AYT Matematik · Üstel Fonksiyon ve Logaritma

Üstel Fonksiyon

~8 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~2 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Üstel fonksiyon, değişkenin üs olarak yer aldığı $f (x) = a^{x}$ biçimindeki fonksiyondur. Nüfus artışı, bileşik faiz ve radyoaktif bozunma gibi pek çok olayı modelleyen bu fonksiyon, AYT'de hem grafik–değer sorularında hem de üstel denklem ve üstel eşitsizlik çözümlerinde sık karşımıza çıkar. Bu konu, tabanı eşitleme tekniğini ve eşitsizliklerde tabana göre yön kuralını sağlam bir biçimde kurar.

1. Üstel Fonksiyonun Tanımı

$a > 0$ ve $a \neq = 1$ olmak üzere

$f (x) = a^{x}$

biçimindeki fonksiyona üstel fonksiyon denir. Tabanın bu koşulları sağlaması gerekir: $a = 1$ ise $1^{x} = 1$ sabit fonksiyon olur, $a \leq 0$ ise (örneğin $(- 2)^{1/2}$ ) bazı $x$ değerlerinde tanımsızlık doğar.

Temel özellikler:

Özellik	Açıklama
Tanım kümesi	Tüm gerçek sayılar, $x \in R$
Değer kümesi	Daima pozitif, $f (x) > 0$
Sabit nokta	$f (0) = a^{0} = 1$ ; grafik $(0, 1)$ noktasından geçer
Asimptot	$x$ ekseni ( $y = 0$ ) yatay asimptottur

Tabanın büyüklüğü fonksiyonun artan/azalan oluşunu belirler:

Taban	Davranış
$a > 1$	Fonksiyon artandır (örn. $2^{x}$ , $3^{x}$ , $e^{x}$ )
$0 < a < 1$	Fonksiyon azalandır (örn. $(\frac{1}{2})^{x}$ , $(\frac{1}{3})^{x}$ )

İki tipik üstel grafiği yan yana görmek, AYT eşitsizlik sorularında yön kuralını görselleştirmenin en kısa yoludur: artan grafikte büyük çıktıya büyük girdi, azalan grafikte büyük çıktıya küçük girdi karşılık gelir.

Şekil 1 —

f (x) = 2^{x}

(

a > 1

): artan;

(0, 1)

'den geçer, soldan

y = 0

asimptotuna yaklaşır.

Şekil 2 —

f (x) = (\frac{1}{2})^{x}

(

0 < a < 1

): azalan;

(0, 1)

'den geçer, sağdan

y = 0

asimptotuna yaklaşır. Eşitsizlikte yönün ters dönmesinin görsel nedeni budur.

Doğal Taban $e$

Matematikte özel bir taban olan $e \approx 2, 718$ sayısına doğal taban (Euler sayısı) denir. $e > 1$ olduğundan $f (x) = e^{x}$ artan bir üstel fonksiyondur ve türev–integral konularında temel rol oynar.

Örnek

Soru

$f (x) = a^{x}$ üstel fonksiyonu için $f (0)$ değerini bulunuz.

Üstel fonksiyonun tanımında $x = 0$ yazalım: $f (0) = a^{0}$ .
Sıfırıncı kuvvet kuralı gereği ( $a \neq = 0$ ) her tabanın sıfırıncı kuvveti $1$ 'dir: $a^{0} = 1$ .

Sonuç:

f (0) = 1

. Bu yüzden tüm üstel fonksiyonların grafiği

(0, 1)

noktasından geçer.

2. Üstel Denklem

Bilinmeyenin üste geldiği denklemlere üstel denklem denir. Temel strateji: iki tarafı aynı tabana getir, sonra üsleri eşitle.

$a^{f (x)} = a^{g (x)} \Rightarrow f (x) = g (x) (a > 0, a \neq = 1)$

Örnek

Soru

$2^{x} = 8$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Sağ tarafı $2$ tabanında yaz: $8 = 2^{3}$ .
Denklem $2^{x} = 2^{3}$ olur. Tabanlar eşit olduğundan üsleri eşitle: $x = 3$ .

Sonuç:

x = 3

Taban $0 < a < 1$ olduğunda da yöntem aynıdır; negatif üs çıkması olağandır.

Örnek

Soru

$(\frac{1}{2})^{x} = 8$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Her iki tarafı $2$ tabanında yaz: $(\frac{1}{2})^{x} = (2^{- 1})^{x} = 2^{- x}$ ve $8 = 2^{3}$ .
Denklem $2^{- x} = 2^{3}$ olur. Üsleri eşitle: $- x = 3$ .
Buradan $x = - 3$ bulunur.

Sonuç:

x = - 3

Örnek

Soru

$3^{x + 1} = 9$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Sağ tarafı $3$ tabanında yaz: $9 = 3^{2}$ .
Denklem $3^{x + 1} = 3^{2}$ olur. Üsleri eşitle: $x + 1 = 2$ .
Buradan $x = 1$ bulunur.

Sonuç:

x = 1

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Aynı tabanlı fakat üsleri farklı terimlerin toplamı verildiğinde, en küçük üslü terimi ortak çarpan olarak parantezine alırız.

Örnek

Soru

$2^{x + 2} + 2^{x} = 20$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Üslü ifade kuralıyla aç: $2^{x + 2} = 2^{x} \cdot 2^{2} = 4 \cdot 2^{x}$ .
Denklem $4 \cdot 2^{x} + 2^{x} = 20$ olur. $2^{x}$ ortak parantezine al: $2^{x} (4 + 1) = 20$ , yani $5 \cdot 2^{x} = 20$ .
Buradan $2^{x} = 4 = 2^{2}$ , dolayısıyla $x = 2$ .

Sonuç:

x = 2

3. Üstel Eşitsizlik

Üstel eşitsizliklerde de iki taraf aynı tabana getirilir; ancak üsleri karşılaştırırken tabanın türüne dikkat etmek gerekir.

$a > 1 : a^{f} < a^{g} \Rightarrow f < g (y \ddot{o} n korunur)$

$0 < a < 1 : a^{f} < a^{g} \Rightarrow f > g (y \ddot{o} n de \overset{˘}{g} i \overset{s}{¸} ir)$

Bunun nedeni, $a > 1$ için fonksiyonun artan, $0 < a < 1$ için azalan olmasıdır. Azalan bir fonksiyonda büyük çıktıya küçük girdi karşılık geldiğinden eşitsizlik yön değiştirir.

Örnek

Soru

$2^{x} > 8$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Sağ tarafı $2$ tabanında yaz: $8 = 2^{3}$ , böylece $2^{x} > 2^{3}$ .
Taban $2 > 1$ olduğundan fonksiyon artandır; üsler arasında yön korunur: $x > 3$ .

Sonuç:

x > 3

, yani çözüm kümesi

(3, \infty)

Örnek

Soru

$(\frac{1}{3})^{x} > 9$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Önce $9$ 'u $\frac{1}{3}$ tabanında yaz: $9 = 3^{2} = (\frac{1}{3})^{- 2}$ . Taban $0 < a < 1$ olduğu için üsleri karşılaştırırken eşitsizlik yönünü ters çevirmeyi unutma.

Her iki tarafı $\frac{1}{3}$ tabanında yaz: $9 = 3^{2} = (\frac{1}{3})^{- 2}$ , böylece $(\frac{1}{3})^{x} > (\frac{1}{3})^{- 2}$ .
Taban $0 < \frac{1}{3} < 1$ olduğundan fonksiyon azalandır; üsleri karşılaştırırken yön değişir: $x < - 2$ .

Sonuç:

x < - 2

, yani çözüm kümesi

(- \infty, - 2)

Püf noktası: Eşitsizlikte tabanı eşitledikten sonra kendine sor: "Taban $1$ 'den büyük mü, küçük mü?" $a > 1$ ise yön aynı kalır; $0 < a < 1$ ise yönü ters çevir. Bu tek soru en sık hatayı önler.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$5^{2 x - 1} = 125$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Sağ tarafı $5$ tabanında yaz: $125 = 5^{3}$ .
Denklem $5^{2 x - 1} = 5^{3}$ olur. Üsleri eşitle: $2 x - 1 = 3$ .
Çöz: $2 x = 4 \Rightarrow x = 2$ .

Sonuç:

x = 2

Örnek

Soru

$9^{x} = 27$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Hem $9$ hem $27$ ortak bir tabana, $3$ 'e yazılabilir: $9 = 3^{2}$ , $27 = 3^{3}$ .

İki tarafı $3$ tabanında yaz: $9^{x} = (3^{2})^{x} = 3^{2 x}$ ve $27 = 3^{3}$ .
Denklem $3^{2 x} = 3^{3}$ olur. Üsleri eşitle: $2 x = 3$ .
Buradan $x = \frac{3}{2}$ .

Sonuç:

x = \frac{3}{2}

Örnek

Soru

$3^{x + 1} + 3^{x} = 36$ denkleminin çözümünü bulunuz.

Üslü ifadeyi aç: $3^{x + 1} = 3^{x} \cdot 3 = 3 \cdot 3^{x}$ .
Denklem $3 \cdot 3^{x} + 3^{x} = 36$ olur. $3^{x}$ ortak parantezine al: $3^{x} (3 + 1) = 36$ , yani $4 \cdot 3^{x} = 36$ .
Buradan $3^{x} = 9 = 3^{2}$ , dolayısıyla $x = 2$ .

Sonuç:

x = 2

Örnek

Soru

$3^{x} \leq 81$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

Sağ tarafı $3$ tabanında yaz: $81 = 3^{4}$ , böylece $3^{x} \leq 3^{4}$ .
Taban $3 > 1$ olduğundan fonksiyon artandır; yön korunur: $x \leq 4$ .

Sonuç:

x \leq 4

, yani çözüm kümesi

(- \infty, 4]

Örnek

Soru

$(\frac{1}{2})^{x} \leq \frac{1}{16}$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.

$\frac{1}{16}$ sayısını $\frac{1}{2}$ tabanında yaz. Taban $1$ 'den küçük olduğu için yön kuralına dikkat et.

Sağ tarafı $\frac{1}{2}$ tabanında yaz: $\frac{1}{16} = (\frac{1}{2})^{4}$ , böylece $(\frac{1}{2})^{x} \leq (\frac{1}{2})^{4}$ .
Taban $0 < \frac{1}{2} < 1$ olduğundan fonksiyon azalandır; üsleri karşılaştırırken yön değişir: $x \geq 4$ .

Sonuç:

x \geq 4

, yani çözüm kümesi

[4, \infty)

Örnek

Soru

$f (x) = 2 \cdot 3^{x}$ fonksiyonu için $f (2)$ değerini bulunuz.

Fonksiyonda $x = 2$ yaz: $f (2) = 2 \cdot 3^{2}$ .
Üslü ifadeyi hesapla: $3^{2} = 9$ .
Çarp: $f (2) = 2 \cdot 9 = 18$ .

Sonuç:

f (2) = 18

Örnek

Soru

$9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ denkleminin reel köklerinin toplamını bulunuz.

$9^{x} = (3^{x})^{2}$ olduğundan $3^{x} = t$ yazarak ikinci dereceden denkleme indirge. $t > 0$ koşulunu unutma.

$9^{x} = (3^{x})^{2}$ olduğundan $3^{x} = t$ ( $t > 0$ ) yaz: $t^{2} - 4 t + 3 = 0$ .
Çarpanlara ayır: $(t - 1) (t - 3) = 0$ , yani $t = 1$ veya $t = 3$ .
Geri dön: $3^{x} = 1 = 3^{0} \Rightarrow x = 0$ ve $3^{x} = 3 \Rightarrow x = 1$ .
Toplam: $0 + 1 = 1$ .

Sonuç:

1

Örnek

Soru

$\frac{2 ^{x + 3} - 2 ^{x}}{2 ^{x - 1}}$ ifadesinin değerini bulunuz.

Pay ve paydadaki tüm terimleri ortak çarpan $2^{x}$ cinsinden yaz; $2^{x}$ sadeleşir, geriye sayısal bir oran kalır.

Terimleri $2^{x}$ cinsinden aç: $2^{x + 3} = 8 \cdot 2^{x}$ , $2^{x - 1} = \frac{1}{2} \cdot 2^{x}$ .
İfade $\frac{8 \cdot 2 ^{x} - 2 ^{x}}{\frac{1}{2} \cdot 2 ^{x}} = \frac{( 8 - 1 ) 2 ^{x}}{\frac{1}{2} 2 ^{x}}$ olur.
$2^{x}$ sadeleşir: $\frac{7}{\frac{1}{2}} = 14$ .

Sonuç:

14

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Üstel fonksiyon değeri ve f(a+b)=f(a)·f(b) özelliği: f(a+b)=f(a)+f(b) sanmak (toplam kuralını doğrusal uygulamak) değerlerin çarpımı yerine toplamı
Üstel denklem — tabanı eşitleme: 1/32 gibi kesri pozitif üsle (2⁵) yazmak üs denkleminin işaretçe tersi, yanlış kök
Artan/azalan tespiti (tabanın konumu): Artan için taban>0 demekle yetinmek 0<taban<1 azalan bölgeyi de içeren geniş yanlış aralık
Üstel büyüme–bozunma sözel modeli: 16 kat için doğrusal düşünüp 16·T almak log₂16=4 yerine 16 periyot — çok büyük süre
2ˣ=t değişken değiştirmeli üstel denklem: t köklerini doğrudan x sanmak (geri dönüşü unutmak) x₁+x₂ yerine t₁+t₂ — tipik yanlış şık
Grafik okuma (y-kesimi 1, asimptot y=0): a²=9'dan a=±3 alıp negatif tabanı da kabul etmek üstel fonksiyon tanımına aykırı taban, yanlış işaretli değer

Soru 1Orta

4^{x} - 6 \cdot 2^{x} + 8 = 0

denkleminin reel kökleri

x_{1}

x_{2}

'dir. Buna göre

x_{1} + x_{2}

toplamı kaçtır?

$4^{x} = (2^{2})^{x} = (2^{x})^{2}$ olduğundan $2^{x} = t$ değişken değiştirmesi yapalım ( $t > 0$ ): denklem $t^{2} - 6 t + 8 = 0$ olur.
Çarpanlara ayır: $t^{2} - 6 t + 8 = (t - 2) (t - 4) = 0$ , yani $t = 2$ veya $t = 4$ .
Geri dön: $2^{x} = 2 \Rightarrow x_{1} = 1$ ve $2^{x} = 4 = 2^{2} \Rightarrow x_{2} = 2$ .
Toplamı bul: $x_{1} + x_{2} = 1 + 2 = 3$ .

Sonuç:

3

Soru 2Orta

Bir

x

reel sayısı için

3^{x + 2} - 3^{x + 1} = 54

eşitliği sağlanmaktadır. Buna göre

9^{x}

değeri kaçtır?

Üslü ifadeleri ortak çarpan $3^{x}$ cinsinden yaz: $3^{x + 2} = 9 \cdot 3^{x}$ ve $3^{x + 1} = 3 \cdot 3^{x}$ .
Denklem $9 \cdot 3^{x} - 3 \cdot 3^{x} = 54$ , yani $3^{x} (9 - 3) = 54$ olur: $6 \cdot 3^{x} = 54$ .
Buradan $3^{x} = 9 = 3^{2}$ , dolayısıyla $x = 2$ .
İstenen $9^{x} = (3^{x})^{2} = 9^{2} = 81$ (veya $9^{2} = 81$ ).

Sonuç:

81

Soru 3Orta

x

bir tam sayı olmak üzere

(\frac{1}{2})^{2 x - 1} \geq \frac{1}{32}

eşitsizliği veriliyor. Buna göre

x

'in alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Sağ tarafı $\frac{1}{2}$ tabanında yaz: $\frac{1}{32} = (\frac{1}{2})^{5}$ , böylece $(\frac{1}{2})^{2 x - 1} \geq (\frac{1}{2})^{5}$ .
Taban $0 < \frac{1}{2} < 1$ olduğundan fonksiyon azalandır; üsleri karşılaştırırken **yön değişir**: $2 x - 1 \leq 5$ .
Çöz: $2 x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3$ .
$x$ tam sayı ve $x \leq 3$ olduğundan en büyük değer $x = 3$ 'tür.

Sonuç:

3

Soru 4Orta

2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}

olduğuna göre

4^{x} + 4^{- x}

ifadesinin değeri kaçtır?

$4^{x} + 4^{- x} = (2^{x})^{2} + (2^{- x})^{2}$ olduğundan, $(2^{x} + 2^{- x})^{2}$ özdeşliğinden yararlanalım.
Karesini al: $(2^{x} + 2^{- x})^{2} = 4^{x} + 2 \cdot 2^{x} \cdot 2^{- x} + 4^{- x} = 4^{x} + 4^{- x} + 2$ (çünkü $2^{x} \cdot 2^{- x} = 2^{0} = 1$ ).
Sol taraf $(\frac{5}{2})^{2} = \frac{25}{4}$ olduğundan $4^{x} + 4^{- x} + 2 = \frac{25}{4}$ .
Buradan $4^{x} + 4^{- x} = \frac{25}{4} - 2 = \frac{25}{4} - \frac{8}{4} = \frac{17}{4}$ .

Sonuç:

\frac{17}{4}

Soru 5Orta

f (x) = 3^{x}

fonksiyonu için

f (a) = 2

f (b) = 5

veriliyor. Buna göre

f (2 a - b)

ifadesinin değeri kaçtır?

$f (a) = 3^{a} = 2$ ve $f (b) = 3^{b} = 5$ olarak verilmiş.
İstenen $f (2 a - b) = 3^{2 a - b} = \frac{3 ^{2 a}}{3 ^{b}} = \frac{( 3 ^{a} ) ^{2}}{3 ^{b}}$ .
Yerine yaz: $\frac{2 ^{2}}{5} = \frac{4}{5}$ .

Sonuç:

\frac{4}{5}

Soru 6Kolay

Bir bakteri kültürünün sayısı

N (t) = N_{0} \cdot 2^{t /3}

ile modelleniyor; burada

t

saat cinsindendir. Kültürdeki bakteri sayısının başlangıçtaki değerinin

16

katına ulaşması için geçmesi gereken süre kaç saattir?

"Başlangıç değerinin $16$ katı" koşulu: $N (t) = 16 N_{0}$ , yani $N_{0} \cdot 2^{t /3} = 16 N_{0}$ .
$N_{0}$ sadeleşir: $2^{t /3} = 16 = 2^{4}$ .
Üsleri eşitle: $\frac{t}{3} = 4 \Rightarrow t = 12$ .

Sonuç:

12

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$0 < a < 1$ tabanlı eşitsizlikte yönü çevirmemek. Örneğin $(\frac{1}{3})^{x} > 9$ çözümünde yanlışlıkla $x > - 2$ yazmak. Taban $1$ 'den küçükse fonksiyon azalandır, bu yüzden üsleri karşılaştırırken eşitsizlik yön değiştirir: doğru cevap $x < - 2$ .
Tabanları eşitlemeden üsleri eşitlemek. $2^{x} = 8$ denkleminde "üsler $x$ ve $8$ " diye düşünüp $x = 8$ yazmak yanlıştır. Önce $8 = 2^{3}$ yazılır, sonra üsler eşitlenir: $x = 3$ .
Ortak çarpanı yanlış almak. $2^{x + 2} + 2^{x}$ ifadesinde $2^{x}$ parantezine alırken $2^{x + 2} = 4 \cdot 2^{x}$ olduğunu unutup $2^{x} (2 + 1)$ gibi yazmak. Doğrusu $2^{x} (4 + 1)$ 'dir.
$f (0) = 0$ sanmak. Üstel fonksiyonda $f (0) = a^{0} = 1$ 'dir, $0$ değil.

Sınav İpucu

Üstel denklem ve eşitsizliklerde neredeyse her zaman ilk hamle iki tarafı ortak tabana getirmektir: $4, 8, 16$ için taban $2$ ; $9, 27, 81$ için taban $3$ ; $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ için yine taban $2$ (negatif üsle). Tabanlar eşitlendikten sonra denklemde üsleri eşitle, eşitsizlikte ise tabanın $1$ 'den büyük mü küçük mü olduğuna bakıp yön kuralını uygula. Toplam–fark biçimindeki denklemlerde en küçük üslü terimi parantezine almak işi kısaltır.

1. Üstel Fonksiyonun Tanımı

Doğal Taban e

2. Üstel Denklem

Ortak Çarpan Parantezine Alma

3. Üstel Eşitsizlik

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Üstel Fonksiyon ve Logaritma — diğer konular

Doğal Taban $e$