Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Temel denklem: log_a(x)=b ⇒ x=aᵇ

   KolaySık çıkar

   Tek logaritmalı denklemin tanımdan üslü biçime çevrilmesi. İç fonksiyon birinci derecedense iki adımda biter; konunun kapı sorusudur.

   Nasıl çözülür

   1. Tanımı uygula: log_a(iç)=b ⇒ iç=aᵇ.
   2. İçteki birinci dereceden denklemi çöz.
   3. Bulunan x'i içte yerine koyup iç>0 olduğunu SAĞLA (tek logda genellikle sağlar ama alışkanlık kur).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • iç=aᵇ yerine iç=b·a yazmak (üs almayı çarpma sanmak)→küçük, doğrusal yanlış kök
   • iç=bᵃ yazmak (taban ile sonucu ters çevirmek)→taban-üs takası yapılmış yanlış kök

   Örnek

   log₃(2x+1)=2 ise x kaçtır?

   2x+1=3²=9 ⇒ x=4 (iç=9>0, sağlar)

2. 02

   İki logun eşitliği (içler eşit + TANIM KONTROLÜ)

   OrtaSık çıkar

   log_a f(x)=log_a g(x) ⇒ f(x)=g(x); çıkan her kök iki içte de pozitiflik kontrolünden geçirilir. Sağlamayan kökün atılması bu tipin varlık sebebidir.

   Nasıl çözülür

   1. Tabanlar aynıysa içleri eşitle: f(x)=g(x).
   2. Oluşan (genelde ikinci dereceden) denklemi çöz.
   3. HER kökü orijinal denklemde iç>0 şartıyla SAĞLA; en az bir içi negatif/sıfır yapan kök ATILIR.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Tanım kontrolü yapmadan iki kökü de kabul etmek→kök sayısını/toplamını fazla bulmak — en klasik yanlış şık
   • Kontrolü yalnız bir iç fonksiyonda yapmak→diğer içi negatif yapan sahte kökü kabul etmek

   Örnek

   log₃(x²−4)=log₃(3x) denkleminin çözüm kümesi nedir?

   x²−4=3x ⇒ x²−3x−4=0 ⇒ x=4 veya x=−1; x=−1'de iç negatif, atılır ⇒ Ç={4}

   Sık birleştiği konular: İkinci Dereceden Denklemler

3. 03

   log·log denklemi — değişken değiştirme

   OrtaSık çıkar

   (log_a x)² − k·log_a x + m = 0 tipi: t=log_a x ile ikinci dereceden denkleme iner. Kökler çarpımı/toplamı istenerek üs kuralıyla bitirilir.

   Nasıl çözülür

   1. t=log_a x koy (x>0 tanım şartını not et); t için ikinci dereceden denklemi çöz.
   2. Her t kökünden geri dön: x=aᵗ.
   3. Çarpım istenirse x₁·x₂=a^(t₁+t₂) kısayolunu kullan (Vieta: t₁+t₂ hazır).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • t köklerini doğrudan x sanmak (geri dönüşü unutmak)→x₁·x₂ yerine t₁·t₂ — küçük yanlış değer
   • (log x)² ile log(x²)=2log x'i karıştırmak→denklemi doğrusallaştırıp tek (yanlış) kök bulmak

   Örnek

   (log₃x)²−4·log₃x+3=0 denkleminin kökleri x₁, x₂ ise x₁·x₂ kaçtır?

   t²−4t+3=0 ⇒ t=1, t=3 ⇒ x=3, x=27 ⇒ çarpım 81 (=3^(1+3))

   Sık birleştiği konular: İkinci Dereceden Denklemler

4. 04

   Üstel–logaritmik karışık denklem

   OrtaSık çıkar

   Taban eşitlenemeyen üstel denklem (2ˣ=5 tipi) logaritmayla çözülür; cevap log'lu ifade olarak bırakılır. Üstel ve log konularının köprü sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Tabanlar eşitlenemiyorsa iki tarafın aynı tabanda logunu al (pratikte üs tabanını seç).
   2. Üs kuralıyla üssü indir: log_a(aᵘ)=u.
   3. x'i yalnız bırak; cevabı log₂5, 1+log₂5 gibi kapalı biçimde bırakmaya alış.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 2ˣ=5'ten x=5/2 yazmak (üsteli doğrusal çözmek)→log içermeyen kesirli yanlış kök
   • log alırken yalnız bir tarafın logunu almak→dengesiz denklem — tutarsız kök

   Örnek

   2^(x−1)=5 olduğuna göre x kaçtır?

   x−1=log₂5 ⇒ x=1+log₂5

   Sık birleştiği konular: Üstel Fonksiyon

5. 05

   Toplam–fark kurallı denklem (negatif dal elenir)

   ZorSık çıkar

   log(x)+log(x−3)=1 tipi: loglar tek çatıda birleştirilir, üslü biçime geçilir; ikinci derecedenin negatif dalı tanım kümesince elenir. ÖSYM'nin imza sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Önce tanım kümesini yaz: her iç>0 (örnekte x>0 ve x>3 ⇒ x>3).
   2. Kuralla birleştir: log A+log B=log(A·B); denklemi iç·iç=taban^sağ biçimine getir.
   3. İkinci dereceden denklemi çöz; tanım kümesi dışındaki kök ATILIR, kalan tek kök cevaptır.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Negatif dalı elemeden 'köklerin toplamı/çarpımı' hesaplamak→vieta'dan gelen ama geçersiz kökü içeren yanlış değer
   • log A+log B'yi log(A+B) olarak birleştirmek→doğrusal denklemden çıkan ilgisiz kök

   Örnek

   log x + log(x−3) = 1 denklemini sağlayan x kaçtır?

   x(x−3)=10¹ ⇒ x²−3x−10=0 ⇒ x=5 veya x=−2; x=−2 tanım dışı, atılır ⇒ x=5

   Sık birleştiği konular: İkinci Dereceden Denklemler, Logaritma Kavramı ve Özellikleri

6. 06

   Logaritmik eşitsizlik (tabana göre yön kuralı)

   ZorSık çıkar

   Taban>1 ise yön korunur, 0<taban<1 ise yön DÖNER; sonuç mutlaka tanım kümesiyle kesiştirilir. İki tuzak üst üste: yön ve tanım.

   Nasıl çözülür

   1. Tanım kümesini önce yaz: iç>0.
   2. Sağ tarafı aynı tabanda log olarak yaz (k=log_a aᵏ).
   3. Taban>1 ⇒ içler arasında yön aynı; 0<taban<1 ⇒ yön ters çevrilir.
   4. Bulduğun aralığı tanım kümesiyle KESİŞTİR; tam sayı sorusu ise uç noktaların dahilliğini kontrol et.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • 0<taban<1 iken yönü çevirmemek→tam ters aralık — simetrik yanlış şık
   • Tanım kümesiyle kesiştirmeyi unutmak→iç fonksiyonu negatif yapan tam sayıları da saymak

   Örnek

   log_½(x−3) > −2 eşitsizliğini sağlayan tam sayıların toplamı kaçtır?

   Tanım: x>3; −2=log_½4, taban<1 yön döner ⇒ x−3<4 ⇒ 3<x<7; tam sayılar 4,5,6 ⇒ toplam 15

   Sık birleştiği konular: İkinci Dereceden Eşitsizlikler