çözümebak

AYT Matematik · Analitik Geometri

Çemberin Analitik İncelenmesi

~9 dk okumaZorluk: Zor18 çözümlü soru

Çember, düzlemde sabit bir merkez noktasına eşit uzaklıkta (yarıçap kadar) bulunan noktaların kümesidir. Bu konuda çemberin standart ve genel denklemini, bu denklemlerden merkez ile yarıçapı okumayı ve bir noktanın çembere göre konumunu inceleyeceğiz. AYT'de çember soruları, doğrunun analitik incelenmesiyle birleşince güçlü bir araç olur.

1. Çemberin Standart Denklemi

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çember üzerindeki her P(x,y) noktası, merkezden r kadar uzaktadır. İki nokta arası uzaklık formülünden:

(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

Bu, çemberin standart (merkez–yarıçap) denklemidir. Denklemde a, b ve r doğrudan görünür; bu yüzden merkez ve yarıçapı okumak en kolay biçimdir.

Merkezi orijinde olan çemberde (a=0,\ b=0) denklem sadeleşir:

x^{2}+y^{2}=r^{2}

yxrO(a, b)
Şekil 1 — Merkezi O(a,b), yarıçapı r olan çember. Merkezden çembere çizilen her doğru parçası r uzunluğundadır; standart denklem (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} bu uzaklığı ifade eder.
Örnek
Soru

Merkezi (2,-1), yarıçapı 3 olan çemberin standart denklemini yazınız.

  1. Standart denklemi yaz: (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.

  2. a=2,\ b=-1,\ r=3 değerlerini yerine koy: (x-2)^{2}+(y-(-1))^{2}=3^{2}.

  3. İşaretleri düzenle: (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=9.

Sonuç: (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=9
Örnek
Soru

x^{2}+y^{2}=25 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

  1. Denklemi standart biçimle karşılaştır: (x-0)^{2}+(y-0)^{2}=25.

  2. Merkez (a,b)=(0,0), yani orijin.

  3. Yarıçap r=\sqrt{25}=5.

Sonuç: Merkez (0,0), yarıçap r=5.

2. Çemberin Genel Denklemi

Standart denklemdeki kareleri açıp düzenlersek, çember x^{2} ve y^{2} katsayıları eşit (ve xy terimi olmayan) ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. Bu genel denklemdir:

x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0

Bu denklemin merkez ve yarıçapı şöyledir:

\text{Merkez}=\left(-\dfrac{D}{2},\,-\dfrac{E}{2}\right),\qquad r=\sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{E}{2}\right)^{2}-F}

BiçimDenklemMerkezYarıçap
Standart(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}(a,b)r
Genelx^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\left(-\tfrac{D}{2},-\tfrac{E}{2}\right)\sqrt{\left(\tfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{E}{2}\right)^{2}-F}

Not: Karekökün içi pozitif değilse gerçek bir çember oluşmaz. İçi 0 ise çember tek bir noktaya (nokta çember), negatifse hiçbir gerçek noktaya karşılık gelmez.

Örnek
Soru

x^{2}+y^{2}-6x+4y+9=0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

Genel denklemde D, E, F katsayılarını belirle; merkez \left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right) ve r=\sqrt{\left(\tfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{E}{2}\right)^{2}-F} formüllerini kullan.

  1. Katsayıları oku: D=-6,\ E=4,\ F=9.

  2. Merkezi bul: \left(-\dfrac{-6}{2},\,-\dfrac{4}{2}\right)=(3,-2).

  3. Yarıçapı bul: r=\sqrt{(-3)^{2}+2^{2}-9}=\sqrt{9+4-9}=\sqrt{4}=2.

Sonuç: Merkez (3,-2), yarıçap r=2.

3. Bir Noktanın Çembere Göre Konumu

Bir P(x_{0},y_{0}) noktasının değeri standart denklemde yerine konup r^{2} ile karşılaştırılır. Aslında karşılaştırılan, noktanın merkeze uzaklığının karesi ile yarıçapın karesidir.

DurumKoşulAnlamı
Üzerinde(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}=r^{2}Nokta çember üzerinde
İçinde(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}<r^{2}Nokta iç bölgede
Dışında(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}>r^{2}Nokta dış bölgede
Örnek
Soru

(3,4) noktası x^{2}+y^{2}=25 çemberinin üzerinde midir?

  1. Noktayı sol tarafta yerine koy: 3^{2}+4^{2}=9+16=25.

  2. Sonuç r^{2}=25 değerine eşittir.

  3. Eşitlik sağlandığından nokta çember üzerindedir.

Sonuç: Evet, (3,4) noktası çember üzerindedir.

4. Çapın Uç Noktaları Verildiğinde

Bir çapın iki uç noktası verilirse, çapın orta noktası merkezi, çap uzunluğunun yarısı ise yarıçapı verir.

Örnek
Soru

Bir çemberin çapının uç noktaları (0,0) ve (4,0) olduğuna göre çemberin standart denklemini yazınız.

  1. Merkez, çapın orta noktasıdır: \left(\dfrac{0+4}{2},\dfrac{0+0}{2}\right)=(2,0).

  2. Yarıçap, merkez ile bir uç noktanın uzaklığıdır: r=\sqrt{(2-0)^{2}+(0-0)^{2}}=2.

  3. Standart denklemi yaz: (x-2)^{2}+(y-0)^{2}=2^{2}, yani (x-2)^{2}+y^{2}=4.

Sonuç: (x-2)^{2}+y^{2}=4

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

Merkezi (-3,2), yarıçapı \sqrt{5} olan çemberin standart denklemini yazınız.

  1. Standart biçimi kur: (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.

  2. a=-3,\ b=2,\ r=\sqrt{5} değerlerini koy: (x-(-3))^{2}+(y-2)^{2}=(\sqrt{5})^{2}.

  3. Düzenle: (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=5.

Sonuç: (x+3)^{2}+(y-2)^{2}=5
Örnek
Soru

x^{2}+y^{2}+2x-8y+8=0 çemberinin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

D=2,\ E=-8,\ F=8. Merkez \left(-\dfrac{D}{2},-\dfrac{E}{2}\right), yarıçap karekök formülüyle bulunur.

  1. Katsayıları oku: D=2,\ E=-8,\ F=8.

  2. Merkezi bul: \left(-\dfrac{2}{2},\,-\dfrac{-8}{2}\right)=(-1,4).

  3. Yarıçapı bul: r=\sqrt{1^{2}+(-4)^{2}-8}=\sqrt{1+16-8}=\sqrt{9}=3.

Sonuç: Merkez (-1,4), yarıçap r=3.
Örnek
Soru

(1,-2) noktasının (x-4)^{2}+(y+2)^{2}=16 çemberine göre konumunu belirleyiniz.

  1. Noktayı sol tarafta yerine koy: (1-4)^{2}+(-2+2)^{2}=(-3)^{2}+0^{2}=9.

  2. Yarıçapın karesiyle karşılaştır: r^{2}=16. Burada 9<16.

  3. Sol taraf r^{2} değerinden küçük olduğundan nokta çemberin iç bölgesindedir.

Sonuç: Nokta çemberin içindedir.
Örnek
Soru

Bir çemberin çapının uç noktaları (2,3) ve (8,11) olduğuna göre çemberin merkezini ve yarıçapını bulunuz.

Merkez çapın orta noktası, yarıçap ise çap uzunluğunun yarısıdır.

  1. Merkez, orta noktadır: \left(\dfrac{2+8}{2},\dfrac{3+11}{2}\right)=(5,7).

  2. Çap uzunluğu: \sqrt{(8-2)^{2}+(11-3)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.

  3. Yarıçap, çapın yarısıdır: r=\dfrac{10}{2}=5.

Sonuç: Merkez (5,7), yarıçap r=5.
Örnek
Soru

Merkezi orijinde olan ve (6,8) noktasından geçen çemberin denklemini yazınız.

  1. Merkez orijinde olduğundan denklem x^{2}+y^{2}=r^{2} biçimindedir.

  2. Çember (6,8) noktasından geçtiğine göre yarıçapın karesi, bu noktanın merkeze uzaklığının karesidir: r^{2}=6^{2}+8^{2}=36+64=100.

  3. Denklemi yaz: x^{2}+y^{2}=100.

Sonuç: x^{2}+y^{2}=100
Örnek
Soru

Merkezi (5,-3) olan ve x eksenine teğet olan çemberin standart denklemini yazınız.

Bir çember x eksenine teğetse, yarıçap merkezin x eksenine uzaklığına, yani merkezin y koordinatının mutlak değerine eşittir.

  1. x eksenine uzaklık, merkezin y koordinatının mutlak değeridir: r=|-3|=3.

  2. Standart denklemi kur: (x-5)^{2}+(y-(-3))^{2}=3^{2}.

  3. Düzenle: (x-5)^{2}+(y+3)^{2}=9.

Sonuç: (x-5)^{2}+(y+3)^{2}=9

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

x^{2}+y^{2}-8x+6y-11=0 çemberinin merkezi M, yarıçapı r'dir. M noktasının koordinat eksenlerine olan uzaklıklarının toplamı ile r'nin toplamı, buna göre kaçtır?

A) 11 · B) 12 · C) 13 · D) 14 · E) 15

  1. Katsayıları oku: D=-8,\ E=6,\ F=-11.

  2. Merkezi bul: M=\left(-\dfrac{-8}{2},\,-\dfrac{6}{2}\right)=(4,-3).

  3. Yarıçapı bul: r=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}-(-11)}=\sqrt{16+9+11}=\sqrt{36}=6.

  4. M'nin y eksenine uzaklığı |4|=4, x eksenine uzaklığı |-3|=3; toplamı 4+3=7.

  5. İstenen toplam: 7+r=7+6=13.

Sonuç: C) 13
Örnek
Soru

Bir çemberin çapının uç noktaları A(1,2) ve B(7,10)'dur. Bu çemberin merkezinin koordinatları toplamı ile yarıçapının toplamı, buna göre kaçtır?

A) 13 · B) 14 · C) 14{,}5 · D) 15 · E) 16

  1. Merkez, çapın orta noktasıdır: \left(\dfrac{1+7}{2},\dfrac{2+10}{2}\right)=(4,6).

  2. Çap uzunluğu: |AB|=\sqrt{(7-1)^{2}+(10-2)^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.

  3. Yarıçap, çapın yarısıdır: r=\dfrac{10}{2}=5.

  4. Merkezin koordinatları toplamı: 4+6=10.

  5. İstenen toplam: 10+r=10+5=15.

Sonuç: D) 15
Örnek
Soru

(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=20 çemberinin üzerinde, ordinatı (yani y koordinatı) 1 olan iki nokta vardır. Bu noktalardan apsisi (yani x koordinatı) pozitif olanının apsisi, buna göre kaçtır?

A) 5 · B) 7 · C) 8 · D) 9 · E) 11

  1. Üzerindeki noktanın koordinatları (k,1) olsun; denklemde yerine koy: (k-3)^{2}+(1+1)^{2}=20.

  2. Sadeleştir: (k-3)^{2}+4=20, yani (k-3)^{2}=16.

  3. Karekök al: k-3=\pm 4, buradan k=7 veya k=-1.

  4. Apsisi pozitif olan değer istendiğinden k=7 alınır.

Sonuç: B) 7
Örnek
Soru

Merkezi M(3,-4) olan bir çember, 3x-4y+10=0 doğrusuna teğettir.

Buna göre bu çemberin alanı kaç birim karedir?

A) 25\pi · B) 36\pi · C) 49\pi · D) \dfrac{49\pi}{5} · E) \dfrac{121\pi}{5}

  1. Bir doğruya teğet çemberin yarıçapı, merkezin o doğruya uzaklığına eşittir.

  2. M(3,-4)'ün doğruya uzaklığı: r=\dfrac{\lvert 3\cdot 3-4\cdot(-4)+10\rvert}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}.

  3. Payı hesapla: \lvert 9+16+10\rvert=\lvert 35\rvert=35.

  4. Böl: r=\dfrac{35}{5}=7.

  5. Alan: \pi r^{2}=\pi\cdot 7^{2}=49\pi.

Sonuç: C) 49\pi
Örnek
Soru

x^{2}+y^{2}=25 çemberi ile y=x+1 doğrusu A ve B noktalarında kesişmektedir.

Buna göre [AB] kirişinin orta noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

A) -1 · B) -\dfrac{1}{2} · C) 0 · D) \dfrac{1}{2} · E) 1

  1. y=x+1'i çember denkleminde yerine koy: x^{2}+(x+1)^{2}=25.

  2. Aç ve düzenle: x^{2}+x^{2}+2x+1=25\Rightarrow 2x^{2}+2x-24=0\Rightarrow x^{2}+x-12=0.

  3. Kökler x_A ve x_B; toplamları Vieta'dan x_A+x_B=-1. Orta noktanın apsisi: \dfrac{x_A+x_B}{2}=-\dfrac{1}{2}.

  4. Orta noktanın ordinatı doğru üzerinde: y=x+1=-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}.

  5. Koordinatlar toplamı: -\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=0.

Sonuç: C) 0
Örnek
Soru

x^{2}+y^{2}-4x-2y+k=0 denklemi, yarıçapı 3 olan bir çember belirtmektedir.

Buna göre k kaçtır?

A) -4 · B) -2 · C) 0 · D) 2 · E) 4

  1. Katsayılar: D=-4,\ E=-2,\ F=k.

  2. Yarıçap formülü: r=\sqrt{\left(\dfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{E}{2}\right)^{2}-F}=\sqrt{(-2)^{2}+(-1)^{2}-k}=\sqrt{5-k}.

  3. r=3 olduğundan \sqrt{5-k}=3, kareyi al: 5-k=9.

  4. Çöz: k=-4.

Sonuç: A) -4
Örnek
Soru

Merkezi M(6,8) olan bir çember orijinden geçmektedir. Bu çember üzerinde, merkezden geçen ve orijinden geçen doğru boyunca orijine en uzak nokta P'dir.

Buna göre |OP| kaç birimdir?

A) 10 · B) 15 · C) 16 · D) 20 · E) 25

  1. Yarıçap, merkezin orijine uzaklığıdır: r=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10.

  2. Orijin çember üzerindedir. Orijinden, merkez M doğrultusunda çizilen doğru çemberi çapı boyunca keser.

  3. Orijine en uzak nokta, orijinin tam karşısındaki çap ucudur; orijin ile bu nokta arasındaki uzaklık çap kadardır.

  4. Çap: |OP|=2r=2\cdot 10=20.

Sonuç: D) 20

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Genel denklemden hızlı okuma için şu kestirmeyi kullan: merkezin koordinatları, x ve y'nin lineer katsayılarının yarısının ters işaretlisidir. x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0 denkleminde merkez \left(-\tfrac{D}{2},-\tfrac{E}{2}\right); yarıçapın karesi ise r^{2}=\left(\tfrac{D}{2}\right)^{2}+\left(\tfrac{E}{2}\right)^{2}-F. Soru "yarıçap" değil "yarıçapın karesi" veya "çap" isterse aceleyle yanlış yanıt işaretlememek için ne istendiğini iki kez oku.

Analitik Geometri — diğer konular