AYT Matematik · Diziler

Dizi Kavramı

~8 dk okumaZorluk: Orta17 çözümlü soru

Dizi, terimleri belirli bir kurala göre sıralanmış sonsuz (ya da sonlu) bir sayı listesidir. Aslında tanım kümesi pozitif tam sayılar olan özel bir fonksiyondur. Bu konu, dizinin tanımını, genel terim kavramını ve artan–azalan dizileri kurar; aritmetik ve geometrik diziler bu temele dayanır.

1. Dizinin Tanımı

Bir dizi, tanım kümesi pozitif tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}^{+}=\{1,2,3,\dots\}$ olan bir fonksiyondur. Görüntü kümesi genellikle gerçek sayılardır:

$a:\mathbb{Z}^{+}\to\mathbb{R},\qquad a(n)=a_n$

Burada $a_n$ sayısına dizinin genel terimi denir ve dizinin tamamı $(a_n)$ ile gösterilir. $n=1,2,3,\dots$ değerleri sırasıyla 1. terim, 2. terim, 3. terim olarak adlandırılır.

Gösterim	Anlamı
$(a_n)$	Dizinin kendisi (tüm terimler)
$a_n$	Genel terim (n. terim)
$a_1,\ a_2,\ a_3$	Sırasıyla 1., 2., 3. terim
$n\in\mathbb{Z}^{+}$	Terim sırası daima pozitif tam sayıdır

Genel Terimden Terim Bulma

Genel terimi bilinen bir dizinin istenen herhangi bir terimini bulmak için $n$ yerine o terimin sırasını yazmak yeterlidir. Örneğin $a_5$ için $n=5$ yazılır.

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=2n+1$ olan dizinin 1. ve 5. terimlerini bulunuz.

1. terim için $n=1$ yaz: $a_1=2\cdot 1+1=3$ .
5. terim için $n=5$ yaz: $a_5=2\cdot 5+1=11$ .

Sonuç:

a_1=3,\ a_5=11

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=n^{2}-n$ olan dizinin 4. terimini bulunuz.

$n=4$ değerini genel terimde yerine yaz: $a_4=4^{2}-4$ .
İşlemi yap: $a_4=16-4=12$ .

Sonuç:

a_4=12

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=\dfrac{n}{n+1}$ olan dizinin 3. terimini bulunuz.

$n=3$ değerini yerine yaz: $a_3=\dfrac{3}{3+1}$ .
Paydayı topla: $a_3=\dfrac{3}{4}$ .

Sonuç:

a_3=\dfrac{3}{4}

2. Bir Sayı Dizinin Kaçıncı Terimidir?

Verilen bir sayının dizinin terimi olup olmadığını anlamak için genel terimi o sayıya eşitleriz ve $n$ 'i çözeriz. Bulunan $n$ değeri pozitif tam sayı ise, sayı dizinin terimidir; aksi hâlde değildir.

Örnek

Soru

$40$ sayısı, genel terimi $a_n=3n-2$ olan dizinin bir terimi midir? Terim ise kaçıncı terimdir?

Genel terimi $40$ 'a eşitle ve $n$ 'i çöz. Çıkan $n$ pozitif tam sayı olmalı.

Genel terimi $40$ 'a eşitle: $3n-2=40$ .
$n$ 'i çöz: $3n=42 \Rightarrow n=14$ .
$n=14$ pozitif tam sayı olduğundan $40$ sayısı dizinin 14. terimidir.

Sonuç: Evet;

40

sayısı dizinin 14. terimidir.

3. Artan ve Azalan Diziler

Bir dizinin terimleri sıra ilerledikçe sürekli büyüyor veya küçülüyor olabilir:

Tür	Koşul
Artan dizi	Her $n\in\mathbb{Z}^{+}$ için $a_{n+1}>a_n$
Azalan dizi	Her $n\in\mathbb{Z}^{+}$ için $a_{n+1}<a_n$

İncelemenin pratik yolu: $a_{n+1}-a_n$ farkının işaretine bakmaktır. Fark her zaman pozitifse dizi artan, her zaman negatifse azalandır.

Bazı diziler ne artan ne azalandır. Örneğin $a_n=(-1)^n\cdot n$ dizisinin terimleri $-1,\ 2,\ -3,\ 4,\dots$ şeklinde işaret değiştirerek gider; bu dizi ne artan ne azalandır. (Burada $a_3=(-1)^3\cdot 3=-3$ .)

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=3n-2$ olan dizinin artan mı azalan mı olduğunu inceleyiniz.

Ardışık iki terim arasındaki farkı yaz: $a_{n+1}-a_n$ .
$a_{n+1}=3(n+1)-2=3n+1$ olduğundan fark: $(3n+1)-(3n-2)=3$ .
Fark her $n$ için $3>0$ (pozitif sabit) olduğundan dizi artandır.

Sonuç: Dizi artandır (

a_{n+1}-a_n=3>0

Çözümlü Sorular

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=n^{2}+2n$ olan dizinin 6. terimini bulunuz.

$n=6$ değerini genel terimde yerine yaz: $a_6=6^{2}+2\cdot 6$ .
İşlemi yap: $a_6=36+12=48$ .

Sonuç:

a_6=48

Örnek

Soru

$23$ sayısı, genel terimi $a_n=4n-1$ olan dizinin kaçıncı terimidir?

Genel terimi $23$ 'e eşitle; $n$ pozitif tam sayı çıkmalı.

Genel terimi $23$ 'e eşitle: $4n-1=23$ .
$n$ 'i çöz: $4n=24 \Rightarrow n=6$ .
$n=6$ pozitif tam sayı olduğundan $23$ dizinin 6. terimidir.

Sonuç:

6.

terim

Örnek

Soru

$50$ sayısı, genel terimi $a_n=3n+1$ olan dizinin bir terimi midir?

$n$ 'i çöz; pozitif tam sayı çıkmazsa sayı dizinin terimi değildir.

Genel terimi $50$ 'ye eşitle: $3n+1=50$ .
$n$ 'i çöz: $3n=49 \Rightarrow n=\dfrac{49}{3}$ .
$n$ tam sayı olmadığından ( $n\notin\mathbb{Z}^{+}$ ) $50$ sayısı dizinin bir terimi değildir.

Sonuç: Hayır;

50

bu dizinin terimi değildir.

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=\dfrac{1}{n}$ olan dizinin artan mı azalan mı olduğunu inceleyiniz.

Ardışık terimlerin farkına bak: $a_{n+1}-a_n=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}$ .
Ortak paydada birleştir: $\dfrac{n-(n+1)}{n(n+1)}=\dfrac{-1}{n(n+1)}$ .
$n\in\mathbb{Z}^{+}$ için payda $n(n+1)>0$ olduğundan fark daima negatiftir.
$a_{n+1}-a_n<0$ olduğundan dizi azalandır.

Sonuç: Dizi azalandır.

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=2n-3$ olan dizide $a_4+a_7$ toplamını bulunuz.

4. terim için $n=4$ : $a_4=2\cdot 4-3=5$ .
7. terim için $n=7$ : $a_7=2\cdot 7-3=11$ .
Topla: $a_4+a_7=5+11=16$ .

Sonuç:

a_4+a_7=16

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=\dfrac{n+1}{2n}$ olan dizinin 5. terimini bulunuz.

$n=5$ değerini genel terimde yerine yaz: $a_5=\dfrac{5+1}{2\cdot 5}$ .
Pay ve paydayı hesapla: $a_5=\dfrac{6}{10}$ .
Kesri sadeleştir: $a_5=\dfrac{3}{5}$ .

Sonuç:

a_5=\dfrac{3}{5}

Sınav Tarzı Sorular

Aşağıdaki sorular, ÖSYM'nin AYT'de sorduğu çok kavramlı, dolaylı (5 şıklı) soru tarzına örnek olarak özgün biçimde hazırlanmıştır.

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=2n$ olan bir dizide $a_3+a_6$ toplamı, aynı dizinin bir terimine eşittir.

Buna göre bu toplam, dizinin kaçıncı terimidir?

A) $7$ · B) $8$ · C) $9$ · D) $10$ · E) $11$

3. terim için $n=3$ yaz: $a_3=2\cdot 3=6$ .
6. terim için $n=6$ yaz: $a_6=2\cdot 6=12$ .
Toplamı bul: $a_3+a_6=6+12=18$ .
Bu toplam dizinin kaçıncı terimi ise genel terimi $18$ 'e eşitle: $2n=18$ .
$n$ 'i çöz: $n=9$ (pozitif tam sayı).

Sonuç: C)

9

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=2n-1$ olan bir dizide $a_k=3\cdot a_4$ eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre $k$ kaçtır?

A) $11$ · B) $10$ · C) $9$ · D) $8$ · E) $7$

Önce 4. terimi bul: $a_4=2\cdot 4-1=7$ .
Sağ tarafı hesapla: $3\cdot a_4=3\cdot 7=21$ .
$a_k=21$ olduğundan genel terimi eşitle: $2k-1=21$ .
$k$ 'yı çöz: $2k=22 \Rightarrow k=11$ (pozitif tam sayı).

Sonuç: A)

11

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=n^{2}-2n$ olan bir dizide $a_m=24$ olduğu bilinmektedir.

Buna göre $a_{m-2}$ kaçtır?

A) $3$ · B) $4$ · C) $5$ · D) $6$ · E) $8$

$a_m=24$ koşulunu genel terimde yaz: $m^{2}-2m=24$ .
Düzenle: $m^{2}-2m-24=0 \Rightarrow (m-6)(m+4)=0$ .
$m$ pozitif tam sayı olmalı, bu yüzden $m=6$ (kök $m=-4$ elenir).
İstenen $a_{m-2}=a_{4}$ olur; $n=4$ yaz: $a_4=4^{2}-2\cdot 4$ .
İşlemi yap: $a_4=16-8=8$ .

Sonuç: E)

8

Örnek

Soru

Genel terimi $a_n=n^{2}-3n+1$ olan bir dizinin kaç terimi negatiftir?

A) $1$ · B) $2$ · C) $3$ · D) $4$ · E) Sonsuz çoklukta

$a_n<0$ eşitsizliğini çöz; $n$ yalnızca pozitif tam sayı değerleri alabildiğinden, aralıktaki tam sayıları say.

Negatif terim koşulu: $n^{2}-3n+1<0$ .
$n^{2}-3n+1=0$ denkleminin kökleri $n=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}$ , yaklaşık $0{,}38$ ve $2{,}62$ 'dir. Parabol bu iki kök arasında negatiftir.
Bu aralıktaki pozitif tam sayılar yalnızca $n=1$ ve $n=2$ 'dir: $a_1=1-3+1=-1<0$ , $a_2=4-6+1=-1<0$ .
$n=3$ için $a_3=9-9+1=1>0$ ; sonraki terimler de pozitiftir. Demek ki yalnızca $2$ terim negatiftir.

Sonuç: B)

2

Örnek

Soru

Bir $(a_n)$ dizisi $a_1=2$ ve her $n\in\mathbb{Z}^{+}$ için $a_{n+1}=a_n+2n$ kuralıyla tanımlanıyor.

Buna göre $a_5$ kaçtır?

A) $18$ · B) $20$ · C) $22$ · D) $24$ · E) $26$

Özyinelemeli (recursive) tanımı terim terim aç ya da $a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}2k$ toplamını kullan.

Kuralı terim terim uygula: $a_2=a_1+2\cdot 1=2+2=4$ .
Devam et: $a_3=a_2+2\cdot 2=4+4=8$ ve $a_4=a_3+2\cdot 3=8+6=14$ .
Son adım: $a_5=a_4+2\cdot 4=14+8=22$ .
(Kontrol: $a_n=2+2\cdot\big(1+2+\cdots+(n-1)\big)=2+n(n-1)$ olur; $n=5$ için $2+20=22$ .)

Sonuç: C)

22

Örnek

Soru

Bir $(a_n)$ dizisinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n=n^{2}+2n$ ile veriliyor.

Buna göre dizinin $5.$ terimi $a_5$ kaçtır?

A) $9$ · B) $10$ · C) $11$ · D) $12$ · E) $13$

Bir terim, ardışık iki kısmi toplamın farkıdır: $a_n=S_n-S_{n-1}$ ( $n\ge 2$ için).

Anahtar bağıntı: $a_n=S_n-S_{n-1}$ . Aranan $a_5=S_5-S_4$ 'tür.
Toplamları hesapla: $S_5=5^{2}+2\cdot 5=25+10=35$ ve $S_4=4^{2}+2\cdot 4=16+8=24$ .
Farkı al: $a_5=35-24=11$ .

Sonuç: C)

11

Sık Yapılan Hatalar

Terim sırası $n$ 'in pozitif tam sayı olması gerektiğini unutmak. Bir sayının dizinin terimi olup olmadığını ararken, denklemden $n=\dfrac{49}{3}$ gibi kesirli bir değer çıkıyorsa o sayı dizinin terimi değildir. Çözümü pozitif tam sayı çıkmayan $n$ değerini geçerli sanmayın.
$a_n$ ile $n$ 'i karıştırmak. $n$ , terimin sırasını (kaçıncı terim olduğunu) gösterir; $a_n$ ise o sıradaki terimin değeridir. "23 kaçıncı terim?" diye sorulduğunda istenen $n$ 'dir, $a_n$ değil.
Kısmi toplam $S_n$ ile genel terim $a_n$ 'i karıştırmak. $S_n$ , ilk $n$ terimin toplamıdır; tek bir terimi geri elde etmek için $a_n=S_n-S_{n-1}$ farkını alın. Doğrudan $a_5=S_5$ yazmak hatalıdır (bu yalnızca $n=1$ için doğrudur).

Sınav İpucu

Genel terim sorularında verilen koşulu bir denkleme çevirin. "Kaçıncı terim?" türü için $a_n=$ (verilen sayı) yazıp $n$ çözün ve $n\in\mathbb{Z}^{+}$ kontrolünü unutmayın. $S_n$ verilmişse tek terim için $a_n=S_n-S_{n-1}$ , özyinelemeli (recursive) tanımda ise birkaç terimi sırayla açmak en hızlı yoldur. Artan/azalan incelemesinde $a_{n+1}-a_n$ farkının işareti her zaman yeterlidir.

1. Dizinin Tanımı

Genel Terimden Terim Bulma

2. Bir Sayı Dizinin Kaçıncı Terimidir?

3. Artan ve Azalan Diziler

Çözümlü Sorular

Sınav Tarzı Sorular

Sık Yapılan Hatalar

Sınav İpucu

Diziler — diğer konular