AYT Matematik · Limit ve Süreklilik

Sonsuzda Limit ve Asimptotlar

~10 dk okumaZorluk: Zor19 çözümlü soru

Bir fonksiyonun $x$ çok büyürken (ya da çok küçülürken) nasıl davrandığını ve hangi noktalarda sınırsızca büyüyüp küçüldüğünü incelemek, asimptotları bulmanın anahtarıdır. Bu konu, sonsuzdaki limitleri derece karşılaştırması ile, düşey ve yatay asimptotları ise tek taraflı limitlerle hızlıca çözmeyi öğretir. AYT'de rasyonel fonksiyon limitleri ve asimptot soruları bu yöntemlerle saniyeler içinde biter.

1. Sonsuzda Limit: Temel Sonuç

$x$ sınırsızca büyürken ( $x\to\infty$ ) ya da küçülürken ( $x\to-\infty$ ) fonksiyonun değerini incelemek istiyoruz. Tüm hesabın temelinde şu sonuç yatar:

$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0 \qquad\text{ve}\qquad \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$

Genel olarak $k$ pozitif bir tam sayı ise $\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^{k}}=0$ olur. Pay sabit, payda sınırsızca büyüyorsa oran sıfıra gider.

2. Rasyonel Fonksiyonda $\frac{\infty}{\infty}$ — Derece Kuralı

$x\to\infty$ iken pay ve payda ayrı ayrı sonsuza gidiyorsa $\frac{\infty}{\infty}$ belirsizliği oluşur. Rasyonel fonksiyonda bu belirsizlik derece karşılaştırması ile çözülür. Pay derecesi $n$ , payda derecesi $m$ olsun:

Durum	$\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{P(x)}{Q(x)}$
$n < m$ (pay derecesi küçük)	$0$
$n = m$ (dereceler eşit)	baş katsayıların oranı
$n > m$ (pay derecesi büyük)	$\pm\infty$

Neden? Pay ve paydayı en büyük dereceli terime böleriz; geri kalan tüm terimler $\frac{1}{x^{k}}$ biçiminde olduğundan sıfıra gider. Örneğin:

$\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+1}{x^{2}-5}=\lim_{x\to\infty}\frac{3+\dfrac{1}{x^{2}}}{1-\dfrac{5}{x^{2}}}=\frac{3+0}{1-0}=3$

Pratik kural: $\frac{\infty}{\infty}$ rasyonel limitte yalnızca en yüksek dereceli terimlere bak. Dereceler eşitse limit baş katsayıların oranıdır; pay küçükse $0$ , pay büyükse $\pm\infty$ 'dur.

3. Sonsuz Limit ve Düşey Asimptot

$\lim\limits_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ ise fonksiyon $x=a$ doğrusuna yaklaşırken sınırsızca büyür/küçülür; bu durumda $x=a$ doğrusu düşey asimptottur.

Rasyonel fonksiyonda düşey asimptot adayları paydayı sıfır yapan $x$ değerleridir. Ancak bir değer aynı zamanda payı da sıfır yapıyorsa önce sadeleştirme yapılmalıdır; sadeleştirme sonrası hâlâ paydayı sıfır yapan değerler düşey asimptottur.

Düşey asimptotta limit $+\infty$ mu $-\infty$ mu olduğunu anlamak için $x\to a^{+}$ ve $x\to a^{-}$ için paydanın işareti ayrı ayrı incelenir.

4. Yatay Asimptot

$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=L$ veya $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=L$ ise (burada $L$ sonlu bir sayı) $y=L$ doğrusu yatay asimptottur. Rasyonel fonksiyonda yatay asimptot doğrudan derece kuralından okunur:

$n < m$ ise $y=0$ (sıfır doğrusu),
$n = m$ ise $y=\dfrac{\text{pay baş katsayı}}{\text{payda baş katsayı}}$ ,
$n > m$ ise yatay asimptot yoktur.

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}$ limitini hesaplayınız.

Pay derecesi $n=1$ , payda derecesi $m=2$ . Belirsizlik $\frac{\infty}{\infty}$ .
Pay derecesi paydadan küçük ( $n < m$ ).
Derece kuralına göre limit $0$ 'dır.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{x^{2}+3}=0

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^{3}-1}{x+2}$ limitini hesaplayınız.

Pay ve payda derecelerini karşılaştır; pay derecesi büyükse limit sonlu olamaz.

Pay derecesi $n=3$ , payda derecesi $m=1$ . Belirsizlik $\frac{\infty}{\infty}$ .
Pay derecesi paydadan büyük ( $n > m$ ), yani baş terim $\dfrac{x^{3}}{x}=x^{2}$ gibi davranır.
$x\to\infty$ iken $x^{2}\to\infty$ olduğundan limit $+\infty$ 'dur.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^{3}-1}{x+2}=\infty

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}$ fonksiyonunun düşey ve yatay asimptotlarını bulunuz.

Şekil —

f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}

tipi bir rasyonel fonksiyon: düşey asimptot

x=a

(burada

x=3

), yatay asimptot

y=L

(burada

y=2

). Eğri bu iki doğruya sınırsızca yaklaşır ama onlara değmez.

Düşey asimptot: Paydayı sıfır yap: $x-3=0\Rightarrow x=3$ . Bu değer payı sıfır yapmaz ( $2\cdot 3+1=7\neq 0$ ), o hâlde $x=3$ düşey asimptottur.
Yatay asimptot: Pay ve payda dereceleri eşit ( $n=m=1$ ).
Baş katsayıların oranı: pay baş katsayı $2$ , payda baş katsayı $1$ , oran $\dfrac{2}{1}=2$ .
O hâlde $y=2$ yatay asimptottur.

Sonuç: Düşey asimptot

x=3

, yatay asimptot

y=2

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to 2^{+}}\dfrac{1}{x-2}$ ve $\lim\limits_{x\to 2^{-}}\dfrac{1}{x-2}$ limitlerini bulunuz.

Pay pozitif sabit; sonucun işaretini paydanın $x\to 2$ yakınındaki işareti belirler.

Sağdan ( $x\to 2^{+}$ ): $x$ , $2$ 'den büyük olduğundan $x-2$ küçük pozitif sayıdır. Pay $1$ pozitif olduğundan oran $+\infty$ 'a gider.
Soldan ( $x\to 2^{-}$ ): $x$ , $2$ 'den küçük olduğundan $x-2$ küçük negatif sayıdır. Pozitif pay bölü negatif küçük sayı $-\infty$ 'a gider.
Sol ve sağ limitler farklı işaretlidir; $x=2$ düşey asimptottur.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 2^{+}}\dfrac{1}{x-2}=+\infty,\quad \lim\limits_{x\to 2^{-}}\dfrac{1}{x-2}=-\infty

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}$ limitini hesaplayınız.

$x\to\infty$ iken $x > 0$ olduğundan $\sqrt{x^{2}}=x$ alınır. Kök içini $x^{2}$ parantezine al.

Kök içini düzenle: $\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}\left(1+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}=|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}$ .
$x\to\infty$ için $x > 0$ , dolayısıyla $|x|=x$ alınır.
İfadeyi yaz: $\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=\dfrac{x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x}=\sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}$ .
$x\to\infty$ iken $\dfrac{1}{x^{2}}\to 0$ , böylece ifade $\sqrt{1+0}=1$ 'e gider.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}=1

Örnek

Soru

$g(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}$ fonksiyonunun $x=2$ noktasında düşey asimptotu var mıdır?

Paydayı sıfır yapan değer payı da sıfır yapıyorsa önce sadeleştir.

$x=2$ hem paydayı ( $2-2=0$ ) hem payı ( $2^{2}-4=0$ ) sıfır yapar; doğrudan asimptot diyemeyiz.
Payı çarpanlara ayır: $x^{2}-4=(x-2)(x+2)$ .
Sadeleştir: $g(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2$ (burada $x\neq 2$ ).
Sadeleşmiş ifadenin paydası kalmadığından $x=2$ düşey asimptot değildir; orada yalnızca tanımsız (delik) bir nokta vardır ve $\lim\limits_{x\to 2}g(x)=4$ .

Sonuç:

x=2

düşey asimptot değildir; fonksiyonun limiti

4

'tür.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{5x^{2}-3x+7}{2x^{2}+x-1}$ limitini hesaplayınız.

Pay ve payda dereceleri eşittir ( $n=m=2$ ); belirsizlik $\frac{\infty}{\infty}$ .
Derece kuralına göre limit baş katsayıların oranıdır: $\dfrac{5}{2}$ .

Sonuç:

\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{5x^{2}-3x+7}{2x^{2}+x-1}=\dfrac{5}{2}

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{4x^{3}+2x}{1-x^{3}}$ limitini hesaplayınız.

Pay ve payda dereceleri eşittir ( $n=m=3$ ); belirsizlik $\frac{\infty}{\infty}$ .
Pay baş katsayısı $4$ , payda baş katsayısı $-1$ .
Limit baş katsayıların oranıdır: $\dfrac{4}{-1}=-4$ .

Sonuç:

\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{4x^{3}+2x}{1-x^{3}}=-4

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x^{2}+3}{x^{2}-x-6}$ fonksiyonunun düşey asimptotlarını bulunuz.

Paydayı çarpanlara ayır: $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ .
Paydayı sıfır yapan değerler $x=3$ ve $x=-2$ 'dir.
Bu değerler payı ( $x^{2}+3$ ) sıfır yapmaz: $3^{2}+3=12\neq 0$ ve $(-2)^{2}+3=7\neq 0$ .
Sadeleşme olmadığından her iki değer de düşey asimptottur.

Sonuç: Düşey asimptotlar

x=3

x=-2

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)$ limitini hesaplayınız.

$\infty-\infty$ belirsizliği var; eşleniği ile çarpıp böl: $\sqrt{x^{2}+x}+x$ .
$\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac{(x^{2}+x)-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x}+x}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}$ .
Pay ve paydayı $x$ 'e böl; payda $\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1$ olur.
$x\to\infty$ iken $\dfrac{1}{x}\to 0$ , payda $\sqrt{1}+1=2$ 'ye gider, ifade $\dfrac{1}{2}$ olur.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^{2}+x}-x\right)=\dfrac{1}{2}

Örnek

Soru

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3^{x}+2^{x}}{3^{x}-1}$ limitini hesaplayınız.

Pay ve paydayı $3^{x}$ ile sadeleştirmek için her terimi $3^{x}$ 'e böl.
Pay: $1+\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}$ , payda: $1-\dfrac{1}{3^{x}}$ .
$x\to\infty$ iken $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}\to 0$ ve $\dfrac{1}{3^{x}}\to 0$ .
İfade $\dfrac{1+0}{1-0}=1$ 'e gider.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3^{x}+2^{x}}{3^{x}-1}=1

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{2x+5}{x-1}$ fonksiyonu için $\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)$ ve $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)$ limitlerini bulunuz.

$x\to 1$ iken pay $2\cdot 1+5=7$ pozitif sabite yaklaşır; sonucun işaretini payda belirler.
Sağdan ( $x\to 1^{+}$ ): $x-1$ küçük pozitif sayıdır, pozitif pay bölü pozitif küçük sayı $+\infty$ 'a gider.
Soldan ( $x\to 1^{-}$ ): $x-1$ küçük negatif sayıdır, pozitif pay bölü negatif küçük sayı $-\infty$ 'a gider.

Sonuç:

\lim\limits_{x\to 1^{+}}f(x)=+\infty,\quad \lim\limits_{x\to 1^{-}}f(x)=-\infty

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{(x-1)(x+4)}{x^{2}-1}$ fonksiyonunun düşey ve yatay asimptotlarını bulunuz.

Paydayı çarpanlara ayır: $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ .
Pay ve paydadaki ortak $(x-1)$ çarpanını sadeleştir: $f(x)=\dfrac{x+4}{x+1}$ (burada $x\neq 1$ ).
Düşey asimptot: Sadeleşmiş paydayı sıfır yapan $x=-1$ ; payı sıfır yapmaz ( $-1+4=3\neq 0$ ), düşey asimptottur. $x=1$ ise sadeleştiği için asimptot değil, deliktir.
Yatay asimptot: Sadeleşmiş ifadede dereceler eşit ( $n=m=1$ ), baş katsayı oranı $\dfrac{1}{1}=1$ , yani $y=1$ .

Sonuç: Düşey asimptot

x=-1

, yatay asimptot

y=1

;

x=1

noktası deliktir.

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{(a-2)x^{2}+3x}{x^{2}-5}$ fonksiyonunun yatay asimptotu $y=4$ doğrusudur.

Buna göre $2a-3$ kaçtır?

A) $5$ · B) $7$ · C) $9$ · D) $11$ · E) $13$

Pay ve payda dereceleri eşit ( $n=m=2$ ) olduğundan yatay asimptot baş katsayıların oranıdır.
Baş katsayıların oranı: $\dfrac{a-2}{1}=a-2$ .
Yatay asimptot $y=4$ olduğundan $a-2=4\Rightarrow a=6$ .
İstenen: $2a-3=2\cdot 6-3=9$ .

Sonuç: C)

9

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x-3}{x^{2}-x-6}$ fonksiyonu veriliyor.

Buna göre, fonksiyonun düşey asimptotunun apsisi ile yatay asimptotunun ordinatının toplamı kaçtır?

A) $-2$ · B) $-1$ · C) $0$ · D) $1$ · E) $3$

Paydayı çarpanlara ayır: $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ .
Pay ve paydadaki ortak $(x-3)$ çarpanını sadeleştir: $f(x)=\dfrac{1}{x+2}$ (burada $x\neq 3$ ). Dolayısıyla $x=3$ asimptot değil, deliktir.
Düşey asimptot: Sadeleşmiş paydayı sıfır yapan $x=-2$ tek düşey asimptottur; apsisi $-2$ .
Yatay asimptot: Başlangıçta pay derecesi $n=1$ , payda derecesi $m=2$ , yani $n<m$ olduğundan yatay asimptot $y=0$ ; ordinatı $0$ .
İstenen toplam: $-2+0=-2$ .

Sonuç: A)

-2

Örnek

Soru

$L=\lim\limits_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^{2}+3x}-2x\right)$ ve $M=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{6x^{2}-1}{2x^{2}+x}$ olarak veriliyor.

Buna göre $\dfrac{M}{L}$ kaçtır?

A) $\dfrac{3}{4}$ · B) $2$ · C) $3$ · D) $4$ · E) $6$

$L$ için $\infty-\infty$ belirsizliği var; eşleniği $\sqrt{4x^{2}+3x}+2x$ ile çarpıp böl.
$L=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{(4x^{2}+3x)-4x^{2}}{\sqrt{4x^{2}+3x}+2x}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x}{\sqrt{4x^{2}+3x}+2x}$ .
Pay ve paydayı $x$ 'e böl ( $x>0$ ): $L=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3}{\sqrt{4+\frac{3}{x}}+2}=\dfrac{3}{\sqrt{4}+2}=\dfrac{3}{4}$ .
$M$ için dereceler eşit ( $n=m=2$ ); baş katsayıların oranı $M=\dfrac{6}{2}=3$ .
İstenen: $\dfrac{M}{L}=\dfrac{3}{\frac{3}{4}}=3\cdot\dfrac{4}{3}=4$ .

Sonuç: D)

4

Örnek

Soru

$f(x)=\dfrac{x^{2}+ax-6}{x^{2}-9}$ fonksiyonunun $x=3$ noktasında düşey asimptotu yoktur (orada delik vardır).

Buna göre, fonksiyonun var olan tek düşey asimptotunun apsisi ile yatay asimptotunun ordinatının toplamı kaçtır?

A) $-3$ · B) $-2$ · C) $0$ · D) $1$ · E) $2$

Payda $x^{2}-9=(x-3)(x+3)$ ; düşey asimptot adayları $x=3$ ve $x=-3$ .
$x=3$ 'te delik olması için pay da $x=3$ 'te sıfırlanmalı: $9+3a-6=0\Rightarrow 3a+3=0\Rightarrow a=-1$ .
$a=-1$ için pay $x^{2}-x-6=(x-3)(x+2)$ . Sadeleştir: $f(x)=\dfrac{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x+3)}=\dfrac{x+2}{x+3}$ (burada $x\ne 3$ ).
Düşey asimptot: Sadeleşmiş paydayı sıfır yapan $x=-3$ (payı sıfır yapmaz); apsisi $-3$ .
Yatay asimptot: Başlangıçta dereceler eşit ( $2=2$ ), baş katsayı oranı $\dfrac{1}{1}=1$ , yani $y=1$ ; ordinatı $1$ .
İstenen toplam: $-3+1=-2$ .

Sonuç: B)

-2

Örnek

Soru

$L=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{9x^{2}+1}}{2x-1}$ limiti veriliyor.

Buna göre $L$ kaçtır?

A) $-3$ · B) $-\dfrac{3}{2}$ · C) $0$ · D) $\dfrac{3}{2}$ · E) $3$

$x\to-\infty$ iken $x<0$ olduğundan $\sqrt{x^{2}}=|x|=-x$ alınır. İşaret hatası en sık yapılan tuzaktır.

Kök içini düzenle: $\sqrt{9x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}\left(9+\dfrac{1}{x^{2}}\right)}=|x|\sqrt{9+\dfrac{1}{x^{2}}}$ .
$x\to-\infty$ için $x<0$ , dolayısıyla $|x|=-x$ .
İfade: $\dfrac{-x\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}}{2x-1}$ . Pay ve paydayı $x$ 'e böl: $\dfrac{-\sqrt{9+\frac{1}{x^{2}}}}{2-\frac{1}{x}}$ .
$x\to-\infty$ iken $\dfrac{1}{x^{2}}\to 0$ ve $\dfrac{1}{x}\to 0$ : $L=\dfrac{-\sqrt{9}}{2}=\dfrac{-3}{2}=-\dfrac{3}{2}$ .

Sonuç: B)

-\dfrac{3}{2}

Örnek

Soru

$A=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{4^{x}+3^{x+1}}{2\cdot 4^{x}-1}$ ve $B=\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2^{x}+5}{2^{x}-3}$ olarak veriliyor.

Buna göre $A+B$ kaçtır?

A) $-\dfrac{7}{6}$ · B) $-\dfrac{5}{6}$ · C) $\dfrac{1}{2}$ · D) $\dfrac{7}{6}$ · E) $2$

$x\to\infty$ iken $\big(\frac{3}{4}\big)^{x}\to 0$ ; ama $x\to-\infty$ iken $2^{x}\to 0$ . Yön, hangi terimin baskın olduğunu değiştirir.

$A$ : pay ve paydayı $4^{x}$ 'e böl. Pay $1+3\cdot\big(\frac{3}{4}\big)^{x}$ , payda $2-\dfrac{1}{4^{x}}$ .
$x\to\infty$ iken $\big(\frac{3}{4}\big)^{x}\to 0$ ve $\dfrac{1}{4^{x}}\to 0$ : $A=\dfrac{1+0}{2-0}=\dfrac{1}{2}$ .
$B$ : $x\to-\infty$ iken $2^{x}\to 0$ . Doğrudan yerine yaz: $B=\dfrac{0+5}{0-3}=-\dfrac{5}{3}$ .
İstenen: $A+B=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{3}=\dfrac{3-10}{6}=-\dfrac{7}{6}$ .
Dikkat: $A$ 'da yön $x\to+\infty$ olduğundan $\big(\frac{3}{4}\big)^{x}\to 0$ oldu; yön $-\infty$ olsaydı bu terim $\infty$ 'a giderdi. Üstel limitlerde yönü daima kontrol et.

Sonuç: A)

-\dfrac{7}{6}

Sık Yapılan Hatalar

Derece kuralını ters uygulamak: Pay derecesi büyükse ( $n > m$ ) limit $\pm\infty$ 'dur, $0$ değil; pay derecesi küçükse ( $n < m$ ) limit $0$ 'dır, $\infty$ değil.
Yatay asimptotu sabit terimlerin oranı sanmak. Dereceler eşitken yatay asimptot baş katsayıların oranıdır (örneğin $\frac{3x^2+1}{x^2-5}$ için $y=3$ ), sabit terimlerin değil.
Düşey asimptotta sol/sağ işareti incelemeden $\infty$ demek. Limit bir yönden $+\infty$ , diğerinden $-\infty$ olabilir; her zaman $x\to a^{+}$ ve $x\to a^{-}$ ayrı bakılır.
Payı VE paydayı birlikte sıfır yapan noktayı doğrudan düşey asimptot sanmak. Önce sadeleştir; sadeleştikten sonra paydayı sıfır yapmıyorsa orası asimptot değil, deliktir.

Sınav İpucu

$\frac{\infty}{\infty}$ biçiminde rasyonel bir limit gördüğünde refleksin derece karşılaştırması olsun: dereceleri yaz, eşitse baş katsayıların oranını al, pay küçükse $0$ , pay büyükse $\pm\infty$ de. Asimptot sorusunda ise düşey için paydanın köklerini (sadeleştirdikten sonra), yatay için $x\to\pm\infty$ limitini kullan. Bu iki refleks, konunun neredeyse tüm sorularını çözer.

1. Sonsuzda Limit: Temel Sonuç

2. Rasyonel Fonksiyonda \frac{\infty}{\infty} — Derece Kuralı

3. Sonsuz Limit ve Düşey Asimptot

4. Yatay Asimptot

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Limit ve Süreklilik — diğer konular

2. Rasyonel Fonksiyonda $\frac{\infty}{\infty}$ — Derece Kuralı