AYT Matematik · Limit ve Süreklilik

Limit Kavramı: Soldan ve Sağdan Limit

~9 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Limit, bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken hangi değere doğru gittiğini inceler; fonksiyonun o noktadaki değerini değil, çevresindeki davranışını ölçer. Bu ayrım analizin tüm yapı taşıdır: süreklilik, türev ve integral kavramları doğrudan limit üzerine kurulur. Bu konu, sezgisel limit tanımını, soldan–sağdan limiti ve limitin varlık koşulunu net biçimde oturtur.

1. Sezgisel Limit Kavramı

$x$ değişkeni $a$ sayısına (ona eşit olmadan) sınırsızca yaklaşırken $f(x)$ değerleri tek bir $L$ sayısına yaklaşıyorsa, $f$ 'nin $x=a$ 'da limiti $L$ 'dir ve şöyle yazarız:

$\lim_{x\to a} f(x)=L$

Buradaki kilit nokta şudur: $x$ , $a$ 'ya yaklaşır ama $x\ne a$ 'dır. Bu yüzden limit, $f(a)$ değerinden tamamen bağımsızdır; hatta $f(a)$ tanımsız olsa bile limit var olabilir.

2. Soldan ve Sağdan Limit

$x$ , $a$ 'ya iki yönden yaklaşabilir:

Gösterim	Anlamı
$\lim\limits_{x\to a^{-}} f(x)$	Soldan limit: $x$ , $a$ 'ya $a$ 'dan küçük değerlerle yaklaşır ( $x < a$ )
$\lim\limits_{x\to a^{+}} f(x)$	Sağdan limit: $x$ , $a$ 'ya $a$ 'dan büyük değerlerle yaklaşır ( $x > a$ )

Bu ikisine tek taraflı limitler denir.

Limitin Varlık Koşulu

Bir noktadaki (iki taraflı) limit, ancak iki tek taraflı limit var ve birbirine eşitse vardır:

$\lim_{x\to a} f(x)=L \;\iff\; \lim_{x\to a^{-}} f(x)=\lim_{x\to a^{+}} f(x)=L$

Soldan ve sağdan limitler birbirinden farklıysa, $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ yoktur.

Sık yapılan hata: Limiti, fonksiyonun o noktadaki değeri $f(a)$ ile karıştırmak. Limit, $a$ 'nın çevresindeki davranışla ilgilenir; $f(a)$ ister tanımlı olsun ister olmasın, isterse limitten farklı bir değer alsın, limiti değiştirmez.

3. Grafikten ve Parçalı Fonksiyonlarda Limit

Bir grafikte $x=a$ 'ya soldan ve sağdan ilerleyip eğrinin hangi yüksekliğe yaklaştığına bakarız. İki yön aynı yüksekliğe gidiyorsa limit o değerdir; farklı yüksekliklere (örneğin bir sıçrama noktasına) gidiyorsa limit yoktur.

Parçalı (cases) ve mutlak değerli fonksiyonlarda, parçaların değiştiği noktada soldan ve sağdan farklı kurallar geçerli olur; bu yüzden o noktada limit mutlaka iki tarafı ayrı hesaplanarak incelenir.

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to 2}(3x-1)$ limitini bulunuz.

$f(x)=3x-1$ bir polinomdur; polinomlarda $x$ , $a$ 'ya yaklaşırken $f(x)$ , $f(a)$ 'ya yaklaşır (doğrudan yerine yazma).
$x=2$ değerini yerine yaz: $3\cdot 2-1=5$ .
Soldan ve sağdan yaklaşımda da aynı $5$ değeri elde edilir; limit vardır.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 2}(3x-1)=5

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}x+1,& x<1\\[2pt] 4-x,& x\ge 1\end{cases}$ fonksiyonu için $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$ var mıdır?

$x=1$ , parçaların değiştiği noktadır. Soldan limit için $x+1$ kuralını, sağdan limit için $4-x$ kuralını kullan.

Soldan limit ( $x < 1$ , kural $x+1$ ): $\lim\limits_{x\to 1^{-}} (x+1)=1+1=2$ .
Sağdan limit ( $x \ge 1$ , kural $4-x$ ): $\lim\limits_{x\to 1^{+}} (4-x)=4-1=3$ .
Soldan limit $2$ , sağdan limit $3$ ; bunlar eşit değildir.
Varlık koşulu sağlanmadığından iki taraflı limit yoktur.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 1} f(x)

yoktur (soldan

2\ne

sağdan

3

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}$ fonksiyonu için $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$ değerini bulunuz. $f(2)$ tanımlı mıdır?

$x=2$ yazarsan $\frac{0}{0}$ belirsizliği çıkar. Payı çarpanlarına ayırıp sadeleştir; limitte $x\ne 2$ olduğunu unutma.

Doğrudan yerine yazınca pay ve payda sıfırlanır: $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluşur.
Payı çarpanlara ayır: $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ .
Limitte $x\to 2$ olduğundan $x\ne 2$ 'dir; bu yüzden $x-2$ ile sadeleştirilebilir: $f(x)=x+2$ (her $x\ne 2$ için).
Sadeleşen ifadenin limitini al: $\lim\limits_{x\to 2}(x+2)=2+2=4$ .
Buna karşılık $f(2)$ 'de payda $2-2=0$ olduğundan $f(2)$ tanımsızdır.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 2} f(x)=4

olmasına rağmen

f(2)

tanımsızdır. Limitin varlığı,

f(2)

'nin tanımlı olmasını gerektirmez.

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}$ limitini inceleyiniz.

Mutlak değeri tanıma göre aç: $x>0$ için $|x|=x$ , $x<0$ için $|x|=-x$ . Soldan ve sağdan ayrı bak.

Sağdan ( $x\to 0^{+}$ , yani $x>0$ ): $|x|=x$ olduğundan $\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{x}=1$ . Demek ki $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{|x|}{x}=1$ .
Soldan ( $x\to 0^{-}$ , yani $x<0$ ): $|x|=-x$ olduğundan $\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{-x}{x}=-1$ . Demek ki $\lim\limits_{x\to 0^{-}}\dfrac{|x|}{x}=-1$ .
Soldan limit $-1$ , sağdan limit $+1$ ; eşit değiller.

Sonuç: Soldan ve sağdan limitler farklı olduğundan

\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{|x|}{x}

yoktur.

Örnek

Soru

Aşağıdaki grafikte bir $g$ fonksiyonu $x=3$ noktasında sıçrama yapıyor: $x$ , $3$ 'e soldan yaklaşırken eğri $1$ yüksekliğine (dolu nokta), sağdan yaklaşırken $5$ yüksekliğine (içi boş nokta) gidiyor. Grafikte $g(3)=1$ işaretli. $\lim\limits_{x\to 3} g(x)$ var mıdır?

Şekil —

x=3

'te sıçrama: soldan limit

1

(dolu nokta), sağdan limit

5

(içi boş nokta). İki taraflı limit, iki tek taraflı değer eşit olmadığından yoktur.

Grafikten soldan limit: $\lim\limits_{x\to 3^{-}} g(x)=1$ .
Grafikten sağdan limit: $\lim\limits_{x\to 3^{+}} g(x)=5$ .
İki taraflı limitler farklı ( $1\ne 5$ ) olduğundan iki taraflı limit yoktur.
$g(3)=1$ olması bu sonucu değiştirmez; fonksiyon değeri ile limit ayrı kavramlardır.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 3} g(x)

yoktur. (

g(3)=1

tanımlı olsa da limit varlık koşulunu sağlamaz.)

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to -1}(x^{2}+2x-3)$ limitini bulunuz.

İfade bir polinomdur; doğrudan yerine yazma yapılabilir.
$x=-1$ yaz: $(-1)^{2}+2\cdot(-1)-3=1-2-3=-4$ .

Sonuç:

\lim\limits_{x\to -1}(x^{2}+2x-3)=-4

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}$ limitini bulunuz.

Yerine yazınca $\dfrac{9-9}{3-3}=\dfrac{0}{0}$ belirsizliği çıkar.
Payı çarpanlara ayır: $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ .
$x\to 3$ olduğundan $x\ne 3$ 'tür; $x-3$ ile sadeleştir: ifade $x+3$ olur.
Limit: $\lim\limits_{x\to 3}(x+3)=3+3=6$ .

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 3}\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=6

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}2x+1,& x\le 2\\[2pt] x^{2}-1,& x>2\end{cases}$ fonksiyonu için $\lim\limits_{x\to 2} f(x)$ var mıdır?

$x=2$ kuralın değiştiği noktadır. Soldan ve sağdan limiti ayrı hesapla.

Soldan limit ( $x\le 2$ , kural $2x+1$ ): $\lim\limits_{x\to 2^{-}}(2x+1)=2\cdot 2+1=5$ .
Sağdan limit ( $x>2$ , kural $x^{2}-1$ ): $\lim\limits_{x\to 2^{+}}(x^{2}-1)=2^{2}-1=3$ .
Soldan $5$ , sağdan $3$ ; eşit değiller.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 2} f(x)

yoktur (soldan

5\ne

sağdan

3

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2}$ limitini bulunuz.

Yerine yazınca $\frac{0}{0}$ çıkar. Paydanın eşleniği $\sqrt{x}+2$ ile genişlet veya payı çarpanlara ayır.

Yerine yazınca $\dfrac{4-4}{\sqrt{4}-2}=\dfrac{0}{0}$ belirsizliği oluşur.
Payı $x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$ biçiminde yaz.
$x\to 4$ için $\sqrt{x}\ne 2$ olduğundan $\sqrt{x}-2$ ile sadeleştir: ifade $\sqrt{x}+2$ olur.
Limit: $\lim\limits_{x\to 4}(\sqrt{x}+2)=\sqrt{4}+2=2+2=4$ .

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{x-4}{\sqrt{x}-2}=4

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{|x-3|}{x-3}$ fonksiyonu için $\lim\limits_{x\to 3} f(x)$ var mıdır?

$x>3$ için $|x-3|=x-3$ , $x<3$ için $|x-3|=-(x-3)$ . Her yönü ayrı incele.

Sağdan ( $x\to 3^{+}$ , yani $x>3$ ): $|x-3|=x-3$ olduğundan ifade $\dfrac{x-3}{x-3}=1$ . Yani $\lim\limits_{x\to 3^{+}} f(x)=1$ .
Soldan ( $x\to 3^{-}$ , yani $x<3$ ): $|x-3|=-(x-3)$ olduğundan ifade $\dfrac{-(x-3)}{x-3}=-1$ . Yani $\lim\limits_{x\to 3^{-}} f(x)=-1$ .
Soldan $-1$ , sağdan $1$ ; eşit değiller.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 3} f(x)

yoktur (soldan

-1\ne

sağdan

1

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}3x+a,& x<2\\[2pt] x^{2}+1,& x\ge 2\end{cases}$ fonksiyonunun $x=2$ noktasında limitinin var olması için $a$ kaç olmalıdır?

Limitin var olması için soldan limit, sağdan limite eşit olmalı.

Soldan limit ( $x<2$ , kural $3x+a$ ): $\lim\limits_{x\to 2^{-}}(3x+a)=6+a$ .
Sağdan limit ( $x\ge 2$ , kural $x^{2}+1$ ): $\lim\limits_{x\to 2^{+}}(x^{2}+1)=4+1=5$ .
Limit var ise iki taraf eşittir: $6+a=5$ .
Buradan $a=-1$ bulunur.

Sonuç:

a=-1

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-1}$ limitini bulunuz.

Hem pay hem payda $x=1$ 'de sıfırlanır. Çarpanlara ayır ve ortak çarpanı sadeleştir.

Yerine yazınca $\dfrac{1-1}{1-1}=\dfrac{0}{0}$ belirsizliği çıkar.
Payı çarpanlara ayır: $x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$ .
Paydayı çarpanlara ayır: $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ .
$x\to 1$ için $x\ne 1$ olduğundan $x-1$ ile sadeleştir: ifade $\dfrac{x^{2}+x+1}{x+1}$ olur.
Limit: $\dfrac{1+1+1}{1+1}=\dfrac{3}{2}$ .

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^{3}-1}{x^{2}-1}=\dfrac{3}{2}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}ax+5,& x<3\\[2pt] x^{2}+b,& x\ge 3\end{cases}$ fonksiyonunun $x=3$ noktasında limiti vardır ve bu limit $11$ 'e eşittir.

Buna göre $a^{2}+b^{2}$ kaçtır?

A) $5$ · B) $8$ · C) $10$ · D) $13$ · E) $20$

Sağdan limit ( $x\ge 3$ , kural $x^{2}+b$ ): $\lim\limits_{x\to 3^{+}}(x^{2}+b)=9+b$ . Bu limitin değeri $11$ olduğundan $9+b=11\Rightarrow b=2$ .
Soldan limit ( $x<3$ , kural $ax+5$ ): $\lim\limits_{x\to 3^{-}}(ax+5)=3a+5$ . Limit var ve $11$ 'e eşit olduğundan $3a+5=11\Rightarrow a=2$ .
İstenen ifade: $a^{2}+b^{2}=2^{2}+2^{2}=4+4=8$ .

Sonuç: B)

8

Örnek

Soru

$a$ bir gerçek sayı olmak üzere $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^{2}+ax-6}{x-2}$ limiti vardır (sonludur) ve bu limit $L$ 'ye eşittir.

Buna göre $a+L$ kaçtır?

A) $4$ · B) $5$ · C) $6$ · D) $7$ · E) $8$

$x=2$ 'de payda sıfırlanır; limitin sonlu olması için pay da $x=2$ 'de sıfırlanmalı, yani $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluşmalıdır.
Pay sıfır: $2^{2}+2a-6=0\Rightarrow 4+2a-6=0\Rightarrow a=1$ .
$a=1$ için pay $x^{2}+x-6=(x-2)(x+3)$ olur. $x\to 2$ için $x\ne 2$ olduğundan sadeleştir: ifade $x+3$ .
Limit: $L=\lim\limits_{x\to 2}(x+3)=2+3=5$ .
İstenen: $a+L=1+5=6$ .

Sonuç: C)

6

Örnek

Soru

$L=\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{x}$ ve $S=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\dfrac{|x|}{x}$ olarak veriliyor.

Buna göre $6L+S$ kaçtır?

A) $0$ · B) $1$ · C) $2$ · D) $3$ · E) $4$

$L$ için yerine yazınca $\frac{0}{0}$ çıkar; payı eşleniği $\sqrt{x+9}+3$ ile genişlet: $\dfrac{(x+9)-9}{x(\sqrt{x+9}+3)}=\dfrac{x}{x(\sqrt{x+9}+3)}$ .
$x\to 0$ için $x\ne 0$ olduğundan sadeleştir: $\dfrac{1}{\sqrt{x+9}+3}$ . Limit: $L=\dfrac{1}{\sqrt{9}+3}=\dfrac{1}{6}$ .
$S$ için sağdan ( $x>0$ ) $|x|=x$ olduğundan $\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{x}{x}=1$ , yani $S=1$ .
İstenen: $6L+S=6\cdot\dfrac{1}{6}+1=1+1=2$ .

Sonuç: C)

2

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^{2}-9}{x-3},& x<3\\[2mm] 2x+a,& x\ge 3\end{cases}$ fonksiyonu için $\lim\limits_{x\to 3} f(x)$ vardır.

Buna göre $a$ kaçtır?

A) $-6$ · B) $-4$ · C) $0$ · D) $4$ · E) $6$

Soldan limit ( $x<3$ ): pay $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ , $x\ne 3$ için sadeleştir: $\dfrac{x^{2}-9}{x-3}=x+3$ . Limit $\lim\limits_{x\to 3^{-}}(x+3)=6$ .
Sağdan limit ( $x\ge 3$ ): $\lim\limits_{x\to 3^{+}}(2x+a)=6+a$ .
Limit var ise soldan $=$ sağdan: $6=6+a\Rightarrow a=0$ .

Sonuç: C)

0

Örnek

Soru

Bir $f$ fonksiyonu için $\lim\limits_{x\to 2} f(x)=4$ ve $\lim\limits_{x\to 2} g(x)=-1$ veriliyor. $g$ , $x=2$ civarında sıfırdan farklıdır.

Buna göre $\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{f(x)\cdot g(x)+2}{f(x)-g(x)}$ kaçtır?

A) $-\dfrac{2}{5}$ · B) $-\dfrac{1}{5}$ · C) $0$ · D) $\dfrac{2}{5}$ · E) $\dfrac{1}{2}$

Limit işlemlerle uyumludur; her parçanın limiti yerine yazılır.
Pay: $\lim\limits_{x\to 2}\big(f(x)\cdot g(x)+2\big)=(4)\cdot(-1)+2=-4+2=-2$ .
Payda: $\lim\limits_{x\to 2}\big(f(x)-g(x)\big)=4-(-1)=5$ .
Payda $5\ne 0$ olduğundan bölümün limiti: $\dfrac{-2}{5}=-\dfrac{2}{5}$ .

Sonuç: A)

-\dfrac{2}{5}

Örnek

Soru

$f(x)=\begin{cases}x+3,& x\le 1\\[2mm] x^{2}+1,& x>1\end{cases}$ fonksiyonu veriliyor.

Buna göre $\lim\limits_{x\to 1^{-}} f(x)+\lim\limits_{x\to 1^{+}} f(x)+f(1)$ toplamı kaçtır?

A) $8$ · B) $9$ · C) $10$ · D) $11$ · E) $12$

Soldan limit ( $x\le 1$ , kural $x+3$ ): $\lim\limits_{x\to 1^{-}}(x+3)=1+3=4$ .
Sağdan limit ( $x>1$ , kural $x^{2}+1$ ): $\lim\limits_{x\to 1^{+}}(x^{2}+1)=1+1=2$ .
Fonksiyon değeri ( $x=1\le 1$ , kural $x+3$ ): $f(1)=1+3=4$ .
Toplam: $4+2+4=10$ . (Dikkat: soldan limit ile $f(1)$ aynı parçadan gelir ama sağdan limit farklıdır; üçü ayrı hesaplanmalı.)

Sonuç: C)

10

Sık Yapılan Hatalar

Limiti $f(a)$ ile karıştırmak. $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ , $f(a)$ 'dan farklı olabilir; $f(a)$ tanımsızken bile limit var olabilir (bkz. Örnek 3).
Tek taraflı limitleri kontrol etmeden "limit var" demek. Özellikle parçalı veya sıçramalı grafiklerde, soldan ve sağdan limit eşit olmadan iki taraflı limitten söz edilemez.
Mutlak değerli / parçalı fonksiyonlarda soldan–sağdan ayrımını atlamak. $\dfrac{|x|}{x}$ gibi ifadelerde tek bir kuralla işlem yapmak yanlış sonuca götürür; her yön kendi kuralıyla hesaplanır.
Sadeleştirmeden $\frac{0}{0}$ görünce "limit yoktur" demek. $\frac{0}{0}$ bir belirsizliktir, sonuç değildir; çarpanlara ayırıp sadeleştirince çoğu zaman limit bulunur.

Sınav İpucu

Parçalı tanımlı veya mutlak değer içeren bir fonksiyonun, kuralın değiştiği noktadaki limiti soruluyorsa mutlaka soldan ve sağdan limiti ayrı ayrı hesapla. İkisi eşitse limit o ortak değerdir; farklıysa limit yoktur. Kural değişmeyen "iç" noktalarda ise doğrudan yerine yazma genellikle yeterlidir. Rasyonel ifadelerde $\frac{0}{0}$ çıkarsa paniğe gerek yok: çarpanlara ayır, sadeleştir, sonra yerine yaz.

1. Sezgisel Limit Kavramı

2. Soldan ve Sağdan Limit

Limitin Varlık Koşulu

3. Grafikten ve Parçalı Fonksiyonlarda Limit

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Limit ve Süreklilik — diğer konular