AYT Matematik · İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol

İkinci Dereceden Eşitsizlikler

~9 dk okumaZorluk: Zor5 çözümlü soruAYT'de ~1.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

İkinci dereceden eşitsizlikler, $a x^{2} + b x + c$ ifadesinin hangi $x$ değerlerinde pozitif, hangilerinde negatif olduğunu bulma sorusudur. İfade aslında bir parabol olduğundan, köklerini bulup bir işaret tablosu kurmak çözümü doğrudan verir. Bu konu, fonksiyon işaretleri, tanım kümesi ve eşitsizlik sistemleri gibi pek çok AYT konusunun temelini oluşturur.

1. Parabolün İşareti

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ ifadesinin grafiği bir paraboldür. Eşitsizliği çözmek demek, bu parabolün $x$ eksenine göre yerini (üstünde mi, altında mı) belirlemek demektir.

Önce $a x^{2} + b x + c = 0$ denkleminin köklerine, yani $Δ = b^{2} - 4 a c$ değerine bakılır:

Durum	Kök sayısı	İşaret
$Δ > 0$	İki farklı kök $x_{1} < x_{2}$	Köklerin dışında $a$ ile aynı, arasında $a$ ile zıt
$Δ = 0$	Çift (çakışık) kök	Kök hariç her yerde $a$ ile aynı işaret
$Δ < 0$	Reel kök yok	Her $x$ için $a$ ile aynı işaret

İşaret Kuralı

İki farklı kök ( $x_{1} < x_{2}$ ) olduğunda, $a > 0$ için kural şöyledir:

Parabol köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir. ( $a < 0$ ise işaretler tam tersine döner.)

Bu kuralı bir işaret tablosuyla göstermek en güvenli yoldur. $a > 0$ ve kökler $x_{1} < x_{2}$ için:

Aralık	$(- \infty, x_{1})$	$(x_{1}, x_{2})$	$(x_{2}, \infty)$
$a x^{2} + b x + c$ işareti	$+$	$-$	$+$

Örnek

Soru

$x^{2} - 5 x + 6 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Kökleri bul: $x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x - 3) = 0 \Rightarrow x_{1} = 2, x_{2} = 3$ .
Baş katsayı $a = 1 > 0$ olduğundan parabol köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir.
İşaret tablosu:

Aralık	$(- \infty, 2)$	$(2, 3)$	$(3, \infty)$
İşaret	$+$	$-$	$+$

$> 0$ istendiğinden pozitif aralıkları seç (kökler dahil değil): $x < 2$ ya da $x > 3$ .

Sonuç:

(- \infty, 2) \cup (3, \infty)

Örnek

Soru

$x^{2} - 5 x + 6 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Kökler aynı ( $2$ ve $3$ ); bu kez $< 0$ istendiği için işaret tablosunda negatif olan aralığı seç.

Kökler bir önceki örnekteki gibi $x_{1} = 2, x_{2} = 3$ .
$a = 1 > 0$ olduğundan ifade arasında negatiftir.
$< 0$ istendiğinden negatif aralığı seç (kökler dahil değil): $2 < x < 3$ .

Sonuç:

(2, 3)

Örnek

Soru

$x^{2} - 4 \leq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çarpanlara ayır: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ ; kökler $x_{1} = - 2, x_{2} = 2$ .
$a = 1 > 0$ olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir.
Eşitsizlik $\leq 0$ olduğundan kökler de çözüme dahildir (eşitlik durumu).

Sonuç:

[- 2, 2]

, yani

- 2 \leq x \leq 2

Örnek

Soru

$x^{2} + x + 1 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Önce diskriminantı hesapla. $Δ < 0$ ise reel kök yoktur ve ifade her zaman aynı işaretlidir.

Diskriminantı hesapla: $Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3 < 0$ .
$Δ < 0$ olduğundan reel kök yoktur; ifade her $x$ için $a$ ile aynı işaretlidir.
$a = 1 > 0$ olduğundan ifade her $x$ için pozitiftir. $> 0$ koşulu daima sağlanır.

Sonuç:

R

(tüm reel sayılar)

Örnek

Soru

$- x^{2} + 4 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Baş katsayı negatif ( $a = - 1$ ). Bu durumda işaret kuralı terse döner: parabol köklerin arasında pozitiftir.

Kökleri bul: $- x^{2} + 4 = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x_{1} = - 2, x_{2} = 2$ .
$a = - 1 < 0$ olduğundan kural ters döner: ifade köklerin arasında pozitif, dışında negatiftir.
İşaret tablosu:

Aralık	$(- \infty, - 2)$	$(- 2, 2)$	$(2, \infty)$
İşaret	$-$	$+$	$-$

$> 0$ istendiğinden pozitif aralığı seç: $- 2 < x < 2$ .

Sonuç:

(- 2, 2)

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$x^{2} - x - 6 \geq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çarpanlara ayır: $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ ; kökler $x_{1} = - 2, x_{2} = 3$ .
$a = 1 > 0$ olduğundan ifade köklerin dışında pozitiftir.
İşaret tablosu:

Aralık	$(- \infty, - 2)$	$(- 2, 3)$	$(3, \infty)$
İşaret	$+$	$-$	$+$

$\geq 0$ istendiğinden pozitif aralıkları kökler dahil seç: $x \leq - 2$ ya da $x \geq 3$ .

Sonuç:

(- \infty, - 2] \cup [3, \infty)

Örnek

Soru

$2 x^{2} - 7 x + 3 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Kökleri bul. Diskriminant: $Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$ , $Δ = 5$ .
$x = \frac{7 \pm 5}{4}$ olduğundan $x_{1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , $x_{2} = \frac{12}{4} = 3$ .
$a = 2 > 0$ olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir.
$< 0$ istendiğinden negatif aralığı seç (kökler dahil değil): $\frac{1}{2} < x < 3$ .

Sonuç:

(\frac{1}{2}, 3)

Örnek

Soru

$- x^{2} + 2 x + 8 \geq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Baş katsayı negatif. İstersen tüm eşitsizliği $- 1$ ile çarp; ancak o zaman eşitsizlik yönünü çevirmeyi unutma.

Kökleri bul: $- x^{2} + 2 x + 8 = 0$ . Her iki tarafı $- 1$ ile çarp: $x^{2} - 2 x - 8 = 0 \Rightarrow (x - 4) (x + 2) = 0$ , kökler $x_{1} = - 2, x_{2} = 4$ .
Orijinal ifadede $a = - 1 < 0$ olduğundan parabol köklerin arasında pozitif, dışında negatiftir.
İşaret tablosu:

Aralık	$(- \infty, - 2)$	$(- 2, 4)$	$(4, \infty)$
İşaret	$-$	$+$	$-$

$\geq 0$ istendiğinden pozitif aralığı kökler dahil seç: $- 2 \leq x \leq 4$ .

Sonuç:

[- 2, 4]

Örnek

Soru

$x^{2} - 6 x + 9 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

İfade tam kare olabilir. $Δ$ değerini kontrol et; $Δ = 0$ ise çift kök vardır.

Tam kare olarak yaz: $x^{2} - 6 x + 9 = (x - 3)^{2}$ . Çift kök $x = 3$ ( $Δ = 0$ ).
$(x - 3)^{2}$ ifadesi $x = 3$ dışında her zaman pozitiftir; $x = 3$ 'te ise $0$ olur.
$> 0$ (kesin pozitif) istendiğinden $x = 3$ noktası dahil edilmez.

Sonuç:

x \neq = 3

, yani

R ∖ {3}

veya

(- \infty, 3) \cup (3, \infty)

Örnek

Soru

$(x - 1) (x + 4) < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

İfade zaten çarpanlarına ayrılmış. Açmadan, kökleri doğrudan oku ve işaret tablosu kur.

Kökleri doğrudan oku: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ ve $x + 4 = 0 \Rightarrow x = - 4$ . Sıralı kökler $x_{1} = - 4, x_{2} = 1$ .
Açılmış hâlde baş katsayı $a = 1 > 0$ olur; ifade köklerin arasında negatiftir.
İşaret tablosu:

Aralık	$(- \infty, - 4)$	$(- 4, 1)$	$(1, \infty)$
İşaret	$+$	$-$	$+$

$< 0$ istendiğinden negatif aralığı seç: $- 4 < x < 1$ .

Sonuç:

(- 4, 1)

Örnek

Soru

$x^{2} + 4 x + 5 \leq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Önce diskriminanta bak. $Δ < 0$ ise ifade her yerde aynı işaretlidir; bu işaret istenen yönü sağlıyor mu?

Diskriminantı hesapla: $Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = - 4 < 0$ .
$Δ < 0$ ve $a = 1 > 0$ olduğundan ifade her $x$ için pozitiftir; hiçbir zaman $0$ ya da negatif olamaz.
$\leq 0$ koşulunu sağlayan hiçbir $x$ yoktur.

Sonuç:

\emptyset

(boş küme)

Örnek

Soru

$\frac{x - 3}{x + 2} \geq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Rasyonel eşitsizlikte pay ve paydanın köklerini birlikte işaret tablosuna yerleştir. Paydayı sıfır yapan değer asla çözüme dahil edilmez.

Pay sıfır: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ . Payda sıfır: $x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2$ (tanımsız).
İşaret tablosu (kökler $- 2$ ve $3$ ):

Aralık	$(- \infty, - 2)$	$(- 2, 3)$	$(3, \infty)$
İşaret	$+$	$-$	$+$

$\geq 0$ istendiğinden pozitif aralıkları seç. $x = 3$ payı sıfır yaptığından (oran $0$ ) dahil; $x = - 2$ paydayı sıfır yaptığından dahil değil.

Sonuç:

(- \infty, - 2) \cup [3, \infty)

Örnek

Soru

$x^{2} < 5 x - 6$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Önce tüm terimleri bir tarafa topla ( $0$ 'a eşitle). Standart $a x^{2} + b x + c$ biçimine getirmeden işaret tablosu kurma.

Hepsini sol tarafa topla: $x^{2} - 5 x + 6 < 0$ .
Çarpanlara ayır: $(x - 2) (x - 3) < 0$ ; kökler $x_{1} = 2, x_{2} = 3$ .
$a = 1 > 0$ olduğundan ifade köklerin arasında negatiftir.
$< 0$ istendiğinden negatif aralığı seç (kökler dahil değil): $2 < x < 3$ .

Sonuç:

(2, 3)

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

İşaret tablosuyla temel eşitsizlik: a>0 iken 'arasında pozitif' sanmak doğru aralığın tümleyeni (dış aralıklar)
Tam sayı çözüm sayısı / toplamı: ≤ eşitsizliğinde kökleri saymamak doğru sayının 2 eksiği
Çarpım / bölüm biçiminde eşitsizlik (payda tuzağı): ≥ diye payda kökünü de dahil etmek tanımsız noktayı içeren yanlış küme (ör. köşeli parantezli −3)
Her x için pozitif / negatif olma koşulu: Δ<0 yerine Δ>0 yazmak (kök 'olsun' sanmak) doğru aralığın tümleyeni
Sabitli rasyonel eşitsizlik (çapraz çarpma tuzağı): Çapraz çarpma yapmak (paydanın işaretini yok saymak) tek parçalı yanlış aralık — çözümün yalnız bir kolu
Eşitsizlik sisteminin ortak çözümü: Kesişim yerine birleşim almak fazla geniş küme (iki çözümün birleşimi)

Soru 1Kolay

x^{2} - 5 x - 14 \leq 0

eşitsizliğini sağlayan kaç farklı tam sayı vardır? Buna göre bu tam sayıların sayısı kaçtır?

Çarpanlara ayır: $x^{2} - 5 x - 14 = (x - 7) (x + 2)$ ; kökler $x_{1} = - 2, x_{2} = 7$ .
$a = 1 > 0$ olduğundan ifade köklerin **arasında negatif**tir; $\leq 0$ istendiğinden kökler **dahil** çözüm $- 2 \leq x \leq 7$ olur.
Bu aralıktaki tam sayıları say: $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ .
Toplam $10$ farklı tam sayı vardır.

Sonuç: 10

Soru 2Orta

f (x) = x^{2} + m x + m + 3

ifadesi **her reel**

x

için pozitif olacak biçimde tanımlanıyor. Buna göre bu koşulu sağlayan kaç farklı tam sayı

m

değeri vardır?

İfadenin her $x$ için pozitif olması için $a > 0$ ( $a = 1$ , sağlandı) ve $Δ < 0$ olmalıdır.
Diskriminant: $Δ = m^{2} - 4 (m + 3) = m^{2} - 4 m - 12 < 0$ .
Çarpanlara ayır: $m^{2} - 4 m - 12 = (m - 6) (m + 2) < 0 \Rightarrow - 2 < m < 6$ .
Bu aralıktaki tam sayılar: $- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ ; toplam $7$ değer.

Sonuç: 7

Soru 3Kolay

(x + 1) (x - 6) < 0

eşitsizliğini sağlayan tüm tam sayıların toplamı

S

olarak veriliyor. Buna göre

S

kaçtır?

Kökleri doğrudan oku: $x = - 1$ ve $x = 6$ . Sıralı kökler $x_{1} = - 1, x_{2} = 6$ .
Açılmış hâlde $a = 1 > 0$ olduğundan ifade köklerin **arasında negatif**tir; $< 0$ istendiğinden çözüm $- 1 < x < 6$ olur.
Bu aralıktaki tam sayılar: $0, 1, 2, 3, 4, 5$ .
Toplam: $S = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ .

Sonuç: 15

Soru 4Orta

f (x) = k x^{2} - 4 x + k

ifadesi **her reel**

x

için pozitif olacak biçimde tanımlanıyor. Buna göre

k

'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Parabol her $x$ için pozitif olacaksa kollar yukarı olmalı: $k > 0$ .
Reel kök olmamalı: $Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot k \cdot k = 16 - 4 k^{2} < 0 \Rightarrow k^{2} > 4 \Rightarrow k < - 2$ ya da $k > 2$ .
İki koşulu kesiştir: $k > 0$ ve ( $k < - 2$ ya da $k > 2$ ) $\Rightarrow k > 2$ .
$k > 2$ koşulunu sağlayan en küçük tam sayı $k = 3$ 'tür.

Sonuç:

3

Soru 5Zor

\frac{x - 4}{x + 1} \leq 2

eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

Sağ tarafı sola al: $\frac{x - 4}{x + 1} - 2 \leq 0$ .
Tek kesir yap: $\frac{x - 4 - 2 ( x + 1 )}{x + 1} = \frac{x - 4 - 2 x - 2}{x + 1} = \frac{- x - 6}{x + 1} \leq 0$ .
Payı düzenle: $\frac{- ( x + 6 )}{x + 1} \leq 0$ , yani $\frac{x + 6}{x + 1} \geq 0$ . Kökler: pay $x = - 6$ , payda $x = - 1$ (tanımsız).
İşaret tablosu ( $- 6 < - 1$ ):
$\geq 0$ istendiğinden pozitif aralıklar; $x = - 6$ payı sıfırladığından **dahil**, $x = - 1$ tanımsız olduğundan **dahil değil**.

Sonuç:

(- \infty, - 6] \cup (- 1, \infty)

0/5 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Kökler arası / dışı işaretini karıştırmak. $a > 0$ için ifade köklerin dışında pozitif, arasında negatiftir. "Arası eksi, dışı artı" diye sabitlemek (a pozitifken) işi kolaylaştırır.
$a < 0$ durumunda kuralı çevirmeyi unutmak. Baş katsayı negatifse parabol aşağı açıktır; işaretler tersine döner: köklerin arasında pozitif, dışında negatif. Emin olmak için işaret tablosunu mutlaka kur.
Kapalı/açık aralık karıştırması. $< 0$ ya da $> 0$ ise kökler çözüme dahil değildir (açık aralık); $\leq 0$ ya da $\geq 0$ ise kökler dahildir (kapalı aralık).
$Δ < 0$ olduğunda "çözüm yok" demek. Reel kök olmaması ifadenin işaretsiz olduğu anlamına gelmez; ifade her yerde $a$ ile aynı işarettedir. Bu durumda çözüm ya $R$ ya da $\emptyset$ olur.

Sınav İpucu

İşaret tablosu kurarken kökleri küçükten büyüğe sıralayın ve en sağdaki aralığa her zaman $a$ 'nın işaretini yazın; sola doğru ilerledikçe her kökte işaret değişir (çift kök hariç). Eşitsizliğin yönüne ( $<, \leq, >, \geq$ ) göre uygun işaretli aralıkları seçtikten sonra, son adımda eşitlik var mı diye kontrol edip parantez tipini (açık/kapalı) belirleyin.

1. Parabolün İşareti

İşaret Kuralı

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol — diğer konular