TYT Matematik · Kümeler ve Mantık

Kümeler

~9 dk okumaZorluk: Orta7 çözümlü soruTYT'de ~2 soru/yıl · Sınavda orta ağırlık

Kümeler, TYT'nin en temel ve en sık çıkan konularından biridir; doğru kurulduğunda neredeyse garanti puandır. Bu derste küme kavramından işlemlere ( $\cup$ , $\cap$ , $∖$ , tümleyen) ve eleman sayısı formülüne kadar her şeyi, Venn şemaları ve çözümlü örneklerle adım adım kuruyoruz.

1. Temel Kavramlar

Küme, iyi tanımlanmış nesnelerin topluluğudur; bu nesnelerin her birine eleman denir.

Kavram	Gösterim	Anlamı
Eleman olma	$a \in A$	$a$ , $A$ kümesinin elemanıdır
Eleman olmama	$a \in / A$	$a$ , $A$ kümesinin elemanı değildir
Alt küme	$A \subset B$	$A$ 'nın her elemanı $B$ 'dedir
Boş küme	$\emptyset$	Hiç elemanı olmayan küme
Evrensel küme	$E$	İlgili tüm elemanları kapsayan küme
Eleman sayısı	$s (A)$	$A$ kümesindeki eleman sayısı

Örneğin $A = {1, 2, 3}$ kümesi için $2 \in A$ , $5 \in / A$ ve $s (A) = 3$ olur. Boş küme her kümenin alt kümesidir: $\emptyset \subset A$ .

2. Kümelerde İşlemler

Birleşim — $A \cup B$

$A$ ya da $B$ kümelerinden en az birinde bulunan tüm elemanların kümesidir.

Şekil 1 —

A \cup B

: her iki dairenin tamamı taranmıştır (en az birine ait olan elemanlar).

Kesişim — $A \cap B$

$A$ ve $B$ kümelerinin ikisinde de bulunan ortak elemanların kümesidir.

Şekil 2 —

A \cap B

: yalnız ortak (çakışan) bölge taranmıştır.

Fark — $A ∖ B$

$A$ 'da bulunup $B$ 'de bulunmayan elemanların kümesidir.

Şekil 3 —

A ∖ B

A

'nın,

B

dışında kalan kısmı taranmıştır.

Tümleyen — $A^{'}$

Evrensel küme $E$ içinde, $A$ 'da bulunmayan elemanların kümesidir: $A^{'} = E ∖ A$ .

3. Eleman Sayısı

İki kümenin birleşimindeki eleman sayısı için temel formül:

$s (A \cup B) = s (A) + s (B) - s (A \cap B)$

Buradaki $- s (A \cap B)$ terimi şart: $s (A)$ ile $s (B)$ toplandığında ortak bölge iki kez sayılır, bu yüzden bir kez geri çıkarılır.

Örnek

Soru

$A = {1, 2, 3}$ ve $B = {2, 3, 4}$ kümeleri için $A \cup B$ , $A \cap B$ ve $A ∖ B$ kümelerini bulunuz.

Birleşim: İki kümedeki tüm elemanları bir kez yaz: $A \cup B = {1, 2, 3, 4}$ .
Kesişim: Her iki kümede de olan ortak elemanlar: $A \cap B = {2, 3}$ .
Fark: $A$ 'da olup $B$ 'de olmayan elemanlar: $A ∖ B = {1}$ .

Sonuç:

A \cup B = {1, 2, 3, 4}

A \cap B = {2, 3}

A ∖ B = {1}

Örnek

Soru

$s (A) = 20$ , $s (B) = 15$ ve $s (A \cap B) = 8$ ise $s (A \cup B)$ kaçtır?

$s (A \cup B) = s (A) + s (B) - s (A \cap B)$ formülünü doğrudan uygula.

Formülü yaz: $s (A \cup B) = s (A) + s (B) - s (A \cap B)$ .
Değerleri yerine koy: $s (A \cup B) = 20 + 15 - 8$ .
Hesapla: $s (A \cup B) = 27$ .

Sonuç:

s (A \cup B) = 27

Örnek

Soru

Bir sınıftaki $30$ öğrenciden $18$ 'i matematik, $15$ 'i fizik kursuna gidiyor; $7$ 'si her iki kursa da gidiyor. Yalnızca bir kursa giden kaç öğrenci vardır?

Önce ortak bölgeyi ( $7$ ) yerleştir; ardından "yalnız matematik" ve "yalnız fizik" sayılarını ayrı ayrı bulup topla. Dikkat: soru "en az biri"ni değil, "yalnızca biri"ni soruyor.

İkisine de gidenler: $s (M \cap F) = 7$ (Venn şemasının ortasına yazılır).
Yalnız matematik: $18 - 7 = 11$ .
Yalnız fizik: $15 - 7 = 8$ .
Yalnızca biri: $11 + 8 = 19$ .

Sonuç:

19

öğrenci yalnızca bir kursa gitmektedir.

Örnek

Soru

$s (A \cup B) = 27$ , $s (A) = 20$ ve $s (B) = 15$ ise $s (A \cap B)$ kaçtır?

Aynı formülü kesişim için düzenle: $s (A \cap B) = s (A) + s (B) - s (A \cup B)$ .
Değerleri yerine koy: $s (A \cap B) = 20 + 15 - 27$ .
Hesapla: $s (A \cap B) = 8$ .

Sonuç:

s (A \cap B) = 8

Örnek

Soru

$3$ elemanlı bir kümenin kaç alt kümesi vardır?

$n$ elemanlı bir kümenin alt küme sayısı $2^{n}$ 'dir. Boş küme ve kümenin kendisi de alt küme olarak sayılır.

Kural: $n$ elemanlı kümenin $2^{n}$ alt kümesi vardır.
Burada $n = 3$ olduğundan: $2^{3} = 8$ .

Sonuç:

8

alt küme vardır.

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$A = {x : x, 12 ’nin pozitif b \overset{o}{¨} lenleri}$ kümesi veriliyor. $A$ kümesinin eleman sayısı $s (A)$ kaçtır?

$12$ 'nin pozitif bölenlerini sırayla yaz: $1, 2, 3, 4, 6, 12$ .
$A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$ olur.
Eleman sayısını say: $s (A) = 6$ .

Sonuç:

s (A) = 6

Örnek

Soru

$5$ elemanlı bir kümenin, $3$ elemanlı bir alt kümesi en fazla kaç farklı şekilde seçilebilir?

$n$ elemanlı kümeden $r$ elemanlı alt küme seçimi $(r n)$ ile bulunur.
Burada $(3 5) = \frac{5 !}{3 ! 2 !} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ .

Sonuç:

10

farklı alt küme.

Örnek

Soru

$E$ evrensel küme olmak üzere $s (E) = 40$ , $s (A) = 23$ ve $s (A^{'}) = ?$ değeri sorulmaktadır. $s (A^{'})$ kaçtır?

Tümleyenin eleman sayısı: $s (A^{'}) = s (E) - s (A)$ .
Değerleri yerine koy: $s (A^{'}) = 40 - 23$ .
Hesapla: $s (A^{'}) = 17$ .

Sonuç:

s (A^{'}) = 17

Örnek

Soru

$A = {1, 2, 3, 4, 5}$ ve $B = {2, 4, 6}$ kümeleri için $A ∖ B$ ve $B ∖ A$ kümelerini bulup eleman sayılarının farkı $s (A ∖ B) - s (B ∖ A)$ değerini hesaplayınız.

$A ∖ B$ : $A$ 'da olup $B$ 'de olmayanlar $= {1, 3, 5}$ , yani $s (A ∖ B) = 3$ .
$B ∖ A$ : $B$ 'de olup $A$ 'da olmayanlar $= {6}$ , yani $s (B ∖ A) = 1$ .
Fark: $3 - 1 = 2$ .

Sonuç:

s (A ∖ B) - s (B ∖ A) = 2

Örnek

Soru

Bir grupta herkes en az bir spor yapıyor. $25$ kişi yüzme, $20$ kişi koşu yapıyor; $8$ kişi her ikisini de yapıyor. Bu grupta toplam kaç kişi vardır?

Herkes en az birini yaptığından toplam $= s (Y \cup K)$ .
Formül: $s (Y \cup K) = s (Y) + s (K) - s (Y \cap K)$ .
Değerleri koy: $s (Y \cup K) = 25 + 20 - 8 = 37$ .

Sonuç: Grupta

37

kişi vardır.

Örnek

Soru

$A \subset B$ olmak üzere $s (A) = 6$ ve $s (B) = 10$ ise $s (A \cup B) + s (A \cap B)$ toplamı kaçtır?

$A \subset B$ olduğundan $A$ 'nın tüm elemanları $B$ 'dedir.
Bu durumda $A \cup B = B$ , yani $s (A \cup B) = s (B) = 10$ .
Yine $A \cap B = A$ , yani $s (A \cap B) = s (A) = 6$ .
Toplam: $10 + 6 = 16$ .

Sonuç:

16

Örnek

Soru

$30$ kişilik bir sınıfta İngilizce bilenler $19$ , Almanca bilenler $12$ kişidir. Bu iki dilden hiçbirini bilmeyen $4$ kişi varsa, her iki dili de bilen kaç kişi vardır?

En az bir dil bilenler: $30 - 4 = 26$ , yani $s (\dot{I} \cup A) = 26$ .
Formül: $s (\dot{I} \cup A) = s (\dot{I}) + s (A) - s (\dot{I} \cap A)$ .
Yerine koy: $26 = 19 + 12 - s (\dot{I} \cap A)$ , yani $26 = 31 - s (\dot{I} \cap A)$ .
Çöz: $s (\dot{I} \cap A) = 31 - 26 = 5$ .

Sonuç: Her iki dili de bilen

5

kişi vardır.

Üç kümeli problemler

Üç kümeli sorularda Venn şemasını yedi ayrık bölgeye ayırırız: yalnız $A$ , yalnız $B$ , yalnız $C$ , ikili kesişimlerin "yalnız" kısımları ve ortadaki üçlü kesişim $A \cap B \cap C$ . Doldurmaya daima en içteki ( $A \cap B \cap C$ ) bölgeden başlanır.

Şekil 4 — Üç kümeli Venn şeması. En içteki bölge

A \cap B \cap C

'tir; sayma her zaman bu bölgeden dışa doğru yapılır.

Örnek

Soru

Bir sınıftaki öğrencilerden tam olarak iki dersi sevenler $9$ , üç dersin üçünü birden sevenler $4$ kişidir. Yalnızca bir ders seven $15$ öğrenci olduğuna göre ve sınıfta bu derslerden en az birini seven herkes sayıldığında toplam kaç öğrenci sayılmıştır?

Bölgeler ayrıktır; "yalnız bir" $+$ "tam iki" $+$ "üçü birden" toplamı en az birini sevenleri verir.

Bölgeleri ayrık olarak topla: yalnız bir $= 15$ , tam iki $= 9$ , üçü birden $= 4$ .
Toplam: $15 + 9 + 4 = 28$ .

Sonuç:

28

öğrenci sayılmıştır.

Örnek

Soru

$s (A \cup B \cup C) = 40$ , $s (A) = 22$ , $s (B) = 18$ , $s (C) = 15$ ve ikili kesişimler $s (A \cap B) = 8$ , $s (A \cap C) = 6$ , $s (B \cap C) = 5$ veriliyor. Üçlü kesişim $s (A \cap B \cap C)$ kaçtır?

Üç kümeli içerme-dışarma formülünü kullan: $s (A \cup B \cup C) = \sum s - \sum s (ikili) + s (\overset{u}{¨} \overset{c}{¸} l \overset{u}{¨})$ .

Formül: $s (A \cup B \cup C) = s (A) + s (B) + s (C) - s (A \cap B) - s (A \cap C) - s (B \cap C) + s (A \cap B \cap C)$ .
Yerine koy: $40 = 22 + 18 + 15 - 8 - 6 - 5 + x$ .
Sadeleştir: $40 = 55 - 19 + x = 36 + x$ .
Çöz: $x = 40 - 36 = 4$ .

Sonuç:

s (A \cap B \cap C) = 4

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin TYT Temel Matematik'te sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Birleşim–kesişim eleman sayısı bağıntısı: Kesişimi çıkarmayı unutmak (kümeleri ayrık varsaymak) s(a)+s(b) toplamı — birleşimden kesişim kadar büyük değer
Venn bölgesini okuma (asalların katları): Bölgeyi 'içinde' okuyup 'sadece içinde' koşulunu atlamak dışlanan kısmı da sayan, kesişimin tamamı kadar fazla sonuç
Kartezyen çarpımda eleman sayısı s(A×B) = s(A)⋅s(B): s(A×(B∪C)) ifadesini s(A×B) ile s(A×C)'nin toplamı sanmak ortak kısım iki kez sayılmış, s(a)⋅s(b∩c) kadar fazla değer
Kesişimin en az / en çok eleman sayısı: Kesişimi en az yapmak için birleşimi en küçük almak en çok değerini en az diye vermek (ikisi de şıkta durur)
Kartezyen çarpımın grafiğinden küme okuma: Noktaları tek tek sayıp toplamı cevap sanmak s(a)⋅s(b) değeri — eleman sayısı sorulduğunda hazır tuzak
Kartezyen çarpım listesinden kümeleri geri kurma: Verilen listeyi kümelerin kendisi sanıp doğrudan kesişim almak bileşenler hiç kurulmadan, ızgara yapısını yok sayan yanlış küme

Soru 1Orta

40

kişilik bir grupta yüzme bilen

22

, basketbol oynayan

15

kişi vardır. Her iki aktiviteyi de yapan

6

kişi olduğuna göre, **yalnızca birini** yapan kaç kişi vardır?

Birleşim: $s (Y \cup B) = 22 + 15 - 6 = 31$ .
Yalnızca yüzme: $22 - 6 = 16$ ; yalnızca basketbol: $15 - 6 = 9$ .
Yalnızca biri: $16 + 9 = 25$ (veya $31 - 6 = 25$ ).

Sonuç:

25

Soru 2Kolay

s (A) = 12

s (B) = 8

s (A \cap B) = 3

olduğuna göre

s (A \cup B)

kaçtır?

$s (A \cup B) = s (A) + s (B) - s (A \cap B)$ .
$12 + 8 - 3 = 17$ .

Sonuç:

17

Soru 3Orta

Evrensel küme

E

için

s (E) = 50

'dir.

A

B

kümeleri için

s (A) = 28

s (B) = 22

verilmiştir.

E

'de

A

B

'nin **hiçbirine** ait olmayan

10

eleman varsa

s (A \cap B)

kaçtır?

En az birine ait olanlar: $s (A \cup B) = 50 - 10 = 40$ .
$40 = 28 + 22 - s (A \cap B) = 50 - s (A \cap B)$ .
$s (A \cap B) = 10$ .

Sonuç:

10

Soru 4Orta

Bir kafede

50

müşteriye yapılan ankette

30

kişi çayı,

26

kişi kahveyi sevdiğini söylemiştir. Ankete katılan herkesin en az birini sevdiği biliniyorsa, **yalnızca çayı** sevenlerin sayısı kaçtır?

Herkes en az birini sevdiğinden $s (\overset{C}{¸} \cup K) = 50$ .
$50 = 30 + 26 - s (\overset{C}{¸} \cap K) \Rightarrow s (\overset{C}{¸} \cap K) = 56 - 50 = 6$ .
Yalnızca çayı sevenler: $30 - 6 = 24$ .

Sonuç:

24

Soru 5Orta

Bir okulda

120

öğrenciye yapılan ankette satranç kulübüne

54

, münazara kulübüne

48

öğrenci üyedir. **Her iki kulübe de** üye olan

20

öğrenci varsa, **hiçbir kulübe** üye olmayan kaç öğrenci vardır?

En az bir kulübe üye: $s (S \cup M) = 54 + 48 - 20 = 82$ .
Hiçbirine üye olmayan: $120 - 82 = 38$ .

Sonuç:

38

Soru 6Zor

Bir spor salonunda üyeler yüzme, pilates ve koşu derslerinden en az birine yazılmıştır. Yalnız yüzmeye

12

, yalnız pilatese

9

, yalnız koşuya

7

üye yazılmıştır. Tam olarak **iki** derse yazılan

6

, **üçüne birden** yazılan

2

üye olduğuna göre salondaki toplam üye sayısı kaçtır?

Yalnız bir derse yazılanlar: $12 + 9 + 7 = 28$ .
Tam iki derse yazılanlar: $6$ . Üçüne birden: $2$ .
Bütün bölgeler ayrık olduğundan toplam: $28 + 6 + 2 = 36$ .

Sonuç:

36

Soru 7Orta

A

B

kümeleri için

s (A) = 18

s (B) = 14

s (A ∖ B) = 11

veriliyor. Buna göre

s (A \cup B)

kaçtır?

$s (A ∖ B) = s (A) - s (A \cap B) \Rightarrow 11 = 18 - s (A \cap B)$ , yani $s (A \cap B) = 7$ .
$s (A \cup B) = s (A) + s (B) - s (A \cap B) = 18 + 14 - 7 = 25$ .

Sonuç:

25

0/7 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Kesişimi iki kez saymak: $s (A \cup B)$ hesabında $s (A \cap B)$ terimi bir kez çıkarılmalıdır; çıkarmayı unutmak sonucu şişirir.
"Yalnızca biri" ile "en az biri"ni karıştırmak: "En az biri" $= s (A \cup B)$ iken; "yalnızca biri" $= s (A \cup B) - s (A \cap B)$ 'dir.
Boş kümeyi atlamak: $\emptyset$ her kümenin alt kümesidir; alt küme sayarken unutulmamalıdır.
"Tam iki" ile "ikili kesişim"i karıştırmak: Üç kümeli problemde $s (A \cap B)$ , $A \cap B \cap C$ bölgesini de içerir; "tam olarak iki kümeye ait" sayısı bundan üçlü kesişim çıkarılarak bulunur.

Sınav ipucu: İki kümeli problemlerde önce Venn şemasını çiz. Ortak bölgeyi ( $A \cap B$ ) en başta yerleştir, sonra dışa doğru "yalnız $A$ " ve "yalnız $B$ " sayılarını doldur. Üç kümeli problemlerde $s (A \cup B \cup C) = s (A) + s (B) + s (C) - s (A \cap B) - s (A \cap C) - s (B \cap C) + s (A \cap B \cap C)$ formülünü kullan; doldurmaya en içteki üçlü kesişimden başla. Bu sıra, çoğu hatayı baştan engeller.

1. Temel Kavramlar

2. Kümelerde İşlemler

Birleşim — A∪B

Kesişim — A∩B

Fark — A∖B

Tümleyen — A′

3. Eleman Sayısı

Çözümlü Sorular

Üç kümeli problemler

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Kümeler ve Mantık — diğer konular

Birleşim — $A \cup B$

Kesişim — $A \cap B$

Fark — $A ∖ B$

Tümleyen — $A^{'}$