10. Sınıf · Analitik İnceleme

Koordinat Düzleminde Doğru: Eğim ve Denklem

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soru

Analitik İnceleme temasını, koordinat düzlemindeki doğruları çözümleyerek tamamlıyoruz. Bu derste bir doğrunun eğimini iki noktadan bulmayı, doğru denklemini ( $y = m x + n$ ) yazmayı ve iki doğrunun paralel ( $m_{1} = m_{2}$ ) ya da dik ( $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ ) olma koşullarını öğreneceğiz. Doğru denklemi; geometrinin cebirle konuştuğu yerdir. Bol şekil, örnek ve "Sıra Sende" alıştırmalarıyla pekiştireceğiz.

1. Eğim

Bir doğrunun eğimi $m$ , üzerindeki iki noktadan dikey değişimin yatay değişime oranıdır:

$m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{Δ y}{Δ x}$

Şekil 1 —

A (1, 2)

'den

B (4, 8)

'e giden doğru.

Δ x = 3

Δ y = 6

; eğim

m = \frac{6}{3} = 2

Örnek

Soru

$A (1, 3)$ ve $B (5, 11)$ noktalarından geçen doğrunun eğimini bulunuz.

$m = \frac{11 - 3}{5 - 1} = \frac{8}{4} = 2$ .

Sonuç:

m = 2

2. Doğru Denklemi

Eğimi $m$ ve $y$ kesişimi $n$ olan doğru: $y = m x + n$ . Bir nokta ve eğim biliniyorsa, noktayı yerine koyarak $n$ bulunur.

Örnek

Soru

Eğimi $3$ olan ve $(2, 1)$ noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

$y = 3 x + n$ yaz, noktayı yerine koyup $n$ 'i çek.

$y = 3 x + n$ ; $(2, 1)$ : $1 = 3 \cdot 2 + n = 6 + n$ .
$n = - 5$ .

Sonuç:

y = 3 x - 5

3. Paralel ve Dik Doğrular

Paralel doğruların eğimleri eşittir: $m_{1} = m_{2}$ .
Dik doğruların eğimleri çarpımı $- 1$ 'dir: $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ (biri diğerinin ters işaretli tersidir).

Örnek

Soru

$y = 2 x + 5$ doğrusuna dik olan bir doğrunun eğimi kaçtır?

Verilen eğim $m_{1} = 2$ . Dik doğru için $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ .
$2 \cdot m_{2} = - 1 \Rightarrow m_{2} = - \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

- \frac{1}{2}

4. Eksen Kesişimleri

$y$ ekseni: $x = 0$ → $(0, n)$ .
$x$ ekseni: $y = 0$ → $x = - \frac{n}{m}$ .

Örnek

Soru

$y = 2 x - 6$ doğrusunun eksenleri kestiği noktaları bulunuz.

$y$ kesişimi: $x = 0 \Rightarrow y = - 6$ → $(0, - 6)$ .
$x$ kesişimi: $0 = 2 x - 6 \Rightarrow x = 3$ → $(3, 0)$ .

Sonuç:

(0, - 6)

(3, 0)

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$A (- 1, 2)$ ve $B (3, 10)$ noktalarından geçen doğrunun denklemini bulunuz.

Eğim: $m = \frac{10 - 2}{3 - ( - 1 )} = \frac{8}{4} = 2$ .
$y = 2 x + n$ ; $A (- 1, 2)$ : $2 = 2 (- 1) + n \Rightarrow n = 4$ .

Sonuç:

y = 2 x + 4

Örnek

Soru

$y = 3 x - 1$ doğrusuna paralel ve $(0, 5)$ 'ten geçen doğrunun denklemi nedir?

Paralel → aynı eğim $m = 3$ .
$(0, 5)$ doğrudan $y$ kesişimi: $n = 5$ .

Sonuç:

y = 3 x + 5

Örnek

Soru

$(4, 1)$ noktasından geçen ve $y = \frac{1}{2} x + 3$ doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulunuz.

Dik eğim: $m_{1} = \frac{1}{2}$ , $m_{2} = - 2$ ( $\frac{1}{2} \cdot (- 2) = - 1$ ).
$y = - 2 x + n$ ; $(4, 1)$ : $1 = - 8 + n \Rightarrow n = 9$ .

Sonuç:

y = - 2 x + 9

Örnek

Soru

$y = m x + 2$ doğrusu $(3, 8)$ 'den geçiyorsa $m$ kaçtır?

$8 = 3 m + 2 \Rightarrow 3 m = 6 \Rightarrow m = 2$ .

Sonuç:

m = 2

Alıştırmalar — Sıra Sende

Önce kendin çözmeyi dene; sonra çözümü açıp karşılaştır.

Örnek

Soru

$A (0, 1)$ ve $B (2, 7)$ doğrusunun eğimi kaçtır?

$m = \frac{7 - 1}{2 - 0} = 3$ .

Sonuç:

3

Örnek

Soru

Eğimi $- 2$ olan ve $(1, 4)$ 'ten geçen doğrunun denklemi nedir?

$y = - 2 x + n$ ; $4 = - 2 + n \Rightarrow n = 6$ .

Sonuç:

y = - 2 x + 6

Örnek

Soru

$y = 4 x - 7$ doğrusuna dik bir doğrunun eğimi kaçtır?

$4 \cdot m_{2} = - 1 \Rightarrow m_{2} = - \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

- \frac{1}{4}

Örnek

Soru

$y = 5 x + 10$ doğrusunun $x$ eksenini kestiği nokta nedir?

$0 = 5 x + 10 \Rightarrow x = - 2$ .

Sonuç:

(- 2, 0)

Örnek

Soru

$y = 2 x + 1$ ile $y = 2 x - 3$ doğruları için ne söylenir?

Eğimleri eşit ( $2 = 2$ ), kesişimleri farklı → paraleldirler.

Sonuç: Paraleldirler.

Örnek

Soru

$2 x - y + 4 = 0$ doğrusunun eğimini ve $y$ eksenini kestiği noktayı bulunuz.

Doğruyu $y = m x + n$ biçimine getir: $y$ 'yi yalnız bırak. O zaman $m$ eğim, $n$ ise $y$ kesişimidir.

$y$ 'yi yalnız bırak: $y = 2 x + 4$ .
Eğim $m = 2$ ; $y$ kesişimi $x = 0$ için $y = 4$ , yani $(0, 4)$ .

Sonuç:

m = 2

(0, 4)

Örnek

Soru

$(2, 5)$ noktasından geçen ve $y = \frac{1}{3} x + 2$ doğrusuna dik olan doğrunun denklemini bulunuz.

Dik doğrunun eğimi, verilen eğimin ters işaretli tersidir: $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ . Sonra noktayı yerine koyup $n$ 'i bul.

$m_{1} = \frac{1}{3} \Rightarrow m_{2} = - 3$ (çünkü $\frac{1}{3} \cdot (- 3) = - 1$ ).
$y = - 3 x + n$ ; $(2, 5)$ : $5 = - 3 \cdot 2 + n = - 6 + n \Rightarrow n = 11$ .

Sonuç:

y = - 3 x + 11

Örnek

Soru

$A (1, 2)$ , $B (3, 6)$ ve $C (5, k)$ noktaları aynı doğru üzerindeyse (doğrusal) $k$ kaçtır?

Üç nokta aynı doğru üzerindeyse, herhangi iki çiftin eğimi eşittir: $m_{A B} = m_{B C}$ .

$m_{A B} = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2$ .
$m_{B C} = \frac{k - 6}{5 - 3} = \frac{k - 6}{2}$ .
Eşitle: $\frac{k - 6}{2} = 2 \Rightarrow k - 6 = 4 \Rightarrow k = 10$ .

Sonuç:

k = 10

Örnek

Soru

$y = m x - 3$ doğrusu, $y = 2 x + 1$ doğrusuna paraleldir ve $x$ eksenini $(a, 0)$ noktasında keser. $m + a$ toplamı kaçtır?

Önce paralellikten $m$ 'i bul. Sonra $y = 0$ koyarak $x$ kesişimini ( $a$ ) hesapla; en son ikisini topla.

Paralel → eğimler eşit: $m = 2$ . Doğru $y = 2 x - 3$ olur.
$x$ kesişimi: $0 = 2 x - 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ , yani $a = \frac{3}{2}$ .
$m + a = 2 + \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$ .

Sonuç:

\frac{7}{2}

Sık Yapılan Hatalar

Eğimde pay-paydayı ters yazmak. Eğim $\frac{Δ y}{Δ x}$ 'tir; $y$ farkı paya gelir.
Dik doğru eğimini yalnız işaret değiştirerek bulmak. Dik eğim ters işaretli terstir: $m_{2} = - \frac{1}{m _{1}}$ , sadece $- m_{1}$ değil.
$y$ kesişimini eğimle karıştırmak. $y = m x + n$ 'de $m$ eğim, $n$ kesişimdir.
Düşey doğruyu unutmak. $x = a$ biçimindeki düşey doğrunun eğimi tanımsızdır ( $Δ x = 0$ ). Yatay doğru $y = b$ 'nin eğimi ise $0$ 'dır.
Genel formdan eğimi yanlış okumak. $a x + b y + c = 0$ doğrusunda eğim doğrudan $a$ değil, $m = - \frac{a}{b}$ 'dir. Emin değilsen $y$ 'yi yalnız bırak.

Not: Doğru sorularında sıralama: eğim → denklem → koşul. Paralelde eğim aynı, dikte eğimler çarpımı $- 1$ . Bir nokta + eğim varsa denklem tek adımda çıkar. Üç nokta doğrusal ise ikişerli eğimleri eşittir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, konuyu sınav formatında (5 şıklı) pekiştirmen için özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Soru 1Kolay

A (- 2, 3)

B (4, - 9)

noktalarından geçen doğrunun eğimi kaçtır?

Eğim formülü: $m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}$ .
$m = \frac{- 9 - 3}{4 - ( - 2 )} = \frac{- 12}{6}$ .
$m = - 2$ .

Sonuç:

m = - 2

(C).

Soru 2Kolay

y = \frac{3}{4} x + 1

doğrusuna dik olan bir doğrunun eğimi kaçtır?

Dik doğrular için $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$ ; yani $m_{2}$ , $m_{1}$ 'in ters işaretli tersidir.
$m_{1} = \frac{3}{4} \Rightarrow m_{2} = - \frac{1}{m _{1}} = - \frac{4}{3}$ .
Kontrol: $\frac{3}{4} \cdot (- \frac{4}{3}) = - 1$ .

Sonuç:

- \frac{4}{3}

(A).

Soru 3Orta

A (- 3, - 1)

B (1, 7)

noktalarından geçen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Eğim: $m = \frac{7 - ( - 1 )}{1 - ( - 3 )} = \frac{8}{4} = 2$ .
$y = 2 x + n$ yaz, $B (1, 7)$ noktasını koy: $7 = 2 \cdot 1 + n \Rightarrow n = 5$ .
Doğru: $y = 2 x + 5$ .

Sonuç:

y = 2 x + 5

(D).

Soru 4Orta

3 x - 2 y + 12 = 0

doğrusunun eğimi kaçtır?

$y$ 'yi yalnız bırakalım: $2 y = 3 x + 12 \Rightarrow y = \frac{3}{2} x + 6$ .
$y = m x + n$ biçiminde $m$ eğimdir.
$m = \frac{3}{2}$ . (Alternatif: $a x + b y + c = 0$ için $m = - \frac{a}{b} = - \frac{3}{- 2} = \frac{3}{2}$ .)

Sonuç:

\frac{3}{2}

(B).

Soru 5Orta

Bir mumun boyu ile yanma süresi arasında doğrusal bir ilişki vardır. Mum yakılmadan önce (t=0) boyu

20

cm iken,

4

saat sonra boyu

12

cm olmuştur. Bu mum tamamen bittiğinde (

h = 0

) kaç saat geçmiş olur?

Boy $h$ , süre $t$ olsun; $(0, 20)$ ve $(4, 12)$ noktalarından geçen doğruyu kuralım.
Eğim: $m = \frac{12 - 20}{4 - 0} = \frac{- 8}{4} = - 2$ (saatte $2$ cm azalır).
$t = 0$ iken $h = 20$ olduğundan $n = 20$ : $h = - 2 t + 20$ .
$h = 0$ : $0 = - 2 t + 20 \Rightarrow t = 10$ saat.

Sonuç:

10

saat (E).

Soru 6Zor

A (1, 2)

B (k, 8)

noktalarından geçen doğru,

y = 3 x - 4

doğrusuna paralel olduğuna göre

k

kaçtır?

Paralel doğruların eğimleri eşittir; verilen doğrunun eğimi $3$ .
$A B$ doğrusunun eğimi de $3$ olmalı: $\frac{8 - 2}{k - 1} = 3$ .
$\frac{6}{k - 1} = 3 \Rightarrow k - 1 = 2$ .
$k = 3$ .

Sonuç:

k = 3

(C).

0/6 soru cevaplandı

1. Eğim

2. Doğru Denklemi

3. Paralel ve Dik Doğrular

4. Eksen Kesişimleri

Çözümlü Örnekler

Alıştırmalar — Sıra Sende

Sık Yapılan Hatalar

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Analitik İnceleme — diğer konular