AYT Matematik · İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol

İkinci Dereceden Denklemler

~10 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~1.5 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

İkinci dereceden (kuadratik) denklem $a x^{2} + b x + c = 0$ ( $a \neq = 0$ ) biçimindeki denklemdir ve AYT'nin en sık çıkan konularından biridir. Bu derste denklemi çarpanlara ayırma ile çözmeyi, diskriminant ( $Δ$ ) ile kök sayısını yorumlamayı, kök formülünü ve kök–katsayı (Vieta) bağıntılarını adım adım işleyeceğiz.

1. İkinci Dereceden Denklem Nedir?

En yüksek dereceli terimi ikinci dereceden olan denklem ikinci dereceden denklem adını alır:

$a x^{2} + b x + c = 0, a \neq = 0$

Burada $a$ baş katsayı, $b$ orta katsayı, $c$ ise sabit terimdir. $a \neq = 0$ koşulu zorunludur; aksi hâlde denklem birinci dereceden ( $b x + c = 0$ ) olurdu. Denklemi sağlayan $x$ değerlerine denklemin kökleri (çözümleri) denir.

2. Çarpanlara Ayırma ile Çözüm

$x^{2} + b x + c = 0$ biçimindeki (baş katsayısı $1$ olan) denklemlerde, çarpımı $c$ , toplamı $b$ olan iki sayı aranır. Genel hâlde ( $a \neq = 1$ ) ise çarpımı $a \cdot c$ , toplamı $b$ olan iki sayı bulunur ve orta terim bu iki parçaya bölünerek gruplama yapılır.

Örnek

Soru

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ denklemini çarpanlara ayırarak çözünüz.

Çarpımı $6$ , toplamı $- 5$ olan iki sayı ara: bunlar $- 2$ ve $- 3$ .
Çarpanlara ayır: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) = 0$ .
Her çarpanı sıfıra eşitle: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ veya $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

x = 2

veya

x = 3

3. Diskriminant ( $Δ$ ) ve Kök Sayısı

Köklerin sayısını ve türünü, denklemi çözmeden önce diskriminant belirler:

$Δ = b^{2} - 4 a c$

$Δ$ değeri	Kök durumu
$Δ > 0$	İki farklı reel kök
$Δ = 0$	Çift (eşit) kök — tek bir reel kök
$Δ < 0$	Reel kök yok

Örnek

Soru

$x^{2} - 4 x + 4 = 0$ denkleminin köklerini, önce diskriminantı bularak inceleyiniz.

Katsayılar: $a = 1$ , $b = - 4$ , $c = 4$ .
Diskriminant: $Δ = b^{2} - 4 a c = (- 4)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0$ .
$Δ = 0$ olduğundan denklemin çift (eşit) kökü vardır. Denklem $(x - 2)^{2} = 0$ biçiminde yazılır.
Tek kök: $x = 2$ .

Sonuç:

Δ = 0

; çift kök

x = 2

Örnek

Soru

$x^{2} + x + 1 = 0$ denkleminin reel kökü var mıdır?

Katsayılar: $a = 1$ , $b = 1$ , $c = 1$ .
Diskriminant: $Δ = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3$ .
$Δ = - 3 < 0$ olduğundan denklemin reel kökü yoktur.

Sonuç: Reel kök yoktur (

Δ < 0

4. Kök Formülü

Çarpanlara ayrılamayan denklemler için her zaman geçerli olan genel çözüm kök formülüdür:

$x = \frac{- b \pm Δ}{2 a} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

Buradaki $\pm$ işareti iki kökü verir: $x_{1} = \frac{- b + Δ}{2 a}$ ve $x_{2} = \frac{- b - Δ}{2 a}$ . Tüm payın $2 a$ 'ya bölündüğüne dikkat et.

Örnek

Soru

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$ denklemini kök formülüyle çözünüz ve sonucu çarpanlara ayırma ile karşılaştırınız.

Katsayılar: $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ .
Diskriminant: $Δ = (- 5)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$ .
Formülü uygula: $x = \frac{- ( - 5 ) \pm 1}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$ .
İki kök: $x_{1} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ ve $x_{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ .

Sonuç:

x = 2

veya

x = 3

— çarpanlara ayırma ile aynı sonuç.

5. Kök–Katsayı (Vieta) Bağıntıları

Kökleri bulmadan, köklerin toplamını ve çarpımını doğrudan katsayılardan elde edebiliriz:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Bu bağıntılar, simetrik ifadelerin hesabını kolaylaştırır. Sık kullanılan bir özdeşlik:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$

Ayrıca kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ olan (baş katsayısı $1$ ) denklem şöyle kurulur:

$x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2} = 0$

Örnek

Soru

$x^{2} - 6 x + 4 = 0$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ olsun. $x_{1} + x_{2}$ , $x_{1} x_{2}$ ve $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ değerlerini bulunuz.

Kökleri bulmana gerek yok. Toplam ve çarpımı Vieta bağıntılarıyla al, sonra $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ özdeşliğini kullan.

Katsayılar: $a = 1$ , $b = - 6$ , $c = 4$ .
Köklerin toplamı: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} = - \frac{- 6}{1} = 6$ .
Köklerin çarpımı: $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{4}{1} = 4$ .
Simetrik ifade: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 6^{2} - 2 \cdot 4 = 36 - 8 = 28$ .

Sonuç:

x_{1} + x_{2} = 6

x_{1} x_{2} = 4

x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 28

Örnek

Soru

Kökleri $2$ ve $3$ olan, baş katsayısı $1$ olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

Toplam ve çarpımı hesapla: $x_{1} + x_{2} = 2 + 3 = 5$ , $x_{1} x_{2} = 2 \cdot 3 = 6$ .
Genel kalıba yerleştir: $x^{2} - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2} = 0$ .
Yerine koy: $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

Sonuç:

x^{2} - 5 x + 6 = 0

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ denklemini çarpanlara ayırarak çözünüz.

Baş katsayı $1$ değil. Çarpımı $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ , toplamı $b = - 7$ olan iki sayı ara ve orta terimi böl.

Çarpımı $6$ , toplamı $- 7$ olan sayılar: $- 1$ ve $- 6$ .
Orta terimi böl: $2 x^{2} - x - 6 x + 3 = 0$ .
Gruplara ayır: $x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1) = 0 \Rightarrow (2 x - 1) (x - 3) = 0$ .
Çözümler: $2 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$ veya $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

x = \frac{1}{2}

veya

x = 3

Örnek

Soru

$x^{2} - 6 x + m = 0$ denkleminin iki farklı reel kökü olması için $m$ hangi koşulu sağlamalıdır?

İki farklı reel kök için $Δ > 0$ olmalı. $Δ$ 'yı $m$ cinsinden yaz ve eşitsizliği çöz.

Katsayılar: $a = 1$ , $b = - 6$ , $c = m$ .
Diskriminant: $Δ = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot m = 36 - 4 m$ .
İki farklı reel kök koşulu: $Δ > 0 \Rightarrow 36 - 4 m > 0$ .
Çöz: $4 m < 36 \Rightarrow m < 9$ .

Sonuç:

m < 9

Örnek

Soru

$x^{2} - 2 x - 5 = 0$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ ise $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ değerini bulunuz.

Paydaları eşitleyince $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$ olur. Toplam ve çarpımı Vieta ile al.

Vieta: $x_{1} + x_{2} = - \frac{- 2}{1} = 2$ ve $x_{1} x_{2} = \frac{- 5}{1} = - 5$ .
İfadeyi tek kesir yap: $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{2} + x _{1}}{x _{1} x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}}$ .
Değerleri yerleştir: $\frac{2}{- 5} = - \frac{2}{5}$ .

Sonuç:

\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = - \frac{2}{5}

Örnek

Soru

$x^{2} + k x + 9 = 0$ denkleminin çift (eşit) kökü olması için $k$ değerlerini bulunuz.

Çift kök için $Δ = 0$ olmalı. $Δ$ 'yı $k$ cinsinden yazıp sıfıra eşitle; iki ayrı $k$ değeri çıkacak.

Katsayılar: $a = 1$ , $b = k$ , $c = 9$ .
Diskriminant: $Δ = k^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 9 = k^{2} - 36$ .
Çift kök koşulu: $Δ = 0 \Rightarrow k^{2} - 36 = 0 \Rightarrow k^{2} = 36$ .
Çöz: $k = 6$ veya $k = - 6$ .

Sonuç:

k = 6

veya

k = - 6

Örnek

Soru

Bir ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı $7$ , çarpımı $10$ 'dur. Bu kökleri ve denklemi bulunuz.

Köklerden $x^{2} - (toplam) x + (\overset{c}{¸} arp ı m) = 0$ kalıbını kur: $x^{2} - 7 x + 10 = 0$ .
Çarpanlara ayır: çarpımı $10$ , toplamı $- 7$ olan sayılar $- 2$ ve $- 5$ , yani $(x - 2) (x - 5) = 0$ .
Kökler: $x = 2$ veya $x = 5$ . (Kontrol: $2 + 5 = 7$ , $2 \cdot 5 = 10$ .)

Sonuç: Denklem

x^{2} - 7 x + 10 = 0

; kökler

x = 2

x = 5

Örnek

Soru

$3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$ denkleminin kök formülüyle reel kökü olup olmadığını inceleyiniz.

Katsayılar: $a = 3$ , $b = - 2$ , $c = 1$ .
Diskriminant: $Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 - 12 = - 8$ .
$Δ = - 8 < 0$ olduğundan $Δ$ reel değildir; kök formülü reel sonuç vermez.
Sonuç: Denklemin reel kökü yoktur.

Sonuç: Reel kök yoktur (

Δ = - 8 < 0

Örnek

Soru

$x^{2} - 7 x + m = 0$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ olup $x_{1} - x_{2} = 3$ ise $m$ kaçtır?

$(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2}$ özdeşliğini kullan. Toplam ve çarpımı Vieta ile katsayılardan oku.

Vieta: $x_{1} + x_{2} = 7$ ve $x_{1} x_{2} = m$ .
Fark özdeşliği: $(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 49 - 4 m$ .
$x_{1} - x_{2} = 3$ verildiğinden: $3^{2} = 49 - 4 m \Rightarrow 9 = 49 - 4 m$ .
Çöz: $4 m = 40 \Rightarrow m = 10$ .

Sonuç:

m = 10

Örnek

Soru

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$ denkleminin kökleri $x_{1}$ ve $x_{2}$ ise $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ değerini bulunuz.

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$ özdeşliğini kullan. Toplam ve çarpımı Vieta ile al.

Vieta: $x_{1} + x_{2} = 3$ ve $x_{1} x_{2} = 1$ .
Küp toplamı özdeşliği: $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = (x_{1} + x_{2})^{3} - 3 x_{1} x_{2} (x_{1} + x_{2})$ .
Yerine koy: $3^{3} - 3 \cdot 1 \cdot 3 = 27 - 9 = 18$ .

Sonuç:

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 18

Örnek

Soru

$x^{2} - (m + 2) x + m + 5 = 0$ denkleminin köklerinden biri $0$ ise diğer kök kaçtır?

Bir kök $0$ ise denklemin sabit terimi sıfır olmalıdır (çünkü çarpım $\frac{c}{a}$ ). Önce $m$ 'yi bul, sonra toplamdan diğer kökü al.

$x = 0$ kök ise denklemi sağlar: $0 - (m + 2) \cdot 0 + m + 5 = 0 \Rightarrow m + 5 = 0 \Rightarrow m = - 5$ .
$m = - 5$ için denklem: $x^{2} - (- 5 + 2) x + 0 = 0 \Rightarrow x^{2} + 3 x = 0$ .
Çarpanlara ayır: $x (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ veya $x = - 3$ .

Sonuç: Diğer kök

x = - 3

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Kök bulma (çarpanlara ayırma / formül): Çarpanlardaki sayıları kök sanmak ((x−2)(x−3)'ten kökleri −2, −3 okumak) doğru köklerin işaretçe tersleri
Diskriminantla kök varlığı / çift kök koşulu (parametre): Δ = b²+4ac yazmak (işaret hatası) parametrenin ters işaretli değeri
Vieta: kökler toplamı ve çarpımı: a'ya bölmeyi unutmak (x₁·x₂=c sanmak) doğru cevabın a katı / a'da biri
Köklere bağlı simetrik ifade (x₁²+x₂², 1/x₁+1/x₂): x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² sanmak (2x₁x₂'yi düşmemek) doğru cevaptan 2x₁x₂ kadar büyük değer
Bir kökü verilen denklemde parametre + diğer kök: Parametreyi bulup diğer kök yerine parametreyi işaretlemek parametrenin değeri (soru diğer kökü sorarken)
Dönüştürülmüş kökleri verilen denklemi kurma: x²−Sx+P kalıbında toplamın işaretini düz yazmak (x²+Sx+P) orta terimi işaretçe ters denklem

Soru 1Orta

x^{2} + (k - 1) x + 4 = 0

denkleminin çift katlı (tek) kökü vardır. Buna göre

k

'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

Tek (çift katlı) kök için diskriminant sıfır: $Δ = (k - 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0$ .
$(k - 1)^{2} = 16 \Rightarrow k - 1 = \pm 4 \Rightarrow k = 5$ ya da $k = - 3$ .
Değerlerin toplamı: $5 + (- 3) = 2$ .

Sonuç:

2

Soru 2Kolay

x^{2} - 3 x + 1 = 0

denkleminin kökleri

a

b

olduğuna göre

a^{2} + b^{2}

değeri kaçtır?

Vieta: $a + b = 3$ , $a \cdot b = 1$ .
$a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 3^{2} - 2 \cdot 1 = 9 - 2 = 7$ .

Sonuç:

7

Soru 3Orta

Kökleri

x_{1}

x_{2}

olan

2 x^{2} - 8 x + 3 = 0

denklemi için

\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}

değeri kaçtır?

Vieta: $x_{1} + x_{2} = \frac{8}{2} = 4$ , $x_{1} x_{2} = \frac{3}{2}$ .
$\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}} = \frac{x _{1} + x _{2}}{x _{1} x _{2}} = \frac{4}{\frac{3}{2}} = \frac{8}{3}$ .

Sonuç:

\frac{8}{3}

Soru 4Zor

x^{2} - 6 x + 2 = 0

denkleminin kökleri

x_{1}

x_{2}

'dir. Kökleri

x_{1}^{2}

x_{2}^{2}

olan ikinci dereceden denklem

x^{2} + p x + q = 0

biçiminde yazılıyor. Buna göre

p + q

toplamı kaçtır?

Vieta: $x_{1} + x_{2} = 6$ , $x_{1} x_{2} = 2$ .
Karelerin toplamı: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 36 - 4 = 32$ .
Karelerin çarpımı: $x_{1}^{2} x_{2}^{2} = (x_{1} x_{2})^{2} = 2^{2} = 4$ .
Yeni denklem $x^{2} - (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) x + x_{1}^{2} x_{2}^{2} = 0$ olduğundan $p = - 32$ , $q = 4$ .
Toplam: $p + q = - 32 + 4 = - 28$ .

Sonuç:

- 28

Soru 5Zor

x^{2} - (2 k - 1) x + k^{2} - 1 = 0

denkleminin reel kökü olmadığına göre

k

'nin alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?

Katsayılar: $a = 1$ , $b = - (2 k - 1)$ , $c = k^{2} - 1$ .
Diskriminant: $Δ = (2 k - 1)^{2} - 4 (k^{2} - 1) = 4 k^{2} - 4 k + 1 - 4 k^{2} + 4 = - 4 k + 5$ .
Reel kök yok: $Δ < 0 \Rightarrow - 4 k + 5 < 0 \Rightarrow k > \frac{5}{4}$ .
Bu koşulu sağlayan en küçük tam sayı $k = 2$ 'dir.

Sonuç:

2

Soru 6Zor

a x^{2} + b x + c = 0

denkleminin kökleri

2

- 3

'tür. Aynı

a

b

c

için

c x^{2} + b x + a = 0

denkleminin kökleri toplamı kaçtır?

İlk denklemin köklerinin tersi, $c x^{2} + b x + a = 0$ denkleminin kökleridir. (Denklemi $x^{2}$ ile bölüp $\frac{1}{x} = t$ koyunca bu görülür.)
Yeni kökler: $\frac{1}{2}$ ve $\frac{1}{- 3} = - \frac{1}{3}$ .
Toplam: $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$ .

Sonuç:

\frac{1}{6}

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Kök formülünde $2 a$ 'ya bölmeyi unutmak. $x = \frac{- b \pm Δ}{2 a}$ ifadesinde tüm pay $2 a$ 'ya bölünür; yalnızca $Δ$ değil, $- b$ terimi de bu paydanın içindedir.
Köklerin toplamını $+ \frac{b}{a}$ sanmak. Doğrusu $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ 'dır (işaret eksi). Çarpım ise $x_{1} x_{2} = + \frac{c}{a}$ 'dır.
$a \neq = 0$ koşulunu gözden kaçırmak. $a = 0$ ise denklem ikinci dereceden olmaktan çıkar; diskriminant ve kök formülü uygulanamaz.
$Δ < 0$ durumunda "kök yok" yerine "çözüm yok" gibi davranmak. Reel kök yoktur; ancak karmaşık (kompleks) sayılar kümesinde iki kök vardır.

Sınav İpucu

Köklerin sayısı veya işareti soruluyorsa, denklemi çözmeden önce diskriminanta bak: $Δ > 0$ iki farklı reel kök, $Δ = 0$ çift kök, $Δ < 0$ reel kök yok. Toplam–çarpım ( $- \frac{b}{a}$ ve $\frac{c}{a}$ ) ya da simetrik ifade ( $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ , $\frac{1}{x _{1}} + \frac{1}{x _{2}}$ gibi) soruluyorsa kökleri tek tek bulmaya çalışma; Vieta bağıntıları çoğu zaman dakikalar kazandırır.

1. İkinci Dereceden Denklem Nedir?

2. Çarpanlara Ayırma ile Çözüm

3. Diskriminant (Δ) ve Kök Sayısı

4. Kök Formülü

5. Kök–Katsayı (Vieta) Bağıntıları

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İkinci Dereceden Denklemler ve Parabol — diğer konular

3. Diskriminant ( $Δ$ ) ve Kök Sayısı