Karışım Problemleri — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   İki karışımın birleştirilmesi

   KolaySık çıkar

   Oranları farklı iki karışım tek kaba dökülür, yeni oran istenir. TYT'nin en klasik karışım kalıbı; yüzdeleri toplayan/ortalayan öğrenciyi hedefler.

   Nasıl çözülür

   1. Her karışımın MADDE miktarını ayrı hesapla (yüzde × hacim).
   2. Madde miktarlarını topla, hacimleri topla — yüzdeleri değil.
   3. Yeni oran = toplam madde ÷ toplam hacim × 100.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Yüzdelerin aritmetik ortalamasını almak→(20+50)÷2 = %35 — hacimler eşit değilse yanlış
   • Yüzdeleri doğrudan toplamak→%20+%50 = %70 gibi anlamsız büyük oran

   Örnek

   Tuz oranı %20 olan 30 litrelik çözelti ile tuz oranı %50 olan 20 litrelik çözelti karıştırılıyor. Yeni oran yüzde kaçtır?

   Tuz: 0,20⋅30 + 0,50⋅20 = 6+10 = 16; hacim 50 ⇒ 16∕50 = %32

   Sık birleştiği konular: Yüzde, Kâr-Zarar ve Faiz Problemleri, Oran ve Orantı

2. 02

   Karışıma su ekleme (madde sabit, toplam artar)

   OrtaSık çıkar

   Karışıma saf su katılır, yeni oran ya da eklenecek su istenir. Anahtar fikir: madde miktarı DEĞİŞMEZ, yalnız payda büyür.

   Nasıl çözülür

   1. Önce mevcut madde miktarını hesapla — bu sayı sabit kalacak.
   2. Yeni hacim = eski hacim + eklenen su.
   3. Yeni oran = sabit madde ÷ yeni hacim; su miktarı isteniyorsa denklemi buradan kur.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Su ekleyince oranın değişmeyeceğini sanmak→başlangıç yüzdesinin aynısı — örnekte %40
   • Eklenen suyu yüzdeden düz düşmek (%40 − %20 gibi)→hacim oranı kurulmadan elde edilen kaba yüzde

   Örnek

   Tuz oranı %40 olan 30 litrelik çözeltiye 20 litre su ekleniyor. Yeni tuz oranı yüzde kaçtır?

   Tuz sabit: 0,40⋅30 = 12; yeni hacim 50 ⇒ 12∕50 = %24

3. 03

   Karışımdan su buharlaştırma (madde sabit, toplam azalır)

   OrtaSık çıkar

   Su buharlaşır, oran yükselir; buharlaşan miktar ya da yeni oran istenir. Su eklemenin aynadaki görüntüsü — madde yine sabittir.

   Nasıl çözülür

   1. Madde miktarını hesapla; buharlaşma maddeyi GÖTÜRMEZ.
   2. Buharlaşan su x ise yeni hacim = eski hacim − x.
   3. Denklem: madde ÷ (eski hacim − x) = hedef oran; x'i çöz ve sağla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Tuzun da suyla birlikte buharlaştığını varsaymak→oranı sabit tutan, denklemi kurulamayan yanlış model
   • Yüzde farkını hacimle çarpmak (60⋅0,05 gibi kestirme)→3 — doğru denklemin verdiği 15'in çok uzağında

   Örnek

   Tuz oranı %15 olan 60 litrelik çözeltiden kaç litre su buharlaşırsa oran %20 olur?

   Tuz = 0,15⋅60 = 9; 9∕(60−x) = 0,20 ⇒ 60−x = 45 ⇒ x = 15

4. 04

   Karışıma saf madde ekleme (pay VE payda artar)

   OrtaSık çıkar

   Karışıma saf tuz/şeker katılır. Su eklemeden farkı: eklenen miktar hem madde toplamına hem hacme girer — paydayı unutmak konunun bir numaralı hatası.

   Nasıl çözülür

   1. Mevcut madde miktarını hesapla.
   2. Eklenen saf madde x ise yeni madde = eski madde + x VE yeni hacim = eski hacim + x.
   3. Denklem: (madde + x) ÷ (hacim + x) = hedef oran; içler dışlar çarpıp x'i çöz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • x'i paydaya eklemeyi unutmak: (4+x)∕40 = 0,20 yazmak→x = 4 — doğrusu 5
   • Saf maddeyi %100 yerine kendi oranında saymak→0,20x'li karma denklemden çıkan küçük yanlış değer

   Örnek

   Tuz oranı %10 olan 40 litrelik çözeltiye kaç litre saf tuz eklenirse oran %20 olur?

   (4+x)∕(40+x) = 0,20 ⇒ 4+x = 8+0,2x ⇒ 0,8x = 4 ⇒ x = 5 (sağlama: 9∕45 = %20)

5. 05

   Hedef orana ulaşmak için miktar bulma (denklem kurma)

   ZorSık çıkar

   İki karışımdan belirli oranda yeni karışım hazırlanır; birinden ne kadar alınacağı sorulur. İki bilinmeyenli görünür ama toplam verildiği için tek bilinmeyene iner. Gerçek sınav zorluğu burada.

   Nasıl çözülür

   1. Miktarlara x ve (toplam − x) de.
   2. Madde denklemi kur: oran₁⋅x + oran₂⋅(toplam − x) = hedef oran ⋅ toplam.
   3. x'i çöz; hızlı yol isteyen terazi (alligation) kullanır: miktarlar, oranların hedefe uzaklıklarıyla TERS orantılıdır.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Terazi yönteminde uzaklıkları ters eşleştirmek→iki cevabın yer değiştirmesi — %40'lıktan 40 yerine 20 bulmak
   • Madde yerine hacim denklemiyle yetinmek (x + y = 60'ı çözmeye çalışmak)→tek denklemle sonuca gidemeyen, seçenekten sallama cevap

   Örnek

   %10'luk ve %40'lık tuzlu sulardan %30'luk 60 litre karışım hazırlanacaktır. %40'lık çözeltiden kaç litre alınmalıdır?

   0,10(60−y) + 0,40y = 0,30⋅60 ⇒ 6 + 0,3y = 18 ⇒ y = 40

   Sık birleştiği konular: Birinci Dereceden Denklem ve Eşitsizlikler

6. 06

   Karışımdaki madde miktarı (yüzde × toplam)

   Kolay

   Oranı verilen tek karışımda madde ya da su miktarı istenir. Konunun ısınma sorusu; genellikle daha zor tiplerin ilk adımı olarak gömülü gelir.

   Nasıl çözülür

   1. Madde miktarı = yüzde × toplam: %a'lık K litrelik karışımda madde = (a÷100)⋅K.
   2. Su (çözücü) miktarı = toplam − madde.
   3. Soru maddeyi mi suyu mu istiyor, son cümleyi mutlaka tekrar oku.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Su istenirken madde miktarını vermek (ya da tersi)→doğru cevabın toplamdan farkı — %25'lik 80 litrede su yerine 20 demek
   • %25'i doğrudan 25 litre sanmak (toplamla çarpmamak)→toplam hacimden bağımsız, yüzde sayısına eşit yanlış değer

   Örnek

   Tuz oranı %25 olan 80 litrelik çözeltide kaç litre su vardır?

   Tuz = 0,25⋅80 = 20 litre ⇒ su = 80−20 = 60 litre

7. 07

   Fiyat karışımı (iki fiyatlı ürün harmanı)

   Orta

   İki farklı fiyatlı ürün karıştırılıp harman fiyatı istenir. Tuz-su ile aynı iskelet: 'madde' burada toplam paradır; karışım fiyatı ağırlıklı ortalamadır.

   Nasıl çözülür

   1. Her ürünün toplam tutarını hesapla (birim fiyat × miktar).
   2. Tutarları topla, miktarları topla.
   3. Harman fiyatı = toplam tutar ÷ toplam miktar.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Fiyatların aritmetik ortalamasını almak→(40+60)÷2 = 50 tl — miktarlar eşit değilse yanlış, doğrusu 48
   • Tutar yerine miktarla ağırlıklandırmayı ters kurmak→pahalı ürüne fazla ağırlık veren şişkin fiyat (52 gibi)

   Örnek

   Kilosu 40 TL olan çaydan 3 kg ile kilosu 60 TL olan çaydan 2 kg karıştırılıyor. Karışımın kilosu kaç TL'dir?

   Tutar: 40⋅3 + 60⋅2 = 120+120 = 240 TL; 240∕5 = 48 TL

   Sık birleştiği konular: Yüzde, Kâr-Zarar ve Faiz Problemleri