\Delta = 0$	Çift (çakışık) kök	Kök hariç her yerde $a$ ile aynı işaret
$\Delta < 0$	Reel kök yok	Her $x$ için $a$ ile aynı işaret

İşaret Kuralı

İki farklı kök ( $x_1 < x_2$ ) olduğunda, $a > 0$ için kural şöyledir:

Parabol köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir. ( $a < 0$ ise işaretler tam tersine döner.)

Bu kuralı bir işaret tablosuyla göstermek en güvenli yoldur. $a>0$ ve kökler $x_1 < x_2$ için:

Aralık	$(-\infty,x_1)$	$(x_1,x_2)$	$(x_2,\infty)$
$ax^2+bx+c$ işareti	$+$	$-$	$+$

Örnek

Soru

$x^2-5x+6 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Kökleri bul: $x^2-5x+6=0 \Rightarrow (x-2)(x-3)=0 \Rightarrow x_1=2,\ x_2=3$ .
Baş katsayı $a=1 > 0$ olduğundan parabol köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir.
İşaret tablosu:

Aralık	$(-\infty,2)$	$(2,3)$	$(3,\infty)$
İşaret	$+$	$-$	$+$

$> 0$ istendiğinden pozitif aralıkları seç (kökler dahil değil): $x < 2$ ya da $x > 3$ .

Sonuç:

(-\infty,2)\cup(3,\infty)

Örnek

Soru

$x^2-5x+6 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Kökler aynı ( $2$ ve $3$ ); bu kez $< 0$ istendiği için işaret tablosunda negatif olan aralığı seç.

Kökler bir önceki örnekteki gibi $x_1=2,\ x_2=3$ .
$a=1 > 0$ olduğundan ifade arasında negatiftir.
$< 0$ istendiğinden negatif aralığı seç (kökler dahil değil): $2 < x < 3$ .

Sonuç:

(2,3)

Örnek

Soru

$x^2-4 \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çarpanlara ayır: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ ; kökler $x_1=-2,\ x_2=2$ .
$a=1 > 0$ olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir.
Eşitsizlik $\le 0$ olduğundan kökler de çözüme dahildir (eşitlik durumu).

Sonuç:

[-2,\,2]

, yani

-2\le x\le 2

Örnek

Soru

$x^2+x+1 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Önce diskriminantı hesapla. $\Delta < 0$ ise reel kök yoktur ve ifade her zaman aynı işaretlidir.

Diskriminantı hesapla: $\Delta=1^2-4\cdot 1\cdot 1=1-4=-3 < 0$ .
$\Delta < 0$ olduğundan reel kök yoktur; ifade her $x$ için $a$ ile aynı işaretlidir.
$a=1 > 0$ olduğundan ifade her $x$ için pozitiftir. $> 0$ koşulu daima sağlanır.

Sonuç:

\mathbb{R}

(tüm reel sayılar)

Örnek

Soru

$-x^2+4 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Baş katsayı negatif ( $a=-1$ ). Bu durumda işaret kuralı terse döner: parabol köklerin arasında pozitiftir.

Kökleri bul: $-x^2+4=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x_1=-2,\ x_2=2$ .
$a=-1 < 0$ olduğundan kural ters döner: ifade köklerin arasında pozitif, dışında negatiftir.
İşaret tablosu:

Aralık	$(-\infty,-2)$	$(-2,2)$	$(2,\infty)$
İşaret	$-$	$+$	$-$

$> 0$ istendiğinden pozitif aralığı seç: $-2 < x < 2$ .

Sonuç:

(-2,2)

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$x^2-x-6 \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çarpanlara ayır: $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ ; kökler $x_1=-2,\ x_2=3$ .
$a=1 > 0$ olduğundan ifade köklerin dışında pozitiftir.
İşaret tablosu:

Aralık	$(-\infty,-2)$	$(-2,3)$	$(3,\infty)$
İşaret	$+$	$-$	$+$

$\ge 0$ istendiğinden pozitif aralıkları kökler dahil seç: $x\le -2$ ya da $x\ge 3$ .

Sonuç:

(-\infty,-2]\cup[3,\infty)

Örnek

Soru

$2x^2-7x+3 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Kökleri bul. Diskriminant: $\Delta=(-7)^2-4\cdot 2\cdot 3=49-24=25$ , $\sqrt{\Delta}=5$ .
$x=\dfrac{7\pm 5}{4}$ olduğundan $x_1=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ , $x_2=\dfrac{12}{4}=3$ .
$a=2 > 0$ olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir.
$< 0$ istendiğinden negatif aralığı seç (kökler dahil değil): $\dfrac{1}{2} < x < 3$ .

Sonuç:

\left(\dfrac{1}{2},\,3\right)

Örnek

Soru

$-x^2+2x+8 \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Baş katsayı negatif. İstersen tüm eşitsizliği $-1$ ile çarp; ancak o zaman eşitsizlik yönünü çevirmeyi unutma.

Kökleri bul: $-x^2+2x+8=0$ . Her iki tarafı $-1$ ile çarp: $x^2-2x-8=0 \Rightarrow (x-4)(x+2)=0$ , kökler $x_1=-2,\ x_2=4$ .
Orijinal ifadede $a=-1 < 0$ olduğundan parabol köklerin arasında pozitif, dışında negatiftir.
İşaret tablosu:

Aralık	$(-\infty,-2)$	$(-2,4)$	$(4,\infty)$
İşaret	$-$	$+$	$-$

$\ge 0$ istendiğinden pozitif aralığı kökler dahil seç: $-2\le x\le 4$ .

Sonuç:

[-2,\,4]

Örnek

Soru

$x^2-6x+9 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

İfade tam kare olabilir. $\Delta$ değerini kontrol et; $\Delta=0$ ise çift kök vardır.

Tam kare olarak yaz: $x^2-6x+9=(x-3)^2$ . Çift kök $x=3$ ( $\Delta=0$ ).
$(x-3)^2$ ifadesi $x=3$ dışında her zaman pozitiftir; $x=3$ 'te ise $0$ olur.
$> 0$ (kesin pozitif) istendiğinden $x=3$ noktası dahil edilmez.

Sonuç:

x\ne 3

, yani

\mathbb{R}\setminus\{3\}

veya

(-\infty,3)\cup(3,\infty)

Örnek

Soru

$(x-1)(x+4) < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

İfade zaten çarpanlarına ayrılmış. Açmadan, kökleri doğrudan oku ve işaret tablosu kur.

Kökleri doğrudan oku: $x-1=0 \Rightarrow x=1$ ve $x+4=0 \Rightarrow x=-4$ . Sıralı kökler $x_1=-4,\ x_2=1$ .
Açılmış hâlde baş katsayı $a=1 > 0$ olur; ifade köklerin arasında negatiftir.
İşaret tablosu:

Aralık	$(-\infty,-4)$	$(-4,1)$	$(1,\infty)$
İşaret	$+$	$-$	$+$

$< 0$ istendiğinden negatif aralığı seç: $-4 < x < 1$ .

Sonuç:

(-4,\,1)

Örnek

Soru

$x^2+4x+5 \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Önce diskriminanta bak. $\Delta < 0$ ise ifade her yerde aynı işaretlidir; bu işaret istenen yönü sağlıyor mu?

Diskriminantı hesapla: $\Delta=4^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4 < 0$ .
$\Delta < 0$ ve $a=1 > 0$ olduğundan ifade her $x$ için pozitiftir; hiçbir zaman $0$ ya da negatif olamaz.
$\le 0$ koşulunu sağlayan hiçbir $x$ yoktur.

Sonuç:

\varnothing

(boş küme)

Örnek

Soru

$\dfrac{x-3}{x+2} \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Rasyonel eşitsizlikte pay ve paydanın köklerini birlikte işaret tablosuna yerleştir. Paydayı sıfır yapan değer asla çözüme dahil edilmez.

Pay sıfır: $x-3=0 \Rightarrow x=3$ . Payda sıfır: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$ (tanımsız).
İşaret tablosu (kökler $-2$ ve $3$ ):

Aralık	$(-\infty,-2)$	$(-2,3)$	$(3,\infty)$
İşaret	$+$	$-$	$+$

$\ge 0$ istendiğinden pozitif aralıkları seç. $x=3$ payı sıfır yaptığından (oran $0$ ) dahil; $x=-2$ paydayı sıfır yaptığından dahil değil.

Sonuç:

(-\infty,-2)\cup[3,\infty)

Örnek

Soru

$x^2 < 5x-6$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Önce tüm terimleri bir tarafa topla ( $0$ 'a eşitle). Standart $ax^2+bx+c$ biçimine getirmeden işaret tablosu kurma.

Hepsini sol tarafa topla: $x^2-5x+6 < 0$ .
Çarpanlara ayır: $(x-2)(x-3) < 0$ ; kökler $x_1=2,\ x_2=3$ .
$a=1 > 0$ olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir.
$< 0$ istendiğinden negatif aralığı seç (kökler dahil değil): $2 < x < 3$ .

Sonuç:

(2,\,3)

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

$x^2-5x-14 \le 0$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayı vardır?

Buna göre bu tam sayıların sayısı kaçtır?

A) 7 · B) 8 · C) 9 · D) 10 · E) 11

Çarpanlara ayır: $x^2-5x-14=(x-7)(x+2)$ ; kökler $x_1=-2,\ x_2=7$ .
$a=1 > 0$ olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir; $\le 0$ istendiğinden kökler dahil çözüm $-2\le x\le 7$ olur.
Bu aralıktaki tam sayıları say: $-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7$ .
Toplam $10$ farklı tam sayı vardır.

Sonuç: D) 10

Örnek

Soru

$f(x)=x^2+mx+m+3$ ifadesi her reel $x$ için pozitif olacak biçimde tanımlanıyor.

Buna göre bu koşulu sağlayan kaç farklı tam sayı $m$ değeri vardır?

A) 6 · B) 7 · C) 8 · D) 9 · E) 10

İfadenin her $x$ için pozitif olması için $a > 0$ ( $a=1$ , sağlandı) ve $\Delta < 0$ olmalıdır.
Diskriminant: $\Delta=m^2-4(m+3)=m^2-4m-12 < 0$ .
Çarpanlara ayır: $m^2-4m-12=(m-6)(m+2) < 0 \Rightarrow -2 < m < 6$ .
Bu aralıktaki tam sayılar: $-1,0,1,2,3,4,5$ ; toplam $7$ değer.

Sonuç: B) 7

Örnek

Soru

$(x+1)(x-6) < 0$ eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayıların toplamı $S$ olarak veriliyor.

Buna göre $S$ kaçtır?

A) 9 · B) 10 · C) 12 · D) 14 · E) 15

Kökleri doğrudan oku: $x=-1$ ve $x=6$ . Sıralı kökler $x_1=-1,\ x_2=6$ .
Açılmış hâlde $a=1 > 0$ olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir; $< 0$ istendiğinden çözüm $-1 < x < 6$ olur.
Bu aralıktaki tam sayılar: $0,1,2,3,4,5$ .
Toplam: $S=0+1+2+3+4+5=15$ .

Sonuç: E) 15

Örnek

Soru

$f(x)=kx^2-4x+k$ ifadesi her reel $x$ için pozitif olacak biçimde tanımlanıyor.

Buna göre $k$ 'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

A) $1$ · B) $2$ · C) $3$ · D) $4$ · E) $5$

Her $x$ için pozitif olması için iki koşul birlikte gerekir: parabol yukarı açık ( $k > 0$ ) ve $\Delta < 0$ (reel kök yok). İkisini kesiştir.

Parabol her $x$ için pozitif olacaksa kollar yukarı olmalı: $k > 0$ .
Reel kök olmamalı: $\Delta=(-4)^2-4\cdot k\cdot k=16-4k^2 < 0 \Rightarrow k^2 > 4 \Rightarrow k < -2$ ya da $k > 2$ .
İki koşulu kesiştir: $k > 0$ ve ( $k < -2$ ya da $k > 2$ ) $\Rightarrow k > 2$ .
$k > 2$ koşulunu sağlayan en küçük tam sayı $k=3$ 'tür.

Sonuç: C)

3

Örnek

Soru

$\dfrac{x-4}{x+1} \le 2$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-\infty,-6]$ · B) $[-6,-1)$ · C) $(-1,\infty)$ · D) $(-\infty,-6]\cup(-1,\infty)$ · E) $[-6,-1)\cup(4,\infty)$

Önce her şeyi sol tarafa topla ve tek bir kesir hâline getir; paydayla çarparak çapraz işlem yapma (paydanın işareti bilinmiyor). Sonra pay ve paydanın köklerini işaret tablosuna koy.

Sağ tarafı sola al: $\dfrac{x-4}{x+1}-2 \le 0$ .
Tek kesir yap: $\dfrac{x-4-2(x+1)}{x+1}=\dfrac{x-4-2x-2}{x+1}=\dfrac{-x-6}{x+1} \le 0$ .
Payı düzenle: $\dfrac{-(x+6)}{x+1}\le 0$ , yani $\dfrac{x+6}{x+1}\ge 0$ . Kökler: pay $x=-6$ , payda $x=-1$ (tanımsız).
İşaret tablosu ( $-6 < -1$ ):

Aralık	$(-\infty,-6)$	$(-6,-1)$	$(-1,\infty)$
$\dfrac{x+6}{x+1}$	$+$	$-$	$+$

$\ge 0$ istendiğinden pozitif aralıklar; $x=-6$ payı sıfırladığından dahil, $x=-1$ tanımsız olduğundan dahil değil.

Sonuç: D)

(-\infty,-6]\cup(-1,\infty)

Sık Yapılan Hatalar

Kökler arası / dışı işaretini karıştırmak. $a > 0$ için ifade köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir. "Arası eksi, dışı artı" diye sabitlemek (a pozitifken) işi kolaylaştırır.
$a < 0$ durumunda kuralı çevirmeyi unutmak. Baş katsayı negatifse parabol aşağı açıktır; işaretler tersine döner: köklerin arasında pozitif, dışında negatif. Emin olmak için işaret tablosunu mutlaka kur.
Kapalı/açık aralık karıştırması. $< 0$ ya da $> 0$ ise kökler çözüme dahil değildir (açık aralık); $\le 0$ ya da $\ge 0$ ise kökler dahildir (kapalı aralık).
$\Delta < 0$ olduğunda "çözüm yok" demek. Reel kök olmaması ifadenin işaretsiz olduğu anlamına gelmez; ifade her yerde $a$ ile aynı işarettedir. Bu durumda çözüm ya $\mathbb{R}$ ya da $\varnothing$ olur.

Sınav İpucu

İşaret tablosu kurarken kökleri küçükten büyüğe sıralayın ve en sağdaki aralığa her zaman $a$ 'nın işaretini yazın; sola doğru ilerledikçe her kökte işaret değişir (çift kök hariç). Eşitsizliğin yönüne ( $<,\le,>,\ge$ ) göre uygun işaretli aralıkları seçtikten sonra, son adımda eşitlik var mı diye kontrol edip parantez tipini (açık/kapalı) belirleyin.

1. Parabolün İşareti

İşaret Kuralı

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol — diğer konular