Geometrik Dizi — Soru Tipleri ve Tuzaklar

Aşağıda ÖSYM'nin bu konuyu sorma biçimleri var: her tipin nasıl tanınacağı, adım adım çözüm yolu ve öğrencilerin düştüğü tuzaklar. Önce oku, sonra 6 çözümlü soruyla kendini dene.

1. 01

   Genel terim formülüyle terim bulma (aₙ = a₁⋅rⁿ⁻¹)

   KolaySık çıkar

   İlk terim ve ortak çarpan verilir, bir terim istenir. Üssün (n−1) olması tek kritik noktadır.

   Nasıl çözülür

   1. Formülü yaz: aₙ = a₁ ⋅ rⁿ⁻¹.
   2. Üssü (n−1) olarak hesapla — a₆ için r beş kez çarpılır.
   3. Kuvveti alıp a₁ ile çarp.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Üssü n almak (a₁⋅rⁿ)→a₆ için 3⋅2⁶=192
   • Üssü (n−2) almak→a₆ için 3⋅2⁴=48

   Örnek

   a₁=3, r=2 olan geometrik dizide a₆ kaçtır?

   a₆=3⋅2⁵=3⋅32=96

2. 02

   İki terimden r ve a₁ çıkarma

   OrtaSık çıkar

   İki uzak terim verilir; r, a₁ veya üçüncü bir terim istenir. Kısa yol: terimlerin oranı, indis farkı kadar r kuvveti verir.

   Nasıl çözülür

   1. Oranı kur: a₅/a₂ = r⁵⁻² = r³.
   2. r'yi çöz: r³ = 48/6 = 8 ⇒ r = 2.
   3. a₁ = a₂/r ile geri sar; istenen terimi genel terimle hesapla.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Oranı doğrudan r sanmak (r=8)→devasa, seçeneklere oturmayan terim değerleri
   • İndis farkını 3 yerine 5 almak (r⁵=8)→r irrasyonel — soru 'çözülemiyor' hissi

   Örnek

   Bir geometrik dizide a₂=6 ve a₅=48 ise a₇ kaçtır?

   r³=48/6=8 ⇒ r=2; a₁=6/2=3; a₇=3⋅2⁶=192

3. 03

   Ardışık üç terim — geometrik orta (x'li terimler)

   OrtaSık çıkar

   x'e bağlı üç ifade sırayla geometrik dizi oluşturur. Ortanca terimin karesi, komşuların çarpımına eşittir.

   Nasıl çözülür

   1. Koşulu yaz: (ortanca)² = (baş)⋅(son).
   2. x denklemini çöz; x² terimleri genelde sadeleşir.
   3. Terimleri hesaplayıp oranların eşitliğini KONTROL et (r aynı çıkmalı; terimler 0 olmamalı).

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Aritmetik orta koşulunu (2⋅ortanca = baş+son) uygulamak→2x+8=2x+12 ⇒ 8=12 çelişkisi
   • Kare almadan ortanca = baş⋅son yazmak→x²+11x−4=0 gibi ilgisiz denklem

   Örnek

   x, x+4, x+12 sayıları bu sırayla geometrik dizi oluşturuyorsa x kaçtır?

   (x+4)²=x(x+12) ⇒ x²+8x+16=x²+12x ⇒ 16=4x ⇒ x=4 (terimler 4, 8, 16; r=2)

4. 04

   İlk n terim toplamı (r ≠ 1)

   OrtaSık çıkar

   a₁ ve r verilir, ilk n terimin toplamı istenir. Formül Sₙ = a₁⋅(rⁿ−1)/(r−1); pay ve paydadaki işaret uyumu kritiktir.

   Nasıl çözülür

   1. Formülü yaz: Sₙ = a₁⋅(rⁿ−1)/(r−1) (r>1 için bu biçim pratik).
   2. rⁿ kuvvetini hesapla, formüle koy.
   3. |r|<1 ise Sₙ = a₁⋅(1−rⁿ)/(1−r) biçimi işaret hatasını önler.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Pay ve paydada işaret uyumsuzluğu (rⁿ−1 üstte, 1−r altta)→s₅ için −242
   • Toplam yerine son terimi hesaplamak→a₅=2⋅3⁴=162

   Örnek

   a₁=2, r=3 olan geometrik dizide ilk 5 terimin toplamı kaçtır?

   S₅=2⋅(3⁵−1)/(3−1)=2⋅242/2=242

5. 05

   Sonsuz geometrik seri toplamı (|r| < 1)

   OrtaSık çıkar

   S = a₁/(1−r) formülü; ya toplam istenir ya da toplamdan r/a₁ geri çözülür. Zıplayan top, boyanan kare gibi sözel kılıflarla da gelir.

   Nasıl çözülür

   1. Yakınsama şartını kontrol et: |r| < 1 olmalı, yoksa sonsuz toplam yoktur.
   2. Formülü uygula: S = a₁/(1−r).
   3. Ters soruda (S ve a₁ verilip r istenirse) denklemi r için çöz.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Paydayı (1−r) yerine r almak (S=a₁/r)→12/r=16 ⇒ r=3/4
   • 1−r=S/a₁ kurmak (oranı ters çevirmek)→1−r=4/3 ⇒ r=−1/3

   Örnek

   İlk terimi 12 olan sonsuz geometrik serinin toplamı 16 ise ortak çarpan r kaçtır?

   12/(1−r)=16 ⇒ 1−r=3/4 ⇒ r=1/4 (|r|<1 sağlanır)

   Sık birleştiği konular: Limit Kavramı: Soldan ve Sağdan Limit

6. 06

   Aritmetik + geometrik karma (klasik dönüşüm sorusu)

   ZorSık çıkar

   Üç sayı aritmetik dizidir; birine sabit eklenince geometrik dizi oluşur. İki koşulun birlikte kullanıldığı, kümenin ayırt edici sorusu.

   Nasıl çözülür

   1. Aritmetik üçlüyü simetrik seç: m−d, m, m+d; toplam verildiyse m hemen çıkar.
   2. Ekleme sonrası geometrik orta koşulunu yaz: (ortanca)² = (yeni baş)⋅(yeni son).
   3. d denklemini çöz; birden fazla kök çıkarsa 'artan/pozitif' gibi ek şartla ele.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • d=−6 kökünü elemeden azalan diziyi (12, 6, 0) kabul etmek→en büyük sayı olarak 12
   • Eklemeyi yanlış terime yapmak (ortancaya 3 ekleyip 81=36−d² kurmak)→çözümsüz denklem

   Örnek

   Artan bir aritmetik dizi oluşturan üç sayının toplamı 18'dir. Üçüncü sayıya 3 eklendiğinde sayılar geometrik dizi oluşturuyor. Aritmetik dizideki en büyük sayı kaçtır?

   6−d, 6, 6+d; 6²=(6−d)(9+d) ⇒ d²+3d−18=0 ⇒ d=3 (artan) ⇒ sayılar 3, 6, 9; en büyük 9 (kontrol: 3, 6, 12 geometrik, r=2)

   Sık birleştiği konular: Aritmetik Dizi, İkinci Dereceden Denklemler

7. 07

   Eşit uzaklık (indis toplamı) simetrisi — çarpım verisi

   Orta

   İki terimin çarpımı verilir; indis toplamının yarısındaki terim istenir. aₚ⋅a_q = (a_{(p+q)/2})² özdeşliği a₁ ve r bulunmadan sonuç verir.

   Nasıl çözülür

   1. Çarpımı aç: a₃⋅a₇ = (a₁r²)(a₁r⁶) = a₁²r⁸ = (a₁r⁴)² = a₅².
   2. Verilen değere eşitle: a₅² = 81.
   3. Karekök al; dizinin işaret bilgisine göre (+/−) kökü seç.

   ÖSYM'nin kurduğu tuzaklar

   • Kareyi atlayıp a₃⋅a₇ = a₅ sanmak→81
   • Pozitiflik şartına bakmadan negatif kökü de geçerli saymak→−9

   Örnek

   Pozitif terimli bir geometrik dizide a₃⋅a₇=81 olduğuna göre a₅ kaçtır?

   a₃⋅a₇=a₅²=81 ⇒ a₅=9 (pozitif terimli olduğundan −9 elenir)