AYT Matematik · Üstel Fonksiyon ve Logaritma

Logaritmik Denklem ve Eşitsizlikler

~9 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~2 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Logaritmik denklem ve eşitsizliklerde her şeyin önünde gelen tek bir altın kural vardır: önce tanım kümesi. Logaritmanın içi her zaman pozitif olmak zorunda olduğundan, bulduğun her kökü mutlaka bu koşula göre süzersin. Bu konu, denklem çözmenin adımlarını, eşitsizlikte tabanın yönü nasıl belirlediğini ve yabancı kökleri ayıklamayı baştan sona kurar.

1. Tanım Kümesi: Her Şeyin Başı

$lo g_{a} f (x)$ ifadesinin tanımlı olması için iki koşul gerekir:

Koşul	Açıklama
$f (x) > 0$	Logaritmanın içi (argümanı) pozitif olmalı
$a > 0, a \neq = 1$	Taban pozitif ve $1$ 'den farklı olmalı

Bir denklem çözerken bulunan değer, bu koşulları sağlamıyorsa yabancı kök adını alır ve atılır. Bu yüzden çözümün son adımı her zaman tanım kümesine göre kontroldür.

2. Logaritmik Denklem Çözme

İki temel kalıp vardır:

$lo g_{a} f (x) = b \Rightarrow f (x) = a^{b}$

$lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) \Rightarrow f (x) = g (x) (f (x) > 0, g (x) > 0)$

İkinci kalıpta, tabanlar aynı olduğunda argümanları eşitleriz; ama hem $f (x)$ hem $g (x)$ pozitif olmalıdır.

Örnek

Soru

$lo g_{2} (x - 1) = 3$ denklemini çözünüz.

Tanım kümesi: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ .
Denklemi üslü biçime geçir: $x - 1 = 2^{3} = 8$ .
Çöz: $x = 9$ .
Kontrol: $9 > 1$ olduğundan kök tanım kümesindedir.

Sonuç:

x = 9

Örnek

Soru

$lo g_{3} (2 x + 1) = 2$ denklemini çözünüz.

Tanım kümesi: $2 x + 1 > 0 \Rightarrow x > - \frac{1}{2}$ .
Üslü biçime geç: $2 x + 1 = 3^{2} = 9$ .
Çöz: $2 x = 8 \Rightarrow x = 4$ .
Kontrol: $4 > - \frac{1}{2}$ sağlanır.

Sonuç:

x = 4

3. Logaritmaları Birleştirme

Birden fazla logaritma içeren denklemlerde önce çarpım/bölüm kurallarıyla tek logaritmaya indiririz:

$lo g_{a} m + lo g_{a} n = lo g_{a} (mn), lo g_{a} m - lo g_{a} n = lo g_{a} \frac{m}{n}$

Birleştirme yeni kökler doğurabileceğinden, tanım kümesi kontrolü burada daha da kritiktir.

Örnek

Soru

$lo g x + lo g (x - 3) = 1$ denklemini çözünüz. (Taban $10$ .)

Önce iki logaritmayı tek logaritmada topla; sonra $lo g_{10} A = 1 \Rightarrow A = 10$ kuralını kullan. Tanım için hem $x > 0$ hem $x - 3 > 0$ gerektiğini unutma.

Tanım kümesi: $x > 0$ ve $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$ .
Logaritmaları birleştir: $lo g (x (x - 3)) = 1$ .
Üslü biçime geç: $x (x - 3) = 1 0^{1} = 10$ .
Düzenle: $x^{2} - 3 x - 10 = 0 \Rightarrow (x - 5) (x + 2) = 0$ .
Kökler $x = 5$ ve $x = - 2$ . Kontrol: $x = 5 > 3$ kabul; $x = - 2$ tanım dışı, atılır.

Sonuç:

x = 5

4. Logaritmik Eşitsizlik: Taban Yönü Belirler

Eşitsizlikte tabanın $1$ 'den büyük mü küçük mü olduğu, eşitsizliğin yönünü doğrudan etkiler:

Taban	Kural	Yön
$a > 1$	$lo g_{a} f < lo g_{a} g \Rightarrow 0 < f < g$	Korunur
$0 < a < 1$	$lo g_{a} f < lo g_{a} g \Rightarrow f > g > 0$	Değişir

Her iki durumda da çözüm kümesini tanım kümesiyle kesiştirmek zorunludur; çünkü logaritmanın içi yine pozitif olmalıdır.

Örnek

Soru

$lo g_{2} (x - 1) < 3$ eşitsizliğini çözünüz.

Tanım kümesi: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ .
Taban $2 > 1$ olduğundan yön korunur. Sağ tarafı $lo g_{2} 8 = 3$ biçiminde yaz: $lo g_{2} (x - 1) < lo g_{2} 8$ .
Argümanları karşılaştır: $x - 1 < 8 \Rightarrow x < 9$ .
Tanım kümesiyle kesiştir: $x > 1$ ve $x < 9$ .

Sonuç:

1 < x < 9

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$lo g_{5} (3 x - 2) = 2$ denklemini çözünüz.

Tanım kümesi: $3 x - 2 > 0 \Rightarrow x > \frac{2}{3}$ .
Üslü biçime geç: $3 x - 2 = 5^{2} = 25$ .
Çöz: $3 x = 27 \Rightarrow x = 9$ .
Kontrol: $9 > \frac{2}{3}$ sağlanır.

Sonuç:

x = 9

Örnek

Soru

$lo g_{2} (x + 1) + lo g_{2} (x - 1) = 3$ denklemini çözünüz.

İki logaritmayı $lo g_{2} [(x + 1) (x - 1)]$ olarak birleştir; çarpım $x^{2} - 1$ verir. Tanım için $x > 1$ olması gerektiğine dikkat et.

Tanım kümesi: $x + 1 > 0$ ve $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ .
Logaritmaları birleştir: $lo g_{2} [(x + 1) (x - 1)] = 3 \Rightarrow lo g_{2} (x^{2} - 1) = 3$ .
Üslü biçime geç: $x^{2} - 1 = 2^{3} = 8$ .
Çöz: $x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3$ veya $x = - 3$ .
Kontrol: $x = 3 > 1$ kabul; $x = - 3$ tanım dışı, atılır.

Sonuç:

x = 3

Örnek

Soru

$lo g_{3} (x + 6) = lo g_{3} (2 x + 1)$ denklemini çözünüz.

Tanım kümesi: $x + 6 > 0$ ve $2 x + 1 > 0 \Rightarrow x > - \frac{1}{2}$ .
Tabanlar aynı olduğundan argümanları eşitle: $x + 6 = 2 x + 1$ .
Çöz: $6 - 1 = 2 x - x \Rightarrow x = 5$ .
Kontrol: $x = 5 > - \frac{1}{2}$ ; her iki argüman da pozitif ( $11 > 0, 11 > 0$ ).

Sonuç:

x = 5

Örnek

Soru

$lo g_{4} (x) + lo g_{4} (x - 6) = 2$ denklemini çözünüz.

Birleştir, $lo g_{4} A = 2 \Rightarrow A = 16$ kuralını uygula ve ikinci dereceden denklemi çöz. Kökleri $x > 6$ koşuluna göre süz.

Tanım kümesi: $x > 0$ ve $x - 6 > 0 \Rightarrow x > 6$ .
Birleştir: $lo g_{4} [x (x - 6)] = 2$ .
Üslü biçime geç: $x (x - 6) = 4^{2} = 16$ .
Düzenle: $x^{2} - 6 x - 16 = 0 \Rightarrow (x - 8) (x + 2) = 0$ .
Kökler $x = 8$ ve $x = - 2$ . Kontrol: $x = 8 > 6$ kabul; $x = - 2$ tanım dışı, atılır.

Sonuç:

x = 8

Örnek

Soru

$lo g_{3} (2 x - 1) \geq 2$ eşitsizliğini çözünüz.

Tanım kümesi: $2 x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$ .
Taban $3 > 1$ , yön korunur. Sağ tarafı $lo g_{3} 9 = 2$ yaz: $lo g_{3} (2 x - 1) \geq lo g_{3} 9$ .
Argümanları karşılaştır: $2 x - 1 \geq 9 \Rightarrow 2 x \geq 10 \Rightarrow x \geq 5$ .
Tanım kümesiyle kesiştir: $x \geq 5$ zaten $x > \frac{1}{2}$ içinde kalır.

Sonuç:

x \geq 5

Örnek

Soru

$lo g_{1/2} (x - 3) > 1$ eşitsizliğini çözünüz.

Taban $\frac{1}{2}$ , yani $0 < a < 1$ . Bu durumda argümanları karşılaştırırken eşitsizliğin yönü değişir. Ayrıca $x - 3 > 0$ koşulunu da unutma.

Tanım kümesi: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$ .
Sağ tarafı $lo g_{1/2} \frac{1}{2} = 1$ biçiminde yaz: $lo g_{1/2} (x - 3) > lo g_{1/2} \frac{1}{2}$ .
Taban $0 < \frac{1}{2} < 1$ olduğundan yön değişir: $x - 3 < \frac{1}{2}$ .
Çöz: $x < \frac{7}{2}$ .
Tanım kümesiyle kesiştir: $x > 3$ ve $x < \frac{7}{2}$ .

Sonuç:

3 < x < \frac{7}{2}

Örnek

Soru

$lo g_{3} x - lo g_{x} 3 = \frac{3}{2}$ denklemini ( $x > 0, x \neq = 1$ ) çözünüz.

$lo g_{x} 3 = \frac{1}{lo g _{3} x}$ taban–sayı yer değişimini kullan; $lo g_{3} x = t$ diyerek denklemi $t$ cinsinden ikinci dereceye indir.

Tanım kümesi: $x > 0$ ve $x \neq = 1$ .
$lo g_{x} 3 = \frac{1}{lo g _{3} x}$ olduğundan $lo g_{3} x = t$ ( $t \neq = 0$ ) diyelim: $t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2}$ .
$2 t$ ile çarp: $2 t^{2} - 2 = 3 t \Rightarrow 2 t^{2} - 3 t - 2 = 0 \Rightarrow (2 t + 1) (t - 2) = 0$ .
Kökler $t = 2$ ve $t = - \frac{1}{2}$ . Geri dön: $lo g_{3} x = 2 \Rightarrow x = 9$ ; $lo g_{3} x = - \frac{1}{2} \Rightarrow x = 3^{- 1/2} = \frac{1}{3}$ .
Kontrol: Her iki değer de $x > 0, x \neq = 1$ koşulunu sağlar.

Sonuç:

x = 9

veya

x = \frac{1}{3}

Örnek

Soru

$lo g_{2} (x + 2) - lo g_{2} (x - 1) = 2$ denklemini çözünüz.

Çıkarmayı bölümün logaritmasına çevir, sonra $lo g_{2} A = 2 \Rightarrow A = 4$ kuralını uygula. Tanım için $x > 1$ gerekir.

Tanım kümesi: $x + 2 > 0$ ve $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ .
Çıkarmayı birleştir: $lo g_{2} \frac{x + 2}{x - 1} = 2$ .
Üslü biçime geç: $\frac{x + 2}{x - 1} = 2^{2} = 4$ .
Çöz: $x + 2 = 4 (x - 1) \Rightarrow x + 2 = 4 x - 4 \Rightarrow 3 x = 6 \Rightarrow x = 2$ .
Kontrol: $x = 2 > 1$ sağlanır.

Sonuç:

x = 2

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Temel denklem: log_a(x)=b ⇒ x=aᵇ: iç=aᵇ yerine iç=b·a yazmak (üs almayı çarpma sanmak) küçük, doğrusal yanlış kök
İki logun eşitliği (içler eşit + TANIM KONTROLÜ): Tanım kontrolü yapmadan iki kökü de kabul etmek kök sayısını/toplamını fazla bulmak — en klasik yanlış şık
log·log denklemi — değişken değiştirme: t köklerini doğrudan x sanmak (geri dönüşü unutmak) x₁·x₂ yerine t₁·t₂ — küçük yanlış değer
Üstel–logaritmik karışık denklem: 2ˣ=5'ten x=5/2 yazmak (üsteli doğrusal çözmek) log içermeyen kesirli yanlış kök
Toplam–fark kurallı denklem (negatif dal elenir): Negatif dalı elemeden 'köklerin toplamı/çarpımı' hesaplamak vieta'dan gelen ama geçersiz kökü içeren yanlış değer
Logaritmik eşitsizlik (tabana göre yön kuralı): 0<taban<1 iken yönü çevirmemek tam ters aralık — simetrik yanlış şık

Soru 1Orta

lo g_{3} (x - 2) + lo g_{3} (2 x - 1) = 2

denklemini sağlayan

x

değeri için,

4 x

kaçtır?

**Tanım kümesi:** $x - 2 > 0$ ve $2 x - 1 > 0 \Rightarrow x > 2$ .
Logaritmaları birleştir: $lo g_{3} [(x - 2) (2 x - 1)] = 2$ .
Üslü biçime geç: $(x - 2) (2 x - 1) = 3^{2} = 9$ .
Düzenle: $2 x^{2} - 5 x + 2 = 9 \Rightarrow 2 x^{2} - 5 x - 7 = 0 \Rightarrow (2 x - 7) (x + 1) = 0$ .
Kökler $x = \frac{7}{2}$ ve $x = - 1$ . **Kontrol:** $\frac{7}{2} > 2$ kabul; $x = - 1$ tanım dışı, **atılır**.
İstenen: $4 x = 4 \cdot \frac{7}{2} = 14$ .

Sonuç:

14

Soru 2Orta

lo g_{2} (x^{2} - x) = lo g_{2} (3 x - 4)

denklemini sağlayan

x

değeri için,

x^{2} + 1

kaçtır?

**Tanım kümesi:** $3 x - 4 > 0 \Rightarrow x > \frac{4}{3}$ ve $x^{2} - x > 0$ .
Tabanlar aynı olduğundan argümanları eşitle: $x^{2} - x = 3 x - 4$ .
Düzenle: $x^{2} - 4 x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)^{2} = 0 \Rightarrow x = 2$ .
**Kontrol:** $x = 2$ için $3 x - 4 = 2 > 0$ ve $x^{2} - x = 2 > 0$ ; her iki argüman da pozitif, kök kabul.
İstenen: $x^{2} + 1 = 4 + 1 = 5$ .

Sonuç:

5

Soru 3Orta

lo g_{1/3} (x - 1) \geq - 1

eşitsizliğini sağlayan

x

değerlerinin alabileceği tam sayıların toplamı kaçtır?

**Tanım kümesi:** $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$ .
Sağ tarafı $lo g_{1/3} 3 = - 1$ biçiminde yaz: $lo g_{1/3} (x - 1) \geq lo g_{1/3} 3$ .
Taban $0 < \frac{1}{3} < 1$ olduğundan yön **değişir**: $x - 1 \leq 3$ .
Çöz: $x \leq 4$ .
Tanım kümesiyle kesiştir: $1 < x \leq 4$ .
Bu aralıktaki tam sayılar $2, 3, 4$ ; toplamı $2 + 3 + 4 = 9$ .

Sonuç:

9

Soru 4Orta

(lo g_{2} x)^{2} - 3 lo g_{2} x + 2 = 0

denkleminin kökleri

x_{1}

x_{2}

'dir. Buna göre

x_{1} \cdot x_{2}

çarpımı kaçtır?

**Tanım kümesi:** $x > 0$ .
$lo g_{2} x = t$ değişken değiştir: $t^{2} - 3 t + 2 = 0 \Rightarrow (t - 1) (t - 2) = 0$ , yani $t = 1$ veya $t = 2$ .
Geri dön: $lo g_{2} x = 1 \Rightarrow x_{1} = 2$ ; $lo g_{2} x = 2 \Rightarrow x_{2} = 4$ . Her ikisi de pozitif, kabul.
Çarpım: $x_{1} \cdot x_{2} = 2 \cdot 4 = 8$ .

Sonuç:

8

Soru 5Orta

lo g_{5} (x - 1) + lo g_{5} (x + 5) = lo g_{5} (3 x + 7)

denklemini sağlayan

x

değeri için

x^{2} - 2

kaçtır?

**Tanım kümesi:** $x - 1 > 0$ , $x + 5 > 0$ ve $3 x + 7 > 0 \Rightarrow x > 1$ .
Sol tarafı birleştir: $lo g_{5} [(x - 1) (x + 5)] = lo g_{5} (3 x + 7)$ .
Tabanlar aynı, argümanları eşitle: $(x - 1) (x + 5) = 3 x + 7$ .
Aç: $x^{2} + 4 x - 5 = 3 x + 7 \Rightarrow x^{2} + x - 12 = 0 \Rightarrow (x + 4) (x - 3) = 0$ .
Kökler $x = 3$ ve $x = - 4$ . **Kontrol:** $x = 3 > 1$ kabul; $x = - 4$ tanım dışı, **atılır**.
İstenen: $x^{2} - 2 = 3^{2} - 2 = 9 - 2 = 7$ .

Sonuç:

7

Soru 6Zor

2 \leq lo g_{3} (2 x - 1) \leq 4

koşulunu sağlayan

x

tam sayılarının en küçüğü ile en büyüğünün toplamı kaçtır?

**Tanım kümesi:** $2 x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{2}$ (sınırlar zaten bunu sağlayacak).
Taban $3 > 1$ , yön korunur. Eşitsizliği üslü biçime çevir: $3^{2} \leq 2 x - 1 \leq 3^{4}$ , yani $9 \leq 2 x - 1 \leq 81$ .
Her tarafa $1$ ekle: $10 \leq 2 x \leq 82$ .
İkiye böl: $5 \leq x \leq 41$ .
En küçük tam sayı $5$ , en büyük $41$ ; toplam $5 + 41 = 46$ .

Sonuç:

46

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Tanım kümesini kontrol etmemek. Denklemi çözüp bulduğun her kökü mutlaka $f (x) > 0$ koşuluna göre süz. Örneğin $lo g x + lo g (x - 3) = 1$ denkleminde $x = - 2$ cebirsel olarak çıkar ama logaritmanın içi negatif olacağından yabancı köktür, atılır.
$0 < a < 1$ tabanında yönü çevirmemek. $lo g_{1/2}$ gibi $1$ 'den küçük tabanlı eşitsizliklerde argümanlara geçerken eşitsizliğin yönü ters döner. Yönü korursan çözüm kümesi tamamen yanlış çıkar.
Logaritmaları birleştirmeden argümanları eşitlemek. $lo g_{a} m + lo g_{a} n$ ifadesi $lo g_{a} (mn)$ 'dir, $lo g_{a} (m + n)$ değildir.

Sınav İpucu

Logaritmik bir denklem ya da eşitsizlikte ilk işin tanım kümesini yazmak olsun: argümanları $> 0$ , tabanı $0 < a \neq = 1$ koşullarını en başta bir köşeye not et. Çözümün sonunda bulduğun kökleri bu koşullarla süz. Eşitsizliklerde ise tabana bak: $a > 1$ ise yön korunur, $0 < a < 1$ ise yön değişir. Bu iki refleks, soruların çok büyük kısmını hatasız çözdürür.

1. Tanım Kümesi: Her Şeyin Başı

2. Logaritmik Denklem Çözme

3. Logaritmaları Birleştirme

4. Logaritmik Eşitsizlik: Taban Yönü Belirler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Üstel Fonksiyon ve Logaritma — diğer konular