AYT Matematik · Üstel Fonksiyon ve Logaritma

Logaritma Kavramı ve Özellikleri

~10 dk okumaZorluk: Zor6 çözümlü soruAYT'de ~2 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Logaritma, üs almanın ters işlemidir: "Tabanı kaçıncı kuvvete çıkarırsam bu sayıyı elde ederim?" sorusunun cevabıdır. AYT'de logaritma; özelliklerin uygulanması, taban değiştirme ve denklem çözümünün temelini oluşturur. Bu konu, tanımdan başlayıp tüm özellikleri ezbersiz biçimde kurar.

1. Logaritmanın Tanımı

$a > 0$ , $a \neq = 1$ ve $b > 0$ olmak üzere logaritma şöyle tanımlanır:

$lo g_{a} b = c ⟺ a^{c} = b$

Yani $lo g_{a} b$ , $a$ tabanını $b$ yapan üstür. Buradaki koşullar zorunludur: taban pozitif ve $1$ 'den farklı, logaritması alınan sayı ise kesinlikle pozitif olmalıdır.

Logaritma, üstel fonksiyonun tersidir. Bu yüzden $y = a^{x}$ ile $y = lo g_{a} x$ grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir: üstel grafik $(0, 1)$ 'den, logaritma grafiği ise onun yansıması olan $(1, 0)$ 'dan geçer.

Şekil 1 —

y = 2^{x}

(turuncu) ile

y = lo g_{2} x

(lacivert),

y = x

doğrusuna göre simetriktir. Üstel grafik

(0, 1)

'den, logaritma grafiği

(1, 0)

'dan geçer; biri tersi diğerinin.

İki taban o kadar sık kullanılır ki özel adları vardır:

Gösterim	Anlamı	Tabanı
$lo g x$	Onluk (bayağı) logaritma	$lo g_{10} x$
$ln x$	Doğal logaritma	$lo g_{e} x$ ( $e \approx 2, 718$ )

Örnek

Soru

$lo g_{2} 8$ değerini bulunuz.

Tanımı yaz: $lo g_{2} 8 = c ⟺ 2^{c} = 8$ .
$8 = 2^{3}$ olduğundan $2^{c} = 2^{3}$ , yani $c = 3$ .

Sonuç:

lo g_{2} 8 = 3

Örnek

Soru

$lo g_{3} \frac{1}{9}$ değerini bulunuz.

Tanım: $lo g_{3} \frac{1}{9} = c ⟺ 3^{c} = \frac{1}{9}$ .
$\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ olduğundan $3^{c} = 3^{- 2}$ , yani $c = - 2$ .

Sonuç:

lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2

2. Temel Eşitlikler

Tanımdan doğrudan çıkan ve sürekli kullanılan dört eşitlik:

Eşitlik	Neden?
$lo g_{a} 1 = 0$	$a^{0} = 1$
$lo g_{a} a = 1$	$a^{1} = a$
$lo g_{a} a^{n} = n$	$a^{n} = a^{n}$
$a^{l o g_{a} b} = b$	Logaritma ile üssün ters işlem olması

Örnek

Soru

$lo g 10000$ değerini bulunuz.

Belirtilmemiş taban $10$ 'dur. $10000$ sayısını $10$ 'un kuvveti olarak yaz.

$lo g 10000 = lo g_{10} 10000$ .
$10000 = 1 0^{4}$ olduğundan $lo g_{10} 1 0^{4} = 4$ (çünkü $lo g_{a} a^{n} = n$ ).

Sonuç:

lo g 10000 = 4

3. Logaritmanın Özellikleri

$a > 0$ , $a \neq = 1$ ve $x, y > 0$ olmak üzere:

Özellik	Formül
Çarpımın logaritması	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
Bölümün logaritması	$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
Üssün logaritması	$lo g_{a} x^{n} = n lo g_{a} x$
Taban değiştirme	$lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}$
Taban–sayı yer değişimi	$lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$

Dikkat: Toplama–çıkarma yalnızca çarpım ve bölümde logaritmayı parçalar. $lo g_{a} (x + y)$ ifadesi $lo g_{a} x + lo g_{a} y$ değildir.

Örnek

Soru

$lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3$ değerini bulunuz.

Çıkarma, bölümün logaritmasıdır: $lo g_{2} 24 - lo g_{2} 3 = lo g_{2} \frac{24}{3}$ .
Sadeleştir: $lo g_{2} 8 = 3$ (çünkü $2^{3} = 8$ ).

Sonuç:

3

Örnek

Soru

$lo g 6$ ifadesini $lo g 2$ ve $lo g 3$ cinsinden yazınız.

$6 = 2 \cdot 3$ olduğundan çarpım özelliğini uygula.
$lo g 6 = lo g (2 \cdot 3) = lo g 2 + lo g 3$ .

Sonuç:

lo g 6 = lo g 2 + lo g 3

Örnek

Soru

$lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 8$ çarpımının değerini bulunuz.

Taban değiştirme formülü, ortak bir tabanda yazıldığında zincirleme sadeleşme sağlar.

Her iki çarpanı $10$ tabanında yaz: $lo g_{2} 5 = \frac{lo g 5}{lo g 2}$ , $lo g_{5} 8 = \frac{lo g 8}{lo g 5}$ .
Çarp ve sadeleştir: $\frac{lo g 5}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 8}{lo g 5} = \frac{lo g 8}{lo g 2} = lo g_{2} 8$ .
$lo g_{2} 8 = 3$ .

Sonuç:

lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 8 = 3

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$lo g_{3} 45 - lo g_{3} 5$ değerini bulunuz.

Çıkarma, bölümün logaritmasıdır: $lo g_{3} 45 - lo g_{3} 5 = lo g_{3} \frac{45}{5}$ .
Sadeleştir: $lo g_{3} 9$ .
$9 = 3^{2}$ olduğundan $lo g_{3} 9 = 2$ .

Sonuç:

2

Örnek

Soru

$lo g_{2} 3 = a$ olduğuna göre $lo g_{2} 24$ ifadesini $a$ cinsinden yazınız.

$24$ sayısını $2$ 'nin kuvveti ile $3$ 'ün çarpımı şeklinde ayrıştır.

Çarpanlara ayır: $24 = 8 \cdot 3 = 2^{3} \cdot 3$ .
Çarpım özelliği: $lo g_{2} 24 = lo g_{2} 2^{3} + lo g_{2} 3$ .
$lo g_{2} 2^{3} = 3$ ve $lo g_{2} 3 = a$ yerine yaz: $3 + a$ .

Sonuç:

lo g_{2} 24 = a + 3

Örnek

Soru

$lo g_{8} 32$ değerini bulunuz.

Hem taban hem de sayı $2$ 'nin kuvvetidir. Taban değiştirme veya tanım ile $2$ tabanına geç.

$8 = 2^{3}$ , $32 = 2^{5}$ yaz.
Tanım: $lo g_{8} 32 = c ⟺ 8^{c} = 32 ⟺ 2^{3 c} = 2^{5}$ .
Üsleri eşitle: $3 c = 5 \Rightarrow c = \frac{5}{3}$ .

Sonuç:

lo g_{8} 32 = \frac{5}{3}

Örnek

Soru

$lo g_{a} b = 4$ olduğuna göre $lo g_{b} a$ değerini bulunuz.

Taban–sayı yer değişimi özelliği: $lo g_{b} a = \frac{1}{lo g _{a} b}$ .
$lo g_{a} b = 4$ yerine yaz: $lo g_{b} a = \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

lo g_{b} a = \frac{1}{4}

Örnek

Soru

$lo g 2 = x$ ve $lo g 3 = y$ olduğuna göre $lo g 12$ ifadesini $x$ ve $y$ cinsinden yazınız.

Çarpanlara ayır: $12 = 4 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3$ .
Çarpım ve üs özellikleri: $lo g 12 = lo g 2^{2} + lo g 3 = 2 lo g 2 + lo g 3$ .
$lo g 2 = x$ , $lo g 3 = y$ yerine yaz: $2 x + y$ .

Sonuç:

lo g 12 = 2 x + y

Örnek

Soru

$2^{l o g_{2} 7 + l o g_{2} 3}$ ifadesinin değerini bulunuz.

Önce üstteki toplamı tek bir logaritmaya indirge, sonra $a^{l o g_{a} b} = b$ eşitliğini kullan.

Çarpım özelliği ile üssü birleştir: $lo g_{2} 7 + lo g_{2} 3 = lo g_{2} 21$ .
İfade $2^{l o g_{2} 21}$ hâline gelir.
$a^{l o g_{a} b} = b$ olduğundan $2^{l o g_{2} 21} = 21$ .

Sonuç:

21

Örnek

Soru

$lo g 2 = 0, 30$ ve $lo g 3 = 0, 48$ olduğuna göre $lo g 0, 6$ değerini bulunuz.

$0, 6 = \frac{6}{10}$ yaz; bölümün logaritması çıkarmaya, $6 = 2 \cdot 3$ çarpımı ise toplamaya dönüşür.

$0, 6 = \frac{6}{10}$ olduğundan $lo g 0, 6 = lo g 6 - lo g 10$ .
$lo g 6 = lo g 2 + lo g 3 = 0, 30 + 0, 48 = 0, 78$ ve $lo g 10 = 1$ .
Çıkar: $lo g 0, 6 = 0, 78 - 1 = - 0, 22$ .

Sonuç:

lo g 0, 6 = - 0, 22

Örnek

Soru

$lo g_{a} 2 = 3$ olduğuna göre $lo g_{a} 82$ ifadesinin değerini bulunuz.

$82$ ifadesini $2$ 'nin tek bir kuvveti olarak yaz: $8 = 2^{3}$ , $2 = 2^{1/2}$ .

$82 = 2^{3} \cdot 2^{1/2} = 2^{7/2}$ .
Üs özelliği: $lo g_{a} 82 = lo g_{a} 2^{7/2} = \frac{7}{2} lo g_{a} 2$ .
$lo g_{a} 2 = 3$ yerine yaz: $\frac{7}{2} \cdot 3 = \frac{21}{2}$ .

Sonuç:

\frac{21}{2}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Tanım: üs ↔ logaritma çevirme ve temel değerler: log_a b'de taban ile içi karıştırmak (b'yi a yapan üs aramak) doğru cevabın çarpmaya göre tersi (ör. 3 yerine 1/3)
log_a(aˣ)=x ve a^(log_a x)=x özdeşlikleri: Tabanlar farklıyken özdeşliği uygulamak (ör. 2^(log₄x)=x sanmak) içerideki sayının kendisi — sadeleşmemiş yanlış değer
Tanım aralığı (iç>0, taban>0 ve taban≠1): Taban≠1 koşulunu (g(x)=1 yapan x'i) atlamak bir fazla tam sayı — klasik yanlış şık
Log kuralları ile ifade açma / birleştirme: log(x+y)=log x+log y sanmak (toplamın logunu dağıtmak) kural dışı sadeleştirme — tutarsız değer
log 2=a, log 3=b verilip başka log türetme: log 5'i doğrudan 5·log 1 gibi kurmaya çalışmak yerine 1−a'yı bilmemek a,b cinsinden yazılamayan/eksik ifade — yanlış şık eleme
Taban değiştirme formülü: Formülü ters kurmak: log_a b=log_c a/log_c b doğru cevabın çarpmaya göre tersi

Soru 1Zor

lo g_{2} 3 = a

olduğuna göre

lo g_{12} 18

ifadesinin

a

türünden değeri kaçtır?

Taban değiştirme ile her şeyi $2$ tabanına geçir: $lo g_{12} 18 = \frac{lo g _{2} 18}{lo g _{2} 12}$ .
Çarpanlara ayır: $18 = 2 \cdot 3^{2}$ ve $12 = 2^{2} \cdot 3$ .
Pay: $lo g_{2} 18 = lo g_{2} 2 + lo g_{2} 3^{2} = 1 + 2 lo g_{2} 3 = 1 + 2 a$ .
Payda: $lo g_{2} 12 = lo g_{2} 2^{2} + lo g_{2} 3 = 2 + lo g_{2} 3 = 2 + a$ .
Oranı yaz: $lo g_{12} 18 = \frac{1 + 2 a}{2 + a}$ .

Sonuç:

\frac{1 + 2 a}{2 + a}

Soru 2Zor

a > 0

a \neq = 1

lo g_{a} b = 2

olduğuna göre

lo g_{a^{2}} (a \cdot b^{3})

ifadesinin değeri kaçtır?

Taban değiştirme ile $a$ tabanına geç: $lo g_{a^{2}} (a \cdot b^{3}) = \frac{lo g _{a} ( a \cdot b ^{3} )}{lo g _{a} a ^{2}}$ .
Payda: $lo g_{a} a^{2} = 2$ .
Pay: $lo g_{a} (a \cdot b^{3}) = lo g_{a} a + lo g_{a} b^{3} = 1 + 3 lo g_{a} b$ .
$lo g_{a} b = 2$ yerine yaz: pay $= 1 + 3 \cdot 2 = 7$ .
Oranı yaz: $\frac{7}{2}$ .

Sonuç:

\frac{7}{2}

Soru 3Orta

lo g_{2} 5 \cdot lo g_{5} 9 \cdot lo g_{3} 16

çarpımının değeri kaçtır?

Üç çarpanı da $10$ tabanında yaz: $\frac{lo g 5}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 9}{lo g 5} \cdot \frac{lo g 16}{lo g 3}$ .
$lo g 5$ sadeleşir: $\frac{lo g 9}{lo g 2} \cdot \frac{lo g 16}{lo g 3} = \frac{lo g 9 \cdot lo g 16}{lo g 2 \cdot lo g 3}$ .
Üsleri dışarı al: $lo g 9 = 2 lo g 3$ ve $lo g 16 = 4 lo g 2$ .
Yerine yaz: $\frac{2 lo g 3 \cdot 4 lo g 2}{lo g 2 \cdot lo g 3} = 2 \cdot 4 = 8$ .

Sonuç:

8

Soru 4Zor

lo g 2 = a

lo g 7 = b

olduğuna göre

lo g_{14} 56

ifadesinin

a

b

türünden değeri kaçtır?

Taban değiştirme ile $10$ tabanına geç: $lo g_{14} 56 = \frac{lo g 56}{lo g 14}$ .
Çarpanlara ayır: $56 = 8 \cdot 7 = 2^{3} \cdot 7$ ve $14 = 2 \cdot 7$ .
Pay: $lo g 56 = lo g 2^{3} + lo g 7 = 3 lo g 2 + lo g 7 = 3 a + b$ .
Payda: $lo g 14 = lo g 2 + lo g 7 = a + b$ .
Oranı yaz: $\frac{3 a + b}{a + b}$ .

Sonuç:

\frac{3 a + b}{a + b}

Soru 5Orta

x > 1

olmak üzere

lo g_{x} 1000 = 6

olduğuna göre

lo g_{x} 10

değeri kaçtır?

$1000 = 1 0^{3}$ olduğundan $lo g_{x} 1000 = lo g_{x} 1 0^{3} = 3 lo g_{x} 10$ .
Verilen eşitlik: $3 lo g_{x} 10 = 6$ , yani $lo g_{x} 10 = 2$ .

Sonuç:

2

Soru 6Orta

lo g_{2} x + lo g_{4} x + lo g_{16} x = 7

olduğuna göre

x

değeri kaçtır?

Tüm terimleri $2$ tabanına indir. Taban değiştirme: $lo g_{4} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 4} = \frac{lo g _{2} x}{2}$ ve $lo g_{16} x = \frac{lo g _{2} x}{lo g _{2} 16} = \frac{lo g _{2} x}{4}$ .
$lo g_{2} x = t$ diyelim: $t + \frac{t}{2} + \frac{t}{4} = 7$ .
Ortak paydada topla: $\frac{4 t + 2 t + t}{4} = \frac{7 t}{4} = 7$ , buradan $t = 4$ .
$lo g_{2} x = 4 \Rightarrow x = 2^{4}$ .

Sonuç:

2^{4}

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$lo g (x + y)$ ifadesini $lo g x + lo g y$ sanmak. Logaritma yalnızca çarpımı toplama, bölümü çıkarmaya dönüştürür; toplam ve farkın içine girmez. Örneğin $lo g (2 + 3) = lo g 5$ iken $lo g 2 + lo g 3 = lo g 6$ 'dır; ikisi eşit değildir.
Tanım koşulu $b > 0$ 'ı unutmak. Logaritması alınan sayı pozitif olmalıdır; $lo g_{a} 0$ veya negatif sayıların logaritması tanımsızdır. Denklem çözerken bulunan kökleri bu koşula göre mutlaka denetle.
Taban koşullarını ihmal etmek. Taban $a > 0$ ve $a \neq = 1$ olmalıdır; $lo g_{1} b$ tanımsızdır.

Sınav İpucu

Logaritmalı bir ifadeyi sadeleştirmeden önce tüm sayıları ortak bir tabanın kuvveti olarak yazmayı dene ( $8 = 2^{3}$ , $\frac{1}{9} = 3^{- 2}$ gibi). Sayıyı tabanın kuvvetine çevirmek, çoğu soruyu özellik uygulamadan tek adımda bitirir. Farklı tabanlar karışmışsa önce taban değiştirme ile hepsini aynı tabana indir; çoğu zaman zincirleme sadeleşme ortaya çıkar.

1. Logaritmanın Tanımı

2. Temel Eşitlikler

3. Logaritmanın Özellikleri

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Üstel Fonksiyon ve Logaritma — diğer konular