11. Sınıf · Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

İkinci Dereceden Denklem Sistemleri

~8 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soru

Bir denklem sistemi, aynı anda sağlanması gereken birden çok denklemin bir araya gelmesidir. Bu derste ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sistemlerini çözeceğiz: bir doğru ile bir parabolün ( $y = a x^{2} + b x + c$ ile $y = m x + n$ ) ya da iki eğrinin ortak noktalarını arayacağız. Ana yöntemimiz yerine koyma (yok etme) olacak: bir bilinmeyeni diğeri cinsinden yazıp tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denkleme indirgeyeceğiz. Çözüm sayısının ( $0$ , $1$ ya da $2$ ) ne anlama geldiğini diskriminant ( $Δ$ ) ile geometrik olarak yorumlayacağız. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Doğrusal–İkinci Derece Sistemi: Yerine Koyma

En sık karşılaşılan sistem, bir doğrusal denklem ile bir ikinci dereceden denklemden oluşur:

${y = x^{2} + b x + c y = m x + n$

Her iki denklemde de $y$ yalnız olduğundan, ifadeleri eşitleriz. Bu, tek bilinmeyenli ikinci dereceden bir denklem verir; köklerini bulup karşılık gelen $y$ değerlerini hesaplarız. Geometrik olarak çözümler, doğru ile eğrinin kesişim noktalarıdır.

Örnek

Soru

${y = x^{2} y = x + 2$ sistemini çözünüz.

İki ifadeyi eşitle: $x^{2} = x + 2$ .
Bir tarafa topla: $x^{2} - x - 2 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(x - 2) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2$ veya $x = - 1$ .
$y$ değerleri ( $y = x + 2$ ): $x = 2$ için $y = 4$ ; $x = - 1$ için $y = 1$ .

Sonuç:

(2, 4)

(- 1, 1)

2. Çözüm Sayısı ve Diskriminant

Yerine koyma sonunda $a x^{2} + b x + c = 0$ biçiminde bir denklem elde ederiz. Kök sayısı, doğru ile eğrinin kesişim sayısını verir ve $Δ = b^{2} - 4 a c$ ile belirlenir:

$Δ > 0 \Rightarrow 2 kesi \overset{s}{¸} im Δ = 0 \Rightarrow 1 kesi \overset{s}{¸} im (te \overset{g}{˘} et) Δ < 0 \Rightarrow kesi \overset{s}{¸} im yok$

$Δ = 0$ durumunda doğru, eğriye teğettir (bir ortak nokta). $Δ < 0$ ise sistem reel çözümsüzdür.

Şekil 1 —

y = x^{2} - 4 x + 3

parabolü; kökleri

x = 1

x = 3

, tepe noktası

T (2, - 1)

. Bir doğru bu eğriyi

Δ

'ya göre iki noktada keser, teğet geçer ya da hiç kesmez.

Örnek

Soru

${y = x^{2} + 1 y = 2 x$ sisteminin kaç çözümü vardır?

İfadeleri eşitleyip $a x^{2} + b x + c = 0$ biçimine getir, sonra $Δ = b^{2} - 4 a c$ işaretine bak.

Eşitle: $x^{2} + 1 = 2 x \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = 0$ .
$Δ = (- 2)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$ .
$Δ = 0$ olduğundan tek çözüm vardır (doğru parabole teğet).
Tek kök: $x = \frac{2}{2} = 1$ , $y = 2 \cdot 1 = 2$ .

Sonuç: Bir çözüm:

(1, 2)

(teğet).

3. İki Bilinmeyen, Tek Denklem: $x$ 'i Çekme

Sistemin doğrusal denklemi $y$ yerine $x$ ile verilmiş olabilir ( $x = \dots$ ) ya da $x + y$ , $x - y$ gibi bir bağıntı içerebilir. O zaman doğrusal denklemden bir bilinmeyeni çekip ikinci dereceden denklemde yerine koyarız.

Örnek

Soru

${x + y = 5 x^{2} + y^{2} = 13$ sistemini çözünüz.

Doğrusal denklemden $y$ 'yi çek: $y = 5 - x$ .
İkinci denklemde yerine koy: $x^{2} + (5 - x)^{2} = 13$ .
Aç: $x^{2} + 25 - 10 x + x^{2} = 13 \Rightarrow 2 x^{2} - 10 x + 12 = 0$ .
$2$ 'ye böl: $x^{2} - 5 x + 6 = 0 \Rightarrow (x - 2) (x - 3) = 0$ .
$x = 2 \Rightarrow y = 3$ ; $x = 3 \Rightarrow y = 2$ .

Sonuç:

(2, 3)

(3, 2)

4. Çarpım ve Toplam Verilen Sistemler

${x + y = S x y = P$ biçimindeki sistemlerde $x$ ve $y$ , kökleri toplamı $S$ , çarpımı $P$ olan

$t^{2} - S t + P = 0$

denkleminin kökleridir (Vieta bağıntıları). Bu, simetrik sistemleri hızla çözmenin pratik yoludur.

Örnek

Soru

${x + y = 7 x y = 12$ sistemini çözünüz.

$x$ ve $y$ , $t^{2} - (x + y) t + x y = 0$ denkleminin kökleridir.

Yardımcı denklemi kur: $t^{2} - 7 t + 12 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(t - 3) (t - 4) = 0 \Rightarrow t = 3$ veya $t = 4$ .
Kökler $3$ ve $4$ olduğundan ${x, y} = {3, 4}$ .

Sonuç:

(3, 4)

(4, 3)

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

${y = x^{2} - 3 x y = x - 3$ sistemini çözünüz.

Eşitle: $x^{2} - 3 x = x - 3$ .
Düzenle: $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 3) = 0$ .
$x = 1$ veya $x = 3$ .
$y = x - 3$ : $x = 1 \Rightarrow y = - 2$ ; $x = 3 \Rightarrow y = 0$ .

Sonuç:

(1, - 2)

(3, 0)

Örnek

Soru

$y = x^{2} - 2 x + 4$ parabolü ile $y = k$ doğrusunun teğet olması için $k$ kaç olmalıdır?

Eşitleyince oluşan ikinci dereceden denklemde $Δ = 0$ olmalı; ya da tepe noktasının $y$ değerini bul.

Eşitle: $x^{2} - 2 x + 4 = k \Rightarrow x^{2} - 2 x + (4 - k) = 0$ .
Teğet için $Δ = 0$ : $(- 2)^{2} - 4 (4 - k) = 0$ .
$4 - 16 + 4 k = 0 \Rightarrow 4 k = 12 \Rightarrow k = 3$ .
Kontrol: tepe noktası $x = 1$ 'de $y = 1 - 2 + 4 = 3$ — yatay doğru tam tepeye teğet.

Sonuç:

k = 3

Örnek

Soru

${x - y = 1 x y = 6$ sistemini çözünüz.

Doğrusal denklemden $x$ 'i çek: $x = y + 1$ .
Yerine koy: $(y + 1) y = 6 \Rightarrow y^{2} + y - 6 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(y + 3) (y - 2) = 0 \Rightarrow y = - 3$ veya $y = 2$ .
$x = y + 1$ : $y = - 3 \Rightarrow x = - 2$ ; $y = 2 \Rightarrow x = 3$ .

Sonuç:

(- 2, - 3)

(3, 2)

Örnek

Soru

${y = x^{2} y = 2 x + m$ sisteminin gerçek çözümü olmaması için $m$ hangi değerleri alır?

Eşitleyip $Δ < 0$ koşulunu yaz; $m$ 'yi içeren bir eşitsizlik çöz.

Eşitle: $x^{2} = 2 x + m \Rightarrow x^{2} - 2 x - m = 0$ .
Çözümsüzlük için $Δ < 0$ : $(- 2)^{2} - 4 (1) (- m) < 0$ .
$4 + 4 m < 0 \Rightarrow 4 m < - 4 \Rightarrow m < - 1$ .

Sonuç:

m < - 1

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

${y = x^{2} y = 3 x - 2$ sistemini çöz.

Eşitle: $x^{2} = 3 x - 2 \Rightarrow x^{2} - 3 x + 2 = 0$ .
$(x - 1) (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 1$ veya $x = 2$ .
$y = 3 x - 2$ : $x = 1 \Rightarrow y = 1$ ; $x = 2 \Rightarrow y = 4$ .

Sonuç:

(1, 1)

(2, 4)

Örnek

Soru

${x + y = 6 x y = 8$ sistemini çöz.

Yardımcı denklem: $t^{2} - 6 t + 8 = 0$ .
$(t - 2) (t - 4) = 0 \Rightarrow t = 2$ veya $t = 4$ .

Sonuç:

(2, 4)

(4, 2)

Örnek

Soru

${y = x^{2} - 1 y = x + 1$ sistemini çöz.

Eşitle: $x^{2} - 1 = x + 1 \Rightarrow x^{2} - x - 2 = 0$ .
$(x - 2) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 2$ veya $x = - 1$ .
$y = x + 1$ : $x = 2 \Rightarrow y = 3$ ; $x = - 1 \Rightarrow y = 0$ .

Sonuç:

(2, 3)

(- 1, 0)

Örnek

Soru

${x - y = 2 x^{2} - y^{2} = 16$ sistemini çöz.

$x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)$ özdeşliğini kullan; $x - y$ zaten verilmiş.

Çarpanlara ayır: $x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y) = 16$ .
$x - y = 2$ olduğundan $2 (x + y) = 16 \Rightarrow x + y = 8$ .
Artık sistem ${x - y = 2 x + y = 8$ . Topla: $2 x = 10 \Rightarrow x = 5$ , $y = 3$ .

Sonuç:

(5, 3)

Örnek

Soru

$y = x^{2} + 2 x + 5$ parabolü ile $y = 2 x + k$ doğrusunun teğet olması için $k$ kaçtır?

Eşitle: $x^{2} + 2 x + 5 = 2 x + k \Rightarrow x^{2} + (5 - k) = 0$ .
Teğet için $Δ = 0$ . Burada $b = 0$ , $c = 5 - k$ : $Δ = 0 - 4 (5 - k) = 0$ .
$- 20 + 4 k = 0 \Rightarrow k = 5$ .

Sonuç:

k = 5

Örnek

Soru

${x + y = 4 x^{2} + y^{2} = 10$ sistemini çöz.

$y = 4 - x$ yerine koy: $x^{2} + (4 - x)^{2} = 10$ .
Aç: $x^{2} + 16 - 8 x + x^{2} = 10 \Rightarrow 2 x^{2} - 8 x + 6 = 0$ .
$2$ 'ye böl: $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x - 3) = 0$ .
$x = 1 \Rightarrow y = 3$ ; $x = 3 \Rightarrow y = 1$ .

Sonuç:

(1, 3)

(3, 1)

Örnek

Soru

${y = x^{2} - 4 x + 3 y = - x + 3$ sisteminin çözümlerini bul; doğru parabolü hangi noktalarda keser?

İfadeleri eşitle; ortaya çıkan ikinci dereceden denklemin kökleri kesişim apsisleridir.

Eşitle: $x^{2} - 4 x + 3 = - x + 3 \Rightarrow x^{2} - 3 x = 0$ .
Ortak çarpan: $x (x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ veya $x = 3$ .
$y = - x + 3$ : $x = 0 \Rightarrow y = 3$ ; $x = 3 \Rightarrow y = 0$ .

Sonuç:

(0, 3)

(3, 0)

Örnek

Soru

$⎩ ⎨ ⎧ x + y = 5 \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{5}{6}$ sistemini çöz.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y}$ özdeşliğiyle $x y$ 'yi bul; sonra toplam–çarpım yöntemini uygula.

Paydaları birleştir: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{x + y}{x y} = \frac{5}{x y}$ .
Bu $\frac{5}{6}$ 'ya eşit: $\frac{5}{x y} = \frac{5}{6} \Rightarrow x y = 6$ .
Toplam $5$ , çarpım $6$ : $t^{2} - 5 t + 6 = 0 \Rightarrow (t - 2) (t - 3) = 0$ .
Kökler $2$ ve $3$ .

Sonuç:

(2, 3)

(3, 2)

Örnek

Soru

${y = x^{2} y = 2 x + m$ sisteminin çözüm kümesinde köklerin çarpımı $- 3$ ise $m$ kaçtır? Bu $m$ için çözümleri bulun.

Eşitleyince $x^{2} - 2 x - m = 0$ olur; köklerin çarpımı $\frac{c}{a} = - m$ 'dir.

Eşitle: $x^{2} = 2 x + m \Rightarrow x^{2} - 2 x - m = 0$ .
Köklerin çarpımı $\frac{c}{a} = \frac{- m}{1} = - m$ . Bu $- 3$ 'e eşit: $- m = - 3 \Rightarrow m = 3$ .
Denklem: $x^{2} - 2 x - 3 = 0 \Rightarrow (x - 3) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 3$ veya $x = - 1$ .
$y = x^{2}$ : $x = 3 \Rightarrow y = 9$ ; $x = - 1 \Rightarrow y = 1$ .

Sonuç:

m = 3

; çözümler

(3, 9)

(- 1, 1)

Sık Yapılan Hatalar

$y$ değerlerini bulmayı unutmak. Sistemin çözümü bir sayı değil, bir $(x, y)$ ikilisidir; $x$ 'leri bulduktan sonra mutlaka karşılık gelen $y$ 'leri hesapla.
$y$ 'yi yanlış denklemde yerine koymak. $x$ değerini, hesabı kolay olan denklemde (genelde doğrusal olanda) yerine koy; iki denklemde de aynı $y$ çıkmalı.
$Δ$ ile çözüm sayısını karıştırmak. $Δ > 0$ iki, $Δ = 0$ bir (teğet), $Δ < 0$ sıfır gerçek çözüm demektir; "teğet" tek noktada kesişmedir.
Toplam–çarpım denkleminde işaret hatası. $t^{2} - S t + P = 0$ 'da toplamın katsayısı eksi $S$ , sabit terim artı $P$ 'dir.

Not: İkinci dereceden bir sistemde refleksin yerine koyma olsun: doğrusal denklemden bir bilinmeyeni çek, tek bilinmeyenli ikinci derece denklemi kur, köklerini bul ve geri yerleştir. $x + y$ ile $x y$ verilmişse $t^{2} - S t + P = 0$ kısayolu işini hızlandırır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

{y = x^{2} - 2 x y = x + 4

sisteminin çözümleri aşağıdakilerden hangisidir?

İki ifadeyi eşitle: $x^{2} - 2 x = x + 4$ .
Bir tarafa topla: $x^{2} - 3 x - 4 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(x - 4) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 4$ veya $x = - 1$ .
$y = x + 4$ ile: $x = 4 \Rightarrow y = 8$ ; $x = - 1 \Rightarrow y = 3$ .

Sonuç:

(4, 8)

(- 1, 3)

Soru 2Kolay

{x + y = 9 x y = 20

sisteminin çözümleri aşağıdakilerden hangisidir?

$x$ ve $y$ , toplamı $9$ , çarpımı $20$ olan denklemin kökleridir: $t^{2} - 9 t + 20 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(t - 4) (t - 5) = 0 \Rightarrow t = 4$ veya $t = 5$ .
Kökler $4$ ve $5$ olduğundan ${x, y} = {4, 5}$ .

Sonuç:

(4, 5)

(5, 4)

Soru 3Orta

y = x^{2} + 4 x + k

parabolü ile

y = 2 x + 1

doğrusunun teğet olması için

k

kaç olmalıdır?

İki ifadeyi eşitle: $x^{2} + 4 x + k = 2 x + 1$ .
Düzenle: $x^{2} + 2 x + (k - 1) = 0$ .
Teğet için $Δ = 0$ : $(2)^{2} - 4 (1) (k - 1) = 0$ .
$4 - 4 k + 4 = 0 \Rightarrow 8 = 4 k \Rightarrow k = 2$ .

Sonuç:

k = 2

Soru 4Orta

{y = x^{2} y = - 4 x + m

sisteminin gerçek çözümü olmaması için

m

hangi değerleri almalıdır?

İfadeleri eşitle: $x^{2} = - 4 x + m \Rightarrow x^{2} + 4 x - m = 0$ .
Çözümsüzlük için $Δ < 0$ : $(4)^{2} - 4 (1) (- m) < 0$ .
$16 + 4 m < 0 \Rightarrow 4 m < - 16 \Rightarrow m < - 4$ .

Sonuç:

m < - 4

Soru 5Orta

{x + y = 6 x^{2} + y^{2} = 20

sisteminde

x \cdot y

çarpımının değeri kaçtır?

$(x + y)^{2} = x^{2} + 2 x y + y^{2}$ özdeşliğini kullan.
$6^{2} = 20 + 2 x y \Rightarrow 36 = 20 + 2 x y$ .
$2 x y = 16 \Rightarrow x y = 8$ .

Sonuç:

x y = 8

Soru 6Zor

Çevresi

26

cm ve alanı

40

^{2}

olan bir dikdörtgenin uzun kenarı kaç cm'dir?

Kenarlar $x$ ve $y$ olsun. Çevre $2 (x + y) = 26 \Rightarrow x + y = 13$ .
Alan $x y = 40$ .
$x$ ve $y$ , $t^{2} - 13 t + 40 = 0$ denkleminin kökleridir.
Çarpanlara ayır: $(t - 5) (t - 8) = 0 \Rightarrow t = 5$ veya $t = 8$ .
Kenarlar $5$ ve $8$ cm; uzun kenar $8$ cm'dir.

Sonuç: Uzun kenar

8

cm.

0/6 soru cevaplandı

1. Doğrusal–İkinci Derece Sistemi: Yerine Koyma

2. Çözüm Sayısı ve Diskriminant

3. İki Bilinmeyen, Tek Denklem: x'i Çekme

4. Çarpım ve Toplam Verilen Sistemler

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri — diğer konular

3. İki Bilinmeyen, Tek Denklem: $x$ 'i Çekme