İkinci Dereceden Denklemler — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Kök bulma (çarpanlara ayırma / formül)

   KolaySık çıkar

   Denklemin kökleri doğrudan istenir. Çarpanlara ayrılıyorsa ayır; ayrılmıyorsa diskriminant formülü. Konunun kapı sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Önce çarpanlara ayırmayı dene: x²+bx+c'de çarpımı c, toplamı −b olan iki sayı ara.
   2. Ayrılmıyorsa formül: x = (−b ± √Δ) / 2a, Δ = b²−4ac.
   3. Kökleri denklemde yerine koyup sağlamasını yap (10 saniyelik sigorta).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Çarpanlardaki sayıları kök sanmak ((x−2)(x−3)'ten kökleri −2, −3 okumak)→doğru köklerin işaretçe tersleri
   • Formülde −b yerine b yazmak→kökler toplamı ters işaretli yanlış kök çifti

   Örnek

   x²−5x+6=0 denkleminin büyük kökü kaçtır?

   (x−2)(x−3)=0 ⇒ kökler 2 ve 3, büyük kök 3

   Sık birleştiği konular: Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler

2. 02

   Diskriminantla kök varlığı / çift kök koşulu (parametre)

   OrtaSık çıkar

   Parametreli denklemde 'çift (çakışık) kök', 'farklı iki reel kök' ya da 'reel kök yok' koşulu verilir. Δ'nın işareti üzerinden parametre çözülür.

   Nasıl çözülür

   1. Δ = b²−4ac'yi parametre cinsinden yaz.
   2. Koşulu çevir: çift kök ⇒ Δ=0, farklı iki reel kök ⇒ Δ>0, reel kök yok ⇒ Δ<0.
   3. Denklemi/eşitsizliği parametre için çöz; 'tam sayı' gibi ek koşul varsa en son uygula.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Δ = b²+4ac yazmak (işaret hatası)→parametrenin ters işaretli değeri
   • Çift kök için Δ=0 yerine Δ>0 kullanmak→tek değer yerine aralık — şıklarla eşleşmeyen sonuç

   Örnek

   x²−6x+m=0 denkleminin çift kökü olduğuna göre m kaçtır?

   Δ=36−4m=0 ⇒ m=9

3. 03

   Vieta: kökler toplamı ve çarpımı

   KolaySık çıkar

   Kökleri bulmadan x₁+x₂=−b/a ve x₁·x₂=c/a kullanılır; çoğu kez katsayıda bilinmeyen vardır. a'ya bölmeyi unutturan katsayılar bilerek seçilir.

   Nasıl çözülür

   1. Denklemi ax²+bx+c=0 biçimine getir, a, b, c'yi netleştir.
   2. x₁+x₂ = −b/a, x₁·x₂ = c/a yaz — a≠1 ise bölmeyi atlama.
   3. Verilen koşulu (toplam/çarpım değeri) formüle eşleyip bilinmeyeni çöz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • a'ya bölmeyi unutmak (x₁·x₂=c sanmak)→doğru cevabın a katı / a'da biri
   • Çarpım formülüne toplamın eksisini bulaştırmak (x₁·x₂=−c/a yazmak)→doğru cevabın işaretçe tersi

   Örnek

   2x²−6x+k=0 denkleminde köklerin çarpımı 5 ise k kaçtır?

   x₁·x₂=k/2=5 ⇒ k=10

4. 04

   Köklere bağlı simetrik ifade (x₁²+x₂², 1/x₁+1/x₂)

   OrtaSık çıkar

   Kökler bulunmadan, istenen ifade toplam-çarpım cinsine çevrilir: x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂, 1/x₁+1/x₂=(x₁+x₂)/(x₁x₂). ÖSYM'nin Vieta üstüne kurduğu standart ikinci adım.

   Nasıl çözülür

   1. Vieta ile x₁+x₂ ve x₁·x₂'yi yaz.
   2. İstenen ifadeyi bu ikisine çevir: kare toplamı için (toplam)²−2(çarpım); ters toplamı için toplam/çarpım.
   3. Sayıları yerine koy; kökleri TEK TEK bulmaya asla kalkışma.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² sanmak (2x₁x₂'yi düşmemek)→doğru cevaptan 2x₁x₂ kadar büyük değer
   • −2x₁x₂ yerine +2x₁x₂ almak→doğru cevaptan 4x₁x₂ kadar sapmış değer

   Örnek

   x²−4x+2=0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise x₁²+x₂² kaçtır?

   x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂=16−2·2=12

5. 05

   Bir kökü verilen denklemde parametre + diğer kök

   OrtaSık çıkar

   Parametreli denklemin bir kökü sayı olarak verilir; parametre ve/veya diğer kök istenir. Kökü yerine koy, sonra Vieta ile diğer köke geç. İki soruluk iş tek soruda.

   Nasıl çözülür

   1. Verilen kökü denklemde yerine koy, parametreyi çöz.
   2. Diğer kök için Vieta kullan: x₂ = (kökler toplamı) − x₁ ya da x₂ = (kökler çarpımı) / x₁.
   3. Sorunun NEYİ istediğini işaretle: parametre mi, diğer kök mü? (En çok burada puan gider.)

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Parametreyi bulup diğer kök yerine parametreyi işaretlemek→parametrenin değeri (soru diğer kökü sorarken)
   • Kökü yerine koyarken bir terimin işaretini ters almak→yanlış parametre, ondan türeyen yanlış diğer kök

   Örnek

   x²−7x+m=0 denkleminin bir kökü 2'dir. Diğer kökü kaçtır?

   4−14+m=0 ⇒ m=10; kökler toplamı 7 ⇒ diğer kök 7−2=5

6. 06

   Dönüştürülmüş kökleri verilen denklemi kurma

   ZorSık çıkar

   Kökleri x₁, x₂ olan denklemden, kökleri 2x₁ ve 2x₂ ya da x₁+1 ve x₂+1 gibi dönüşmüş yeni denklem istenir. x²−(toplam)x+(çarpım)=0 kalıbı kurulur.

   Nasıl çözülür

   1. Eski denklemden Vieta ile x₁+x₂ ve x₁·x₂'yi çıkar.
   2. Yeni köklerin toplamını ve çarpımını eskiler cinsinden hesapla (ör. (x₁+1)(x₂+1)=x₁x₂+x₁+x₂+1).
   3. Yeni denklemi yaz: x² − (yeni toplam)x + (yeni çarpım) = 0. Toplamın önündeki EKSİ kalıbın parçasıdır.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • x²−Sx+P kalıbında toplamın işaretini düz yazmak (x²+Sx+P)→orta terimi işaretçe ters denklem
   • Yalnız toplamı dönüştürüp çarpımı eski bırakmak→sabit terimi yanlış denklem

   Örnek

   x²−3x+1=0 denkleminin kökleri x₁, x₂'dir. Kökleri x₁+1 ve x₂+1 olan denklem nedir?

   Yeni toplam=3+2=5, yeni çarpım=1+3+1=5 ⇒ x²−5x+5=0

7. 07

   Ortak kök problemi

   Zor

   İki denklemin bir ortak kökü olduğu söylenir, parametre istenir. Kökü belli denklemin köklerini tek tek deneyip parametre denklemini kurmak en hızlı yol; ek koşul (tam sayı vb.) doğru dalı seçtirir.

   Nasıl çözülür

   1. Katsayıları belli olan denklemin köklerini bul.
   2. Her kökü parametreli denklemde yerine koy, her dal için parametreyi hesapla.
   3. Sorudaki ek koşulla (parametre tam sayı, pozitif vb.) doğru dalı seç.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Ek koşulu görmeyip öteki kökten gelen kesirli parametrede kalmak→diğer dalın kesirli/koşula aykırı değeri
   • Kökü yerine koyarken kare almayı unutmak (x² yerine x yazmak)→birinci dereceden yanlış denklemin ürettiği parametre

   Örnek

   x²−5x+6=0 ile x²−ax+8=0 denklemlerinin bir ortak kökü vardır. a tam sayı olduğuna göre a kaçtır?

   İlk denklemin kökleri 2 ve 3. x=2: 4−2a+8=0 ⇒ a=6 (tam sayı ✓); x=3: a=17/3 (elenir). a=6

   Sık birleştiği konular: İkinci Dereceden Denklem Sistemleri