10. Sınıf · Analitik İnceleme

Doğru Parçasını Belli Oranda Bölme

~7 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Bir doğru parçasının orta noktasını ya da onu belli bir oranda bölen noktayı, uçların koordinatlarından doğrudan bulabiliriz. Bu derste orta nokta formülünü, bir parçayı verilen oranda içten bölen noktanın koordinatlarını ve bunların problemlerde kullanımını öğreneceğiz. Bu araçlar; ağırlık merkezi, paralelkenar köşesi gibi pek çok analitik soruda işine yarar. Bol örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Orta Nokta

$A (x_{1}, y_{1})$ ve $B (x_{2}, y_{2})$ uçlu doğru parçasının orta noktası, koordinatların ortalamasıdır:

$M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$

Şekil 1 —

A (2, 1)

ile

B (8, 7)

doğru parçasının orta noktası

M (5, 4)

. Her koordinat, uçların ortalamasıdır:

\frac{2 + 8}{2} = 5

\frac{1 + 7}{2} = 4

M

parçayı iki eşit kısma böler.

Örnek

Soru

$A (2, 3)$ ve $B (8, 7)$ noktalarının orta noktasını bulunuz.

$x$ : $\frac{2 + 8}{2} = 5$ ; $y$ : $\frac{3 + 7}{2} = 5$ .

Sonuç:

M (5, 5)

2. Uç Noktayı Geri Bulma

Orta nokta ve bir uç biliniyorsa, diğer uç orta noktanın "iki katından" bulunur: $x_{2} = 2 x_{M} - x_{1}$ , $y_{2} = 2 y_{M} - y_{1}$ .

Örnek

Soru

$A (1, 4)$ ucu ve orta nokta $M (3, 2)$ biliniyor. Diğer uç $B$ 'yi bulunuz.

Orta nokta uçların ortalaması olduğundan, $B = 2 M - A$ ilişkisini koordinat koordinat uygula.

$x_{B} = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ .
$y_{B} = 2 \cdot 2 - 4 = 0$ .

Sonuç:

B (5, 0)

3. Belli Oranda İçten Bölme

$A$ 'dan $B$ 'ye doğru parçayı $k : l$ oranında içten bölen $P$ noktası:

$P = (\frac{l x _{1} + k x _{2}}{k + l}, \frac{l y _{1} + k y _{2}}{k + l})$

(Orta nokta, bu formülün $k : l = 1 : 1$ özel hâlidir.)

Dikkat: $A$ 'ya yakın uca, ona uzaktaki oran terimi ( $l$ ) ağırlık olarak gelir; bu yüzden formülde ağırlıklar çapraz yazılır. $k : l$ küçükse $P$ noktası $A$ 'ya yakın düşer.

Şekil 2 —

A (2, 1)

ile

B (8, 7)

parçasını

A

'dan itibaren

1 : 2

oranında bölen

P (4, 3)

∣ A P ∣ : ∣ P B ∣ = 1 : 2

olduğundan

P

A

'ya yakındır; kısa parça (turuncu) bir birim, uzun parça iki birimdir.

Örnek

Soru

$A (2, 1)$ ile $B (8, 7)$ arasını, $A$ 'dan itibaren $1 : 2$ oranında bölen noktayı bulunuz.

$k = 1, l = 2$ , $k + l = 3$ .
$x_{P} = \frac{2 \cdot 2 + 1 \cdot 8}{3} = \frac{4 + 8}{3} = 4$ .
$y_{P} = \frac{2 \cdot 1 + 1 \cdot 7}{3} = \frac{2 + 7}{3} = 3$ .

Sonuç:

P (4, 3)

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$A (- 2, 5)$ ile $B (6, - 1)$ orta noktasını bulunuz.

$x$ : $\frac{- 2 + 6}{2} = 2$ ; $y$ : $\frac{5 + ( - 1 )}{2} = 2$ .

Sonuç:

M (2, 2)

Örnek

Soru

$A B C D$ paralelkenarında köşegenler orta noktada kesişir. $A (1, 1)$ , $C (7, 5)$ ise köşegenlerin kesim noktasını bulunuz.

Kesim noktası $A C$ köşegeninin orta noktasıdır.
$(\frac{1 + 7}{2}, \frac{1 + 5}{2}) = (4, 3)$ .

Sonuç:

(4, 3)

Örnek

Soru

Orta noktası $M (0, 0)$ olan bir parçanın bir ucu $A (- 3, 4)$ ise diğer uç nedir?

$B = 2 M - A = (0 - (- 3), 0 - 4) = (3, - 4)$ .

Sonuç:

B (3, - 4)

Örnek

Soru

$A (0, 0)$ ile $B (9, 6)$ arasını $A$ 'dan itibaren $2 : 1$ oranında bölen noktayı bulunuz.

$k = 2, l = 1$ , $k + l = 3$ .
$x = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 9}{3} = 6$ , $y = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot 6}{3} = 4$ .

Sonuç:

(6, 4)

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$A (4, 2)$ ile $B (10, 8)$ orta noktası nedir?

$(\frac{4 + 10}{2}, \frac{2 + 8}{2}) = (7, 5)$ .

Sonuç:

(7, 5)

Örnek

Soru

Orta noktası $(2, 3)$ olan parçanın bir ucu $(0, 1)$ ise diğer uç nedir?

$B = (2 \cdot 2 - 0, 2 \cdot 3 - 1) = (4, 5)$ .

Sonuç:

(4, 5)

Örnek

Soru

$A (1, 2)$ ile $B (7, 2)$ orta noktası nedir?

$(\frac{1 + 7}{2}, 2) = (4, 2)$ .

Sonuç:

(4, 2)

Örnek

Soru

$A (0, 0)$ ile $B (6, 9)$ arasını $A$ 'dan $1 : 2$ bölen nokta nedir?

$x = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 6}{3} = 2$ , $y = \frac{2 \cdot 0 + 1 \cdot 9}{3} = 3$ .

Sonuç:

(2, 3)

Örnek

Soru

$A (- 4, 0)$ ile $B (4, 8)$ orta noktası nedir?

$(0, 4)$ .

Sonuç:

(0, 4)

Örnek

Soru

$A (1, 5)$ ile $B (9, 1)$ arasını $A$ 'dan itibaren $3 : 1$ oranında bölen noktayı bulunuz.

$k : l = 3 : 1$ , yani $k = 3, l = 1$ . Ağırlıkları çapraz yaz: $A$ 'nın koordinatına $l = 1$ , $B$ 'ninkine $k = 3$ çarpan gelir.

$k = 3, l = 1$ , $k + l = 4$ .
$x = \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 9}{4} = \frac{1 + 27}{4} = 7$ .
$y = \frac{1 \cdot 5 + 3 \cdot 1}{4} = \frac{5 + 3}{4} = 2$ .

Sonuç:

(7, 2)

Örnek

Soru

$A (- 1, 2)$ , $B (3, 4)$ ve $C (7, 0)$ bir üçgenin köşeleridir. $A$ 'ya ait kenarortayın ayağı (yani $B C$ kenarının orta noktası) $D$ 'yi bulunuz.

Kenarortay, bir köşeyi karşı kenarın orta noktasına birleştirir. Burada $A$ köşesinin karşı kenarı $B C$ 'dir; ayak, $B C$ 'nin orta noktasıdır.

$D$ , $B C$ 'nin orta noktasıdır: $(\frac{3 + 7}{2}, \frac{4 + 0}{2})$ .
$D = (5, 2)$ .

Sonuç:

D (5, 2)

Örnek

Soru

Köşeleri $A (2, 1)$ , $B (6, 3)$ , $C (4, 7)$ olan üçgenin ağırlık merkezini bulunuz.

Ağırlık merkezi $G$ , üç köşenin koordinat ortalamasıdır: $G = (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}, \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ .

$x_{G} = \frac{2 + 6 + 4}{3} = \frac{12}{3} = 4$ .
$y_{G} = \frac{1 + 3 + 7}{3} = \frac{11}{3}$ .

Sonuç:

G (4, \frac{11}{3})

Örnek

Soru

$A B C D$ bir paralelkenardır ve $A (1, 2)$ , $B (5, 3)$ , $C (7, 8)$ veriliyor. Dördüncü köşe $D$ 'yi bulunuz.

Paralelkenarda köşegenler ( $A C$ ve $B D$ ) birbirini ortalar. Yani $A C$ 'nin orta noktası ile $B D$ 'nin orta noktası aynıdır. Önce $A C$ 'nin orta noktasını bul, sonra $D = 2 M - B$ uygula.

$A C$ köşegeninin orta noktası: $M = (\frac{1 + 7}{2}, \frac{2 + 8}{2}) = (4, 5)$ .
$M$ aynı zamanda $B D$ 'nin de orta noktasıdır: $D = 2 M - B$ .
$x_{D} = 2 \cdot 4 - 5 = 3$ , $y_{D} = 2 \cdot 5 - 3 = 7$ .

Sonuç:

D (3, 7)

Sık Yapılan Hatalar

Orta noktada toplamayı ikiye bölmeyi unutmak. $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$ ; yalnız toplamak yanlıştır.
Uç bulurken yanlış işaret. $B = 2 M - A$ ; çıkarmayı koordinat koordinat yap.
Oranlı bölmede ağırlıkları ters koymak. $k : l$ oranında $A$ 'ya yakın uca $l$ , $B$ 'ye yakın uca $k$ ağırlığı düşer (çapraz).
İçten/dıştan bölmeyi karıştırmak. Bu derste içten bölme; nokta parçanın üzerindedir.
Ağırlık merkezinde ikiye bölmek. Üçgenin ağırlık merkezinde koordinatlar üçe bölünür ( $\div 3$ ), orta noktadaki gibi ikiye değil.

Not: Orta nokta, oranlı bölmenin $1 : 1$ hâlidir. Paralelkenar/köşegen sorularında "köşegenler birbirini ortalar" bilgisi orta nokta formülüyle hızla çözülür. Üçgenin ağırlık merkezi ise üç köşenin ortalamasıdır.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

A (- 6, 3)

B (4, - 9)

noktalarının orta noktası aşağıdakilerden hangisidir?

Orta nokta formülü: $M = (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}, \frac{y _{1} + y _{2}}{2})$ .
$x_{M} = \frac{- 6 + 4}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1$ .
$y_{M} = \frac{3 + ( - 9 )}{2} = \frac{- 6}{2} = - 3$ .
Buradan $M (- 1, - 3)$ bulunur.

Sonuç:

M (- 1, - 3)

Soru 2Orta

Bir doğru parçasının orta noktası

M (- 1, 4)

ve bir ucu

A (3, - 2)

olduğuna göre diğer uç

B

aşağıdakilerden hangisidir?

Orta nokta uçların ortalaması olduğundan $B = 2 M - A$ ilişkisi geçerlidir.
$x_{B} = 2 \cdot (- 1) - 3 = - 2 - 3 = - 5$ .
$y_{B} = 2 \cdot 4 - (- 2) = 8 + 2 = 10$ .
Buradan $B (- 5, 10)$ bulunur.

Sonuç:

B (- 5, 10)

Soru 3Orta

A (1, 2)

ile

B (13, 10)

arasındaki doğru parçasını,

A

'dan itibaren

3 : 1

oranında içten bölen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

$k : l = 3 : 1$ olduğundan $k = 3, l = 1$ ve $k + l = 4$ .
Ağırlıklar çapraz gelir: $A$ 'nın koordinatına $l = 1$ , $B$ 'ninkine $k = 3$ çarpanı düşer.
$x_{P} = \frac{1 \cdot 1 + 3 \cdot 13}{4} = \frac{1 + 39}{4} = \frac{40}{4} = 10$ .
$y_{P} = \frac{1 \cdot 2 + 3 \cdot 10}{4} = \frac{2 + 30}{4} = \frac{32}{4} = 8$ .
Buradan $P (10, 8)$ bulunur. ( $A$ 'dan uzağa, $B$ 'ye yakın düşmesi $3 : 1$ oranıyla tutarlıdır.)

Sonuç:

P (10, 8)

Soru 4Zor

A B C D

paralelkenarında

A (2, - 1)

B (6, 1)

C (10, 7)

veriliyor. Dördüncü köşe

D

aşağıdakilerden hangisidir?

Paralelkenarda köşegenler $A C$ ve $B D$ birbirini ortalar; yani ortak orta noktaları aynıdır.
$A C$ 'nin orta noktası: $M = (\frac{2 + 10}{2}, \frac{- 1 + 7}{2}) = (6, 3)$ .
$M$ aynı zamanda $B D$ 'nin orta noktası olduğundan $D = 2 M - B$ .
$x_{D} = 2 \cdot 6 - 6 = 6$ , $y_{D} = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ .
Buradan $D (6, 5)$ bulunur.

Sonuç:

D (6, 5)

Soru 5Orta

Köşeleri

A (- 2, 4)

B (5, - 1)

C (6, 3)

olan üçgenin ağırlık merkezi aşağıdakilerden hangisidir?

Üçgenin ağırlık merkezi üç köşenin koordinat ortalamasıdır: $G = (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}, \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3})$ .
$x_{G} = \frac{- 2 + 5 + 6}{3} = \frac{9}{3} = 3$ .
$y_{G} = \frac{4 + ( - 1 ) + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$ .
Buradan $G (3, 2)$ bulunur. (Ağırlık merkezinde ikiye değil üçe bölünür.)

Sonuç:

G (3, 2)

Soru 6Orta

Düz bir yolun üzerinde

A (0, 0)

noktasındaki durak ile

B (12, 8)

noktasındaki durak arasına bir bank yerleştirilecektir. Bank,

A

durağından

B

durağına doğru

∣ A B ∣

uzunluğunun oranı

1 : 3

olacak biçimde (

∣ A P ∣ : ∣ P B ∣ = 1 : 3

) konumlandırılıyor. Bankın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

$∣ A P ∣ : ∣ P B ∣ = 1 : 3$ olduğundan $k = 1, l = 3$ ve $k + l = 4$ .
İçten bölme formülünde ağırlıklar çapraz gelir: $A$ 'ya $l = 3$ , $B$ 'ye $k = 1$ .
$x_{P} = \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 12}{4} = \frac{12}{4} = 3$ .
$y_{P} = \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot 8}{4} = \frac{8}{4} = 2$ .
Bank $A$ 'ya yakın düşer (oran küçük); $P (3, 2)$ bulunur.

Sonuç:

P (3, 2)

0/6 soru cevaplandı

1. Orta Nokta

2. Uç Noktayı Geri Bulma

3. Belli Oranda İçten Bölme

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Analitik İnceleme — diğer konular