11. Sınıf · Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri

İkinci Dereceden Eşitsizlikler ve Sistemler

~8 dk okumaZorluk: Zor19 çözümlü soru

İkinci dereceden bir eşitsizlik ( $ax^2+bx+c>0$ gibi), bir parabolün hangi $x$ değerlerinde eksenin üstünde ya da altında olduğunu sorar. Bu derste eşitsizliği işaret tablosu (işaret incelemesi) ile çözmeyi, diskriminanta göre değişen durumları ( $\Delta>0,\ \Delta=0,\ \Delta<0$ ) ve birden çok eşitsizliğin ortak çözümünü arayan eşitsizlik sistemlerini öğreneceğiz. Temel araç şudur: ifadeyi çarpanlarına ayır, köklerini bul ve "baş katsayı ile aynı işaret dışta, ters işaret içeride" kuralını uygula. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Köklerin Bulunması ve Çarpanlara Ayırma

$ax^2+bx+c$ ifadesinin işaretini incelemek için önce köklerini ( $ax^2+bx+c=0$ denkleminin çözümlerini) buluruz. Çarpanlara ayrılırsa kökler doğrudan okunur:

$ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$

Burada $x_1,\,x_2$ köklerdir. Bir parabolün eksenleri kestiği yerler de bu köklerdir.

Şekil 1 —

y=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)

. Kökler

x=1

x=3

; eğri kökler arasında ekseninin altında (

y<0

), kökler dışında üstündedir (

y>0

). İşte eşitsizlik çözümünün geometrik anlamı budur.

Örnek

Soru

$x^2 - x - 6$ ifadesini çarpanlarına ayırıp köklerini bulunuz.

Çarpımları $-6$ , toplamları $-1$ olan iki sayı: $-3$ ve $2$ .
Çarpanlara ayır: $x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2)$ .
Kökler: $x=3$ ve $x=-2$ .

Sonuç:

(x-3)(x+2)

; kökler

-2

3

2. İşaret Tablosu (İşaret İncelemesi)

Kökler sayı doğrusunu bölgelere ayırır. Baş katsayı $a>0$ ise, ifade kökler dışında $a$ ile aynı işaretli (pozitif), kökler arasında ters işaretli (negatif) olur. Kısaca: "ortada ters, dışta aynı". ( $a<0$ ise tüm işaretler terslenir.)

Şekil 2 —

f(x)=x^2-x-6=(x+2)(x-3)

için işaret tablosu;

a=1>0

. Kökler

-2

3

. İfade kökler dışında pozitif, kökler arasında negatiftir.

Örnek

Soru

$x^2 - x - 6 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Çarpanlara ayır: $(x+2)(x-3)>0$ ; kökler $-2$ ve $3$ .
$a=1>0$ olduğundan ifade kökler dışında pozitiftir.
Çözüm kümesi: $x<-2$ veya $x>3$ .

Sonuç:

x \in (-\infty,\,-2) \cup (3,\,+\infty)

Örnek

Soru

$x^2 - x - 6 \le 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

İfade arasında negatiftir. $\le$ olduğundan kökler de çözüme dahildir (kapalı aralık).

Kökler $-2$ ve $3$ ; ifade kökler arasında negatiftir.
$\le 0$ istendiği için bu bölgeyi ve kökleri alırız.
Çözüm: $-2 \le x \le 3$ .

Sonuç:

x \in [-2,\,3]

3. Diskriminanta Göre Özel Durumlar

Çarpanlara kolayca ayrılmazsa kökleri bulmak için $\Delta=b^2-4ac$ 'ye bakarız. $a>0$ alındığında:

$\Delta>0:\ \text{iki kök} \qquad \Delta=0:\ \text{çift kök} \qquad \Delta<0:\ \text{reel kök yok}$

$\Delta=0$ : ifade $a(x-x_0)^2$ olur; kök dışında $a$ ile aynı işaretli, kökte sıfırdır.
$\Delta<0$ : parabol ekseni hiç kesmez; ifade her $x$ için $a$ ile aynı işaretlidir (hep pozitif ya da hep negatif).

Örnek

Soru

$x^2 + 4 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

$\Delta = 0^2 - 4\cdot1\cdot4 = -16 < 0$ ; reel kök yok.
$a=1>0$ olduğundan ifade her zaman pozitiftir.
Eşitsizlik her $x$ için sağlanır.

Sonuç:

x \in \mathbb{R}

(tüm gerçek sayılar).

Örnek

Soru

$x^2 - 6x + 9 \ge 0$ eşitsizliğini çözünüz.

$x^2-6x+9=(x-3)^2$ tam karedir; bir kare daima negatif olamaz.

Tam kare: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$ .
Bir kare her zaman $\ge 0$ 'dır.
Bu yüzden eşitsizlik her $x$ için sağlanır (eşitlik yalnız $x=3$ 'te).

Sonuç:

x \in \mathbb{R}

4. Eşitsizlik Sistemleri

Bir eşitsizlik sistemi, aynı anda sağlanması gereken birden çok eşitsizliktir. Her birini ayrı ayrı çözer, sonra çözüm kümelerinin kesişimini (ortak kısmını) alırız. Sayı doğrusunda her iki çözümü işaretleyip örtüşen bölgeyi okumak en güvenli yoldur.

Örnek

Soru

$\begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases}$ sistemini çözünüz.

Birinci eşitsizlik: $(x-2)(x+2)<0 \Rightarrow -2 < x < 2$ .
İkinci eşitsizlik: $x > 1$ .
Kesişim (her ikisinin ortak bölgesi): $1 < x < 2$ .

Sonuç:

x \in (1,\,2)

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$x^2 - 5x + 6 < 0$ eşitsizliğini çözünüz.

Çarpanlara ayır: $(x-2)(x-3)<0$ ; kökler $2$ ve $3$ .
$a>0$ olduğundan ifade kökler arasında negatiftir.
Çözüm: $2 < x < 3$ .

Sonuç:

x \in (2,\,3)

Örnek

Soru

$-x^2 + 2x + 3 \ge 0$ eşitsizliğini çözünüz.

Baş katsayı negatif. İstersen tüm ifadeyi $-1$ ile çarp ve eşitsizlik yönünü çevir, ya da $a<0$ kuralını doğrudan uygula.

Tüm ifadeyi $-1$ ile çarp, yönü çevir: $x^2 - 2x - 3 \le 0$ .
Çarpanlara ayır: $(x-3)(x+1)\le 0$ ; kökler $-1$ ve $3$ .
$a>0$ ; ifade kökler arasında negatiftir, $\le 0$ kökleri de alır.
Çözüm: $-1 \le x \le 3$ .

Sonuç:

x \in [-1,\,3]

Örnek

Soru

$\dfrac{x-1}{x+2} \ge 0$ eşitsizliğini çözünüz.

Pay ve paydanın köklerini ( $1$ ve $-2$ ) işaret tablosuna koy. Payda sıfır olamaz, bu yüzden $x=-2$ çözüme dahil değildir.

Kökler: pay $x=1$ , payda $x=-2$ . Sayı doğrusunda sırala: $-2,\ 1$ .
İşaret tablosu ( $x<-2$ , $-2<x<1$ , $x>1$ bölgeleri): bölüm sırasıyla $+,\ -,\ +$ olur.
$\ge 0$ için pozitif bölgeleri al: $x<-2$ veya $x\ge 1$ .
$x=1$ payı sıfırlar (oran $0$ , dahil); $x=-2$ paydayı sıfırlar (tanımsız, hariç).

Sonuç:

x \in (-\infty,\,-2) \cup [1,\,+\infty)

Örnek

Soru

$x^2 - 2x + 5 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

$\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 4 - 20 = -16 < 0$ ; reel kök yok.
$a=1>0$ olduğundan ifade her $x$ için pozitiftir.
" $<0$ " hiçbir zaman sağlanmaz.

Sonuç: Çözüm yok:

\varnothing

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$x^2 - 9 < 0$ eşitsizliğini çöz.

$(x-3)(x+3)<0$ ; kökler $-3$ ve $3$ .
Kökler arasında negatif: $-3 < x < 3$ .

Sonuç:

x \in (-3,\,3)

Örnek

Soru

$x^2 - 4x \ge 0$ eşitsizliğini çöz.

Ortak çarpan: $x(x-4)\ge 0$ ; kökler $0$ ve $4$ .
$a>0$ ; kökler dışında pozitif. $\ge$ kökleri de alır.
Çözüm: $x \le 0$ veya $x \ge 4$ .

Sonuç:

x \in (-\infty,\,0] \cup [4,\,+\infty)

Örnek

Soru

$x^2 + 2x + 1 > 0$ eşitsizliğini çöz.

Tam kare: $(x+1)^2 > 0$ .
Kare yalnız $x=-1$ 'de sıfır, diğer her yerde pozitif.
Çözüm: $x \ne -1$ olan tüm gerçek sayılar.

Sonuç:

x \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}

Örnek

Soru

$2x^2 - 7x + 3 \le 0$ eşitsizliğini çöz.

Çarpanlara ayır: $2x^2 - 7x + 3 = (2x-1)(x-3)$ ; kökler $\dfrac{1}{2}$ ve $3$ .
$a=2>0$ ; kökler arasında negatif. $\le$ kökleri de alır.
Çözüm: $\dfrac{1}{2} \le x \le 3$ .

Sonuç:

x \in \left[\dfrac{1}{2},\,3\right]

Örnek

Soru

$\begin{cases} x^2 - x - 6 \le 0 \\ x > 0 \end{cases}$ sistemini çöz.

Birinci: $(x-3)(x+2)\le 0 \Rightarrow -2 \le x \le 3$ .
İkinci: $x > 0$ .
Kesişim: $0 < x \le 3$ .

Sonuç:

x \in (0,\,3]

Örnek

Soru

$x^2 - 3x + 5 > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bul.

$\Delta = (-3)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 9 - 20 = -11 < 0$ ; reel kök yok.
$a>0$ olduğundan ifade her zaman pozitif.
Eşitsizlik her $x$ için sağlanır.

Sonuç:

x \in \mathbb{R}

Örnek

Soru

$\dfrac{x^2 - 4}{x - 1} \le 0$ eşitsizliğini çöz.

Payı çarpanlara ayır: $x^2-4=(x-2)(x+2)$ . Üç kökü ( $-2,\ 1,\ 2$ ) işaret tablosuna koy; $x=1$ paydayı sıfırlar, hariç.

Kökler: pay $x=-2$ ve $x=2$ , payda $x=1$ . Sırala: $-2,\ 1,\ 2$ .
İşaret tablosu, dört bölge ( $x<-2$ , $-2<x<1$ , $1<x<2$ , $x>2$ ): bölümün işaretleri sırasıyla $-,\ +,\ -,\ +$ .
$\le 0$ için negatif bölgeleri al: $x \le -2$ ve $1 < x \le 2$ .
$x=-2,\ x=2$ payı sıfırlar (dahil); $x=1$ tanımsız (hariç).

Sonuç:

x \in (-\infty,\,-2] \cup (1,\,2]

Örnek

Soru

Her $x$ gerçek sayısı için $x^2 - 2x + m > 0$ olması için $m$ hangi değerleri almalıdır?

Bir parabolün her $x$ için pozitif olması, $a>0$ ve $\Delta<0$ demektir.

Baş katsayı $a=1>0$ , bu koşul zaten sağlanıyor.
İfadenin hiç kökü olmaması (eksenin tamamen üstünde) için $\Delta<0$ .
$\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot m = 4 - 4m < 0 \Rightarrow 4 < 4m \Rightarrow m > 1$ .

Sonuç:

m > 1

Örnek

Soru

$\begin{cases} x^2 - 5x + 4 < 0 \\ x^2 - 9 > 0 \end{cases}$ sistemini çöz.

İki eşitsizliği ayrı ayrı çöz, sonra çözüm aralıklarının kesişimini al.

Birinci: $(x-1)(x-4)<0 \Rightarrow 1 < x < 4$ .
İkinci: $(x-3)(x+3)>0 \Rightarrow x<-3$ veya $x>3$ .
Kesişim: $(1,4)$ ile $\big((-\infty,-3)\cup(3,\infty)\big)$ ortak bölgesi $3 < x < 4$ .

Sonuç:

x \in (3,\,4)

Sık Yapılan Hatalar

Baş katsayı negatifken kuralı düz uygulamak. $a<0$ ise işaretler terslenir; ya tüm ifadeyi $-1$ ile çarpıp eşitsizliği çevir, ya da "dışta $a$ ile aynı işaret" kuralını $a<0$ için uygula.
Köklerin dahil olup olmadığını karıştırmak. $<,\,>$ kökleri almaz (açık aralık); $\le,\,\ge$ kökleri alır (kapalı aralık).
Rasyonel eşitsizlikte paydayı kökleri gibi saymak. Paydanın kökü ifadeyi tanımsız yapar; bu nokta $\le,\ \ge$ olsa bile çözüme dahil edilmez.
$\Delta<0$ durumunu yanlış yorumlamak. Reel kök yoksa ifade işaret değiştirmez: $a>0$ ise hep pozitif, $a<0$ ise hep negatiftir; " $<0$ " ya hiç sağlanmaz ya da her zaman sağlanır.

Not: İkinci dereceden eşitsizlikte adımların: ifadeyi bir tarafta topla, çarpanlara ayır (gerekirse $\Delta$ ile kökleri bul), kökleri sayı doğrusuna diz, "ortada ters, dışta aynı" ile işaret tablosunu doldur ve eşitsizliğin yönüne uyan bölgeleri oku. Sistemlerde her birini çözüp kesişimi al.

1. Köklerin Bulunması ve Çarpanlara Ayırma

2. İşaret Tablosu (İşaret İncelemesi)

3. Diskriminanta Göre Özel Durumlar

4. Eşitsizlik Sistemleri

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Denklem ve Eşitsizlik Sistemleri — diğer konular