çözümebak

AYT Matematik · Diziler

Geometrik Dizi

~9 dk okumaZorluk: Orta18 çözümlü soru

Geometrik dizi, ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu bir dizidir. Bu sabit orana ortak çarpan denir. Bir terimden diğerine geçerken hep aynı sayıyla çarpılır; bu yüzden geometrik diziler üstel büyüme ve azalma modellerinin temelidir. Bu konu, genel terim, ilk n terim toplamı ve geometrik orta gibi tüm temel araçları kurar.

1. Geometrik Dizi ve Ortak Çarpan

Bir dizide ardışık terimler arasındaki oran sabitse, bu diziye geometrik dizi denir. Bu sabit orana ortak çarpan denir ve r ile gösterilir:

r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\qquad (r\ne 0)

Yani her terim, bir önceki terimin r katıdır: a_{n+1}=a_n\cdot r. Örneğin 2,\,6,\,18,\,54,\dots dizisinde her terim bir öncekinin 3 katıdır, dolayısıyla r=3'tür.

DiziOrtak çarpan r
5,\,10,\,20,\,40,\dots2
81,\,27,\,9,\,3,\dots\dfrac{1}{3}
1,\,-2,\,4,\,-8,\dots-2

2. Genel Terim

İlk terim a_1 ve ortak çarpan r ise, n. terim:

a_n=a_1\cdot r^{\,n-1}

Üssün n-1 olmasının nedeni, a_1'e ulaşmak için hiç çarpma yapılmamış olmasıdır: a_1=a_1\cdot r^{0}. İkinci terime bir kez, üçüncü terime iki kez çarpılır.

Örnek
Soru

a_1=2 ve r=3 olan geometrik dizide a_5 terimini bulunuz.

  1. Genel terim formülünü yaz: a_n=a_1\cdot r^{\,n-1}.

  2. Değerleri yerine koy: a_5=2\cdot 3^{5-1}=2\cdot 3^{4}.

  3. Hesapla: 3^4=81, dolayısıyla a_5=2\cdot 81=162.

Sonuç: a_5=162
Örnek
Soru

3,\,6,\,12,\dots geometrik dizisinin 8. terimini bulunuz.

  1. Ortak çarpanı belirle: r=\dfrac{6}{3}=2, ilk terim a_1=3.

  2. Genel terimi uygula: a_8=3\cdot 2^{8-1}=3\cdot 2^{7}.

  3. Hesapla: 2^7=128, dolayısıyla a_8=3\cdot 128=384.

Sonuç: a_8=384

3. İlk n Terim Toplamı

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı (r\ne 1 için):

S_n=\dfrac{a_1\,(r^{n}-1)}{r-1}

Burada üssün n-1 değil n olduğuna dikkat et: toplamda n tane terim vardır. Eğer r=1 ise tüm terimler eşittir ve S_n=n\cdot a_1 olur.

Örnek
Soru

a_1=1 ve r=2 olan geometrik dizide ilk 4 terimin toplamı S_4 nedir?

  1. Toplam formülünü yaz: S_n=\dfrac{a_1\,(r^{n}-1)}{r-1}.

  2. Değerleri yerine koy: S_4=\dfrac{1\cdot(2^{4}-1)}{2-1}.

  3. Hesapla: 2^4=16, dolayısıyla S_4=\dfrac{16-1}{1}=15.

Sonuç: S_4=15 (yani 1+2+4+8=15)

4. İki Terimden Ortak Çarpan

İki terim biliniyorsa, aralarındaki "adım sayısı" üs olur. Örneğin a_1 ve a_4 veriliyse, a_4=a_1\cdot r^{3} olduğundan r^{3} doğrudan elde edilir.

Örnek
Soru

a_1=5 ve a_4=40 olan geometrik dizinin ortak çarpanını bulunuz.

  1. Genel terimi 4. terim için yaz: a_4=a_1\cdot r^{4-1}=a_1\cdot r^{3}.

  2. Değerleri yerine koy: 40=5\cdot r^{3}, buradan r^{3}=\dfrac{40}{5}=8.

  3. Küp kökü al: r=\sqrt[3]{8}=2.

Sonuç: r=2

5. Geometrik Orta

Ardışık üç terim a,\,b,\,c geometrik dizi oluşturuyorsa, ortadaki terim ilk ve son terimin geometrik ortasıdır:

\dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}\;\Rightarrow\; b^{2}=a\cdot c

Örnek
Soru

4 ve 9 sayıları arasına, üçü birlikte geometrik dizi oluşturacak şekilde bir sayı yerleştirilecek. Bu pozitif sayıyı bulunuz.

  1. Geometrik orta koşulunu yaz: b^{2}=a\cdot c.

  2. Değerleri yerine koy: b^{2}=4\cdot 9=36.

  3. Pozitif kökü al: b=\sqrt{36}=6.

Sonuç: b=6 (yani 4,\,6,\,9 dizisinde r=\dfrac{3}{2})

6. Sonsuz Geometrik Toplam

Ortak çarpanın mutlak değeri 1'den küçükse (\lvert r\rvert<1) terimler giderek küçülür ve sonsuz çoklukta terimin toplamı belirli bir sayıya yaklaşır:

S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}\qquad (\lvert r\rvert<1)

Bu formül, toplam formülündeki r^{n} teriminin n\to\infty iken 0'a gitmesinden çıkar. \lvert r\rvert\ge 1 ise terimler küçülmediğinden sonsuz toplam bir sayıya yakınsamaz.

Örnek
Soru

a_1=12 ve r=\dfrac{1}{3} olan geometrik dizinin tüm terimlerinin toplamını (sonsuz toplamı) bulunuz.

  1. \lvert r\rvert=\dfrac{1}{3}<1 olduğundan sonsuz toplam vardır: S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r}.

  2. Değerleri yerine koy: S_{\infty}=\dfrac{12}{1-\frac{1}{3}}=\dfrac{12}{\frac{2}{3}}.

  3. Hesapla: S_{\infty}=12\cdot\dfrac{3}{2}=18.

Sonuç: S_{\infty}=18

Çözümlü Sorular

Örnek
Soru

a_1=7 ve r=2 olan geometrik dizinin genel terimini (a_n) yazınız ve a_6 değerini bulunuz.

  1. Genel terim formülüne değerleri koy: a_n=7\cdot 2^{\,n-1}.

  2. n=6 için yaz: a_6=7\cdot 2^{6-1}=7\cdot 2^{5}.

  3. Hesapla: 2^5=32, dolayısıyla a_6=7\cdot 32=224.

Sonuç: a_n=7\cdot 2^{\,n-1} ve a_6=224
Örnek
Soru

Bir geometrik dizide a_2=12 ve a_5=96 veriliyor. Ortak çarpan r'yi bulunuz.

İki terim arasındaki adım sayısı üs olur: a_5=a_2\cdot r^{\,5-2}.

  1. Terimleri birbirine bağla: a_5=a_2\cdot r^{5-2}=a_2\cdot r^{3}.

  2. Değerleri yerine koy: 96=12\cdot r^{3}, buradan r^{3}=\dfrac{96}{12}=8.

  3. Küp kökü al: r=\sqrt[3]{8}=2.

Sonuç: r=2
Örnek
Soru

2,\,6,\,18,\,\dots geometrik dizisinin ilk 5 teriminin toplamını bulunuz.

  1. Verileri belirle: a_1=2, r=\dfrac{6}{2}=3, n=5.

  2. Toplam formülünü uygula: S_5=\dfrac{a_1\,(r^{5}-1)}{r-1}=\dfrac{2\,(3^{5}-1)}{3-1}.

  3. Hesapla: 3^5=243, dolayısıyla S_5=\dfrac{2\,(243-1)}{2}=243-1=242.

Sonuç: S_5=242
Örnek
Soru

3 ile 48 sayıları arasındaki pozitif geometrik ortayı bulunuz.

Üç terim geometrik dizi oluşturduğunda b^{2}=a\cdot c eşitliği geçerlidir.

  1. Geometrik orta koşulunu yaz: b^{2}=a\cdot c.

  2. Değerleri yerine koy: b^{2}=3\cdot 48=144.

  3. Pozitif kökü al: b=\sqrt{144}=12.

Sonuç: b=12
Örnek
Soru

5,\,10,\,20,\,\dots geometrik dizisinde a_n=1280 ise bu terim kaçıncı terimdir?

Genel terimi yaz ve 2'nin kuvvetlerini eşitleyerek n'yi çek.

  1. Verileri belirle: a_1=5, r=\dfrac{10}{5}=2.

  2. Genel terimi eşitle: 5\cdot 2^{\,n-1}=1280, buradan 2^{\,n-1}=\dfrac{1280}{5}=256.

  3. 256=2^{8} olduğundan n-1=8, dolayısıyla n=9.

Sonuç: 1280, dizinin 9. terimidir.
Örnek
Soru

Bir geometrik dizinin ilk terimi a_1=3, ortak çarpanı r=2'dir. İlk n terimin toplamı S_n=189 olduğuna göre n kaçtır?

  1. Toplam formülünü yaz: S_n=\dfrac{a_1\,(r^{n}-1)}{r-1}=\dfrac{3\,(2^{n}-1)}{2-1}=3\,(2^{n}-1).

  2. Eşitliği kur: 3\,(2^{n}-1)=189, buradan 2^{n}-1=63, yani 2^{n}=64.

  3. 64=2^{6} olduğundan n=6.

Sonuç: n=6

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek
Soru

Bir geometrik dizide a_3=20 ve a_6=160 veriliyor.

Buna göre a_1+a_7 toplamı kaçtır?

A) 245 · B) 290 · C) 325 · D) 360 · E) 405

  1. İki terimi bağla: a_6=a_3\cdot r^{6-3}=a_3\cdot r^{3}, yani 160=20\cdot r^{3}, buradan r^{3}=8 ve r=2.

  2. İlk terimi bul: a_3=a_1\cdot r^{2}=a_1\cdot 4=20, dolayısıyla a_1=5.

  3. Yedinci terimi hesapla: a_7=a_1\cdot r^{6}=5\cdot 2^{6}=5\cdot 64=320.

  4. Topla: a_1+a_7=5+320=325.

Sonuç: C) 325
Örnek
Soru

Pozitif a,\,b,\,c sayıları bu sırayla bir geometrik dizi oluşturuyor. Ortadaki terim b=6 ve a+c=13'tür.

Buna göre a^{2}+c^{2} değeri kaçtır?

A) 85 · B) 97 · C) 109 · D) 121 · E) 133

  1. Geometrik orta koşulunu yaz: b^{2}=a\cdot c, yani a\cdot c=6^{2}=36.

  2. Karelerin toplamını çarpanlardan kur: a^{2}+c^{2}=(a+c)^{2}-2\,a\,c.

  3. Değerleri yerine koy: a^{2}+c^{2}=13^{2}-2\cdot 36=169-72=97.

Sonuç: B) 97
Örnek
Soru

İlk terimi a_1=4 olan bir geometrik dizinin ilk üç teriminin toplamı S_3=28'dir. Dizinin ortak çarpanı pozitiftir.

Buna göre a_5-a_2 farkı kaçtır?

A) 48 · B) 52 · C) 56 · D) 60 · E) 64

  1. Toplamı aç: S_3=a_1\,(1+r+r^{2})=4\,(1+r+r^{2})=28, buradan 1+r+r^{2}=7.

  2. Denklemi çöz: r^{2}+r-6=0\Rightarrow(r+3)(r-2)=0; pozitif kök r=2.

  3. Terimleri yaz: a_5=4\cdot 2^{4}=64 ve a_2=4\cdot 2^{1}=8.

  4. Farkı al: a_5-a_2=64-8=56.

Sonuç: C) 56
Örnek
Soru

Pozitif terimli bir geometrik dizide a_2\cdot a_6=64 olduğu bilinmektedir.

Buna göre a_4 kaçtır?

A) 6 · B) 7 · C) 8 · D) 10 · E) 16

Sıra numaralarının toplamı eşit olan terimlerin çarpımı eşittir; 2+6=4+4 olduğundan a_2\cdot a_6=a_4^{2} olur.

  1. Terimleri açarak çarpımı yaz: a_2\cdot a_6=(a_1 r)(a_1 r^{5})=a_1^{2}r^{6}=(a_1 r^{3})^{2}=a_4^{2}.

  2. Verilen bilgiyle eşitle: a_4^{2}=64.

  3. Dizi pozitif terimli olduğundan a_4=8 (negatif kök elenir).

Sonuç: C) 8
Örnek
Soru

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olan x,\,y,\,z sayılarının çarpımı 216, toplamı ise 21'dir.

Buna göre dizinin (1'den büyük) ortak çarpanı r kaçtır?

A) \dfrac{3}{2} · B) 2 · C) \dfrac{5}{2} · D) 3 · E) 4

Üç terim geometrik dizi olduğundan x\cdot z=y^{2}, yani çarpım x\,y\,z=y^{3} olur. Önce ortadaki terimi bul.

  1. Geometrik orta: x\cdot z=y^{2} olduğundan çarpım x\,y\,z=y\cdot y^{2}=y^{3}=216, buradan y=6.

  2. Toplamdan x+z=21-6=15 ve x\cdot z=y^{2}=36 elde edilir.

  3. x,\,z sayıları t^{2}-15t+36=0 denkleminin kökleridir: (t-3)(t-12)=0\Rightarrow t=3 veya t=12.

  4. Dizi 3,\,6,\,12 olduğundan ortak çarpan r=\dfrac{6}{3}=2 (>1).

Sonuç: B) 2
Örnek
Soru

Bir top, 27 metre yükseklikten serbest bırakılıyor. Yere her çarpışından sonra bir önceki yüksekliğin \dfrac{1}{3}'ü kadar yükseliyor.

Top sonunda durana kadar aldığı toplam dikey yol kaç metredir?

A) 48 · B) 51 · C) 54 · D) 57 · E) 60

İlk düşüş tektir; sonraki her yükseklik hem çıkışta hem inişte kat edilir. Çıkış yükseklikleri 9,\,3,\,1,\dots sonsuz geometrik dizidir; S_{\infty}=\dfrac{a_1}{1-r} kullan.

  1. İlk düşüş: 27 m (yalnızca bir kez, aşağı doğru).

  2. Çıkış yükseklikleri geometrik dizidir: 9,\,3,\,1,\dots (a_1=9, r=\dfrac{1}{3}). Bu yükseklikler hem yukarı hem aşağı kat edildiğinden iki kez sayılır.

  3. Çıkışların sonsuz toplamı: S_{\infty}=\dfrac{9}{1-\frac{1}{3}}=\dfrac{9}{\frac{2}{3}}=\dfrac{27}{2}=13{,}5 m.

  4. Toplam yol: 27+2\cdot 13{,}5=27+27=54 m.

Sonuç: C) 54

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

İki terim (a_p ve a_q) verildiğinde ortak çarpanı bulmanın kestirme yolu: aralarındaki adım sayısı üs olur. a_q=a_p\cdot r^{\,q-p} yazılır ve r^{\,q-p} doğrudan çekilir. Örneğin a_2 ve a_5 verilmişse r^{3}=\dfrac{a_5}{a_2} olur; tek tek terim hesaplamaya gerek kalmaz.

Diziler — diğer konular