AYT Matematik · Diziler

Geometrik Dizi

~9 dk okumaZorluk: Orta6 çözümlü soruAYT'de ~1 soru/yıl · Sınavda düşük ağırlık

Geometrik dizi, ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu bir dizidir. Bu sabit orana ortak çarpan denir. Bir terimden diğerine geçerken hep aynı sayıyla çarpılır; bu yüzden geometrik diziler üstel büyüme ve azalma modellerinin temelidir. Bu konu, genel terim, ilk $n$ terim toplamı ve geometrik orta gibi tüm temel araçları kurar.

1. Geometrik Dizi ve Ortak Çarpan

Bir dizide ardışık terimler arasındaki oran sabitse, bu diziye geometrik dizi denir. Bu sabit orana ortak çarpan denir ve $r$ ile gösterilir:

$r = \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} (r \neq = 0)$

Yani her terim, bir önceki terimin $r$ katıdır: $a_{n + 1} = a_{n} \cdot r$ . Örneğin $2, 6, 18, 54, \dots$ dizisinde her terim bir öncekinin $3$ katıdır, dolayısıyla $r = 3$ 'tür.

Dizi	Ortak çarpan $r$
$5, 10, 20, 40, \dots$	$2$
$81, 27, 9, 3, \dots$	$\frac{1}{3}$
$1, - 2, 4, - 8, \dots$	$- 2$

2. Genel Terim

İlk terim $a_{1}$ ve ortak çarpan $r$ ise, $n$ . terim:

$a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}$

Üssün $n - 1$ olmasının nedeni, $a_{1}$ 'e ulaşmak için hiç çarpma yapılmamış olmasıdır: $a_{1} = a_{1} \cdot r^{0}$ . İkinci terime bir kez, üçüncü terime iki kez çarpılır.

Örnek

Soru

$a_{1} = 2$ ve $r = 3$ olan geometrik dizide $a_{5}$ terimini bulunuz.

Genel terim formülünü yaz: $a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}$ .
Değerleri yerine koy: $a_{5} = 2 \cdot 3^{5 - 1} = 2 \cdot 3^{4}$ .
Hesapla: $3^{4} = 81$ , dolayısıyla $a_{5} = 2 \cdot 81 = 162$ .

Sonuç:

a_{5} = 162

Örnek

Soru

$3, 6, 12, \dots$ geometrik dizisinin $8$ . terimini bulunuz.

Ortak çarpanı belirle: $r = \frac{6}{3} = 2$ , ilk terim $a_{1} = 3$ .
Genel terimi uygula: $a_{8} = 3 \cdot 2^{8 - 1} = 3 \cdot 2^{7}$ .
Hesapla: $2^{7} = 128$ , dolayısıyla $a_{8} = 3 \cdot 128 = 384$ .

Sonuç:

a_{8} = 384

3. İlk $n$ Terim Toplamı

Geometrik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı ( $r \neq = 1$ için):

$S_{n} = \frac{a _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$

Burada üssün $n - 1$ değil $n$ olduğuna dikkat et: toplamda $n$ tane terim vardır. Eğer $r = 1$ ise tüm terimler eşittir ve $S_{n} = n \cdot a_{1}$ olur.

Örnek

Soru

$a_{1} = 1$ ve $r = 2$ olan geometrik dizide ilk $4$ terimin toplamı $S_{4}$ nedir?

Toplam formülünü yaz: $S_{n} = \frac{a _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ .
Değerleri yerine koy: $S_{4} = \frac{1 \cdot ( 2 ^{4} - 1 )}{2 - 1}$ .
Hesapla: $2^{4} = 16$ , dolayısıyla $S_{4} = \frac{16 - 1}{1} = 15$ .

Sonuç:

S_{4} = 15

(yani

1 + 2 + 4 + 8 = 15

)

4. İki Terimden Ortak Çarpan

İki terim biliniyorsa, aralarındaki "adım sayısı" üs olur. Örneğin $a_{1}$ ve $a_{4}$ veriliyse, $a_{4} = a_{1} \cdot r^{3}$ olduğundan $r^{3}$ doğrudan elde edilir.

Örnek

Soru

$a_{1} = 5$ ve $a_{4} = 40$ olan geometrik dizinin ortak çarpanını bulunuz.

Genel terimi $4$ . terim için yaz: $a_{4} = a_{1} \cdot r^{4 - 1} = a_{1} \cdot r^{3}$ .
Değerleri yerine koy: $40 = 5 \cdot r^{3}$ , buradan $r^{3} = \frac{40}{5} = 8$ .
Küp kökü al: $r = 38 = 2$ .

Sonuç:

r = 2

5. Geometrik Orta

Ardışık üç terim $a, b, c$ geometrik dizi oluşturuyorsa, ortadaki terim ilk ve son terimin geometrik ortasıdır:

$\frac{b}{a} = \frac{c}{b} \Rightarrow b^{2} = a \cdot c$

Örnek

Soru

$4$ ve $9$ sayıları arasına, üçü birlikte geometrik dizi oluşturacak şekilde bir sayı yerleştirilecek. Bu pozitif sayıyı bulunuz.

Geometrik orta koşulunu yaz: $b^{2} = a \cdot c$ .
Değerleri yerine koy: $b^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ .
Pozitif kökü al: $b = 36 = 6$ .

Sonuç:

b = 6

(yani

4, 6, 9

dizisinde

r = \frac{3}{2}

)

6. Sonsuz Geometrik Toplam

Ortak çarpanın mutlak değeri $1$ 'den küçükse ( $∣ r ∣ < 1$ ) terimler giderek küçülür ve sonsuz çoklukta terimin toplamı belirli bir sayıya yaklaşır:

$S_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - r} (∣ r ∣ < 1)$

Bu formül, toplam formülündeki $r^{n}$ teriminin $n \to \infty$ iken $0$ 'a gitmesinden çıkar. $∣ r ∣ \geq 1$ ise terimler küçülmediğinden sonsuz toplam bir sayıya yakınsamaz.

Örnek

Soru

$a_{1} = 12$ ve $r = \frac{1}{3}$ olan geometrik dizinin tüm terimlerinin toplamını (sonsuz toplamı) bulunuz.

$∣ r ∣ = \frac{1}{3} < 1$ olduğundan sonsuz toplam vardır: $S_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - r}$ .
Değerleri yerine koy: $S_{\infty} = \frac{12}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{12}{\frac{2}{3}}$ .
Hesapla: $S_{\infty} = 12 \cdot \frac{3}{2} = 18$ .

Sonuç:

S_{\infty} = 18

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

$a_{1} = 7$ ve $r = 2$ olan geometrik dizinin genel terimini ( $a_{n}$ ) yazınız ve $a_{6}$ değerini bulunuz.

Genel terim formülüne değerleri koy: $a_{n} = 7 \cdot 2^{n - 1}$ .
$n = 6$ için yaz: $a_{6} = 7 \cdot 2^{6 - 1} = 7 \cdot 2^{5}$ .
Hesapla: $2^{5} = 32$ , dolayısıyla $a_{6} = 7 \cdot 32 = 224$ .

Sonuç:

a_{n} = 7 \cdot 2^{n - 1}

a_{6} = 224

Örnek

Soru

Bir geometrik dizide $a_{2} = 12$ ve $a_{5} = 96$ veriliyor. Ortak çarpan $r$ 'yi bulunuz.

İki terim arasındaki adım sayısı üs olur: $a_{5} = a_{2} \cdot r^{5 - 2}$ .

Terimleri birbirine bağla: $a_{5} = a_{2} \cdot r^{5 - 2} = a_{2} \cdot r^{3}$ .
Değerleri yerine koy: $96 = 12 \cdot r^{3}$ , buradan $r^{3} = \frac{96}{12} = 8$ .
Küp kökü al: $r = 38 = 2$ .

Sonuç:

r = 2

Örnek

Soru

$2, 6, 18, \dots$ geometrik dizisinin ilk $5$ teriminin toplamını bulunuz.

Verileri belirle: $a_{1} = 2$ , $r = \frac{6}{2} = 3$ , $n = 5$ .
Toplam formülünü uygula: $S_{5} = \frac{a _{1} ( r ^{5} - 1 )}{r - 1} = \frac{2 ( 3 ^{5} - 1 )}{3 - 1}$ .
Hesapla: $3^{5} = 243$ , dolayısıyla $S_{5} = \frac{2 ( 243 - 1 )}{2} = 243 - 1 = 242$ .

Sonuç:

S_{5} = 242

Örnek

Soru

$3$ ile $48$ sayıları arasındaki pozitif geometrik ortayı bulunuz.

Üç terim geometrik dizi oluşturduğunda $b^{2} = a \cdot c$ eşitliği geçerlidir.

Geometrik orta koşulunu yaz: $b^{2} = a \cdot c$ .
Değerleri yerine koy: $b^{2} = 3 \cdot 48 = 144$ .
Pozitif kökü al: $b = 144 = 12$ .

Sonuç:

b = 12

Örnek

Soru

$5, 10, 20, \dots$ geometrik dizisinde $a_{n} = 1280$ ise bu terim kaçıncı terimdir?

Genel terimi yaz ve $2$ 'nin kuvvetlerini eşitleyerek $n$ 'yi çek.

Verileri belirle: $a_{1} = 5$ , $r = \frac{10}{5} = 2$ .
Genel terimi eşitle: $5 \cdot 2^{n - 1} = 1280$ , buradan $2^{n - 1} = \frac{1280}{5} = 256$ .
$256 = 2^{8}$ olduğundan $n - 1 = 8$ , dolayısıyla $n = 9$ .

Sonuç:

1280

, dizinin

9

. terimidir.

Örnek

Soru

Bir geometrik dizinin ilk terimi $a_{1} = 3$ , ortak çarpanı $r = 2$ 'dir. İlk $n$ terimin toplamı $S_{n} = 189$ olduğuna göre $n$ kaçtır?

Toplam formülünü yaz: $S_{n} = \frac{a _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{3 ( 2 ^{n} - 1 )}{2 - 1} = 3 (2^{n} - 1)$ .
Eşitliği kur: $3 (2^{n} - 1) = 189$ , buradan $2^{n} - 1 = 63$ , yani $2^{n} = 64$ .
$64 = 2^{6}$ olduğundan $n = 6$ .

Sonuç:

n = 6

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Çözümlü Sorular

Her soruyu önce kendin dene; takıldığında Çözüme Bak.

Sınavda Tuzaklar

ÖSYM bu konuda çeldiricileri tam şu hatalar üzerine kurar — sorulara başlamadan bir kez oku:

Genel terim formülüyle terim bulma (aₙ = a₁⋅rⁿ⁻¹): Üssü n almak (a₁⋅rⁿ) a₆ için 3⋅2⁶=192
İki terimden r ve a₁ çıkarma: Oranı doğrudan r sanmak (r=8) devasa, seçeneklere oturmayan terim değerleri
Ardışık üç terim — geometrik orta (x'li terimler): Aritmetik orta koşulunu (2⋅ortanca = baş+son) uygulamak 2x+8=2x+12 ⇒ 8=12 çelişkisi
İlk n terim toplamı (r ≠ 1): Pay ve paydada işaret uyumsuzluğu (rⁿ−1 üstte, 1−r altta) s₅ için −242
Sonsuz geometrik seri toplamı (|r| < 1): Paydayı (1−r) yerine r almak (S=a₁/r) 12/r=16 ⇒ r=3/4
Aritmetik + geometrik karma (klasik dönüşüm sorusu): d=−6 kökünü elemeden azalan diziyi (12, 6, 0) kabul etmek en büyük sayı olarak 12

Soru 1Orta

Bir geometrik dizide

a_{3} = 20

a_{6} = 160

veriliyor. Buna göre

a_{1} + a_{7}

toplamı kaçtır?

İki terimi bağla: $a_{6} = a_{3} \cdot r^{6 - 3} = a_{3} \cdot r^{3}$ , yani $160 = 20 \cdot r^{3}$ , buradan $r^{3} = 8$ ve $r = 2$ .
İlk terimi bul: $a_{3} = a_{1} \cdot r^{2} = a_{1} \cdot 4 = 20$ , dolayısıyla $a_{1} = 5$ .
Yedinci terimi hesapla: $a_{7} = a_{1} \cdot r^{6} = 5 \cdot 2^{6} = 5 \cdot 64 = 320$ .
Topla: $a_{1} + a_{7} = 5 + 320 = 325$ .

Sonuç:

325

Soru 2Orta

Pozitif

a, b, c

sayıları bu sırayla bir geometrik dizi oluşturuyor. Ortadaki terim

b = 6

a + c = 13

'tür. Buna göre

a^{2} + c^{2}

değeri kaçtır?

Geometrik orta koşulunu yaz: $b^{2} = a \cdot c$ , yani $a \cdot c = 6^{2} = 36$ .
Karelerin toplamını çarpanlardan kur: $a^{2} + c^{2} = (a + c)^{2} - 2 a c$ .
Değerleri yerine koy: $a^{2} + c^{2} = 1 3^{2} - 2 \cdot 36 = 169 - 72 = 97$ .

Sonuç:

97

Soru 3Orta

İlk terimi

a_{1} = 4

olan bir geometrik dizinin ilk üç teriminin toplamı

S_{3} = 28

'dir. Dizinin ortak çarpanı pozitiftir. Buna göre

a_{5} - a_{2}

farkı kaçtır?

Toplamı aç: $S_{3} = a_{1} (1 + r + r^{2}) = 4 (1 + r + r^{2}) = 28$ , buradan $1 + r + r^{2} = 7$ .
Denklemi çöz: $r^{2} + r - 6 = 0 \Rightarrow (r + 3) (r - 2) = 0$ ; pozitif kök $r = 2$ .
Terimleri yaz: $a_{5} = 4 \cdot 2^{4} = 64$ ve $a_{2} = 4 \cdot 2^{1} = 8$ .
Farkı al: $a_{5} - a_{2} = 64 - 8 = 56$ .

Sonuç:

56

Soru 4Orta

Pozitif terimli bir geometrik dizide

a_{2} \cdot a_{6} = 64

olduğu bilinmektedir. Buna göre

a_{4}

kaçtır?

Terimleri açarak çarpımı yaz: $a_{2} \cdot a_{6} = (a_{1} r) (a_{1} r^{5}) = a_{1}^{2} r^{6} = (a_{1} r^{3})^{2} = a_{4}^{2}$ .
Verilen bilgiyle eşitle: $a_{4}^{2} = 64$ .
Dizi pozitif terimli olduğundan $a_{4} = 8$ (negatif kök elenir).

Sonuç:

8

Soru 5Zor

Pozitif terimli bir geometrik dizinin ardışık üç terimi olan

x, y, z

sayılarının çarpımı

216

, toplamı ise

21

'dir. Buna göre dizinin (

1

'den büyük) ortak çarpanı

r

kaçtır?

Geometrik orta: $x \cdot z = y^{2}$ olduğundan çarpım $x y z = y \cdot y^{2} = y^{3} = 216$ , buradan $y = 6$ .
Toplamdan $x + z = 21 - 6 = 15$ ve $x \cdot z = y^{2} = 36$ elde edilir.
$x, z$ sayıları $t^{2} - 15 t + 36 = 0$ denkleminin kökleridir: $(t - 3) (t - 12) = 0 \Rightarrow t = 3$ veya $t = 12$ .
Dizi $3, 6, 12$ olduğundan ortak çarpan $r = \frac{6}{3} = 2$ ( $> 1$ ).

Sonuç:

2

Soru 6Zor

Bir top,

27

metre yükseklikten serbest bırakılıyor. Yere her çarpışından sonra bir önceki yüksekliğin

\frac{1}{3}

'ü kadar yükseliyor. Top sonunda durana kadar aldığı toplam dikey yol kaç metredir?

İlk düşüş: $27$ m (yalnızca bir kez, aşağı doğru).
Çıkış yükseklikleri geometrik dizidir: $9, 3, 1, \dots$ ( $a_{1} = 9$ , $r = \frac{1}{3}$ ). Bu yükseklikler hem yukarı hem aşağı kat edildiğinden iki kez sayılır.
Çıkışların sonsuz toplamı: $S_{\infty} = \frac{9}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = \frac{27}{2} = 13, 5$ m.
Toplam yol: $27 + 2 \cdot 13, 5 = 27 + 27 = 54$ m.

Sonuç:

54

0/6 soru cevaplandı

Sık Yapılan Hatalar

Genel terimde üssü $r^{n}$ yazmak. Doğrusu $a_{n} = a_{1} \cdot r^{n - 1}$ 'dir; ilk terime ulaşmak için hiç çarpma yapılmadığından üs $n - 1$ olmalıdır. Örneğin $a_{1} = 2, r = 3$ için $a_{5} = 2 \cdot 3^{4} = 162$ 'dir, $2 \cdot 3^{5} = 486$ değil.
Toplamda $r - 1$ 'e bölmeyi unutmak. $S_{n} = \frac{a _{1} ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ formülündeki paydayı atlamak en sık görülen hatadır. $r = 2$ gibi durumlarda payda $1$ olduğu için fark edilmeyebilir; başka $r$ değerlerinde ciddi hataya yol açar.
Geometrik ortayı aritmetik ortayla karıştırmak. Geometrik dizide orta terim $b = a \cdot c$ 'dir, $\frac{a + c}{2}$ değil.

Sınav İpucu

İki terim ( $a_{p}$ ve $a_{q}$ ) verildiğinde ortak çarpanı bulmanın kestirme yolu: aralarındaki adım sayısı üs olur. $a_{q} = a_{p} \cdot r^{q - p}$ yazılır ve $r^{q - p}$ doğrudan çekilir. Örneğin $a_{2}$ ve $a_{5}$ verilmişse $r^{3} = \frac{a _{5}}{a _{2}}$ olur; tek tek terim hesaplamaya gerek kalmaz.

1. Geometrik Dizi ve Ortak Çarpan

2. Genel Terim

3. İlk n Terim Toplamı

4. İki Terimden Ortak Çarpan

5. Geometrik Orta

6. Sonsuz Geometrik Toplam

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Çözümlü Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Diziler — diğer konular

3. İlk $n$ Terim Toplamı