AYT Matematik · Limit ve Süreklilik

Limit Hesaplama ve Belirsizlik (0/0)

~10 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~2 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Limit, bir fonksiyonun bir noktaya yaklaşırken aldığı değeri inceler; o noktada tanımlı olmasa bile davranışını yakalar. Bu konu, limit hesabının pratik motorunu kurar: doğrudan yerine koyma, $\frac{0}{0}$ belirsizliğini çarpanlara ayırma ve eşlenik ile çözme, ve temel trigonometrik limit. AYT'de neredeyse her yıl çıkan limit sorularının tamamı bu üç tekniğe dayanır.

1. Limitin Özellikleri

$x \to a lim f (x) = L$ ve $x \to a lim g (x) = M$ (her ikisi de sonlu) olsun. Limit, işlemlerle uyumludur:

Özellik	Kural
Toplam – fark	$x \to a lim (f \pm g) = L \pm M$
Sabitle çarpım	$x \to a lim (c \cdot f) = c \cdot L$
Çarpım	$x \to a lim (f \cdot g) = L \cdot M$
Bölüm	$x \to a lim \frac{f}{g} = \frac{L}{M} (M \neq = 0)$
Kuvvet	$x \to a lim (f (x))^{n} = L^{n}$

2. Doğrudan Yerine Koyma

Bir fonksiyon $x = a$ noktasında tanımlı ve sürekliyse, limit basitçe fonksiyon değeridir:

$x \to a lim f (x) = f (a)$

Polinomlar her noktada sürekli olduğundan limit her zaman doğrudan yerine koyarak bulunur. Rasyonel, köklü ve trigonometrik ifadelerde de payda sıfır olmadığı sürece bu yöntem geçerlidir. İlk hamlen daima yerine koymak olmalı.

3. $\frac{0}{0}$ Belirsizliği

Yerine koyduğunda $\frac{0}{0}$ çıkıyorsa sonuç belirsizdir — bu "limit yok" demek değildir; pay ve payda $x = a$ 'da birlikte sıfırlandığından ortak bir çarpan taşırlar. Bu çarpanı sadeleştirerek belirsizliği kaldırırız. İki yöntem vardır.

3.1. Çarpanlara Ayırma

Pay ve paydayı çarpanlarına ayır, ortak çarpanı sadeleştir, sonra yerine koy. $x = a$ kök ise her iki ifade de $(x - a)$ çarpanını içerir.

$x \to 2 lim \frac{x ^{2} - 4}{x - 2} = x \to 2 lim \frac{( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x \to 2 lim (x + 2) = 4$

3.2. Eşlenik ile Genişletme

İfade kök içeriyorsa, kökü barındıran kısmın eşleniğiyle pay ve paydayı birlikte çarp. $(A - B) (A + B) = A - B^{2}$ özdeşliği kökü kaldırır ve ortak çarpan ortaya çıkar.

$x \to 0 lim \frac{x + 4 - 2}{x} = x \to 0 lim \frac{( x + 4 ) - 4}{x ( x + 4 + 2 )} = x \to 0 lim \frac{1}{x + 4 + 2} = \frac{1}{4}$

4. Temel Trigonometrik Limit

Tek bir özel limit ve onun doğrudan sonucu, tüm temel trigonometrik limitleri çözer:

$x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1 ⟹ x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1$

Buradaki kritik nokta: kural ancak sinüsün argümanı ile paydadaki ifade aynı olduğunda doğrudan $1$ verir. Argümanlar farklıysa, paydayı argümana eşitleyecek biçimde düzenlemek gerekir. Örneğin $\frac{sin 3 x}{x}$ 'te paydayı $3 x$ yapıp dengelemek için $3$ ile çarparız.

Dikkat: $\frac{sin 3 x}{x}$ ifadesinin limiti $1$ değildir. Argüman $3 x$ , payda $x$ olduğundan sonuç $3$ 'tür. Argüman uyumunu daima kontrol et.

Çözümlü Örnekler

Örnek

Soru

$x \to 3 lim (x^{2} - 2 x + 1)$ limitini hesaplayınız.

İfade bir polinomdur; her noktada süreklidir, doğrudan yerine koy.
$x = 3$ yaz: $3^{2} - 2 \cdot 3 + 1 = 9 - 6 + 1$ .
Sonuç: $4$ .

Sonuç:

x \to 3 lim (x^{2} - 2 x + 1) = 4

Örnek

Soru

$x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3}$ limitini hesaplayınız.

Önce yerine koy. $\frac{0}{0}$ çıkarsa payı çarpanlarına ayır.

Yerine koy: pay $9 - 15 + 6 = 0$ , payda $0$ . Belirsizlik $\frac{0}{0}$ .
Payı çarpanlara ayır: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ .
Sadeleştir: $\frac{( x - 2 ) ( x - 3 )}{x - 3} = x - 2$ .
Yerine koy: $x \to 3 lim (x - 2) = 3 - 2 = 1$ .

Sonuç:

x \to 3 lim \frac{x ^{2} - 5 x + 6}{x - 3} = 1

Örnek

Soru

$x \to 0 lim \frac{x + 4 - 2}{x}$ limitini hesaplayınız.

Pay kök içerdiğinden, pay ve paydayı $x + 4 + 2$ ile genişlet.

Yerine koy: pay $4 - 2 = 0$ , payda $0$ . Belirsizlik $\frac{0}{0}$ .
Eşlenikle genişlet: pay ve paydayı $x + 4 + 2$ ile çarp.
Payı sadeleştir: $(x + 4 - 2) (x + 4 + 2) = (x + 4) - 4 = x$ .
İfade: $\frac{x}{x ( x + 4 + 2 )} = \frac{1}{x + 4 + 2}$ .
Yerine koy: $\frac{1}{4 + 2} = \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

x \to 0 lim \frac{x + 4 - 2}{x} = \frac{1}{4}

Örnek

Soru

$x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x}$ limitini hesaplayınız.

Paydayı sinüsün argümanı olan $3 x$ 'e benzetmek için pay ve paydayı düzenle.

Temel limiti kullanabilmek için paydada $3 x$ görmeliyiz; payı bozmadan $3$ ile genişlet:

$\frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x}$

$x \to 0$ iken $3 x \to 0$ olduğundan $x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{3 x} = 1$ .
Çarpan ile birlikte: $3 \cdot 1 = 3$ .

Sonuç:

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = 3

Örnek

Soru

$x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{sin 2 x}$ limitini hesaplayınız.

Pay ve paydayı kendi argümanlarına böl: her birini $\frac{s i n ( \cdot )}{( \cdot )}$ biçimine getir.

İfadeyi $\frac{sin 3 x}{sin 2 x} = \frac{\frac{sin 3 x}{x}}{\frac{sin 2 x}{x}}$ biçiminde yaz.
Pay ve paydayı argümanlarına eşle:

$\frac{sin 3 x}{x} = 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x} \to 3, \frac{sin 2 x}{x} = 2 \cdot \frac{sin 2 x}{2 x} \to 2$

Bölümün limiti: $\frac{3}{2}$ .

Sonuç:

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{sin 2 x} = \frac{3}{2}

Örnek

Soru

$x \to 0 lim \frac{tan x}{x}$ limitini hesaplayınız.

$tan x = \frac{sin x}{cos x}$ yazarak ifadeyi aç: $\frac{tan x}{x} = \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1}{cos x}$ .
$x \to 0$ iken $\frac{sin x}{x} \to 1$ ve $cos x \to cos 0 = 1$ .
Çarpım: $1 \cdot \frac{1}{1} = 1$ .

Sonuç:

x \to 0 lim \frac{tan x}{x} = 1

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} - 4}$ limitini hesaplayınız.

Yerine koy: pay $4 - 2 - 2 = 0$ , payda $4 - 4 = 0$ . Belirsizlik $\frac{0}{0}$ .
Çarpanlara ayır: pay $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1)$ , payda $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
Sadeleştir: $\frac{( x - 2 ) ( x + 1 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{x + 1}{x + 2}$ .
Yerine koy: $\frac{2 + 1}{2 + 2} = \frac{3}{4}$ .

Sonuç:

x \to 2 lim \frac{x ^{2} - x - 2}{x ^{2} - 4} = \frac{3}{4}

Örnek

Soru

$x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{x - 1}$ limitini hesaplayınız.

Yerine koy: pay $1 - 1 = 0$ , payda $0$ . Belirsizlik $\frac{0}{0}$ .
Pay bir küpler farkıdır: $x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)$ .
Sadeleştir: $\frac{( x - 1 ) ( x ^{2} + x + 1 )}{x - 1} = x^{2} + x + 1$ .
Yerine koy: $1 + 1 + 1 = 3$ .

Sonuç:

x \to 1 lim \frac{x ^{3} - 1}{x - 1} = 3

Örnek

Soru

$x \to - 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 3 x + 2}$ limitini hesaplayınız.

Yerine koy: pay $1 - 1 = 0$ , payda $1 - 3 + 2 = 0$ . Belirsizlik $\frac{0}{0}$ .
Çarpanlara ayır: pay $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ , payda $x^{2} + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2)$ .
Sadeleştir: $\frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{( x + 1 ) ( x + 2 )} = \frac{x - 1}{x + 2}$ .
Yerine koy: $\frac{- 1 - 1}{- 1 + 2} = \frac{- 2}{1} = - 2$ .

Sonuç:

x \to - 1 lim \frac{x ^{2} - 1}{x ^{2} + 3 x + 2} = - 2

Örnek

Soru

$x \to 3 lim \frac{x + 1 - 2}{x - 3}$ limitini hesaplayınız.

Yerine koy: pay $4 - 2 = 0$ , payda $0$ . Belirsizlik $\frac{0}{0}$ .
Pay kök içerdiğinden, pay ve paydayı $x + 1 + 2$ ile genişlet.
Payı sadeleştir: $(x + 1 - 2) (x + 1 + 2) = (x + 1) - 4 = x - 3$ .
İfade: $\frac{x - 3}{( x - 3 ) ( x + 1 + 2 )} = \frac{1}{x + 1 + 2}$ .
Yerine koy: $\frac{1}{4 + 2} = \frac{1}{4}$ .

Sonuç:

x \to 3 lim \frac{x + 1 - 2}{x - 3} = \frac{1}{4}

Örnek

Soru

$x \to 4 lim \frac{x - 4}{x - 2}$ limitini hesaplayınız.

Yerine koy: pay $0$ , payda $4 - 2 = 0$ . Belirsizlik $\frac{0}{0}$ .
Payda kök içerdiğinden, pay ve paydayı $x + 2$ ile genişlet.
Paydayı sadeleştir: $(x - 2) (x + 2) = x - 4$ .
İfade: $\frac{( x - 4 ) ( x + 2 )}{x - 4} = x + 2$ .
Yerine koy: $4 + 2 = 4$ .

Sonuç:

x \to 4 lim \frac{x - 4}{x - 2} = 4

Örnek

Soru

$x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{tan 2 x}$ limitini hesaplayınız.

Pay ve paydayı $x$ 'e bölerek temel limitlere indirge: $\frac{sin 5 x}{tan 2 x} = \frac{\frac{sin 5 x}{x}}{\frac{tan 2 x}{x}}$ .
Argümanlara eşle: $\frac{sin 5 x}{x} = 5 \cdot \frac{sin 5 x}{5 x} \to 5$ ve $\frac{tan 2 x}{x} = 2 \cdot \frac{tan 2 x}{2 x} \to 2$ .
Bölümün limiti: $\frac{5}{2}$ .

Sonuç:

x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{tan 2 x} = \frac{5}{2}

Örnek

Soru

$x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}}$ limitini hesaplayınız.

Payı $1 - cos^{2} x = sin^{2} x$ yapmak için $1 + cos x$ ile genişlet.

Yerine koy: pay $1 - 1 = 0$ , payda $0$ . Belirsizlik $\frac{0}{0}$ .
Pay ve paydayı $1 + cos x$ ile genişlet; pay $(1 - cos x) (1 + cos x) = 1 - cos^{2} x = sin^{2} x$ olur.
İfade: $\frac{sin ^{2} x}{x ^{2} ( 1 + cos x )} = (\frac{sin x}{x})^{2} \cdot \frac{1}{1 + cos x}$ .
$x \to 0$ iken $\frac{sin x}{x} \to 1$ ve $cos x \to 1$ , yani $\frac{1}{1 + cos x} \to \frac{1}{2}$ .
Çarpım: $1^{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .

Sonuç:

x \to 0 lim \frac{1 - cos x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Doğrudan yerine koyma: Yerine koymadan refleksle çarpanlara ayırmaya girişmek gereksiz işlemde yapılan hesap hatası
0/0 belirsizliği — çarpanlara ayırma: 0/0 görünce 'limit yoktur' demek 'tanımsız/limit yok' şeklinde yanlış yargı
0/0 belirsizliği — köklü ifadede eşlenik: Eşleniği yalnız paya uygulayıp paydaya yazmamak örnekte x/x = 1 gibi ölçeksiz yanlış değer
Limit özellikleriyle birleşik hesap: Çarpımın limitini toplamın limiti gibi almak (f⋅g yerine f+g) örnekte 2/3 yerine 4/5
Trigonometrik limit (sin x / x kalıbı): sinx/x = 1 diye her oranı 1 saymak örnekte 5/3 yerine 1
Değişken değiştirmeli / bileşik limit (sınav ayarı): u³−1 = (u−1)(u²+u+1) açılımını (u−1)(u²+1) yazmak örnekte 1/3 yerine 1/2

Soru 1Zor

a = x \to 3 lim \frac{x + 1 - 2}{x ^{2} - 5 x + 6}

b = x \to 0 lim \frac{sin 6 x}{2 x}

olarak veriliyor. Buna göre

a \cdot b

çarpımı kaçtır?

$a$ için yerine koy: pay $4 - 2 = 0$ , payda $9 - 15 + 6 = 0$ . Belirsizlik $\frac{0}{0}$ .
Payı eşlenikle genişlet: $(x + 1 - 2) (x + 1 + 2) = (x + 1) - 4 = x - 3$ .
Paydayı çarpanlara ayır: $x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ .
İfade: $\frac{x - 3}{( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x + 1 + 2 )} = \frac{1}{( x - 2 ) ( x + 1 + 2 )}$ .
Yerine koy: $a = \frac{1}{( 3 - 2 ) ( 4 + 2 )} = \frac{1}{1 \cdot 4} = \frac{1}{4}$ .
$b$ için argümanı eşle: $\frac{sin 6 x}{2 x} = \frac{6}{2} \cdot \frac{sin 6 x}{6 x} \to 3 \cdot 1 = 3$ , yani $b = 3$ .
Çarpım: $a \cdot b = \frac{1}{4} \cdot 3 = \frac{3}{4}$ .

Sonuç:

\frac{3}{4}

Soru 2Zor

x \to 0 lim \frac{1 - cos 4 x}{x \cdot sin 3 x}

limiti veriliyor. Buna göre bu limitin değeri kaçtır?

Yerine koy: pay $1 - cos 0 = 0$ , payda $0$ . Belirsizlik $\frac{0}{0}$ .
Payı $1 + cos 4 x$ ile genişlet: $(1 - cos 4 x) (1 + cos 4 x) = 1 - cos^{2} 4 x = sin^{2} 4 x$ .
İfade: $\frac{sin ^{2} 4 x}{x \cdot sin 3 x \cdot ( 1 + cos 4 x )}$ .
Her çarpanı argümanına eşle: $ $\frac{s i n ^{2} 4 x}{x ^{2}} = (\frac{s i n 4 x}{x})^{2} \to 16, \frac{s i n 3 x}{x} \to 3$ $
Limiti düzenle: $\frac{( \frac{s i n 4 x}{x} ) ^{2}}{( \frac{s i n 3 x}{x} ) \cdot ( 1 + cos 4 x )} \to \frac{16}{3 \cdot ( 1 + 1 )} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$ .

Sonuç:

\frac{8}{3}

Soru 3Orta

a

b

gerçek sayılar olmak üzere

x \to 2 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 2}

limiti **sonlu** bir değere eşit ve bu değer

5

'tir. Buna göre

a - b

farkı kaçtır?

Payda $x \to 2$ iken $0$ 'a gider. Limitin sonlu olması için pay da $x = 2$ 'de $0$ olmalı; yani $\frac{0}{0}$ belirsizliği gerekir.
Pay $(x - 2)$ çarpanını içerir; payı $x^{2} + a x + b = (x - 2) (x - c)$ biçiminde yaz.
Sadeleştir: $\frac{( x - 2 ) ( x - c )}{x - 2} = x - c$ .
Yerine koy: $x \to 2 lim (x - c) = 2 - c = 5 \Rightarrow c = - 3$ .
Payı aç: $(x - 2) (x + 3) = x^{2} + x - 6$ , yani $a = 1$ ve $b = - 6$ .
Fark: $a - b = 1 - (- 6) = 7$ .

Sonuç:

7

Soru 4Zor

L = x \to 0 lim \frac{tan 4 x - sin 4 x}{x ^{3}}

limiti veriliyor. Buna göre

L

kaçtır?

Payı ortak parantezine al: $tan 4 x - sin 4 x = \frac{sin 4 x}{cos 4 x} - sin 4 x = sin 4 x \cdot \frac{1 - cos 4 x}{cos 4 x}$ .
İfade: $\frac{sin 4 x ( 1 - cos 4 x )}{x ^{3} cos 4 x}$ .
$1 - cos 4 x$ 'i $1 + cos 4 x$ ile genişlet: $1 - cos 4 x = \frac{sin ^{2} 4 x}{1 + cos 4 x}$ .
İfade: $\frac{sin 4 x \cdot sin ^{2} 4 x}{x ^{3} cos 4 x ( 1 + cos 4 x )} = \frac{sin ^{3} 4 x}{x ^{3}} \cdot \frac{1}{cos 4 x ( 1 + cos 4 x )}$ .
$\frac{sin ^{3} 4 x}{x ^{3}} = (\frac{sin 4 x}{x})^{3} \to 4^{3} = 64$ , ve $x \to 0$ iken $cos 4 x \to 1$ , $1 + cos 4 x \to 2$ .
Limit: $L = 64 \cdot \frac{1}{1 \cdot 2} = 32$ .

Sonuç:

32

Soru 5Orta

x \to 1 lim \frac{3 x - 1}{x - 1}

limiti veriliyor. Buna göre bu limitin değeri kaçtır?

$u = 6 x$ diyelim. O zaman $3 x = x^{1/3} = u^{2}$ ve $x = x^{1/2} = u^{3}$ . $x \to 1$ iken $u \to 1$ .
İfade: $\frac{u ^{2} - 1}{u ^{3} - 1} = \frac{( u - 1 ) ( u + 1 )}{( u - 1 ) ( u ^{2} + u + 1 )}$ .
$u \to 1$ için $u \neq = 1$ , sadeleştir: $\frac{u + 1}{u ^{2} + u + 1}$ .
Yerine koy ( $u = 1$ ): $\frac{1 + 1}{1 + 1 + 1} = \frac{2}{3}$ .

Sonuç:

\frac{2}{3}

Soru 6Orta

f (x) = \frac{sin ( x - 2 )}{x ^{2} - 4}

olmak üzere

L = x \to 2 lim f (x)

değeri veriliyor. Buna göre

8 L

kaçtır?

Paydayı çarpanlara ayır: $x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ .
İfade: $\frac{sin ( x - 2 )}{( x - 2 ) ( x + 2 )} = \frac{sin ( x - 2 )}{x - 2} \cdot \frac{1}{x + 2}$ .
$x \to 2$ iken $(x - 2) \to 0$ , yani $\frac{sin ( x - 2 )}{x - 2} \to 1$ (temel limit, argüman ile payda aynı).
Geri kalan: $\frac{1}{x + 2} \to \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$ .
Limit: $L = 1 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ , dolayısıyla $8 L = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$ .

Sonuç:

2

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

$\frac{0}{0}$ 'ı $0$ ya da "tanımsız/limit yok" sanmak. $\frac{0}{0}$ bir belirsizliktir; çarpanlara ayırma veya eşlenikle çözülür, sonuç çoğu zaman sonlu bir sayıdır.
Eşlenikte yalnızca payı (ya da yalnızca paydayı) çarpmak. İfadeyi değiştirmemek için pay ve paydayı aynı eşlenikle çarpmak zorunludur.
Trigonometrik limitte argüman uyumunu kaçırmak. $\frac{sin 3 x}{x}$ limiti $1$ değil $3$ 'tür; sinüsün argümanı ile payda eşleşmeli.
Belirsizlik olmadan sadeleştirmeye çalışmak. Yerine koyunca sonlu bir değer çıkıyorsa iş bitmiştir; gereksiz çarpanlara ayırma hata kaynağıdır.

Sınav İpucu

Limit sorusunda izlenecek sıra nettir:

Önce doğrudan yerine koy. Sonuç sonlu bir sayıysa cevap odur.
$\frac{0}{0}$ çıktıysa: polinomda çarpanlara ayır, kökte eşlenik kullan, ortak çarpanı sadeleştir, tekrar yerine koy.
İfade $sin$ veya $tan$ içeriyor ve $x \to 0$ ise: paydayı argümana eşleyerek $x \to 0 lim \frac{sin x}{x} = 1$ kuralına indirgenir. Katsayıları (örneğin $\frac{sin a x}{sin b x} \to \frac{a}{b}$ ) hızlıca kullan.

1. Limitin Özellikleri

2. Doğrudan Yerine Koyma

3. 00​ Belirsizliği

3.1. Çarpanlara Ayırma

3.2. Eşlenik ile Genişletme

4. Temel Trigonometrik Limit

Çözümlü Örnekler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İlgili yazılar

Limit ve Süreklilik — diğer konular

3. $\frac{0}{0}$ Belirsizliği