Kümeler — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 7 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Birleşim–kesişim eleman sayısı bağıntısı

   KolaySık çıkar

   s(A∪B) = s(A) + s(B) − s(A∩B) bağıntısı. Tek başına da gelir ama asıl işlevi ara adım olmaktır: ÖSYM verileri kartezyen çarpımın ya da grafiğin içine saklar, sen bu bağıntıyla kesişimi çekip çıkarırsın. Sorunun istediği çoğu zaman kesişim değil, 'yalnız A'da olan' gibi bir bölgedir.

   Nasıl çözülür

   1. Bağıntıyı yaz: s(A∪B) = s(A) + s(B) − s(A∩B); dört büyüklükten üçü verilmişse dördüncüsü tek adımda çıkar.
   2. Kesişimi bulunca dur ve soruyu yeniden oku — istenen kesişim mi, yalnız A mı, tümleyen mi?
   3. Yalnız A = s(A) − s(A∩B), yalnız B = s(B) − s(A∩B).
   4. Üç kümede bağıntı uzar: s(A∪B∪C) = s(A)+s(B)+s(C) − s(A∩B) − s(A∩C) − s(B∩C) + s(A∩B∩C).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kesişimi çıkarmayı unutmak (kümeleri ayrık varsaymak)→s(a)+s(b) toplamı — birleşimden kesişim kadar büyük değer
   • Kesişimi bulup soruyu bitirmek (istenen 'yalnız A' iken)→kesişim değerini cevap diye işaretlemek
   • Üç kümede en içteki bölgeyi bir kez fazla çıkarmak→s(a∩b∩c) kadar eksik birleşim

   Örnek

   s(A) = 18, s(B) = 14 ve s(A∪B) = 25 olduğuna göre, yalnız A kümesinde bulunan elemanların sayısı kaçtır?

   s(A∩B) = 18 + 14 − 25 = 7 ⇒ yalnız A = 18 − 7 = 11 (kontrol: 11 + 7 + (14−7) = 25)

2. 02

   Venn bölgesini okuma (asalların katları)

   OrtaSık çıkar

   Kümeler asal sayıların katlarıdır; Venn şemasında bir bölge taranıp 'şu sayılar bu bölgede' denir. Bölge aslında bir bölünebilme cümlesidir: taralı bölge 'şunlara bölünür, şuna bölünmez' demektir. Dışlama koşulu asıl bilgidir — bölgeyi 'içinde' diye okuyan öğrenci soruyu kaybeder.

   Nasıl çözülür

   1. Her bölgeyi cümleye çevir: 'A ve B'de var, C'de yok' ⇒ EKOK(a,b) ile bölünür, c ile bölünmez.
   2. İki kümenin ortak bölgesi kesişimdir; katlar söz konusuysa kesişim EKOK'un katlarıdır (asallarda EKOK = çarpım).
   3. Sayı verilmişse asal çarpanlarına ayır; hangi asalların olduğu kadar hangilerinin OLMADIĞI da veridir.
   4. Sayma sorusunda bölge sayısı = (EKOK'un katları) − (dışlanan asalla da bölünenler).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Bölgeyi 'içinde' okuyup 'sadece içinde' koşulunu atlamak→dışlanan kısmı da sayan, kesişimin tamamı kadar fazla sonuç
   • Ortak kat için EKOK yerine sayıların çarpımını almak→4 ile 6'da 12 yerine 24 — katların yarısını kaçıran sayım
   • En içteki (üç kümenin ortak) bölgeyi hiç çıkarmamak→üç asala birden bölünenler kadar şişmiş bölge sayısı

   Örnek

   1'den 60'a kadar olan doğal sayılar arasında A = 2'nin katları, B = 3'ün katları, C = 5'in katları kümeleridir. A∩B kümesinde bulunup C kümesinde bulunmayan kaç sayı vardır?

   A∩B = 6'nın katları ⇒ 60⁄6 = 10 sayı; bunlardan C'de olanlar 30'un katları ⇒ 60⁄30 = 2 sayı (30 ve 60) ⇒ 10 − 2 = 8

   Sık birleştiği konular: Asal Çarpanlara Ayırma ve Bölen Sayısı, Bölme ve Bölünebilme Kuralları, EBOB ve EKOK

3. 03

   Kartezyen çarpımda eleman sayısı s(A×B) = s(A)⋅s(B)

   OrtaSık çıkar

   ÖSYM'nin küme sorularındaki en sık taşıyıcı yapı. Tek başına kolaydır; zorluk kartezyen çarpımın içine birleşim ya da kesişim yerleştirilmesinden gelir: s((A∪B)×C) gibi. Çarpımın eleman sayısı verilip kümelere geri dönülmesi de aynı tiptir; o zaman sayıyı uygun çarpanlara ayırmak gerekir.

   Nasıl çözülür

   1. Kuralı yaz: s(A×B) = s(A)⋅s(B). Sıra önemlidir ama eleman SAYISI değişmez: s(A×B) = s(B×A).
   2. Parantez içindeki birleşim/kesişimi önce eleman sayısına indir, sonra çarp.
   3. Çarpımın eleman sayısı verilip küme aranıyorsa sayıyı çarpanlarına ayır ve her çarpanı kümenin alabileceği aralıkla sına — genelde tek bir ayrım geçerlidir.
   4. Birleşime eleman eklerken sor: bu eleman kümede zaten var mıydı? Varsa eleman sayısı artmaz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • s(A×(B∪C)) ifadesini s(A×B) ile s(A×C)'nin toplamı sanmak→ortak kısım iki kez sayılmış, s(a)⋅s(b∩c) kadar fazla değer
   • Eklenen elemanların iki kümeye birden yeni olduğunu varsaymak→iki eleman sayısı da artmış; çarpanlara ayrılmayan, tutmayan bir çarpım
   • s(A×B) yerine s(A) + s(B) almak→çarpım yerine toplam — küçük ve şıklarda hazır bekleyen değer

   Örnek

   s(A) = 5, s(B) = 3 ve s(A∩B) = 2 olduğuna göre, s((A∪B)×B) kaçtır?

   s(A∪B) = 5 + 3 − 2 = 6 ⇒ s((A∪B)×B) = 6⋅3 = 18

4. 04

   Kesişimin en az / en çok eleman sayısı

   OrtaSık çıkar

   Kümeler tam belirlenmez; bir evren (sınıf mevcudu, toplam kişi) verilip kesişimin en az ya da en çok kaç olabileceği sorulur. Bazen 'aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur' diye üç iddia halinde gelir. Kilit nokta: veriler kümeleri tek bir biçimde belirlemez, aralık belirler.

   Nasıl çözülür

   1. Bağıntıyı eşitsizliğe çevir: s(A∩B) = s(A) + s(B) − s(A∪B).
   2. s(A∪B) evreni aşamaz ⇒ s(A∪B) ≤ evren ⇒ kesişim EN AZ s(A) + s(B) − evren olur.
   3. Kesişim en çok küçük kümenin tamamı kadardır: s(A∩B) ≤ min(s(A), s(B)) — yani küçük küme büyüğün içine oturur.
   4. 'Her zaman doğru mu' sorusunda tek bir örnek yetmez: iddiayı bozan bir dağılım kurmaya çalış; kuramıyorsan iddia doğrudur.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kesişimi en az yapmak için birleşimi en küçük almak→en çok değerini en az diye vermek (ikisi de şıkta durur)
   • Evren kısıtını hiç kullanmamak→'kesişim en az 0 olabilir' — kümelerin sığmadığını görmemek
   • Alt küme işaretini eşitlik sanıp kümeleri tam belirlenmiş varsaymak→aralık yerine tek bir değer verip 'her zaman doğru' iddiasını yanlış onaylamak

   Örnek

   Bir sınıftaki 30 öğrencinin 22'si matematik, 17'si fizik kursuna gitmektedir. Buna göre her iki kursa birden giden öğrenci sayısı en az kaçtır?

   s(M∩F) = 22 + 17 − s(M∪F) ve s(M∪F) ≤ 30 ⇒ s(M∩F) ≥ 22 + 17 − 30 = 9 (en çok ise 17 olabilirdi)

   Sık birleştiği konular: Mantık

5. 05

   Kartezyen çarpımın grafiğinden küme okuma

   Orta

   A×B analitik düzlemde nokta nokta çizilir. Kartezyen çarpım daima tam bir ızgaradır: grafikteki farklı apsis sayısı s(A)'yı, farklı ordinat sayısı s(B)'yi verir. Şekil süs değil, verinin kendisidir. Noktaları tek tek saymak vakit kaybıdır; eksenlere bakmak yeter.

   Nasıl çözülür

   1. Farklı apsisleri listele → birinci küme; farklı ordinatları listele → ikinci küme.
   2. Hangi çarpımın çizildiğine dikkat et: A×B çizilmişse apsisler A'dan, ordinatlar B'dendir.
   3. Grafikte A∪B gibi bileşik bir küme çizilmişse önce s(A∪B)'yi oku, sonra s(A∩B) = s(A) + s(B) − s(A∪B) ile kesişime geç.
   4. Nokta sayısı zaten s(A)⋅s(B)'dir; ızgara tam olduğu için saymaya gerek yok.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Noktaları tek tek sayıp toplamı cevap sanmak→s(a)⋅s(b) değeri — eleman sayısı sorulduğunda hazır tuzak
   • Eksenleri karıştırmak (apsisleri ikinci kümeden sanmak)→s(a) ile s(b) yer değişmiş; asimetrik soruda yanlış sonuç
   • Grafiği fonksiyon grafiği gibi okuyup her apsise tek ordinat düşürmek→ızgaranın bir satırı kadar eksik küme

   Örnek

   A×B kartezyen çarpımının grafiği, apsisleri 2, 4, 6 ve ordinatları 1, 3, 5, 7 olan noktalardan oluşmaktadır. Buna göre s(A∪B) kaçtır?

   A = {2,4,6}, B = {1,3,5,7} ⇒ A∩B = ∅ ⇒ A∪B = {1,2,3,4,5,6,7} ⇒ s(A∪B) = 7 (grafikteki nokta sayısı 3⋅4 = 12'dir, cevap değil)

6. 06

   Kartezyen çarpım listesinden kümeleri geri kurma

   Zor

   Sıralı ikililer liste halinde verilir — ama verilen liste kümelerin kendisi değil, iki kartezyen çarpımın birleşimidir; bileşen kümeler gizlidir. Kartezyen çarpımın daima tam ızgara olması listeyi tek bir tutarlı biçimde ayrıştırır. Konunun en zor tipi.

   Nasıl çözülür

   1. Listeyi kümenin kendisi sanma; sıralı ikililerin birinci bileşenlerini ve ikinci bileşenlerini ayrı ayrı topla.
   2. Kartezyen çarpım tam ızgaradır: eleman sayısı çarpanların çarpımına eşit değilse ayrıştırman yanlıştır — bu senin sağlamandır.
   3. Birleşim verilmişse ızgarayı iki tam ızgaraya böl; tutarlı ayrım genelde tektir.
   4. Kesişim için kuralı kullan: (A×B) ∩ (C×D) = (A∩C) × (B∩D).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Verilen listeyi kümelerin kendisi sanıp doğrudan kesişim almak→bileşenler hiç kurulmadan, ızgara yapısını yok sayan yanlış küme
   • (A×B) ∩ (C×D) = (A∩C) × (B∩D) yerine bileşenleri karıştırmak→(a∩c) × (b∪d) gibi, gerçek kesişimden büyük küme
   • Ayrıştırmada eleman sayısı sağlamasını yapmamak→s(a)⋅s(b) ile liste uzunluğu tutmayan, eksik ya da fazla elemanlı kümeler

   Örnek

   A×B = {(1,5), (1,6), (2,5), (2,6)} ve C×D = {(2,6), (2,7), (4,6), (4,7)} olduğuna göre, (A×B) ∩ (C×D) kümesinin eleman sayısı kaçtır?

   A = {1,2}, B = {5,6}, C = {2,4}, D = {6,7} ⇒ (A∩C)×(B∩D) = {2}×{6} = {(2,6)} ⇒ 1 eleman (ızgara sağlaması: 2⋅2 = 4 = liste uzunluğu)

7. 07

   Yeni tanımlı küme (eleman sayısı bir koşula bağlı)

   Zor

   Soru kendi tanımını yapar: bir kümenin eleman sayısı ile en küçük elemanı arasında sabit bir ilişki kurulur. Tanım her kümenin boyutunu kilitlediği için birleşimin elemanlarını dağıtmak sonlu bir bulmacaya döner; verilen üyelik bilgileri dalları hızla budar. Ezber yok, tanımı okuyup uygulamak var.

   Nasıl çözülür

   1. Tanımı sağlayan bütün olası kümeleri evrenden tek tek üret — liste çoğu zaman şaşırtıcı derecede kısadır.
   2. Tanımın verilen HER kümeye ayrı ayrı uygulandığını unutma; biri serbest değildir.
   3. Kümeler ayrık denmedikçe ayrık değildir; eleman sayılarını toplayıp birleşime eşitleme.
   4. Verilen üyelik bilgilerini (x ∈ A, y ∉ B) ele olarak kullan; kalan tek tutarlı dağılımı seç.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Tanımı yalnız bir kümeye uygulayıp diğerini serbest bırakmak→koşulu sağlamayan küme seçimi — soruya birden çok 'çözüm' çıkması
   • Kümelerin ayrık olduğunu varsaymak→eleman sayılarını toplayıp birleşime eşitleme; kesişimi sıfır sanma
   • Koşuldaki 'en küçük eleman'ı en büyük eleman gibi okumak→boyutu yanlış kilitlenmiş, tanımı sağlamayan kümeler

   Örnek

   A ve B kümelerinin her birinin eleman sayısı, kendi en küçük elemanına eşittir. A∪B = {2, 3, 4, 5} ve 2 ∈ A olduğuna göre, B kümesinin elemanları toplamı kaçtır?

   Tanımı sağlayan olası kümeler: {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4,5}. 2 ∈ A ⇒ s(A) = 2 ⇒ A iki elemanlı; B, {2,3}/{2,4}/{2,5} olsaydı A ile birleşim 4 ve 5'i birden kapsayamazdı ⇒ B = {3,4,5} ⇒ 3 + 4 + 5 = 12 (A tam belirlenmez, ama B tektir)

   Sık birleştiği konular: Mantık