10. Sınıf · Analitik İnceleme

Koordinat Düzleminde Nokta ve İki Nokta Arası Uzaklık

~7 dk okumaZorluk: Orta15 çözümlü soru

Analitik İnceleme teması, geometriyi koordinatlarla (sayılarla) buluşturur. Bu derste koordinat düzleminde bir noktayı okumayı, iki nokta arasındaki uzaklığı Pisagor'dan türeyen formülle bulmayı ve bunun geometrik problemlerde kullanımını öğreneceğiz. İki nokta arası uzaklık; orta nokta, çevre ve çember konularının da temelidir. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Koordinat Düzleminde Nokta

Düzlemdeki her nokta bir sıralı ikili $(x,\ y)$ ile gösterilir: $x$ yatay (apsis), $y$ dikey (ordinat) konumdur. Orijin $O(0,0)$ 'dır.

Şekil 1 —

A(1,2)

B(4,6)

noktaları ve aralarındaki doğru parçası. Yatay fark

4-1=3

, dikey fark

6-2=4

'tür.

2. İki Nokta Arası Uzaklık

$A(x_1,y_1)$ ve $B(x_2,y_2)$ noktaları arasındaki uzaklık, yatay ve dikey farkların oluşturduğu dik üçgenin hipotenüsüdür (Pisagor):

$|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Formülün altında yatan fikir basittir: $A$ ve $B$ 'yi bir dik üçgenin iki köşesi yapan üçüncü bir nokta düşün ( $C(x_2,y_1)$ ). O zaman yatay kenar $\Delta x$ , dikey kenar $\Delta y$ ve hipotenüs de aradığımız $|AB|$ olur.

Şekil 2 —

A(1,2)

ile

B(4,6)

arasındaki uzaklık, dik kenarları

\Delta x=3

\Delta y=4

olan dik üçgenin hipotenüsüdür:

|AB|=\sqrt{3^2+4^2}=5

. Dik köşe

C(4,2)

noktasındadır.

Örnek

Soru

$A(1,2)$ ve $B(4,6)$ noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.

Yatay farkın ve dikey farkın karelerini topla, sonra karekök al. Farkların işareti karede yok olur.

$x$ farkı: $4-1=3$ ; $y$ farkı: $6-2=4$ .
$|AB|=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ .

Sonuç:

|AB|=5

3. Eksenler Üzerindeki Özel Durumlar

Aynı yatay doğruda ( $y$ eşit) iki noktanın uzaklığı $|x_2-x_1|$ 'dir.
Aynı düşey doğruda ( $x$ eşit) iki noktanın uzaklığı $|y_2-y_1|$ 'dir.
Bir noktanın orijine uzaklığı: $\sqrt{x^2+y^2}$ .

Örnek

Soru

$P(-2,\ 5)$ noktasının orijine uzaklığını bulunuz.

$|OP|=\sqrt{(-2)^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$ .

Sonuç:

\sqrt{29}

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$A(-1,\ 2)$ ve $B(3,\ -1)$ arasındaki uzaklığı bulunuz.

$x$ farkı: $3-(-1)=4$ ; $y$ farkı: $-1-2=-3$ .
$|AB|=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

$A(2,\ 7)$ ve $B(2,\ -3)$ arasındaki uzaklığı bulunuz.

$x$ değerleri eşit (aynı düşey doğru) → uzaklık $|y_2-y_1|$ .
$|7-(-3)|=10$ .

Sonuç:

10

Örnek

Soru

$A(0,0)$ , $B(6,0)$ , $C(6,8)$ üçgeninin çevresini bulunuz.

$|AB|=6$ (yatay), $|BC|=8$ (düşey).
$|AC|=\sqrt{6^2+8^2}=10$ .
Çevre: $6+8+10=24$ .

Sonuç:

24

Örnek

Soru

$A(1,\ k)$ ile $B(4,\ 1)$ arasındaki uzaklık $5$ ise $k$ 'nın pozitif değerini bulunuz.

$\sqrt{(4-1)^2+(1-k)^2}=5\Rightarrow 9+(1-k)^2=25$ .
$(1-k)^2=16\Rightarrow 1-k=\pm4$ .
$k=-3$ veya $k=5$ ; pozitif olan $5$ .

Sonuç:

k=5

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$A(0,0)$ ile $B(5,12)$ arasındaki uzaklık kaçtır?

$\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$ .

Sonuç:

13

Örnek

Soru

$A(-3,\ 4)$ ile $B(1,\ 4)$ arasındaki uzaklık kaçtır?

$y$ eşit → $|1-(-3)|=4$ .

Sonuç:

4

Örnek

Soru

$P(3,\ -4)$ noktasının orijine uzaklığı kaçtır?

$\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

$A(2,\ 1)$ ile $B(2,\ 9)$ arasındaki uzaklık kaçtır?

$x$ eşit → $|9-1|=8$ .

Sonuç:

8

Örnek

Soru

$A(1,\ 1)$ ile $B(4,\ 5)$ arasındaki uzaklık kaçtır?

$\sqrt{3^2+4^2}=5$ .

Sonuç:

5

Örnek

Soru

$A(-2,\ 3)$ ile $B(4,\ -5)$ arasındaki uzaklık kaçtır?

$\Delta x=4-(-2)=6$ , $\;\Delta y=-5-3=-8$ .
$\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$ .

Sonuç:

10

Örnek

Soru

$A(1,\ 2)$ ile $B(6,\ k)$ arasındaki uzaklık $13$ ise $k$ 'nın iki olası değerini bulunuz.

$\Delta x=5$ sabittir; uzaklık karesinde $(k-2)^2$ kalır. $13$ sayısı $5\text{-}12\text{-}13$ üçlüsünü hatırlatır.

$\sqrt{(6-1)^2+(k-2)^2}=13\Rightarrow 25+(k-2)^2=169$ .
$(k-2)^2=144\Rightarrow k-2=\pm 12$ .
$k=14$ veya $k=-10$ .

Sonuç:

k=14

veya

k=-10

Örnek

Soru

$A(-3,\ 0)$ , $B(3,\ 0)$ ve $C(0,\ 4)$ üçgeninin çevresini bulunuz.

$AB$ kenarı $x$ ekseni üzerindedir (yatay). $C$ tepe noktası eksenin tam ortasındadır; bu yüzden $|AC|=|BC|$ (ikizkenar).

$|AB|=|3-(-3)|=6$ (yatay).
$|AC|=\sqrt{(0-(-3))^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5$ .
Simetriden $|BC|=\sqrt{3^2+4^2}=5$ .
Çevre: $6+5+5=16$ .

Sonuç:

16

Örnek

Soru

$A(1,\ 2)$ ve $B(7,\ 10)$ noktalarından eşit uzaklıkta olan ve $x$ ekseni üzerinde bulunan $P(a,\ 0)$ noktasının $a$ değerini bulunuz.

$|PA|=|PB|$ koşulunu yaz. Karekökten kurtulmak için iki tarafın karesini al; karekökler kaybolur, $a$ birinci dereceden kalır.

$|PA|^2=(a-1)^2+(0-2)^2=a^2-2a+1+4=a^2-2a+5$ .
$|PB|^2=(a-7)^2+(0-10)^2=a^2-14a+49+100=a^2-14a+149$ .
Eşitle: $a^2-2a+5=a^2-14a+149$ .
$-2a+5=-14a+149\Rightarrow 12a=144\Rightarrow a=12$ .

Sonuç:

a=12

Sık Yapılan Hatalar

Farkları toplamadan önce karelemeyi unutmak. Uzaklık $\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}$ ; farkları doğrudan toplamak yanlıştır.
İşaret hatası. Fark negatif çıkabilir ama karesi pozitiftir; yine de farkı doğru hesapla.
Eksen üzerindeki kısa yolu kaçırmak. $x$ ya da $y$ eşitse tek farkın mutlak değeri yeter; formüle gerek yok.
Karekökü almayı unutmak. $(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$ uzaklığın karesidir; sonuçta kök al.
"Eşit uzaklık" sorularında kökle uğraşmak. $|PA|=|PB|$ ise iki tarafın karesini al: $|PA|^2=|PB|^2$ . Kökler kaybolur, $x^2,\ y^2$ terimleri sadeleşir ve birinci dereceden bir denklem kalır.

Not: Uzaklık formülü aslında Pisagor teoremidir: yatay ve dikey farklar dik kenarlar, uzaklık hipotenüstür. $3\text{-}4\text{-}5$ , $5\text{-}12\text{-}13$ , $8\text{-}15\text{-}17$ üçlüleri burada da işini hızlandırır.

1. Koordinat Düzleminde Nokta

2. İki Nokta Arası Uzaklık

3. Eksenler Üzerindeki Özel Durumlar

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Analitik İnceleme — diğer konular