çözümebak

AYT Matematik · Üstel Fonksiyon ve Logaritma

Logaritma Kavramı ve Özellikleri

~10 dk okumaZorluk: Zor20 çözümlü soru

Logaritma, üs almanın ters işlemidir: "Tabanı kaçıncı kuvvete çıkarırsam bu sayıyı elde ederim?" sorusunun cevabıdır. AYT'de logaritma; özelliklerin uygulanması, taban değiştirme ve denklem çözümünün temelini oluşturur. Bu konu, tanımdan başlayıp tüm özellikleri ezbersiz biçimde kurar.

1. Logaritmanın Tanımı

a > 0, a\ne 1 ve b > 0 olmak üzere logaritma şöyle tanımlanır:

\log_a b=c \iff a^{c}=b

Yani \log_a b, a tabanını b yapan üstür. Buradaki koşullar zorunludur: taban pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan sayı ise kesinlikle pozitif olmalıdır.

Logaritma, üstel fonksiyonun tersidir. Bu yüzden y=a^{x} ile y=\log_a x grafikleri y=x doğrusuna göre simetriktir: üstel grafik (0,1)'den, logaritma grafiği ise onun yansıması olan (1,0)'dan geçer.

xyy = 2ˣy = log₂xy = x
Şekil 1 — y=2^{x} (turuncu) ile y=\log_2 x (lacivert), y=x doğrusuna göre simetriktir. Üstel grafik (0,1)'den, logaritma grafiği (1,0)'dan geçer; biri tersi diğerinin.

İki taban o kadar sık kullanılır ki özel adları vardır:

GösterimAnlamıTabanı
\log xOnluk (bayağı) logaritma\log_{10} x
\ln xDoğal logaritma\log_{e} x (e\approx 2{,}718)
Örnek
Soru

\log_2 8 değerini bulunuz.

  1. Tanımı yaz: \log_2 8=c \iff 2^{c}=8.

  2. 8=2^{3} olduğundan 2^{c}=2^{3}, yani c=3.

Sonuç: \log_2 8=3
Örnek
Soru

\log_3 \dfrac{1}{9} değerini bulunuz.

  1. Tanım: \log_3 \dfrac{1}{9}=c \iff 3^{c}=\dfrac{1}{9}.

  2. \dfrac{1}{9}=3^{-2} olduğundan 3^{c}=3^{-2}, yani c=-2.

Sonuç: \log_3 \dfrac{1}{9}=-2

2. Temel Eşitlikler

Tanımdan doğrudan çıkan ve sürekli kullanılan dört eşitlik:

EşitlikNeden?
\log_a 1=0a^{0}=1
\log_a a=1a^{1}=a
\log_a a^{n}=na^{n}=a^{n}
a^{\log_a b}=bLogaritma ile üssün ters işlem olması
Örnek
Soru

\log 10000 değerini bulunuz.

Belirtilmemiş taban 10'dur. 10000 sayısını 10'un kuvveti olarak yaz.

  1. \log 10000=\log_{10} 10000.

  2. 10000=10^{4} olduğundan \log_{10} 10^{4}=4 (çünkü \log_a a^{n}=n).

Sonuç: \log 10000=4

3. Logaritmanın Özellikleri

a > 0, a\ne 1 ve x,y > 0 olmak üzere:

ÖzellikFormül
Çarpımın logaritması\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y
Bölümün logaritması\log_a \dfrac{x}{y}=\log_a x-\log_a y
Üssün logaritması\log_a x^{n}=n\log_a x
Taban değiştirme\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}
Taban–sayı yer değişimi\log_a b=\dfrac{1}{\log_b a}

Dikkat: Toplama–çıkarma yalnızca çarpım ve bölümde logaritmayı parçalar. \log_a(x+y) ifadesi \log_a x+\log_a y değildir.

Örnek
Soru

\log_2 24-\log_2 3 değerini bulunuz.

  1. Çıkarma, bölümün logaritmasıdır: \log_2 24-\log_2 3=\log_2 \dfrac{24}{3}.

  2. Sadeleştir: \log_2 8=3 (çünkü 2^{3}=8).

Sonuç: 3
Örnek
Soru

\log 6 ifadesini \log 2 ve \log 3 cinsinden yazınız.

  1. 6=2\cdot 3 olduğundan çarpım özelliğini uygula.

  2. \log 6=\log(2\cdot 3)=\log 2+\log 3.

Sonuç: \log 6=\log 2+\log 3
Örnek
Soru

\log_2 5\cdot \log_5 8 çarpımının değerini bulunuz.

Taban değiştirme formülü, ortak bir tabanda yazıldığında zincirleme sadeleşme sağlar.

  1. Her iki çarpanı 10 tabanında yaz: \log_2 5=\dfrac{\log 5}{\log 2}, \log_5 8=\dfrac{\log 8}{\log 5}.

  2. Çarp ve sadeleştir: \dfrac{\log 5}{\log 2}\cdot \dfrac{\log 8}{\log 5}=\dfrac{\log 8}{\log 2}=\log_2 8.

  3. \log_2 8=3.

Sonuç: \log_2 5\cdot \log_5 8=3

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

\log_3 45-\log_3 5 değerini bulunuz.

  1. Çıkarma, bölümün logaritmasıdır: \log_3 45-\log_3 5=\log_3 \dfrac{45}{5}.

  2. Sadeleştir: \log_3 9.

  3. 9=3^{2} olduğundan \log_3 9=2.

Sonuç: 2
Örnek
Soru

\log_2 3=a olduğuna göre \log_2 24 ifadesini a cinsinden yazınız.

24 sayısını 2'nin kuvveti ile 3'ün çarpımı şeklinde ayrıştır.

  1. Çarpanlara ayır: 24=8\cdot 3=2^{3}\cdot 3.

  2. Çarpım özelliği: \log_2 24=\log_2 2^{3}+\log_2 3.

  3. \log_2 2^{3}=3 ve \log_2 3=a yerine yaz: 3+a.

Sonuç: \log_2 24=a+3
Örnek
Soru

\log_8 32 değerini bulunuz.

Hem taban hem de sayı 2'nin kuvvetidir. Taban değiştirme veya tanım ile 2 tabanına geç.

  1. 8=2^{3}, 32=2^{5} yaz.

  2. Tanım: \log_8 32=c \iff 8^{c}=32 \iff 2^{3c}=2^{5}.

  3. Üsleri eşitle: 3c=5 \Rightarrow c=\dfrac{5}{3}.

Sonuç: \log_8 32=\dfrac{5}{3}
Örnek
Soru

\log_a b=4 olduğuna göre \log_b a değerini bulunuz.

  1. Taban–sayı yer değişimi özelliği: \log_b a=\dfrac{1}{\log_a b}.

  2. \log_a b=4 yerine yaz: \log_b a=\dfrac{1}{4}.

Sonuç: \log_b a=\dfrac{1}{4}
Örnek
Soru

\log 2=x ve \log 3=y olduğuna göre \log 12 ifadesini x ve y cinsinden yazınız.

  1. Çarpanlara ayır: 12=4\cdot 3=2^{2}\cdot 3.

  2. Çarpım ve üs özellikleri: \log 12=\log 2^{2}+\log 3=2\log 2+\log 3.

  3. \log 2=x, \log 3=y yerine yaz: 2x+y.

Sonuç: \log 12=2x+y
Örnek
Soru

2^{\log_2 7+\log_2 3} ifadesinin değerini bulunuz.

Önce üstteki toplamı tek bir logaritmaya indirge, sonra a^{\log_a b}=b eşitliğini kullan.

  1. Çarpım özelliği ile üssü birleştir: \log_2 7+\log_2 3=\log_2 21.

  2. İfade 2^{\log_2 21} hâline gelir.

  3. a^{\log_a b}=b olduğundan 2^{\log_2 21}=21.

Sonuç: 21
Örnek
Soru

\log 2=0{,}30 ve \log 3=0{,}48 olduğuna göre \log 0{,}6 değerini bulunuz.

0{,}6=\dfrac{6}{10} yaz; bölümün logaritması çıkarmaya, 6=2\cdot 3 çarpımı ise toplamaya dönüşür.

  1. 0{,}6=\dfrac{6}{10} olduğundan \log 0{,}6=\log 6-\log 10.

  2. \log 6=\log 2+\log 3=0{,}30+0{,}48=0{,}78 ve \log 10=1.

  3. Çıkar: \log 0{,}6=0{,}78-1=-0{,}22.

Sonuç: \log 0{,}6=-0{,}22
Örnek
Soru

\log_a 2=3 olduğuna göre \log_a 8\sqrt{2} ifadesinin değerini bulunuz.

8\sqrt{2} ifadesini 2'nin tek bir kuvveti olarak yaz: 8=2^{3}, \sqrt2=2^{1/2}.

  1. 8\sqrt{2}=2^{3}\cdot 2^{1/2}=2^{7/2}.

  2. Üs özelliği: \log_a 8\sqrt{2}=\log_a 2^{7/2}=\dfrac{7}{2}\log_a 2.

  3. \log_a 2=3 yerine yaz: \dfrac{7}{2}\cdot 3=\dfrac{21}{2}.

Sonuç: \dfrac{21}{2}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

\log_2 3=a olduğuna göre \log_{12} 18 ifadesinin a türünden değeri kaçtır?

A) \dfrac{1+a}{2+a} · B) \dfrac{2+a}{1+2a} · C) \dfrac{1+2a}{2+a} · D) \dfrac{a+2}{2a+1} · E) \dfrac{2a+1}{a+1}

  1. Taban değiştirme ile her şeyi 2 tabanına geçir: \log_{12} 18=\dfrac{\log_2 18}{\log_2 12}.

  2. Çarpanlara ayır: 18=2\cdot 3^{2} ve 12=2^{2}\cdot 3.

  3. Pay: \log_2 18=\log_2 2+\log_2 3^{2}=1+2\log_2 3=1+2a.

  4. Payda: \log_2 12=\log_2 2^{2}+\log_2 3=2+\log_2 3=2+a.

  5. Oranı yaz: \log_{12} 18=\dfrac{1+2a}{2+a}.

Sonuç: C) \dfrac{1+2a}{2+a}
Örnek
Soru

a > 0, a\ne 1 ve \log_a b=2 olduğuna göre \log_{a^{2}}\!\left(a\cdot b^{3}\right) ifadesinin değeri kaçtır?

A) \dfrac{3}{2} · B) 2 · C) 3 · D) \dfrac{7}{2} · E) 4

  1. Taban değiştirme ile a tabanına geç: \log_{a^{2}}\!\left(a\cdot b^{3}\right)=\dfrac{\log_a\!\left(a\cdot b^{3}\right)}{\log_a a^{2}}.

  2. Payda: \log_a a^{2}=2.

  3. Pay: \log_a\!\left(a\cdot b^{3}\right)=\log_a a+\log_a b^{3}=1+3\log_a b.

  4. \log_a b=2 yerine yaz: pay =1+3\cdot 2=7.

  5. Oranı yaz: \dfrac{7}{2}.

Sonuç: D) \dfrac{7}{2}
Örnek
Soru

\log_2 5\cdot \log_5 9\cdot \log_3 16 çarpımının değeri kaçtır?

A) 8 · B) 6 · C) 4 · D) 3 · E) \dfrac{5}{2}

  1. Üç çarpanı da 10 tabanında yaz: \dfrac{\log 5}{\log 2}\cdot \dfrac{\log 9}{\log 5}\cdot \dfrac{\log 16}{\log 3}.

  2. \log 5 sadeleşir: \dfrac{\log 9}{\log 2}\cdot \dfrac{\log 16}{\log 3}=\dfrac{\log 9\cdot \log 16}{\log 2\cdot \log 3}.

  3. Üsleri dışarı al: \log 9=2\log 3 ve \log 16=4\log 2.

  4. Yerine yaz: \dfrac{2\log 3\cdot 4\log 2}{\log 2\cdot \log 3}=2\cdot 4=8.

Sonuç: A) 8
Örnek
Soru

\log 2=a ve \log 7=b olduğuna göre \log_{14} 56 ifadesinin a ve b türünden değeri kaçtır?

A) \dfrac{3a+b}{a+b} · B) \dfrac{a+3b}{a+b} · C) \dfrac{2a+b}{a+b} · D) \dfrac{3a+b}{2a+b} · E) \dfrac{a+b}{3a+b}

  1. Taban değiştirme ile 10 tabanına geç: \log_{14} 56=\dfrac{\log 56}{\log 14}.

  2. Çarpanlara ayır: 56=8\cdot 7=2^{3}\cdot 7 ve 14=2\cdot 7.

  3. Pay: \log 56=\log 2^{3}+\log 7=3\log 2+\log 7=3a+b.

  4. Payda: \log 14=\log 2+\log 7=a+b.

  5. Oranı yaz: \dfrac{3a+b}{a+b}.

Sonuç: A) \dfrac{3a+b}{a+b}
Örnek
Soru

x > 1 olmak üzere \log_x 1000=6 olduğuna göre \log_x 10 değeri kaçtır?

A) 1 · B) \dfrac{3}{2} · C) 2 · D) \dfrac{5}{2} · E) 3

  1. 1000=10^{3} olduğundan \log_x 1000=\log_x 10^{3}=3\log_x 10.

  2. Verilen eşitlik: 3\log_x 10=6, yani \log_x 10=2.

Sonuç: C) 2
Örnek
Soru

\log_2 x+\log_4 x+\log_{16} x=7 olduğuna göre x değeri kaçtır?

A) 2^{3} · B) 2^{4} · C) 2^{5} · D) 2^{6} · E) 2^{7}

  1. Tüm terimleri 2 tabanına indir. Taban değiştirme: \log_4 x=\dfrac{\log_2 x}{\log_2 4}=\dfrac{\log_2 x}{2} ve \log_{16} x=\dfrac{\log_2 x}{\log_2 16}=\dfrac{\log_2 x}{4}.

  2. \log_2 x=t diyelim: t+\dfrac{t}{2}+\dfrac{t}{4}=7.

  3. Ortak paydada topla: \dfrac{4t+2t+t}{4}=\dfrac{7t}{4}=7, buradan t=4.

  4. \log_2 x=4 \Rightarrow x=2^{4}.

Sonuç: B) 2^{4}

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Logaritmalı bir ifadeyi sadeleştirmeden önce tüm sayıları ortak bir tabanın kuvveti olarak yazmayı dene (8=2^{3}, \dfrac{1}{9}=3^{-2} gibi). Sayıyı tabanın kuvvetine çevirmek, çoğu soruyu özellik uygulamadan tek adımda bitirir. Farklı tabanlar karışmışsa önce taban değiştirme ile hepsini aynı tabana indir; çoğu zaman zincirleme sadeleşme ortaya çıkar.

Üstel Fonksiyon ve Logaritma — diğer konular